2022-2023學(xué)年江西省南昌市新建區(qū)高一數(shù)學(xué)（下）月考試卷及答案解析

2022?2023學(xué)年江西省南昌市新建區(qū)高一數(shù)學(xué)（下）月考試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.計算si7i48%osl8。—cos48Ocos72。的結(jié)果等于（）

口

A.21BR-VC.—D.小

22

2.下列命題中正確的是（）

A.單位向量都相等B.相等向量一定是共線向量

C.若五〃瓦石〃3則五〃不D.任意向量的模都是正數(shù)

3.已知tma另，則"空產(chǎn)=（）

2sina+3cosa

4.已知sin(a=-,則sin(2a+.)=()

5.函數(shù)y=e因sin|%|在區(qū)間［一2幾,2兀］上的圖象大致是（）

6.函數(shù)y=lg(2sinx+1)的定義域為.()

A.{%|fc7r+^<x<fczr+fcezj

B.{%|fc7r+看VxVZTT+R,k6zj

C.{%|2/CTT+.V%V2/CTT+￡z}

D.{x^2kn—^<%<2/CTT+￡,kGzj

7.已知函數(shù)f(x)=2cos2(sx—")一*3>0)在［0,河上恰有7個零點，則3的取值范圍是

()

A.舄,今Bd片］C.碧凈D.點片)

8.如圖是古希臘數(shù)學(xué)家波克拉底研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構(gòu)成，直徑分別為直角

三角形4BC的斜邊48、直角邊BC、AC,N為4c的中點，點。在以AC為直徑的半圓上，已知

以直角邊AC,BC為直徑的兩個半圓的面積之比為3,sin^DAB=|,則cos/DNC的值為()

A24口+7B24y-7c7C+24口7/3-24

?-50~-50~-50~-50~

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.下列各式中，值為1的是()

A.4cos215。—2B.4sinl50sin75°

口l+tanl50

C.V^(cosl5°—s譏15°)

*IT即15°

10.下列各式中能化簡為而的有()

A.而+而-麗B.(AD+麗)+(BC+CM)

C.(AB+~CD)+BCD.OC-OA+CD

11.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+拳)+2COS2X,neZ,則下列說法正確的是()

A.當(dāng)n=l時，f(x)圖象的一個對稱中心為(1,1)

B.當(dāng)n為奇數(shù)時，f(x)的最小正周期是九

C.當(dāng)n為偶數(shù)時，/(x)max=1+42

D.當(dāng)n為偶數(shù)時，f(x)在d)上單調(diào)遞減

OO

12.已知函數(shù)/'(%)=(sinx+cosx){sinx-|cosx|),說法正確的是()

A./(x)在區(qū)間[—2兀,一|用上單調(diào)遞增

B.方程f(x)=0在工￡[-2兀,27rl的解為%1，X2，…，xnf且％1+%2+…+工九="

C.f(%)的對稱軸是％=3+kn(k6Z)

D.若f(%i)-/(%2)=3,則%1—%2=2kn(kGZ)

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13./(%)=tanx+sinx+1,若/(b)=2,貝行(一b)=.

14.+J線的最小值為______-

sinxcos"

15.求值：sin200+sin40°+sm60°—sinQ00=.

16.已知函數(shù)A%)=｛：：；；：；:秘：!eQ,+8)，若存在非零實數(shù)k滿足f9)=/3)=

/(c)=/(d)=k(a,b,c,d互不相等)，則a+b+c+d的取值范圍是.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

計算下列兩個小題

(1)計算sin等-cos岑+tan(一殍)；

(2)己知角a終邊上有一點P(_。,?)，求小學(xué)拿誓誓的值.

22tan(7r+a)sm(7r+a)

18.(本小題12.0分)

已知tan(a-/?)==一；,且a€(0,[),夕E(日兀).

(1)求tana的值;

(2)求2a—0的值.

19.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/'(x)=2'J~3sinxcosx—2cos2x+1.

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[一招幣的值域.

20.(本小題12.0分)

函數(shù)/(x-f)=Asin^x+<p)(A>0,a)>0,\<p\<"的部分圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式;

(2)若函數(shù)g(x)=2/(|x)-a在區(qū)間V，段］上恰有3個零點，求a的取值范圍.

21.(本小題12.0分)

設(shè)函數(shù)/(X)=cos(2cox+0)((0>0,0<0<7T),將函數(shù)/(x)的圖象向左平移工單位長度后得

到函數(shù)g(x)的圖象，已知g(x)的最小正周期為兀，且g(x)為奇函數(shù).

(1)求/'(x)的解析式；

(2)令函數(shù)/i(x)=2g(x)+3cos22久+m-3對任意實數(shù)x6［-3,|兀］,恒有八(x)N0,求實數(shù)

m的取值范圍.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/'(x)=a(|sinx|+|cosx|)+4sin2x+9,且/(；)=13-9>J~2.

(1)求a的值，并求出y=/(x)的最小正周期(不需要說明理由)；

(2)若xG［0,"，求y=f(x)的值域；

⑶是否存在正整數(shù)n,使得y=/(x)在區(qū)間［0,麗］內(nèi)恰有2025個零點，若存在，求由的值;

若不存在，說明理由.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：sin48°cosl80-cos48°cos72°

=sin48°cosl8°—cos48°cos(90°-18°)

=sin48°cosl80—cos480sinl8°

=sin(48°-18°)

=sin30°

_1

=2'

故選:A.

利用誘導(dǎo)公式，兩角差的正弦公式化簡，進(jìn)而利用特殊角的三角函數(shù)值即可求解.

本題考查了誘導(dǎo)公式，兩角差的正弦公式以及特殊角的三角函數(shù)值在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用,

屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：對于4單位向量的模長相等，方向不一定相同，故A錯誤；

對于B,相等向量一定是共線向量，故8正確；

對于C,若石=6，a//b,b//c＜而行與下不一定平行，故C錯誤；

對于。，零向量的模長是0,故。錯誤.

故選：B.

根據(jù)單位向量，共線向量及向量的基本概念逐項分析即得.

本題考查平面向量的相關(guān)概念，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：因為tana=g,

2sina-cosa2tana-11-1八

SPhl---------=--------=-；——=0

7719sina+3cosQtana+3I4.3,

故選：B.

變換迎詈吧=咨式，代入計算得到答案.

sina+3cosatana+3

本題主要考查了同角基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解:sin(2(z+看)=cos[^—(2a+^)]—cos(2ct—今=1-2sin2(ct—^)=1—2x(；)?—

故選：C.

由誘導(dǎo)公式和余弦的二倍角公式求解.

本題主要考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，以及余弦的二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意,設(shè)f(x)=elMsin|H，其定義域為R,

則/(-x)=e|x|sin|x|=e|z|sin|x|=/(x),則函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，排除ZC,

在區(qū)間(兀,2乃)時，sin|x|<0,則/(x)<0,排除D.

故選：B.

根據(jù)題意，先分析函數(shù)的奇偶性，排除4C,再分析區(qū)間6,2兀)上，/(久)的符號，排除D,即可得

答案.

本題考查函數(shù)的圖象，涉及函數(shù)奇偶性和函數(shù)值符號的分析，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：由2sinx+1>0,得sinx>-1,

即2/OT—B(尤<2/OT+?,keZ,

o6

二函數(shù)y=lg(2sinx+1)的定義域為｛X|2/OT-^<x<2kn+?,keZ].

故選：D.

由對數(shù)式的真數(shù)大于0,然后求解三角不等式得答案.

本題考查函數(shù)的定義域及其求法，考查三角不等式的解法，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：函數(shù)/'(X)=2COS2(3X-￡)-g

__cos(23x-')+l1

—cos(2tt>x——)4-

因為％G[0,n],

則一￡42COX-^<2COTT

boo

令丫=COS(2OJ久一Jy=-1,

因為函數(shù)f(x)在[0,兀]上恰有7個零點，

即函數(shù)y=cos(23X—看)與y=—2的圖象有7個交點,

所以孚W23X-‘〈竽，

5o5

所以3的取值范圍是舄,今

故選：A.

先利用二倍角公式化簡函數(shù)f（%）的解析式，由工的范圍求出23%一2的范圍，構(gòu)造函數(shù)7=

C0S（23X-6,y=-l,將問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象有7個交點，由此列式求解即可.

本題考查了函數(shù)的零點與方程的根的綜合應(yīng)用，解決函數(shù)零點或方程根的問題，常用的方法有：（1）

方程法（直接解方程得到函數(shù)的零點）；（2）圖象法（直接畫出函數(shù)的圖象分析得解）；（3）方程+圖象

法（令函數(shù)為零，再重新構(gòu)造兩個函數(shù)，數(shù)形結(jié)合分析得解）.屬于中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：兩個半圓的面積之比為3,則半徑之比為q,

即tan。4c=孕,4BACE（0片），

故sin^DAB=^DAB&（0,^）,

故COSNDAB=V1—sin2Z.DAB=1,cos乙DAN=cos（Z.DAB-=/cos4￡MB+；sinz>￡MB=

2y/~3,

---1----3,

510

所以cos/DNC=cos24DAN=2cos?乙DAN-1=2（手+^）2-1=

故選：A.

根據(jù)面積比得到4B4C=也確定cosZ_DA8=cos^DAN=+國再根據(jù)coszJ）NC=

°5510

cos2z￡MN計算得到答案.

本題主要考查了三角函數(shù)的實際應(yīng)用，屬于中檔題.

9.【答案】BC

【解析】解：4項，4cos215°—2=2(2COS215°-1)=2cos300=A/-3,錯誤；

8項,4sml5°sm75°=4sml5°cosl5°=2sm30°=1,正確；

C項，y/~~2(cosl50-s比15°)=2(ycosl50—?s出15°)=2(cos45°cosl50—sin45°sml5°)=

2cos60°=1,正確；

。項，=tan(45。+15。)=t即60。=C，錯誤.

；1—+t：叱anl5：：=1—tan4譽(yù)5ta"nI1：5；''

故選：BC.

由余弦的二倍角公式化簡選項A；由正弦的二倍角公式化簡選項8；由輔助角公式化簡選項C；

由兩角和的正切公式化簡選項D.

本題考查三角恒等變換，考查兩角和公式和二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BCD

【解析】解：對于選項A,而+而-麗=而+說+初=2而+而*而，故選項A錯誤;

對于選項B,(AD+MB)+(BC+CM}=AD+(BC+CM+MB)=AD^故選項B正確；

對于選項C,(AB+CD)+BC=AB+BC+CD=AD＞故選項C正確；

對于選項。，OC-OA+CD=AC+~CD=AD，故選項O正確.

故選:BCD.

由向量的加法與減法法則逐一驗證即可.

本題主要考查向量的加法與減法，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】ACD

【解析】解：A選項：當(dāng)n=1時，則/(x)=sin(2x+今+2cos2x—cos2x+cos2x+1=2cos2x+1,

可得/卷)=2cos岑+1=1,故f(x)圖象的一個對稱中心為弓,1),故A正確;

8選項：當(dāng)n為奇數(shù)時，則有：

若n=4k+l(/ceZ),則/'(x)=sin(2x+2kn+今+2cos2x=sin(2x+,+2cos2x=cos2x+

cos2x+1=2cos2x+1,

此時函數(shù)/Xx)的最小正周期是兀；

若n=4/c—l(fceZ),則f(x)=sin(2x+2kn—+2cos2x=sin(2x-^)4-2cos2x=—cos2x+

cos2x+1=1,

顯然沒有最小正周期；故B錯誤；

C選項：當(dāng)n為偶數(shù)時，則有：

若n=4k(keZ),則/(#)=sin(2x+2/CTT)+2cos2x=sin2x+cos2x+1=V_2sin(2x+.)+1,

f(x)max=q+1；

若n=4/c+2(k6Z),則/'(x)=sin(2x+2kn+兀)+2cos2x=sin(2x+兀)+2cos2x=-sin2x+

cos2x+1=Ccos(2x+》+1,/'(x)max=「+1，故C正確.

。選項：由選項C可知：當(dāng)n為偶數(shù)時，f(x)=Csin(2x+9+l或/(x)=Ccos(2x+》+l,

-.■xe(^y),所以2刀+江&兀)，故f(x)在質(zhì)曲上單調(diào)遞減，故。正確.

故選：ACD.

對4：根據(jù)對稱中心的性質(zhì)分析運(yùn)算；對B：分n=4k+l(k€Z)和n=4k-l(keZ)兩種情況討

論，整理分析；對C：分n=4k(k€Z)和"=4/￡+2(憶62)兩種情況討論，結(jié)合輔助角公式運(yùn)算

求解；對D：根據(jù)選項C的結(jié)果，結(jié)合單調(diào)性分析運(yùn)算.

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

12.【答案】AB

【解析】解:/(%)=(sinx+

cosx^sinx—|cos%I)=

sin2%—cos2%,2k7i—^<%<2kn+]

(sinx4-cosx)2,2kn4-^<%<2kn+

fcGZ,

jl7T

—cos2x,2kn--<%<2kn+-

27r3,r，(fcGZ),

1+sin2xt2kn+-<x<2kn+—

—cos2x(2kn—^<x<2kn+勺

???f(x)=1+sin2x(2kn+1<x<2kn+^k

???/(X)的圖象如下所示：

由圖可知函數(shù)是周期為27r的周期函數(shù)，函數(shù)在[。]網(wǎng)上單調(diào)遞增，

.??/(X)在區(qū)間[—2兀，一|句上單調(diào)遞增，故A正確，

由圖可知x=1+kn(_keZ)不是函數(shù)的對稱軸，故C錯誤；

3

,?"(x)-『0，

??.y=|與y=/(久)的交點即為所求，如圖知有四個交點，

□，r/3TT、37rc57r57r

且與+x2=2xx3+x4=2x—=

???xr+x2+x3+x4=n,故B正確.

由圖象可知，:/Qi)-/(乂2)=3,二/(X1)=2,/(x2)=-1>

???X1=、+kj.兀，h6Z,x2=k2n,k2GZ,

：■x1-x2=^+krn-k2n,自eZ,k2GZ,故。錯誤.

故選:AB.

將函數(shù)寫成分段函數(shù)，即可畫出函數(shù)圖象，再結(jié)合函數(shù)圖象一一分析即可.

本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.

13.【答案】0

【解析】解:因為/(x)=tanx+sinx+1,令g(x)=/(%)—1=tanx+sinx,

所以g(一%)=tan(—%)+sin(—x)=—(tanx+sinx)——g(x)，

所以g(—b)=—g(b),BP/(-b)-1=-[/(fa)-1],

所以J(-b)=1一[/(b)-1]=2-2=0.

故答案為：0.

利用函數(shù)的奇偶性進(jìn)行求解.

本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】9

【解析】解：令￡=5由2%,則+=2+甘7，

sinxcos"ti-t

=<+占［t+（1-t）］=5+￡+與N9>

當(dāng)且僅當(dāng)工=處組時取等號，

1—tt

故答案為：9.

☆t=siMx,則-V+m=：+A，然后利用乘1法即可求解.

sin'coszxt1-t

本題主要考查利用乘1法求解最值，屬于中檔試題.

15.【答案】?

［解析］解：sin2004-s譏40°+sm60°—sin800

=sin200+sin(60°—20°)+sin600—sin(60°+20°)

=sin20°+三cos200-1sin200+三一三cos200-；sin20°

故答案為：￡3.

由已知結(jié)合兩角差與和的正弦公式進(jìn)行化簡即可求解.

本題主要考查了兩角和與差的正弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】（7,當(dāng)

【解析】解:函數(shù).=｛靄me（2,+8）的圖象如下圖所示:

存在實數(shù)kG［0,1)滿足/(a)=f(b)=/(c)=/(d)=k(a,b,c,d互不相等),

不妨設(shè)QVbvcvd,則由圖可知a,b關(guān)于％=2對稱，所以Q+b=l；

當(dāng)0</c<1時，令|log2(%—2)|=1,解得％=|或％=4,故而|<c<3,3VdV4,

且由圖可得-log2(c-2)=log2(d-2),Alog2(c-2)T=log2(d-2),

1151

，c+d=cd----+2=c—2d----+4,***—<Zc<3,c—2EG，1),

c—zc—izL

設(shè)亡=。—2,則c+d=t+；+4在tW(；,1)上單調(diào)遞減，

113

t=-,c4-d=—,t=1,c+d=6,

所以c+dW(6,竽)，所以Q+b+c+d€(7,9)，

綜上所述a+b+c+dE(7,^).

故答案為：(7,,).

畫出函數(shù)/'(x)的圖象，根據(jù)圖象確定a,b關(guān)于x=g對稱，所以a+b=l,再根據(jù)圖象，找到c,d

的范圍，將c+d的范圍表示出即可.

本題考查方程的根與函數(shù)圖象交點問題，屬于難題.

17.【答案】解：(l)sin等-cos亭+tan(-竽)=sin(^+4TT)-cos(-y+4兀)+tan(-^-3兀)

.n27r47rl.八

=sin7—cos——tan7=-+--1=0；

63422

(2)因為角a終邊上有一點P(—g,?),

<3￡5

所以sina=tana=

sin(a—^)cos(^—a)tan(7r—a)_(^—cosa)sina(-tand)

tan(7r+a)sin(7r4-a)tana(-sina)

【解析】(1)利用誘導(dǎo)公式直接化簡求解即可;

(2)先利用三角函數(shù)的定義求sina,cosa,tana,再利用誘導(dǎo)公式代入求解即可.

本題主要考查了三角函數(shù)定義，誘導(dǎo)公式在三角化簡求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：（l）tma=tan［（a-6）+刃=^^3=金=/（6分）

tan(a—0)+tQ〃a

(2)tan(2a—/?)=tan[(a-/?)+?]=分)

1—tan(a—/?)tana=1(9

c71Tle

v0<a<-,-</?<yr,

rrTT

???0<2a<-,—n<-/?<--

:.-7i<2a—p<0（11分）

2a-0=-手.（13分）

【解析】（1）把所求式子中的角a變?yōu)椋╝-/7）+a,利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡后，將各

自的值代入即可求出值；

（2）先把2。一夕變?yōu)椋ā?0）+西利用兩角和的正切函數(shù)公式即可求出tan（2a-0）的值，然后根

據(jù)a和,的范圍求出2a—夕的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出2a—夕的度數(shù).

此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用兩角和與差的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡求值，是一道基礎(chǔ)

題.學(xué)生做題時注意角度的變換.

19.【答案】解：(l)f(x)=2y[~3sinxcosx—2cos2x+1=\/~3sin2x—cos2x=2sin(2x—?

，函數(shù)/(x)的最小正周期為T=y=7T,

令一2+2kir<2x—g4尚+2kji,kEZf

則一g+kn<%4-kn,kWZ,

o3

.?.單調(diào)遞增區(qū)間為[-，+/ot(+E：],keZ.

(2)vxG[-§,=],

??.2x-旌Hr5],

sin(2x—^)G[—1,1]>

f(x)=2sin(2x—^)G[—2,1],

則函數(shù)f(x)在區(qū)間[-瑞幣的值域為[-2,1].

【解析】（1）利用三角恒等變換化簡，再利用正弦函數(shù)的圖形與性質(zhì)求解即可;

（2）利用正弦函數(shù)的圖形與性質(zhì)求解即可.

本題考查了三角恒等變換的運(yùn)用，正弦函數(shù)的圖形與性質(zhì)，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)令h(x)=4sin(3x+s),

由圖象可知:4=2,最小正周期7=4x(1—$=等

==3,九得)=2sin償+</>)=2,

則等+3=言+2k7r(k6Z),解得：<jp=—?+2kn(kGZ),

OLJ

又⑼<p.*?(P=

???h(x)=2sbi(3%—^),

???/(%)=Kx+$=2s譏［3(%+今一芻=2sin(n+3%--)=-2sin(3x-今；

(2)由(1)得：g(x)=-4sin(2x-1)-a,

當(dāng)xeV，居］時,2x-fe［-^］,

令t=2%則?n(t)=-4sint^tG［一手，咨上與y=a恰有3個交點,

J5o

作出m(t)與y=a的圖象如下圖所示，

由圖象可知：當(dāng)一-2時，m(t)=-4sint與y=。恰有3個交點，

即若g(x)在［―(普］上恰有3個零點，則a的取值范圍為

【解析】⑴令無。)=一金=AS譏(3X+0),結(jié)合圖象可求得/i(x)的解析式，則由/(%)=h(x+

9可求得/(x);

(2)由⑴可得g(x),令t=2%-三,將問題轉(zhuǎn)化為m(t)=-4sint在te［-4，*上與y=a恰有3個

JJO

交點，采用數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.

本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)由題可知，將/(%)的圖象向左平移色個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，

則g(x)=cos［2w(x+5)+。］=cos(2a?x+詈+0),

由g(x)的最小正周期為兀，得舁=兀,3=1

由g(x)為奇函數(shù)可得等+。=升而，^e=l+kn,

因為0V6<7T,

所以6=*

所以/(%)=cos(2x4-^).

(2)由(1)得g(%)=-sin2x,

所以九(%)=2g(%)4-3COS22X4-m-3=-2sin2x+3cos22x+m—3=-3sin22x—2sin2x+m,

根據(jù)九(%)>0恒成立，可得m>3sin22x+2s譏2%對任意實數(shù)％e［一看,|兀］恒成立；

令t=sin2x,r(t)=3t24-2t=3(t+1)2—g,

因為xeV，爭，所以2xe［-9爭，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性可得或ge

即t6［一?，1卜

再根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性可得r(t)G［-|,5］,

因此m>5,

即實數(shù)m的取值范圍為［5,+8).

【解析】(1)根據(jù)函數(shù)圖象平移變換以及最小正周期為兀，可得3=1,利用平移后的函數(shù)g(x)為

奇函數(shù)，即可求解.

(2)將g(x)=—sin2x代入化簡可得/i(x)=—3sin22x-2sin2x+m,再利用換元法根據(jù)xe

|捫由二次函數(shù)單調(diào)性即可求得實數(shù)m的取值范圍.

本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

22.【答案】解:⑴函數(shù)f(x)=a(\sinx\