八年級(jí)初二數(shù)學(xué)下學(xué)期平行四邊形單元-易錯(cuò)題難題測(cè)試提優(yōu)卷

八年級(jí)初二數(shù)學(xué)下學(xué)期平行四邊形單元易錯(cuò)題難題測(cè)試提優(yōu)卷一、選擇題1．□ABCD中，∠A=60°，點(diǎn)E、F分別在邊AD、DC上，DE=DF，且∠EBF=60°．若AE=2，F(xiàn)C=3，則EF的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．52．如圖，正方形ABCD中，AB=12，點(diǎn)E在邊CD上，且CD=3DE，將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG、CF，下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=28.8．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．13．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為10，，，連接，則線段的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．4．如圖，四邊形ABCD是正方形，直線L1、L2、L3，若L1與L2的距離為5，L2與L3的距離7，則正方形ABCD的面積等于（）A．70 B．74 C．144 D．1485．如圖所示，在周長(zhǎng)是10cm的中，，、相交于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，是的周長(zhǎng)是()A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm6．如圖，矩形中，，，折疊紙片使點(diǎn)落在邊上的處，折痕為，則的長(zhǎng)為（）A． B．2 C． D．17．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC為邊向外作正方形，其面積分別為、、，若=3，=8，則的值為（）A．22 B．24 C．44 D．488．如圖，將邊長(zhǎng)為8cm的正方形ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，折痕為MN，則折痕MN的長(zhǎng)是（）A．5cm B．5cm C．4cm D．4cm9．如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等邊三角形，下列結(jié)論中：①AB⊥AC；②四邊形AEFD是平行四邊形；③∠DFE＝150°；④S四邊形AEFD＝5．正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)10．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在邊AD上從點(diǎn)A到點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，作PF⊥BD于點(diǎn)F，已知AB=3，AD=4，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，關(guān)于PE+PF的值，下面說(shuō)法正確的是（）A．先增大，后減小 B．先減小，后增大 C．始終等于2.4 D．始終等于3二、填空題11．在平行四邊形ABCD中，BC邊上的高為4，AB=5，，則平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)等于______________．12．如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，連接CG，BG，BD，DG，下列結(jié)論：①BC=DF；②；③；④，則，正確的有__________________．13．如圖，動(dòng)點(diǎn)分別在正方形的邊上，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，若，則線段長(zhǎng)的最小值為_(kāi)________．14．如圖，在等邊和等邊中，在直線上，連接，則的最小值是______．15．如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2AB．F是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB,垂足E在線段AB上，連接EF、CF，則下列結(jié)論：(1)∠DCF+∠D＝90°；(2)∠AEF+∠ECF＝90°；(3)=2；(4)若∠B=80，則∠AEF=50°．其中一定成立的是______(把所有正確結(jié)論的字號(hào)都填在橫線上)．16．如圖，中，,將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到過(guò)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．下列結(jié)論：①平分；②；③；④；⑤是的中點(diǎn)，其中正確的是___________17．如圖，在平行四邊形ABCD，AD＝2AB，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF、CF，則下列結(jié)論：①∠BCD＝2∠DCF；②EF＝CF；③S△CDF＝S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF，－定成立的是_________．(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上)18．在中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC邊上的高．將按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕為EF，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．19．如圖，已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，點(diǎn)M是AC邊上任意一點(diǎn)，連接MB，以MB、MC為鄰邊作平行四邊形MCNB，連接MN，則MN的最小值是______20．定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，則CD＝AB，運(yùn)用：如圖2，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，將△ABD沿AD翻折得到△AED連接BE，CE，DE，則CE的長(zhǎng)為_(kāi)____．三、解答題21．如圖，在四邊形中，∥，，對(duì)角線，交于點(diǎn)，平分，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，，求線段的長(zhǎng)．22．如圖1所示，把一個(gè)含45°角的直角三角板ECF和一個(gè)正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn)C重合，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形的邊CB，CD上，連接AE、AF．(1)求證：AE＝AF；(2)取AF的中點(diǎn)M，EF的中點(diǎn)N，連接MD，MN．則MD，MN的數(shù)量關(guān)系是，MD、MN的位置關(guān)系是(3)將圖2中的直角三角板ECF，繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°，如圖3所示，其他條件不變，則(2)中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．23．在矩形ABCD中，AE⊥BD于點(diǎn)E，點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)，PF⊥BD于點(diǎn)F，PA＝PF．（1）試判斷四邊形AGFP的形狀，并說(shuō)明理由．（2）若AB＝1，BC＝2，求四邊形AGFP的周長(zhǎng)．24．如圖，在矩形中，是的中點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．圖1圖2（1）填空：如圖1，當(dāng)點(diǎn)恰好在邊上時(shí)，四邊形的形狀是________；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在矩形內(nèi)部時(shí)，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)．①求證：．②若，試探索線段與的數(shù)量關(guān)系．25．如圖，在中，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)地點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是秒（）.過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接.（1）試問(wèn)四邊形能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的值；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）當(dāng)為何值時(shí)，？請(qǐng)說(shuō)明理由.26．如圖①，已知正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，CD上的點(diǎn)(點(diǎn)E，F(xiàn)不與端點(diǎn)重合)，且AE=DF，BE，AF交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BE交BE于點(diǎn)H．（1）求證：AF∥CH；（2）若AB=2，AE=2，試求線段PH的長(zhǎng)；（3）如圖②，連結(jié)CP并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)Q，若點(diǎn)H是BP的中點(diǎn)，試求的值．27．已知在平行四邊形中，，將沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)盡處，與相交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，如果，，，求的面積；（3）如果，，當(dāng)是直角三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．28．如圖．正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AD運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0），以AE為一條邊，在正方形ABCD左側(cè)作正方形AEFG，連接BF．（1）當(dāng)t＝1時(shí)，求BF的長(zhǎng)度；（2）在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，求D、F兩點(diǎn)之間距離的最小值；（3）連接AF、DF，當(dāng)△ADF是等腰三角形時(shí)，求t的值．29．如圖1，在中，，,，以O(shè)B為邊，在外作等邊，D是OB的中點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)交OC于E．（1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；（2）連接AC，BE交于點(diǎn)P，求AP的長(zhǎng)及AP邊上的高BH；（3）在（2）的條件下，將四邊形OABC置于如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，其余條件不變，以AP為邊向右上方作正方形APMN：①M(fèi)點(diǎn)的坐標(biāo)為．②直接寫(xiě)出正方形APMN與四邊形OABC重疊部分的面積（圖中陰影部分）．30．如圖1，在正方形ABCD（正方形四邊相等，四個(gè)角均為直角）中，AB＝8，P為線段BC上一點(diǎn)，連接AP，過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥AP，交CD于點(diǎn)Q，將△BQC沿BQ所在的直線對(duì)折得到△BQC′，延長(zhǎng)QC′交AD于點(diǎn)N．（1）求證：BP＝CQ；（2）若BP＝PC，求AN的長(zhǎng)；（3）如圖2，延長(zhǎng)QN交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，若BP＝x（0＜x＜8），△BMC'的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、選擇題1．A解析：A【解析】【分析】由DE=DF，AE=2，F(xiàn)C=3可知AB-BC=1，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB于M，根據(jù)30°角所對(duì)的直角等于斜邊的一半可得AM=1，進(jìn)而得出BM=BC，將△BEM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得△BEN，連接FN，可證△BEF≌△BFN，即可得出EF=FN，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥DC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，利用勾股定理即可求出答案.【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB于M，在Rt△AEM中，∠A=60°，∴∠AEM=30°，∴AM=AE=1，∴ME=，又∵DE=DF，AE=2，F(xiàn)C=3，∴DC-AD=1，即AB-BC=1，∴BM=BC，將△BEM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得△BEN，連接FN，則CN=EM=，BE=BN，∵∠EBF=60°，∠EBN=120°，∴∠NBF=60°，∴∠EBF=∠NBF又∵BE=BN，BF=BF，∴△BEF≌△BFN，∴EF=FN，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥DC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵∠GCN=180°-60°-90°=30°，∴NG=NC=∴CG=∴FG=3+=∴FN=∴EF=故答案為.【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，合理添加輔助線是解題關(guān)鍵.2．B解析：B【分析】由正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出AB=AF，∠AFG=90°，由HL證明Rt△ABG≌Rt△AFG，得出①正確；設(shè)BG=FG=x，則CG=12﹣x．由勾股定理得出方程，解方程求出BG，得出GC，即可得出②正確；由全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出∠AGB=∠GCF，得出AG∥CF，即可得出③正確；通過(guò)計(jì)算三角形的面積得出④錯(cuò)誤；即可得出結(jié)果．【詳解】①正確．理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=12，∠B=∠GCE=∠D=90°，由折疊的性質(zhì)得：AF=AD，∠AFE=∠D=90°，∴∠AFG=90°，AB=AF．在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；②正確．理由如下：由題意得：EF=DE=CD=4，設(shè)BG=FG=x，則CG=12﹣x．在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理，得（12﹣x）2+82=（x+4）2，解得：x=6，∴BG=6，∴GC=12﹣6=6，∴BG=GC；③正確．理由如下：∵CG=BG，BG=GF，∴CG=GF，∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF，∴∠AGB=∠GCF，∴AG∥CF；④錯(cuò)誤．理由如下：∵S△GCE=GC?CE=×6×8=24．∵GF=6，EF=4，△GFC和△FCE等高，∴S△GFC：S△FCE=3：2，∴S△GFC=×24=≠28.8．故④不正確，∴正確的有①②③．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定，三角形的面積計(jì)算等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定的難度．3．B解析：B【分析】延長(zhǎng)DH交AG于點(diǎn)E，利用SSS證出△AGB≌△CHD，然后利用ASA證出△ADE≌△DCH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出EG、HE和∠HEG，最后利用勾股定理即可求出HG．【詳解】解：延長(zhǎng)DH交AG于點(diǎn)E∵四邊形ABCD為正方形∴AD=DC=BA=10，∠ADC=∠BAD=90°在△AGB和△CHD中∴△AGB≌△CHD∴∠BAG=∠DCH∵∠BAG＋∠DAE=90°∴∠DCH＋∠DAE=90°∴CH2＋DH2=82＋62=100=DC2∴△CHD為直角三角形，∠CHD=90°∴∠DCH＋∠CDH=90°∴∠DAE=∠CDH，∵∠CDH＋∠ADE=90°∴∠ADE=∠DCH在△ADE和△DCH中∴△ADE≌△DCH∴AE=DH=6，DE=CH=8，∠AED=∠DHC=90°∴EG=AG－AE=2，HE=DE－DH=2，∠GEH=180°－∠AED=90°在Rt△GEH中，GH=故選B．【點(diǎn)睛】此題考查是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)和勾股定理，掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)和利用勾股定理解直角三角形是解決此題的關(guān)鍵．4．B解析：B【分析】先作出與，與的距離AE、CF，證明△ABE≌△BCF，得到BF=AE，再利用勾股定理即可得到答案.【詳解】過(guò)點(diǎn)A作AE⊥,過(guò)點(diǎn)C作CF⊥,∴∠AEB=∠CFB=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC,∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF,在△ABE和△BCF中，,∴△ABE≌△BCF，∴BF=AE=5，在Rt△BCF中，CF=7，BF=5，∴,∴正方形ABCD的面積=,故選：B.【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)定理，平行線之間的距離處處相等，題中證明兩個(gè)三角形全等是解題的關(guān)鍵，由此將兩個(gè)距離5和7變化到一個(gè)直角三角形中，由此利用勾股定理解決問(wèn)題.5．D解析：D【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出AB+AD=5cm,根據(jù)線段的垂直平分線求出BE=DE,求出的周長(zhǎng)等于AB+AD，代入求出即可．【詳解】∵∴∵在中，OB=OD，∴EB=ED∴∴故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是平行四邊形對(duì)邊相等的這條性質(zhì)，結(jié)合線段的垂直平分線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．6．A解析：A【分析】先利用勾股定理求出AC=5，再令，則，利用勾股定理求出答案.【詳解】∵四邊形為矩形，∴，∵，在中，由勾股定理得：，得：，令，則，由折疊性質(zhì)可知：，，故，在中，由勾股定理得：，∴，∴.故.故選：A.【點(diǎn)睛】此題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，涉及直角三角形的邊長(zhǎng)的計(jì)算題時(shí)可多次進(jìn)行勾股定理的計(jì)算.7．C解析：C【分析】根據(jù)已知條件得到AB＝，CD＝，過(guò)A作AE∥CD交BC于E，則∠AEB＝∠DCB，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CE＝AD，AE＝CD＝2，由已知條件得到∠BAE＝90°，根據(jù)勾股定理得到BE＝，于是得到結(jié)論．【詳解】∵S1＝3，S3＝8∴AB＝，CD＝過(guò)A作AE∥CD交BC于E則∠AEB＝∠DCB∵AD∥BC∴四邊形AECD是平行四邊形∴CE＝AD，AE＝CD＝∵∠ABC+∠DCB＝90°∴∠AEB+∠ABC＝90°∴∠BAE＝90°∴BE＝∵BC＝2AD∴BC＝2BE＝∴S2＝故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，能正確作輔助線構(gòu)造直角三角形是解決此題的關(guān)鍵．8．D解析：D【分析】連接DE，因?yàn)辄c(diǎn)D是中點(diǎn)，所以CE等于4，根據(jù)勾股定理可以求出DE的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥CD于點(diǎn)G，則由題意可知MG＝BC＝CD，證明△MNG≌△DEC，可以得到DE=MN，即可解決本題．【詳解】解：如圖，連接DE．由題意，在Rt△DCE中，CE＝4cm，CD＝8cm，由勾股定理得：DE＝＝＝cm．過(guò)點(diǎn)M作MG⊥CD于點(diǎn)G，則由題意可知MG＝BC＝CD．連接DE，交MG于點(diǎn)I．由折疊可知，DE⊥MN，∴∠NMG+MIE＝90°，∵∠DIG+∠EDC＝90°，∠MIE＝∠DIG（對(duì)頂角相等），∴∠NMG＝∠EDC．在△MNG與△DEC中，∴△MNG≌△DEC（ASA）．∴MN＝DE＝cm．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、折疊以及全等三角形，能夠合理的作出輔助線并找出全等的條件是解決本題的關(guān)鍵．9．C解析：C【分析】由，得出∠BAC=90°，則①正確；由等邊三角形的性質(zhì)得∠DAB=∠EAC=60°，則∠DAE=150°，由SAS證得△ABC≌△DBF，得AC=DF=AE=4，同理△ABC≌△EFC（SAS），得AB=EF=AD=3，得出四邊形AEFD是平行四邊形，則②正確；由平行四邊形的性質(zhì)得∠DFE=∠DAE=150°，則③正確；∠FDA=180°－∠DFE=30°，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，則④不正確；即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵，∴，∴∠BAC=90°，∴AB⊥AC，故①正確；∵△ABD，△ACE都是等邊三角形，∴∠DAB=∠EAC=60°，又∴∠BAC=90°，∴∠DAE=150°，∵△ABD和△FBC都是等邊三角形，∴BD=BA，BF=BC，∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，∴∠DBF=∠ABC，在△ABC與△DBF中，，∴△ABC≌△DBF（SAS），∴AC=DF=AE=4，同理可證：△ABC≌△EFC（SAS），∴AB=EF=AD=3，∴四邊形AEFD是平行四邊形，故②正確；∴∠DFE=∠DAE=150°，故③正確；∴∠FDA=180°-∠DFE=180°－150°=30°，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，故④不正確；∴正確的個(gè)數(shù)是3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平角、周角、平行是四邊形面積的計(jì)算等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．C解析：C【分析】在矩形ABCD中，由矩形邊長(zhǎng)，可得矩形面積是12，進(jìn)而得，由矩形對(duì)角線相等且互相平分得，，，利用勾股定理可解得,則，，即可求出PE+PF的值．【詳解】解：連接PO，如下圖：∵在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，∴,，，，，∴,，，∴；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，利用等積法間接求三角形的高線長(zhǎng)及用勾股定理求直角三角形的斜邊；利用面積法求解，是本題的解題突破點(diǎn)．二、填空題11．12或20【分析】根據(jù)題意分別畫(huà)出圖形，BC邊上的高在平行四邊形的內(nèi)部和外部，進(jìn)而利用勾股定理求出即可．【詳解】解：情況一：當(dāng)BC邊上的高在平行四邊形的內(nèi)部時(shí)，如圖1所示：在平行四邊形ABCD中，BC邊上的高為4，AB=5，AC=，在Rt△ACE中，由勾股定理可知：，在Rt△ABE中，由勾股定理可知：,∴BC=BE+CE=3+2=5,此時(shí)平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)等于2×(AB+BC)=2×(5+5)=20；情況二：當(dāng)BC邊上的高在平行四邊形的外部時(shí)，如圖2所示：在平行四邊形ABCD中，BC邊上的高為AE=4，AB=5，AC=在Rt△ACE中，由勾股定理可知：，在Rt△ABE中，由勾股定理可知：,∴BC=BE-CE=3-2=1,∴平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為2×(AB+BC)=2×(5+1)=12,綜上所述，平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)等于12或20．故答案為：12或20．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，分高在平行四邊形內(nèi)部還是外部討論是解題關(guān)鍵．12．①③④【分析】由矩形的性質(zhì)可得AB=CD，AD=BC，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD，由角平分線的性質(zhì)和余角的性質(zhì)可得∠F=∠FAD=45°，可得AD=DF=BC，可判斷①；通過(guò)證明△DCG≌△BEG，可得∠BGE=∠DGC，BG=DG，即可判斷②③；過(guò)點(diǎn)G作GH⊥CD于H，設(shè)AD=4x=DF，AB=3x，由勾股定理可求BD=5x，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得HG=CH=FH=x，DG=GB=x，由三角形面積公式可求解，可判斷④．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴∠F=∠FAD，∴AD=DF，∴BC=DF，故①正確；∵∠EAB=∠BEA=45°，∴AB=BE=CD，∵∠CEF=∠AEB=45°，∠ECF=90°，∴△CEF是等腰直角三角形，∵點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，∴CG=EG，∠FCG=45°，CG⊥AG，∴∠BEG=∠DCG=135°，在△DCG和△BEG中，，∴△DCG≌△BEG（SAS）．∴∠BGE=∠DGC，BG=DG，∵∠BGE＜∠AEB，∴∠DGC=∠BGE＜45°，∵∠CGF=90°，∴∠DGF＜135°，故②錯(cuò)誤；∵∠BGE=∠DGC，∴∠BGE+∠DGA=∠DGC+∠DGA，∴∠CGA=∠DGB=90°，∴BG⊥DG，故③正確；過(guò)點(diǎn)G作GH⊥CD于H，∵，∴設(shè)AD=4x=DF，AB=3x，∴CF=CE=x，BD=，∵△CFG，△GBD是等腰直角三角形，∴HG=CH=FH=x，DG=GB=x，∴S△DGF=×DF×HG=x2，S△BDG=DG×GB=x2，∴，故④正確；故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形全等和等腰直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．13．【分析】連結(jié)AC，取OC中點(diǎn)M，連結(jié)

MB，MG，則MB，MG為定長(zhǎng)，利用兩點(diǎn)之間線段最短解決問(wèn)題即可．【詳解】連接AC，交EF于O，∵AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，∵AE＝CF，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OA＝OC，∴O是正方形的中心，∵AB＝BC＝4，∴AC＝4，OC＝2，取OC中點(diǎn)M，連結(jié)

MB，MG，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥BC于H，∵M(jìn)C＝OC＝，∴MH＝CH＝1，∴BH＝4?1＝3，由勾股定理可得MB＝＝，在Rt△GOC中，M是OC的中點(diǎn)，則MG＝OC＝，∵BG≥BM?MG＝?，當(dāng)B，M，G三點(diǎn)共線時(shí)，BG最?。?，故答案為：?．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出當(dāng)E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)到AD，BC的中點(diǎn)時(shí)，MG最小是解決本題的關(guān)鍵．14．【分析】如圖，延長(zhǎng)CB到T，使得BT=DE，連接DT，作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)W，連接TW，DW，過(guò)點(diǎn)W作WK⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于K．證明BE=DT，BD=DW，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求DT+DW的最小值．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)CB到T，使得BT=DE，連接DT，作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)W，連接TW，DW，過(guò)點(diǎn)W作WK⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于K．∵△ABC，△DEF都是等邊三角形，BC=3DE=3，∴BC=AB=3，DE=1，∠ACB=∠EDF=60°，∴DE∥TC，∵DE=BT=1，∴四邊形DEBT是平行四邊形，∴BE=DT，∴BD+BE=BD+AD，∵B，W關(guān)于直線AC對(duì)稱，∴CB=CW=3，∠ACW=∠ACB=60°，DB=DW，∴∠WCK=60°，∵WK⊥CK，∴∠K=90°，∠CWK=30°，∴CK=CW=，WK=CK=，∴TK=1+3+=，∴TW==，∴DB+BE=DB+DT=DW+DT≥TW，∴BD+BE≥，∴BD+BE的最小值為，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱-最短問(wèn)題，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．15．(1)(2)(4)【分析】由平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出(1)正確；由ASA證明△AEF≌△DMF，得出EF=MF，∠AEF=∠M，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CF=EM=EF，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠FEC=∠ECF，得出(2)正確；證出S△EFC=S△CFM，由MC＞BE，得出S△BEC＜2S△EFC，得出(3)錯(cuò)誤；由平行線的性質(zhì)和互余兩角的關(guān)系得出(4)正確；即可得出結(jié)論．【詳解】(1)∵F是AD的中點(diǎn)，∴AF=FD，∵在?ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD=AB，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∠BCD+∠D=180°，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，∴∠DCF+∠D=90°，故(1)正確；(2)延長(zhǎng)EF，交CD延長(zhǎng)線于M，如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F為AD中點(diǎn)，∴AF=FD，在△AEF和△DMF中，，∴△AEF≌△DMF(ASA)，∴EF=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴CF=EM=EF，∴∠FEC=∠ECF，∴∠AEF+∠ECF=∠AEF+∠FEC=∠AEC=90°，故(2)正確；(3)∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵M(jìn)C＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC，故(3)錯(cuò)誤；(4)∵∠B=80°，∴∠BCE=90°-80°=10°，∵AB∥CD，∴∠BCD=180°-80°=100°，∴∠BCF=∠BCD=50°，∴∠FEC=∠ECF=50°-10°=40°，∴∠AEF=90°-40°=50°，故(4)正確．故答案為：(1)(2)(4)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明△AEF≌△DMF是解題關(guān)鍵．16．①②④⑤【分析】根據(jù)∠B=90°，AB=BE，△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到△AHD，可得△ABE?△AHD，并且△ABE和△AHD都是等腰直角三角形，可證AD//BC，根據(jù)DC⊥BC，可得∠HDE=∠CDE，根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得∠HDE=∠CDE，即DE平分∠HDC，所以①正確；利用∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，得到四邊形ABCD是矩形，有∠ADC=90°，∠HDC=45°，由①有DE平分∠HDC，得∠HDO=22.5°，可得∠AHB=67.5°，∠DHO=22.5°，可證OD=OH，利用AE=AD易證∠OHE=∠HEO=67.5°，則有OE=OH，OD=OE，所以②正確；利用AAS證明ΔDHE?ΔDCE，則有DH=DC，∠HDE=∠CDE=22.5°，易的∠DHF=22.5°，∠DFH=112.5°，則△DHF不是直角三角形，并DH≠HF，即有：CD≠HF，所以③錯(cuò)誤；根據(jù)△ABE是等腰直角三角形，JH⊥JE，∵J是BC的中點(diǎn)，H是BF的中點(diǎn)，得到2JH=CF，2JC=BC，JC=JE+CE，易證BC?CF=2CE，所以④正確；過(guò)H作HJ⊥BC于J，并延長(zhǎng)HJ交AD于點(diǎn)I，得IJ⊥AD，I是AD的中點(diǎn)，J是BC的中點(diǎn)，H是BF的中點(diǎn)，所以⑤正確；【詳解】∵Rt△ABE中，∠B=90°，AB=BE，∴∠BAE=∠BEA=45°，又∵將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到△AHD，∴△ABE?△AHD，并且△ABE和△AHD都是等腰直角三角形，∴∠EAD=45°，AE=AD，∠AHD=90°，∴∠ADE=∠AED，∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=45°+45°=90°，∴AD//BC，∴∠ADE=∠DEC，∴∠AED=∠DEC，又∵DC⊥BC，∴∠DCE=∠DHE=90°∴由三角形的內(nèi)角和可得∠HDE=∠CDE，即：DE平分∠HDC，所以①正確；∵∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∴∠HDC=45°，由①有DE平分∠HDC，∴∠HDO=∠HDC=×45°=22.5°，∵∠BAE=45°，AB=AH，∴∠OHE=∠AHB=(180°?∠BAE)=×(180°?45°)=67.5°，∴∠DHO=∠DHE?∠FHE=∠DHE?∠AHB=90°?67.5°=22.5°，∴OD=OH，在△AED中，AE=AD，∴∠AED=(180°?∠EAD)=×(180°?45°)=67.5°，∴∠OHE=∠HEO=67.5°，∴OE=OH，∴OD=OE，所以②正確；在△DHE和△DCE中，，∴ΔDHE?ΔDCE(AAS)，∴DH=DC，∠HDE=∠CDE=×45°=22.5°，∵OD=OH，∴∠DHF=22.5°，∴∠DFH=180°?∠HDF?∠DHF=180°?45°?22.5°=112.5°，∴△DHF不是直角三角形，并DH≠HF，即有：CD≠HF，所以③不正確；如圖，過(guò)H作HJ⊥BC于J，并延長(zhǎng)HJ交AD于點(diǎn)I，∵△ABE是等腰直角三角形，JH⊥JE，∴JH=JE，又∵J是BC的中點(diǎn)，H是BF的中點(diǎn)，∴2JH=CF，2JC=BC，JC=JE+CE，∴2JC=2JE+2CE=2JH+2CE=CF+2CE=BC，即有：BC?CF=2CE，所以④正確；∵AD//BC，∴IJ⊥AD，又∵△AHD是等腰直角三角形，∴I是AD的中點(diǎn)，∵四邊形ABCD是矩形，HJ⊥BC，∴J是BC的中點(diǎn)，∴H是BF的中點(diǎn)，所以⑤正確；綜上所述，正確的有①②④⑤，故答案為：①②④⑤．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等和等腰直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．17．①②④【分析】①根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可判斷；②延長(zhǎng)EF，交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明，得出，進(jìn)而得出，從而利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可判斷；③由，得出，從而可判斷正誤；④設(shè)，利用三角形內(nèi)角和定理分別表示出∠DFE和∠AEF，從而判斷正誤．【詳解】①∵點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，∴．∵在平行四邊形ABCD中，AD＝2AB，，，，∴∠BCD＝2∠DCF，故①正確；②延長(zhǎng)EF，交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，∵四邊形ABCD是平行四邊形，，，∵點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，∴．在和中，．，，，，故②正確；③∵，∴．，故③錯(cuò)誤；④設(shè)，則，，，．，，故④正確；綜上所述，正確的有①②④，故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握這些性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．18．【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，再根據(jù)垂直的定義、直角三角形的性質(zhì)可得，又根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，同理可得出，然后根據(jù)三角形中位線定理可得，最后根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式即可得．【詳解】由折疊的性質(zhì)得：AD是BC邊上的高，即，同理可得：又點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)是的中位線則的周長(zhǎng)為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，利用折疊的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．19．【分析】設(shè)MN與BC交于點(diǎn)O，連接AO，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AC于H點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可求AO和OH長(zhǎng)，若MN最小，則MO最小即可，而O點(diǎn)到AC的最短距離為OH長(zhǎng)，所以MN最小值是2OH．【詳解】解：設(shè)MN與BC交于點(diǎn)O，連接AO，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AC于H點(diǎn)，∵四邊形MCNB是平行四邊形，∴O為BC中點(diǎn)，MN＝2MO．∵AB＝AC＝13，BC＝10，∴AO⊥BC．在Rt△AOC中，利用勾股定理可得AO＝＝12．利用面積法：AO×CO＝AC×OH，即12×5＝13×OH，解得OH＝．當(dāng)MO最小時(shí)，則MN就最小，O點(diǎn)到AC的最短距離為OH長(zhǎng)，所以當(dāng)M點(diǎn)與H點(diǎn)重合時(shí)，MO最小值為OH長(zhǎng)是．所以此時(shí)MN最小值為2OH＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、垂線段最短、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分析出點(diǎn)到某線段的垂線段最短，由此進(jìn)行轉(zhuǎn)化線段，動(dòng)中找靜．20．【分析】根據(jù)?BC?AH＝?AB?AC，可得AH＝，根據(jù)AD?BO＝BD?AH，得OB＝，再根據(jù)BE＝2OB＝，運(yùn)用勾股定理可得EC．【詳解】設(shè)BE交AD于O，作AH⊥BC于H．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，由勾股定理得：BC＝，∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴AD＝DC＝DB＝，∵?BC?AH＝?AB?AC，∴AH＝，∵AE＝AB，DE＝DB，∴點(diǎn)A在BE的垂直平分線上，點(diǎn)D在BE的垂直平分線上，∴AD垂直平分線段BE，∵AD?BO＝BD?AH，∴OB＝，∴BE＝2OB＝，∵DE＝DB=CD，∴∠DBE=∠DEB，∠DEC=∠DCE，∴∠DEB+∠DEC=×180°=90°，即：∠BEC=90°，∴在Rt△BCE中，EC＝＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，勾股定理以及翻折的性質(zhì)，掌握“直角三角形斜邊長(zhǎng)的中線等于斜邊的一半”以及面積法求三角形的高，是解題的關(guān)鍵．三、解答題21．（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）根據(jù)題意先證明四邊形ABCD是平行四邊形，再由AB=AD可得平行四邊形ABCD是菱形；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出OA的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理得出OE=AC，在應(yīng)用勾股定理即可解答．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵為的平分線，∴，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴是菱形；（2）∵四邊形是菱形∴∵∴∴在中，故答案為（2）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，勾股定理，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．(1)見(jiàn)解析；(2)相等，垂直；(3)成立，理由見(jiàn)解析【分析】(1)由等腰直角△ECF得到CE=CF，再由正方形ABCD進(jìn)一步得到BE=DF，最后證明△ABE≌△ADF即可求解；(2)MN是△AEF的中位線，得到AE=2MN，又M是直角三角形ADF斜邊上的中點(diǎn)，得到AF=2MD，再由(1)中的AE=AF即可得到MN=MD；由∠DMF＝∠DAF+∠ADM，∠FMN＝∠FAE，∠DAF＝∠BAE，∠ADM＝∠DAF＝∠BAE，由此得到∠DMN＝∠BAD＝90°；(3)連接AE，同(1)中方法證明△ABE≌△ADF，進(jìn)而得到AE=AF，此時(shí)MN是△AEF中位線，MD是直角△ADF斜邊上的中線，證明方法等同(2)中即可求解．【詳解】解：(1)證明：如圖1中，∵四邊形ABCD是正方形∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠ADF＝90°，∵△CEF是等腰直角三角形，∠C＝90°，∴CE＝CF，∴BC﹣CE＝CD﹣CF，即BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF．(2)如圖2中，MD，MN的數(shù)量關(guān)系是相等，MD、MN的位置關(guān)系是垂直，理由如下：∵在Rt△ADF中DM是斜邊AF的中線，∴AF＝2DM，∵M(jìn)N是△AEF的中位線，∴AE＝2MN，由(1)知：AE＝AF，∴DM＝MN；∵∠DMF＝∠DAF+∠ADM，AM＝MD，∵∠FMN＝∠FAE，∠DAF＝∠BAE，∴∠ADM＝∠DAF＝∠BAE，∴∠DMN＝∠BAD＝90°，∴DM⊥MN，故答案為：相等，垂直；(3)如圖3中，(2)中的兩個(gè)結(jié)論還成立，理由如下：連接AE，交MD于點(diǎn)G，如下圖所示，∵點(diǎn)M為AF的中點(diǎn)，點(diǎn)N為EF的中點(diǎn)，∴MN∥AE，MN＝AE，由(1)同理可證，AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠ADF，CE＝CF，又∵BC+CE＝CD+CF，即BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF，在Rt△ADF中，∵點(diǎn)M為AF的中點(diǎn)，∴DM＝AF，∴DM＝MN，∵△ABE≌△ADF，∴∠1＝∠2，∵AB∥DF，∴∠1＝∠3，同理可證：∠2＝∠4，∴∠3＝∠4，∵DM＝AM，∴∠MAD＝∠5，∴∠DGE＝∠5+∠4＝∠MAD+∠3＝90°，∵M(jìn)N∥AE，∴∠DMN＝∠DGE＝90°，∴DM⊥MN．故答案為：仍成立．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形的中位線、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形全等幾何知識(shí)，熟練掌握各圖形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．23．（1）四邊形AGFP是菱形，理由見(jiàn)解析；（2）四邊形AGFP的周長(zhǎng)為：【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和菱形的判定解答即可；（2）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，以及利用勾股定理解答即可．【詳解】解：（1）四邊形AGFP是菱形，理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAP＝90°，∵PF⊥BD，PA＝PF，∴∠PBA＝∠PBF，∵AE⊥BD，∴∠PBF+∠BGE＝90°，∵∠BAP＝90°，∴∠PBA+∠APB＝90°，∴∠APB＝∠BGE，∵∠AGP＝∠BGE，∴∠APB＝∠AGP，∴AP＝AG，∵PA＝PF，∴AG＝PF，∵AE⊥BD，PF⊥BD，∴AE∥PF，∴四邊形AGFP是平行四邊形，∵PA＝PF，∴平行四邊形AGFP是菱形；（2）在Rt△ABP和Rt△FBP中，∵PB＝PB，PA＝PF，∴Rt△ABP≌Rt△FBP（HL），∴AB＝FB＝1，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，∴BD＝，設(shè)PA＝x，則PF＝x，PD＝2﹣x，PF＝﹣1，在Rt△DPF中，DF2+PF2＝PD2，∴解得：x＝，∴四邊形AGFP的周長(zhǎng)為：4x＝4×．【點(diǎn)睛】此題考查矩形的性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)和勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)定理進(jìn)行解題．24．（1）四邊形ABGE的形狀是正方形；（2）①詳見(jiàn)解析；②DF=3CF【分析】（1）由四邊形ABCD是矩形，可得，由折疊得：，根據(jù)三個(gè)內(nèi)角是直角可判斷四邊形ABGE為矩形，由折疊得：AB=BG，根據(jù)一組鄰邊相等的矩形是正方形可判斷矩形ABGE為正方形；（2）①如圖，連結(jié)EF，在矩形ABCD中，AB=DC，AD=BC，∠A=∠C=∠D=90°，由△ABE沿BE折疊后得到△GBE，可得BG=AB，EG=AE=ED，∠A=∠BGE=90°，故∠EGF=∠D=90°，由HL可判斷Rt△EGF≌Rt△EDF，得到DF=FG，問(wèn)題得證；②設(shè)AB=DC=a，則AD=BC=a，另設(shè)CF=x，則DF=DC-CF=a-x，由①得BF=AB+DF=2a-x，在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF2=BC2+CF2，代入數(shù)據(jù)運(yùn)算可得：x=，即CF=，DF=a-x=，進(jìn)而可得DF與CF關(guān)系．【詳解】（1）四邊形ABGE的形狀是正方形．理由是：∵四邊形ABCD是矩形，∴，由折疊得：，∴四邊形ABGE為矩形，由折疊得：AB=BG，∴矩形ABGE為正方形；故答案為：正方形．（2）①如圖，連結(jié)EF，在矩形ABCD中，AB=DC，AD=BC，∠A=∠C=∠D=90°，∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE=DE，∵△ABE沿BE折疊后得到△GBE，∴BG=AB，EG=AE=ED，∠A=∠BGE=90°，∴∠EGF=∠D=90°，Rt△EGF和Rt△EDF中，，∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），∴DF=FG，∴BF=BG+GF=AB+DF；②不妨假設(shè)AB=DC=a，則AD=BC=a，另設(shè)CF=x，則DF=DC-CF=a-x，由①得BF=AB+DF=a+a-x=2a-x，在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF2=BC2+CF2，即(2a-x)2=(a)2+x2，整理得：x=，∴CF=，DF=a-x=，∴DF=3CF．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，正方形的判定，三角形全等的判定，勾股定理等內(nèi)容，根據(jù)圖形作出輔助線找出線段的等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．25．（1）四邊形能夠成為菱形，理由見(jiàn)解析；（2），理由見(jiàn)解析.【分析】（1）能；首先證明四邊形AEFD為平行四邊形，當(dāng)AE＝AD時(shí)，四邊形AEFD為菱形，即40﹣4t＝2t，解方程即可解決問(wèn)題；（2）當(dāng)∠FDE＝90°時(shí)，AEFD為矩形，再根據(jù)線段的長(zhǎng)度關(guān)系列方程求得.【詳解】解：（1）四邊形能夠成為菱形，理由如下：在中，，，∴，又∵，∴，∵，∴，又∵，∴四邊形為平行四邊形，如圖1，當(dāng)時(shí)，四邊形為菱形，即，解得.∴當(dāng)秒時(shí)，四邊形為菱形.（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，四邊形為矩形，在中，，則，∴，即，解得.【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定、直角三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是方程思想，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問(wèn)題.26．（1）見(jiàn)解析；（2）PH=3-；（3）=4．【分析】（1）先證△ABE≌△DAF，然后通過(guò)角度轉(zhuǎn)化，可得AF⊥BE，從而證平行；（2）先在Rt△ABE中利用勾股定理求得BE的長(zhǎng)，在利用△ABE的面積，求得AP的長(zhǎng)，最后利用PH=BP－BH求得PH的長(zhǎng)；（3）設(shè)QP=a，CP=b，可推導(dǎo)出在Rt△APE中，QE=QA=QP，然后分別用a、b表示CP和PQ代入可求得．【詳解】（1）證明：在正方形ABCD中，AB=DA，∠EAB=∠D=90°又∵AE=DF∴△ABE≌△DAF(SAS)∴∠ABE=∠DAF又∵∠DAF+∠FAB=∠EAB=90°∴∠ABE+∠FAB=90°∴∠APB=90°∴AF⊥BE又∵CH⊥BE∴AF∥CH（2）解：在正方形ABCD中，∠EAB=90°，AB=2，AE=2∴BE==4從而由S△ABE=AB·AE=BE·AP得：AP=∴在Rt△ABP中，BP==3又容易得：△ABP≌△BCH∴BH=AP=∴PH=BP-BH=BP-AP=3-（3）解：在正方形ABCD中，AB=BC，AD∥BC∵CH⊥BP，PH=BH∴CP=BC∴∠CBP-=∠CPB而∠CPB=∠QPE∠CBP=∠QEP∴∠QPE=∠QEP∴在Rt△APE中∠QAP=∠QPA∴QE=QP=QA在四邊形QABC中，設(shè)QP=aCP=b則AB=BC=b，AQ=a，QC=a+b∴b2+(b-a)2=(a+b)2∴b2=4ab即b=4a即=4．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等的證明、勾股定理的應(yīng)用和直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，第（3）問(wèn)的解題關(guān)鍵是推導(dǎo)得出QE=QA=QP．27．（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）4或6【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得，，由平行四邊形的性質(zhì)得，．則，，得，證出，則，由等腰三角形的性質(zhì)得，證出，即可得出結(jié)論；（2）證四邊形是矩形，則，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得出方程，求出，由三角形面積公式即可得出答案；（3）分兩種情況：或，需要畫(huà)出圖形分類討論，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)，即可得到的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）證明：由折疊的性質(zhì)得：△，，，四邊形是平行四邊形，，．，，，，，，，，；（2）平行四邊形中，，四邊形是矩形，，，，由（1）得：，設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，解得：，，的面積；（3）分兩種情況：①如圖3，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于，，，，，，，，，，，是的中點(diǎn)，在中，，；②如圖4，當(dāng)時(shí)，，，由折疊的性質(zhì)得：，，在和中，，，，，，，，，，，又，，，在同一直線上，，中，，，，；綜上所述，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為4或6．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了翻折變換的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．28．（1）（2）（3）2或或4【分析】（1）由勾股定理可求出答案；（2）延長(zhǎng)