初三數(shù)學(xué)利用三角函數(shù)解直角三角形

初中數(shù)學(xué)．銳角三角函數(shù)B級(jí)．第02講.學(xué)生版 Page實(shí)用文檔解直角三角形中考要求內(nèi)容基本要求略高要求較高要求解直角三角形知道解直角三角形的含義會(huì)解直角三角形；能根據(jù)問題的需要添加輔助線構(gòu)造直角三角形；會(huì)解由兩個(gè)特殊直角三角形構(gòu)成的組合圖形的問題能綜合運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)解決有關(guān)問題知識(shí)要點(diǎn)模塊一解直角三角形一、解直角三角形的概念根據(jù)直角三角形中已知的量（邊、角）來求解未知的量（邊、角）的過程就是解直角三角形．二、直角三角形的邊角關(guān)系如圖，直角三角形的邊角關(guān)系可以從以下幾個(gè)方面加以歸納：（1）三邊之間的關(guān)系：(勾股定理)（2）銳角之間的關(guān)系：（3）邊角之間的關(guān)系：解直角三角形的四種基本類型（1）已知斜邊和一直角邊(如斜邊，直角邊)，由求出，則，；（2）已知斜邊和一銳角(如斜邊，銳角)，求出，，；（3）已知一直角邊和一銳角(如和銳角)，求出，，；（4）已知兩直角邊(如和)，求出，由，得．具體解題時(shí)要善于選用公式及其變式，如可寫成，等．四、解直角三角形的方法解直角三角形的方法可概括為：“有斜(斜邊)用弦(正弦，余弦)，無斜用切(正切，余切)，寧乘毋除，取原避中”．這幾句話的意思是：當(dāng)已知或求解中有斜邊時(shí)，就用正弦或余弦；無斜邊時(shí)，就用正切或余切；當(dāng)所求的元素既可用乘法又可用除法時(shí)，則用乘法，不用除法；既可由已知數(shù)據(jù)又可用中間數(shù)據(jù)求得時(shí)，則用原始數(shù)據(jù)，盡量避免用中間數(shù)據(jù)．五、解直角三角形的技巧及注意點(diǎn)在中，，故，．利用這些關(guān)系式，可在解題時(shí)進(jìn)行等量代換，以方便解題．六、如何解直角三角形的非基本類型的題型對(duì)解直角三角形的非基本類型的題型，通常是已知一邊長及一銳角三角函數(shù)值，可通過解方程(組)來轉(zhuǎn)化為四種基本類型求解；（1）如果有些問題一時(shí)難以確定解答方式，可以依據(jù)題意畫圖幫助分析；（2）對(duì)有些比較復(fù)雜的問題，往往要通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，作輔助線的一般思路是：①作垂線構(gòu)成直角三角形；②利用圖形本身的性質(zhì)，如等腰三角形頂角平分線垂直于底邊等．例題精講例題精講如圖是教學(xué)用直角三角板，邊則邊的長為（）A．B．C．D．【鞏固】如圖，在中，是上一點(diǎn)，于，且，則的長為（）A．B．C．D．【鞏固】如圖，是等腰三角形，，過的中點(diǎn)作，垂足為，連接，則．如圖所示，的直徑，點(diǎn)是延長線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，連接．

（1）若，那么的長為．（2）若點(diǎn)在的延長線上運(yùn)動(dòng)，的平分線交于點(diǎn)，的大小是否會(huì)發(fā)生變化．【鞏固】如圖，某航天飛機(jī)在地球表面點(diǎn)的正上方處，從處觀測到地球上的最遠(yuǎn)點(diǎn)，若，地球半徑為，則航天飛機(jī)距地球表面的最近距離，以及兩點(diǎn)間的地面距離分別是（）．A．B．C．D．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，與軸正方向的夾角為，則用表示點(diǎn)的極坐標(biāo)，顯然，點(diǎn)的極坐標(biāo)與它的坐標(biāo)存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．例如：點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1），則其極坐標(biāo)為．若點(diǎn)的極坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．模塊二解直角三角形應(yīng)用七、直角三角形中其他重要概念（1）仰角與俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角．如圖⑴．（2）坡角與坡度：坡面的垂直高度和水平寬度的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示為，坡面與水平面的夾角記作，叫做坡角，則．坡度越大，坡面就越陡．如圖⑵．（3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達(dá)為北（南）偏東（西）××度．如圖⑶．八、解直角三角形應(yīng)用題的解題步驟及應(yīng)注意的問題：（1）分析題意，根據(jù)已知條件畫出它的平面或截面示意圖，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距離、垂直距離等概念的意義；（2）找出要求解的直角三角形．有些圖形雖然不是直角三角形，但可添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把它們分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根據(jù)已知條件，選擇合適的邊角關(guān)系式解直角三角形；（4）按照題目中已知數(shù)據(jù)的精確度進(jìn)行近似計(jì)算，檢驗(yàn)是否符合實(shí)際，并按題目要求的精確度取近似值，注明單位．（一）仰角與俯角如圖，從熱氣球上測定建筑物底部的俯角分別為和，如果這時(shí)氣球的高度為150米，且點(diǎn)在同一直線上，建筑物間的距離為（）米．A．B．C．D．【鞏固】周末，身高都為1．6米的小芳、小麗來到溪江公園，準(zhǔn)備用她們所學(xué)的知識(shí)測算南塔的高度．如圖，小芳站在A處測得她看塔頂?shù)难鼋菫?，小麗站在處（與塔的軸心共線）測得她看塔頂?shù)难鼋菫椋齻冇譁y出兩點(diǎn)的距離為30米．假設(shè)她們的眼睛離頭頂都為，則可計(jì)算出塔高約為（結(jié)果精確到0．01，參考數(shù)據(jù)：）（）A．36．21米B．37．71米C．40．98米D．42．48米如圖，在山腳的處測得山頂?shù)难鼋菫?，沿著坡度為的斜坡前進(jìn)400米到處(即)，測得的仰角為，求山的高度．【鞏固】如圖，某電信部門計(jì)劃架設(shè)一條連結(jié)兩地的電纜，測量人員在山腳地測得 兩地在同一方向，且兩地的仰角分別為，在地測得地的仰角為，已知地比地高米，且由于電纜的重力導(dǎo)致下墜，實(shí)際長度是兩地距離的倍，求電纜的長（精確到米）（二）坡度與坡角如圖，某游樂場一山頂滑梯的高為，滑梯的坡角為，那么滑梯長為（）A．B．C．D．【鞏固】如圖所示，河堤橫斷面迎水坡的坡比是，堤高，則坡面的長是（）m．A．10B．C．15D．創(chuàng)意設(shè)計(jì)公司員工小王不慎將墨水潑在一張?jiān)O(shè)計(jì)圖紙上，導(dǎo)致其中部分圖形和數(shù)據(jù)看不清楚（如圖所示）．已知圖紙上的圖形是某建筑物橫斷面的示意圖，它是以圓的半徑所在的直線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，是與圓的交點(diǎn)．（1）請(qǐng)你幫助小王在下圖中把圖形補(bǔ)畫完整；（2）由于圖紙中圓的半徑的值已看不清楚，根據(jù)上述信息（圖紙中是坡面的坡度），求的值．（三）方向角如圖，是某市環(huán)城路的一段，都是南北方向的街道，其與環(huán)城路的交叉路口分別是．經(jīng)測量花卉世界位于點(diǎn)的北偏東方向、點(diǎn)的北偏東方向上，，．（1）求之間的距離；（2）求之間的距離．【鞏固】臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心，在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力．據(jù)氣象觀測，距沿海某城市的正南方向220的處有一臺(tái)風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12級(jí)，每遠(yuǎn)離臺(tái)風(fēng)中心20，風(fēng)力就減弱一級(jí)，該臺(tái)風(fēng)中心現(xiàn)在以的速度沿北偏東方向往移動(dòng)，且臺(tái)風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達(dá)到四級(jí)，則稱受臺(tái)風(fēng)影響．（1）該城市是否會(huì)受這次臺(tái)風(fēng)影響？請(qǐng)說明理由．（2）若受臺(tái)風(fēng)影響，那么臺(tái)風(fēng)影響該城市的持續(xù)時(shí)間會(huì)有多長？（3）該城市受臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力是幾級(jí)？（四）其它小明發(fā)現(xiàn)在教學(xué)樓走廊上有一拖把以的傾斜角斜靠在欄桿上，嚴(yán)重影響了同學(xué)們的行走安全．他自覺地將拖把挪動(dòng)位置，使其的傾斜角為，如果拖把的總長為m，則小明拓寬了行路通道_________m．(結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字，參考數(shù)據(jù)：，)【鞏固】如圖１，一架長4米的梯子斜靠在與地面垂直的墻壁上，梯子與地面的傾斜角為．（1）求與的長；（2）若梯子頂端沿下滑，同時(shí)底端沿向右滑行．①如圖2，設(shè)點(diǎn)下滑到點(diǎn)，點(diǎn)向右滑行到點(diǎn)，并且，試計(jì)算梯子頂端沿下滑多少米；②如圖３，當(dāng)點(diǎn)下滑到點(diǎn)，點(diǎn)向右滑行到點(diǎn)時(shí)，梯子的中點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)．若，試求的長．關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式：利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值，如根據(jù)上面的知識(shí)，你可以選擇適當(dāng)?shù)墓浇鉀Q下面實(shí)際問題：如圖，直升飛機(jī)在一建筑物上方點(diǎn)處測得建筑物頂端點(diǎn)的俯角為，底端點(diǎn)的俯角為，此時(shí)直升飛機(jī)與建筑物的水平距離為42米，求建筑物的高．課堂檢測（2011?遵義）某市為緩解城市交通壓力，決定修建人行天橋，原設(shè)計(jì)天橋的樓梯長，，后考慮到安全因素，將樓梯腳移到延長線上點(diǎn)處，使（如圖所示）（1）求調(diào)整后樓梯的長；（2）求的長．（結(jié)果保留根號(hào)）如圖1表示一個(gè)時(shí)鐘的鐘面垂直固定于水平桌面上，其中分針上有一點(diǎn)A，且當(dāng)鐘面顯示3點(diǎn)30分時(shí)，分針垂直于桌面，A點(diǎn)距桌面的高度為10公分．如圖2，若此鐘面顯示3點(diǎn)45分時(shí)，A點(diǎn)距桌面的高度為16公分，則鐘面顯示3點(diǎn)50分時(shí)，A點(diǎn)距桌面的高度為多少公分（）A．B．C．D．如圖，島在島的北偏東方向，在島的北偏西方向，則從島看兩島的視角．課后作業(yè)一架5米長的梯子斜靠在墻上，測得它與地面的夾角為，則梯子底端到墻角的距離為（）．B．C．D．如圖，將一個(gè)形狀的楔子從木樁的底端點(diǎn)處沿水平方向打入木樁底下，使木樁向上運(yùn)動(dòng)，已知楔子斜面的傾斜角為，若楔子沿