專題4.7正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（北師大版）

專題4.7正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）【知識(shí)點(diǎn)1】函數(shù)的圖象1.函數(shù)的圖象：把一個(gè)函數(shù)自變量的每一個(gè)值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn),所有這些點(diǎn)組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象,(1)列表：列表給出一些自變量和函數(shù)的對(duì)應(yīng)值(2)描點(diǎn)：以表中各組對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo),在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)(3)連線：按照自變量由小到大的順序,把所描各點(diǎn)用線依次連接起來(lái),特別解讀(1)函數(shù)的圖象是由一些點(diǎn)組成的,在描點(diǎn)的時(shí)候應(yīng)盡可能地多選幾個(gè)點(diǎn),使圖象更準(zhǔn)確；在畫圖象時(shí),應(yīng)考慮自變量的取值范圍.【知識(shí)點(diǎn)2】正比例函數(shù)圖象1.一般地,正比例函數(shù)y=kx(k是常數(shù),k≠0)的圖象是一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)(0,0)的直線,我們稱它為直線y=kx(k≠0)特別解讀:有些正比例函數(shù)的圖象因其自變量取值范圍的限制,并不一定是一條直線,可能是一條射線、一條線段或一些點(diǎn).2.圖象的畫法：因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，所以可用兩點(diǎn)法畫正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象，一般地，過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)(1,k)的直線，即為正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象.特別解讀:正比例函數(shù)y=kx(k≠0)中，k越大，直線與x軸相交所成的銳角越大，直線越陡；|k越小，直線與x軸相交所成的銳角越小，直線越緩?！局R(shí)點(diǎn)3】正比例函數(shù)的性質(zhì)正比例函數(shù)（是常數(shù)，≠0）的圖象是一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線，我們稱它為直線.當(dāng)＞0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第一、三象限，從左向右上升，即隨著的增大也增大；當(dāng)＜0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第二、四象限，從左向右下降，即隨著的增大反而減小.【知識(shí)點(diǎn)4】待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式由于正比例函數(shù)（為常數(shù)，≠0）中只有一個(gè)待定系數(shù)，故只要有一對(duì)，的值或一個(gè)非原點(diǎn)的點(diǎn)，就可以求得值.【考點(diǎn)一】正比例函數(shù)的圖象【例1】（2023春·湖北襄陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知正比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，求：（1）求正比例函數(shù)關(guān)系式；（2）畫出正比例函數(shù)的圖象；（3）當(dāng)自變量x滿足時(shí)，直接寫出對(duì)應(yīng)函數(shù)值y的取值范圍．【答案】（1）；（2）畫圖見(jiàn)分析；（3）【分析】（1）把代入函數(shù)解析式即可；（2）先列表描點(diǎn)，再連線即可；（3）分別求解當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；從而可得答案．（1）解：∵正比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，∴，∴，∴正比例函數(shù)為；（2）列表：00描點(diǎn)連線：（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)自變量x滿足時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值y的取值范圍為．【點(diǎn)撥】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解正比例函數(shù)的解析式，畫正比例函數(shù)的圖象，求解函數(shù)的函數(shù)值的取值范圍，熟練掌握正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023秋·安徽合肥·八年級(jí)合肥一六八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若點(diǎn)，在同一個(gè)正比例函數(shù)圖象上，則的值是（

）A． B．－3 C．3 D．【答案】A【分析】設(shè)正比例函數(shù)解析式為將A，B兩點(diǎn)代入可計(jì)算的值，再將原式化簡(jiǎn)后代入即可求解．解：設(shè)正比例函數(shù)解析式為，將點(diǎn)，代入上式，得，，，，，，故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征，求解的值是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2021春·福建龍巖·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在圖象上有一點(diǎn)A，若A點(diǎn)的坐標(biāo)為，O為原點(diǎn)．則的長(zhǎng)為．【答案】2【分析】根據(jù)坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式求解即可．解：；故答案為：2．【點(diǎn)撥】本題考查了正比例函數(shù)圖象和坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離，熟記公式是關(guān)鍵．【考點(diǎn)二】正比例函數(shù)的性質(zhì)【例2】（2022秋·陜西榆林·八年級(jí)?？计谥校┮阎c成正比例，且時(shí)，．（1）求與之間的關(guān)系式；（2）它的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由與成正比例，設(shè)，把，代入解析式求解即可得到答案；（2）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可得到答案．（1）解：∵與成正比例，∴設(shè)，∵時(shí)，，∴，解得：，∴，即：，與之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）解：∵它的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，解得：．【點(diǎn)撥】本題考查的是成正比例的含義，利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)解析式，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023秋·安徽蚌埠·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）關(guān)于正比例函數(shù)，下列結(jié)論不正確的是（

）A．圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn) B．y隨x的增大而減小C．點(diǎn)在函數(shù)的圖象上 D．圖象經(jīng)過(guò)二、四象限【答案】C【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可求解．解：A、圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；B、因?yàn)?，所以y隨x的增大而減小，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；C、當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)不在函數(shù)的圖象上，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；D、因?yàn)?，所以圖象經(jīng)過(guò)二、四象限，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：C【點(diǎn)撥】本題主要考查了正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·山東棗莊·八年級(jí)?？计谥校┮?guī)定：是一次函數(shù)（a，b為實(shí)數(shù)，且）的“特征數(shù)”．若“特征數(shù)”為的一次函數(shù)是正比例函數(shù)，且y隨x的增大而減小，則點(diǎn)所在的象限是第象限．【答案】二【分析】根據(jù)題意得出，，求出，求出為，即可得出答案．解：∵“特征數(shù)”為的一次函數(shù)是正比例函數(shù)，∴，解得：，∵y隨x的增大而減小，∴，解得：，∴，∴，，∵在第二象限，∴在第二象限．故答案為：二．【點(diǎn)撥】本題主要考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，象限內(nèi)點(diǎn)的特點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)的坐標(biāo)，記住各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)是解決的關(guān)鍵，四個(gè)象限的符號(hào)特點(diǎn)分別是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．【例3】（2023春·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方形邊．（1）直線，交邊于點(diǎn)，求的取值范圍：（2）直線，將長(zhǎng)方形的面積分成兩部分，靠近軸的一部分記作，試寫出關(guān)于的解析式；（3）直線，是否可能將長(zhǎng)方形的面積分成兩部分的面積比為？若能，求出的值；若不能，說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）；（3），或【分析】（1）待定系數(shù)法求得直線的解析式，即可求解；（2）分類討論①當(dāng)直線，與相交，根據(jù)長(zhǎng)方形面積減去即可求解，②當(dāng)直線與相交，直接根據(jù)三角形面積公式求解；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，結(jié)合題意，列出方程，解方程即可求解．（1）解：∵長(zhǎng)方形邊．∴，將代入，得，∴直線的解析式為，∵直線，交邊于點(diǎn)，∴；（2）解：∵直線，將長(zhǎng)方形的面積分成兩部分，靠近軸的一部分記作，令，∴，即，∴，∴，由，令，則，即直線與的交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，∴，綜上所述，；（3）由（2）可得，直線，將長(zhǎng)方形的面積分成兩部分的面積比為，當(dāng)與線段有交點(diǎn)時(shí)，即，解得，當(dāng)與線段有交點(diǎn)時(shí)，即，解得，綜上所述，或．【點(diǎn)撥】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，分類討論是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023·河南新鄉(xiāng)·校聯(lián)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)均在坐標(biāo)軸上，已知點(diǎn)，，，，連接，則所在直線的表達(dá)式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作軸于D，證明得到，進(jìn)而求出，由此利用待定系數(shù)法求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式即可．解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作軸于D，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，設(shè)直線所在直線的表達(dá)式為，∴，即，∴直線所在直線的表達(dá)式為，故選A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，求正比例函數(shù)解析式，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·福建廈門·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中有，兩點(diǎn)，將沿x軸向右平移后得到，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F在直線上，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為．【答案】【分析】先根據(jù)平移