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文檔簡介
數(shù)學模型四角平分線構圖模型模型1:構造有公共斜邊的直角三角形【數(shù)學建?!拷瞧椒志€+一邊的垂線eq\o(→,\s\up7(聯(lián)系))有公共斜邊的直角三角形.【模型應用】1.如圖,△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內角∠ABC平分線BP交于點P,若∠BPC=40°,則∠CAP的度數(shù)為__50°__.2.如圖,AD∥BC,∠ABC的平分線BP與∠BAD的平分線AP相交于點P,作PE⊥AB于點E.若PE=2,則兩平行線AD與BC間的距離為__4__.3.如圖,在△ABC中,AB=2.5cm,AC=6cm,BC=6.5cm,∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P,過點P作PD⊥BC,垂足為點D,則線段PD的長為__1__cm.模型2:構造有頂角平分線的等腰三角形【數(shù)學建?!拷瞧椒志€+角平分線的垂線eq\o(→,\s\up7(聯(lián)系))等腰三角形.【模型應用】1.如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC,BD⊥AD,若BD=2,則AE=__4__.2.如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,S△ABC=10,AD平分∠BAC,交BC于點D,BE⊥AD交AD延長線于點E,連結CE,求△ACE的面積.【解析】延長BE和AC交于點F,易得△ABF是等腰直角三角形.∵AE⊥BF,∴BE=EF.∴S△ACE=S△AEF-S△CEF=eq\f(1,2)S△ABF-eq\f(1,2)S△BCF=eq\f(1,2)(S△ABF-S△BCF)=eq\f(1,2)S△ABC=5.模型3:構造以角平分線為對稱軸的圖形【數(shù)學建?!拷瞧椒志€作對稱eq\o(→,\s\up7(聯(lián)系))以角平分線為對稱軸的軸對稱圖形.【模型應用】1.如圖,在四邊形ABCD中,AB=2,BC=12,CD=18,E為BC邊中點,若AE平分∠BAD,DE平分∠ADC,∠AED=120°,求AD的長.【解析】如圖,在線段AD上截取AF=AB,DG=DC,連結EF,EG.∵E是BC的中點,∴BE=CE=eq\f(1,2)BC,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠FAE,∵AB=AF,EA=EA,∴△ABE≌△AFE(SAS),同法可證,△DEG≌△DEC(SAS),∴BE=FE,∠AEB=∠AEF,CE=EG,∠CED=∠GED,∵BE=CE,∴EF=EG,∵∠AED=120°,∠AEB+∠CED=180°-120°=60°,∴∠AEF+∠GED=60°,∴∠FEG=60°,∴△FEG是等邊三角形.∴FG=GE=EF=eq\f(1,2)BC,∵AD=AF+FG+GD,∴AD=AB+CD+eq\f(1,2)BC=2+18+6=26.2.在△ABC中,∠ACB=2∠B,如圖①,當∠C=90°,AD為∠BAC的平分線時,在AB上截取AE=AC,連結DE,易證AB=AC+CD.(1)如圖②,當∠C≠90°,AD為∠BAC的平分線時,線段AB,AC,CD又有怎樣的數(shù)量關系?不需要證明,請直接寫出你的猜想:(2)如圖③,當AD為△ABC的外角平分線時,線段AB,AC,CD又有怎樣的數(shù)量關系?請寫出你的猜想,并對你的猜想給予證明.【解析】(1)猜想:AB=AC+CD.如圖,在AB上截取AE=AC,連結DE,∵AD為△ABC的角平分線,∴∠BAD=∠CAD,∵AD=AD,∴△ADE≌△ADC(SAS),∴∠AED=∠ACB,ED=CD,∵∠ACB=2∠B,∴∠AED=2∠B,又∵∠AED=∠B+∠EDB,∴∠B=∠EDB,∴EB=ED,∴EB=CD,∵AB=AE+EB,∴AB=AC+CD.(2)猜想:AB+AC=CD.在BA的延長線上截取AE=AC,連結ED.∵AD平分∠FAC,∴∠EAD=∠CAD.在△EAD與△CAD中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE=AC,,∠EAD=∠CAD,,AD=AD,))∴△EAD≌△CAD.∴ED=CD,∠AED=∠ACD.∴∠FED=∠ACB.又∠ACB=2∠B,∠FED=∠B+∠EDB,∴∠EDB=∠B.∴EB=ED.∴EA+AB=EB=ED=CD.∴AC+AB=CD.模型4:構造角平分線為底邊的等腰三角形【數(shù)學建模】角平分線+平行線eq\o(→,\s\up7(聯(lián)系))等腰三角形.【模型應用】1.如圖,在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于點D,過點D作DE∥BC交AC于點E.若∠A=54°,∠B=48°,則∠CDE的大小為(C)A.44°B.40°C.39°D.38°2.在?ABCD中,AE平分∠BAD交邊BC于點E,DF平分∠ADC交邊BC于點F,若AD=11,EF=5,求AB的長.【解析】①如圖①,在?ABCD中,∵BC∥AD,∴∠ADF=∠CFD.∵DF平分∠ADC交BC于點F,∴∠ADF=∠CDF,∴∠CFD=∠CDF,∴CF=CD.同理可證AB=BE.∴AB=BE=CF=CD.∵EF=5,BC=AD=11,∴BC=BE+CF-EF=2AB-EF,∴2AB-5=11,∴AB=8.②如圖②,在?ABCD中,同①可得AB=BE=CF=CD,∵EF=5,∴BC=BE+CF+EF=2AB+EF,∴2AB+5=11,∴AB=3.3.如圖,∠ABC的平分線BF與△ABC中∠ACB的相鄰外角的平分線CF相交于點F,過點F作DF∥BC,交AB于點D,交AC于點E.問:(1)圖中有幾個等腰三角形?請寫出來.(2)BD,CE,DE之間存在著什么關系?請給出證明.【解析】(1)題圖中有2個等腰三角形,即△BDF和△CEF.(2)BD=DE+CE,證明:∵DF=BD,CE=EF,∴DE+CE=DE+EF=DF=BD.模型5:構造三角形內心【數(shù)學建?!拷瞧椒志€+角平分線eq\o(→,\s\up7(聯(lián)系))三角形內心.【模型應用】1.如圖,點O是△ABC的內心,M,N是AC上的點,且CM=CB,AN=AB,若∠ABC=100°,則∠MON的度數(shù)為(C)A.60°
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