等邊三角形的性質(zhì)與判定教學(xué)設(shè)計(jì)

13．3.2等邊三角形第1課時(shí)等邊三角形的性質(zhì)與判定1．掌握等邊三角形的定義、性質(zhì)和判定，明確其與等腰三角形的區(qū)別和聯(lián)系．(重點(diǎn))2．能應(yīng)用等邊三角形的知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和證明．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入觀察下面圖形：師：等腰三角形中有一種特殊的三角形，你知道是什么三角形嗎？生：等邊三角形．師：對(duì)，等邊三角形具有和諧的對(duì)稱美．今天我們來學(xué)習(xí)等邊三角形，引出課題．二、合作探究探究點(diǎn)一：等邊三角形的性質(zhì)【類型一】利用等邊三角形的性質(zhì)求角度如圖，△ABC是等邊三角形，E是AC上一點(diǎn)，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度數(shù)．解析：因?yàn)椤鰽BC三個(gè)內(nèi)角為60°，∠ABE＝40°，求出∠EBC的度數(shù)，因?yàn)锽E＝DE，所以得到∠EBC＝∠D，求出∠D的度數(shù)，利用外角性質(zhì)即可求出∠CED的度數(shù)．解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.方法總結(jié)：等邊三角形是特殊的三角形，它的三個(gè)內(nèi)角都是60°，這個(gè)性質(zhì)常常應(yīng)用在求三角形角度的問題上，所以必須熟練掌握．【類型二】利用等邊三角形的性質(zhì)證明線段相等如圖：已知等邊△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足為M，求證：BM＝EM.解析：要證BM＝EM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知，證明△BDE為等腰三角形即可．證明：連接BD，∵在等邊△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，∴∠DBC＝eq\f(1,2)∠ABC＝eq\f(1,2)×60°＝30°，∠ACB＝60°.∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E.∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，∴∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E＝30°，∴BD＝ED，△BDE為等腰三角形．又∵DM⊥BC，∴BM＝EM.方法總結(jié)：本題綜合考查了等腰和等邊三角形的性質(zhì)，其中“三線合一”的性質(zhì)是證明線段相等、角相等和線段垂直關(guān)系的重要方法．【類型三】等邊三角形的性質(zhì)與全等三角形的綜合運(yùn)用△ABC為正三角形，點(diǎn)M是BC邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是CA邊上任意一點(diǎn)，且BM＝CN，BN與AM相交于Q點(diǎn)，∠BQM等于多少度？解析：先根據(jù)已知條件利用SAS判定△ABM≌△BCN，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求得∠BQM＝∠ABC＝60°.解：∵△ABC為正三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.在△AMB和△BNC中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝BC，,∠ABC＝∠C，,BM＝CN，))∴△AMB≌△BNC(SAS)，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.方法總結(jié)：等邊三角形與全等三角形的綜合運(yùn)用，一般是利用等邊三角形的性質(zhì)探究三角形全等．探究點(diǎn)二：等邊三角形的判定【類型一】等邊三角形的判定等邊△ABC中，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，點(diǎn)Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，問△APQ是什么形狀的三角形？試說明你的結(jié)論．解析：先證△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再證∠PAQ＝60°，從而得出△APQ是等邊三角形．解：△APQ為等邊三角形．證明：∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC.在△ABP與△ACQ中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠ABP＝∠ACQ，,BP＝CQ，))∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，∴△APQ是等邊三角形．方法總結(jié)：判定一個(gè)三角形是等邊三角形有兩種方法：一是證明三角形三個(gè)內(nèi)角相等；二是先證明三角形是等腰三角形，再證明有一個(gè)內(nèi)角等于60°.【類型二】等邊三角形的性質(zhì)和判定的綜合運(yùn)用圖①、圖②中，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM與△CBN都是等邊三角形．(1)如圖①，線段AN與線段BM是否相等？請(qǐng)說明理由；(2)如圖②，AN與MC交于點(diǎn)E，BM與CN交于點(diǎn)F，探究△CEF的形狀，并證明你的結(jié)論．解析：(1)由等邊三角形的性質(zhì)可以得出△ACN，△MCB兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形全等，得出線段AN與線段BM相等．(2)先求∠MCN＝60°，通過證明△ACE≌△MCF得出CE＝CF，根據(jù)等邊三角形的判定得出△CEF的形狀．解：(1)AN＝BM.理由：∵△ACM與△CBN都是等邊三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.∴∠MCN＝60°，∠ACN＝∠MCB.在△ACN和△MCB中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝MC，,∠ACN＝∠MCB，,NC＝BC，))∴△ACN≌△MCB(SAS)．∴AN＝BM.(2)△CEF是等邊三角形．證明：∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMB.在△ACE和△MCF中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CAE＝∠CMF，,AC＝MC，,∠ACE＝∠FCM，))∴△ACE≌△MCF(ASA)，∴CE＝CF.∴△CEF是等邊三角形．方法總結(jié)：等邊三角形是一個(gè)非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時(shí)要善于挖掘圖形中的隱含條件．三、板書設(shè)計(jì)等邊三角形的性質(zhì)和判定1．等邊三角形的定義；2．等邊三角形的性質(zhì)；3．等邊三角形的判定方法．本節(jié)課讓學(xué)生在認(rèn)識(shí)等腰三角形的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)等邊三角形．學(xué)習(xí)等邊三角形的定義、性質(zhì)和判定．讓學(xué)生在探索圖形特征以及相關(guān)結(jié)論的活動(dòng)中，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念，鍛煉思維能力．讓學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中，進(jìn)一步產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心，增強(qiáng)動(dòng)手能力和創(chuàng)新意識(shí)．在這節(jié)課中，要學(xué)生充分的自主探究，嘗試提出問題和解決問題，發(fā)展學(xué)生的自主探究能力．第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)1．理解并掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)定理．(重點(diǎn))2．能靈活運(yùn)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)定理解決有關(guān)問題．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入問題：1．我們學(xué)習(xí)過直角三角形，直角三角形的角之間都有什么數(shù)量關(guān)系？2．用你的30°角的直角三角尺，把斜邊和30°角所對(duì)的直角邊量一量，你有什么發(fā)現(xiàn)？今天，我們先來看一個(gè)特殊的直角三角形，看它的邊角具有什么性質(zhì)．二、合作探究探究點(diǎn)：含30°角的直角三角形的性質(zhì)【類型一】利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊AB上的高，AD＝3cm，則AB的長(zhǎng)度是()A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜邊AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的長(zhǎng)度是12cm.故選D.方法總結(jié)：運(yùn)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)時(shí)，要分清線段所在的直角三角形．【類型二】與角平分線或垂直平分線性質(zhì)的綜合運(yùn)用如圖，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，則PD等于()A．3B．2C．1.5D．1解析：如圖，過點(diǎn)P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝eq\f(1,2)PC＝eq\f(1,2)×3＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故選C.方法總結(jié)：含30°角的直角三角形與角平分線、垂直平分線的綜合運(yùn)用時(shí)，關(guān)鍵是尋找或作輔助線構(gòu)造含30°角的直角三角形．【類型三】利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)探究線段之間的倍、分關(guān)系如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，過點(diǎn)D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分線．CD與DB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．解析：由條件先證△AED≌△BED，得出∠BAD＝∠CAD＝∠B，求得∠B＝30°，即可得到CD＝eq\f(1,2)DB.解：CD＝eq\f(1,2)DB.理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分線，∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA)，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∵∠BAD＝∠CAD＝eq\f(1,2)∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴CD＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)BD，即CD＝eq\f(1,2)DB.方法總結(jié)：含30°角的直角三角形的性質(zhì)是表示線段倍分關(guān)系的一個(gè)重要的依據(jù)，如果問題中出現(xiàn)探究線段倍分關(guān)系的結(jié)論時(shí)，要聯(lián)想此性質(zhì)．【類型四】利用含30°角的直角三角形解決實(shí)際問題某市在“舊城改造”中計(jì)劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植某種草皮以美化環(huán)境，已知AC＝50m，AB＝40m，∠BAC＝150°，這種草皮每平方米的售價(jià)是a元，求購買這種草皮至少需要多少元？解析：作BD⊥CA交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.在Rt△ABD中，利用30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半求BD，即△ABC的高．運(yùn)用三角形面積公式計(jì)算面積求解．解：如圖所示，作BD⊥CA于D點(diǎn)．∵∠BAC＝150°，∴∠DAB＝30°.∵AB＝40m，∴BD＝eq\f(1,2)AB＝20m，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×50×20＝500(m2)．已知這種草皮每平方米a元，所以一共需要500a元．方法總結(jié)：解此題的關(guān)鍵在于作出CA邊上的高，根據(jù)相關(guān)