2022-2023學(xué)年廣東省深圳市百合外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)下冊(cè)期中 數(shù)學(xué) 試卷 （學(xué)生版+解析版）

2022-2023學(xué)年廣東省深圳市龍崗區(qū)百合外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)（下）

期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題

1.下列說法中，正確的是（）

A.3與-3互為倒數(shù)B.3與，互為相反數(shù)C.0的相反數(shù)是0D.5的絕對(duì)值是一5

3

2.貼窗花是我國(guó)春節(jié)喜慶活動(dòng)一個(gè)重要內(nèi)容，它起源于西漢時(shí)期，歷史悠久，風(fēng)格獨(dú)特，深受國(guó)內(nèi)外人

土的喜愛.下列窗花作品為軸對(duì)稱圖形的是（）

顯了百外建校以來的“和合而生”的教育理念和收括了許多的教育案例，該書第一次印刷就出版了5500

冊(cè).將5500用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.55xlO4B.5.5xl03C.5.5XlO4D.55X102

4.下列運(yùn)算正確的是（）

A.ab-i-a2—o'B.cT+/=優(yōu)

C.-2（^a+b^--2a+bD.（—202『=4"

5.費(fèi)爾茲獎(jiǎng)是國(guó)際上享有崇高聲譽(yù)一個(gè)數(shù)學(xué)獎(jiǎng)項(xiàng),每四年評(píng)選一次，主要授予年輕的數(shù)學(xué)家.下面數(shù)據(jù)

是部分獲獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)時(shí)的年齡（單位：歲）：31,32,33,35,35,39,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分

別是（）

A.35,35B.34,33C.34,35D.35,34

6.一個(gè)布袋中放著6個(gè)黑球和18個(gè)紅球，除了顏色以外沒有任何其他區(qū)別.則從布袋中任取1個(gè)球，取

出黑球的概率是（）

11「23

A.—B.-C.-D.一

4334

7.如圖所示，直線ab,直線c分別交a,6于點(diǎn)A,C,點(diǎn)B在直線匕上AC,若Nl=140。，則

N2的度數(shù)是（）

A.30°B.40°C.50°D.70°

8.如圖，在BBC中，NA=70°,且AC=BC,根據(jù)圖中的尺規(guī)作圖痕跡，計(jì)算Na=（）

A.3°B.5°C.8°D.10°

9.已知二次函數(shù)y=4^2+〃x+c（awO）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（一1,〃）,其部分圖象如圖所示，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的

是（）

yk

1

/:

1

A.abc>0B.a+b+c>0

C.2a-bD.關(guān)于x的方程a?+版+c=〃+i無(wú)實(shí)數(shù)根

10.如圖，點(diǎn)￡是,ABC的內(nèi)心，AE的延長(zhǎng)線和一A3C的外接圓相交于點(diǎn)￡>,與3C相交于點(diǎn)G，則

下列結(jié)論：①N84￡>=NC4T>：②若NBAC=50°,則/B￡C=130°；③若點(diǎn)G為8C的中點(diǎn)，則

其中一定正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

11.分解因式：atr-a

12.如圖，在平行四邊形ABCO中，過點(diǎn)。作。E1AB，垂足為E,過點(diǎn)8作BF14C,垂足為

F.若AB=4，AC=6，DE=3,則防長(zhǎng)為.

13.若關(guān)于x的一元二次方程3/+61+機(jī)=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則加的值為.

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形A8C的斜邊3C_Lx軸于點(diǎn)B,直角頂點(diǎn)A在，軸上,

k

雙曲線丁=一（人力0）經(jīng)過AC邊的中點(diǎn)。，若BC=2丘，則％=.

X

15.如圖，在矩形A3CO中，點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是線段CD上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AM上（不與點(diǎn)

A重合），且。尸=gA8,點(diǎn)。在邊49上，AB=5,4）=4,00=1.6,當(dāng)NCPQ=90°時(shí)，則

三、解答題

5x+l>3（x-l）@

16.解不等式組:L<3②

2

X

17.先化簡(jiǎn)，再求值:1—其中％=夜一1.

x+1x2+2x+1

18.深圳百合外國(guó)語(yǔ)學(xué)校建校20多年來，形成了“優(yōu)良的校園文化，厚重的人文底蘊(yùn)”，為深入了解我校

的校園文化，九年級(jí)1班某學(xué)習(xí)小組開展以“課間10分鐘，您如何度過？”為主題的調(diào)查活動(dòng).在全校范

圍內(nèi)隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查（每名學(xué)生必選且只能選取一項(xiàng)活動(dòng)類別），將調(diào)查結(jié)果整理后繪制成

如圖所示的不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖，其中最喜歡打羽毛球的學(xué)生人數(shù)占所調(diào)查人數(shù)的25%.請(qǐng)你根據(jù)圖中提

供的信息解答下列問題：

音樂散步

（1）在這次調(diào)查中，一共抽取了多少名學(xué)生？

（2）請(qǐng)通過計(jì)算補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（3）若百合外國(guó)語(yǔ)學(xué)校共有202（）名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)我校最喜歡聽課間音樂的學(xué)生共有多少名.

19.深圳市南山區(qū)不僅是一座美麗的海濱之城，更是一個(gè)充滿了青春與活力的科技之城、創(chuàng)新之城，連續(xù)

5年蟬聯(lián)全國(guó)“百?gòu)?qiáng)區(qū)”第一名.該區(qū)的無(wú)人機(jī)制造商“大疆創(chuàng)新科技”更是享譽(yù)全球.該公司旗下無(wú)人

機(jī)配件銷售部現(xiàn)有A和8兩種配件，它們的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表.用15（XX）元可購(gòu)進(jìn)A產(chǎn)品50件和8產(chǎn)品25

件.（利潤(rùn)=售價(jià)一進(jìn)價(jià)）

種類A種配件3種配件

進(jìn)價(jià)（元/件）a80

售價(jià)（元/件）300100

（1）求A種配件進(jìn)價(jià)。的值.

（2）若該配件銷售部購(gòu)進(jìn)A種配件和B種配件共300件，據(jù)市場(chǎng)銷售分析，B種配件進(jìn)貨件數(shù)不低于A

種配件件數(shù)的2倍.如何進(jìn)貨才能使本次銷售獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？

20.已知，如圖所示，A3為CO的直徑，點(diǎn)C是；。上一點(diǎn),點(diǎn)。是1O外一點(diǎn)，/BCD=ABAC，

連接。。交BC于點(diǎn)E.

（1）求證：8是。0切線.

(2)若CE=Q4,AB=10,AC=6,求tanNCEO的值.

21.《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得一部不朽著作，是數(shù)學(xué)發(fā)展史的一個(gè)里程碑.在該書的第2

幕“幾何與代數(shù)”部分，記載了很多利用幾何圖形來論證的代數(shù)結(jié)論，利用幾何給人以強(qiáng)烈印象將抽象的

邏輯規(guī)律體現(xiàn)在具體的圖形之中.

（1）我們?cè)趯W(xué)習(xí)許多代數(shù)公式時(shí)，可以用幾何圖形來推理，觀察下列圖形，找出可以推出的代數(shù)公式，

（下面各圖形均滿足推導(dǎo)各公式的條件，只需填寫對(duì)應(yīng)公式的序號(hào)）

公式①：(a+b+c^d=ad+bd+cd

公式②：(a+b)(c+d)=ac+ad+be+bd

公式③：(a-/?)2=a2-2ab+b2

公式④：(?+/?)'=a2+2ab+b2

圖1對(duì)應(yīng)公式,圖2對(duì)應(yīng)公式______,圖3對(duì)應(yīng)公式,圖4對(duì)應(yīng)公式______

(2)《幾何原本》中記載了一種利用幾何圖形證明平方差公式(a+))(a—力)=。2的方法，如圖5,

請(qǐng)寫出證明過程：(已知圖中各四邊形均為矩形)

F

圖5

(3)如圖6,在等腰直角三角形ABC中，ABAC=90°,。為8c的中點(diǎn)，E為邊AC上任意一點(diǎn)(不與

端點(diǎn)重合)，過點(diǎn)E作EG_LBC于點(diǎn)G,作E//LAD尸點(diǎn)〃過點(diǎn)B作BF7/AC交EG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

F.記△BFG與aCEG的面積之和為S1,△ABO與△AEH的面積之和為S?.

s

①若E為邊AC的中點(diǎn)，則寸}的值為；

32

②若E不為邊AC的中點(diǎn)時(shí)，試問①中的結(jié)論是否仍成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理

由.

22.閱讀材料：小百合特別喜歡探究數(shù)學(xué)問題，一天萬(wàn)老師給她這樣一個(gè)幾何問題：

如圖1,.ABC和△瓦汨都是等邊三角形，將△應(yīng)陀繞著點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)a°,求證：AE=CD.

【探究發(fā)現(xiàn)】（1）小百合很快就通過一ABEg’CBD,論證了A￡=CD,于是她想，把等邊JRC和等

邊△也無(wú)都換成等腰直角三角形，如圖2,將ABDE繞著點(diǎn)B旄轉(zhuǎn)a。,其中NACB=N￡D3=90°那

么AE和C。有什么數(shù)量關(guān)系呢？請(qǐng)寫出你的結(jié)論，并給出證明.

【拓展遷移】（2）如果把等腰直角三角形換成正方形，如圖3,將正方形AFEG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)1。，若

AB=6g，AG=4,在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)C,G,E三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出OG的長(zhǎng)度.

【拓展延伸】（3）小百合繼續(xù)探究，做了如下變式：如圖4,矩形ABC。絲矩形尸ECG,且具有公共頂點(diǎn)

C,將矩形A8CD固定，另一個(gè)矩形尸ECG繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a°（0<a<90）,連接■、DG，直

線GO交防于點(diǎn)”，在旋轉(zhuǎn)的過程中，試證明”為Af的中點(diǎn).

2022-2023學(xué)年廣東省深圳市龍崗區(qū)百合外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)（下）

期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題

1.下列說法中，正確的是（）

A.3與-3互為倒數(shù)B.3與，互為相反數(shù)C.0的相反數(shù)是0D.5的絕對(duì)值是一5

3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)兩數(shù)之和為0,兩數(shù)互為相反數(shù)，兩數(shù)之積為1,兩數(shù)互為倒數(shù)，正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一

一判斷即可.

【詳解】解：A、3與-3互為相反數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、3與，互為倒數(shù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

3

C、0的相反數(shù)是0,故選項(xiàng)正確；

D、5的絕對(duì)值是5,故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查相反數(shù)定義，倒數(shù)定義，絕對(duì)值定義，掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

2.貼窗花是我國(guó)春節(jié)喜慶活動(dòng)的一個(gè)重要內(nèi)容，它起源于西漢時(shí)期，歷史悠久，風(fēng)格獨(dú)特，深受國(guó)內(nèi)外人

土的喜愛.下列窗花作品為軸對(duì)稱圖形的是（）

-?通。鮑。函

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合,這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形,

這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可.

【詳解】解：A.該窗花作品是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

B.該窗花作品不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

C.該窗花作品不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

D.該窗花作品不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

3.《百合綻放》是百合外國(guó)語(yǔ)學(xué)校在20年校慶之際，融入全校教職工和學(xué)生智慧于一體而編寫的，該書凸

顯了百外建校以來的“和合而生”的教育理念和收括了許多的教育案例，該書第一次印刷就出版了5500

冊(cè).將5500用科學(xué)記數(shù)法表示為()

A.0.55xlO4B.5.5xl03C.5.5xlO4D.55xl02

【答案】B

【解析】

【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為axlO",其中1＜忖＜10,〃為整數(shù)，且〃比原來

的整數(shù)位數(shù)少1,據(jù)此判斷即可.

【詳解】解：5500=5.5xlO3.

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為axlO",其中1＜忖＜10,確定“與

〃的值是解題的關(guān)鍵.

4.下列運(yùn)算正確的是()

A.a64-a2-o,B.a2+a3=a5

C.-2(a+Z?)=-2a+bD.(-2a?)=4a4

【答案】D

【解析】

【分析】運(yùn)用同底數(shù)塞的除法，合并同類項(xiàng)，去括號(hào)法則，積的乘方等知識(shí)逐一分析即可

62624

【詳解】解：A.a-a=a-=a,不符合題意；

B.a2+a\不能進(jìn)行合并同類項(xiàng)，不符合題意；

C.-2(a+h)=-2a-2b,不符合題意;

D.（—24）2=4",符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)累的除法，合并同類項(xiàng)，去括號(hào)法則，積的乘方，熟練以上知識(shí)是解題的關(guān)

鍵.

5.費(fèi)爾茲獎(jiǎng)是國(guó)際上享有崇高聲譽(yù)的一個(gè)數(shù)學(xué)獎(jiǎng)項(xiàng)，每四年評(píng)選一次，主要授予年輕的數(shù)學(xué)家.下面數(shù)據(jù)

是部分獲獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)時(shí)的年齡（單位：歲）：31,32,33,35,35,39,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分

別是（）

A.35,35B.34,33C.34,35D.35,34

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)中位數(shù)與眾數(shù)的定義，即可求解.中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，在中間的一個(gè)

數(shù)字（或者兩個(gè)數(shù)字的平均值）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).

33+35

【詳解】解：31，32,33,35,35,39,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是35，3盧=34,

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了求中位數(shù)與眾數(shù)，熟練掌握中位數(shù)與眾數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

6.一個(gè)布袋中放著6個(gè)黑球和18個(gè)紅球，除了顏色以外沒有任何其他區(qū)別.則從布袋中任取I個(gè)球，取

出黑球的概率是（

11-23

A.-B.-C.一D.-

4334

【答案】A

【解析】

【分析】由于每個(gè)球被取出的機(jī)會(huì)是均等的，故用概率公式計(jì)算即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，一個(gè)布袋中放著6個(gè)黑球和18個(gè)紅球，根據(jù)概率計(jì)算公式，

從布袋中任取1個(gè)球，取出黑球的概率是尸=—^一=’.

6+184

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了概率公式的知識(shí)，解題關(guān)鍵是熟記概率公式.

7.如圖所示，直線。b,直線c分別交a,〃于點(diǎn)A,C,點(diǎn)B在直線方上若Nl=140。，則

N2的度數(shù)是（）

【答案】c

【解析】

【分析】首先利用平行線的性質(zhì)得到N1=NZMC,然后利用AB1AC得到4AC=9()。，最后利用角的

和差關(guān)系求解.

/.Z1=ZZMC.

Nl=140。，

/.ZZi4C=140o.

又?；AB1AC,

/.ABAC=90°,

：.Z2=ADAC-ABAC=140。一90°=50°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確平行線的性質(zhì)，求出的度數(shù).

8.如圖，在中，ZA=70°,且AC=8C,根據(jù)圖中的尺規(guī)作圖痕跡，計(jì)算Na=()

A.3°B.5°C.8°D.10°

【答案】B

【解析】

【分析】由作圖得：OE垂直平分BC，BD平分/ABC,根據(jù)角平分線和線段垂直平分線的性質(zhì)求

解.

【詳解】解：如圖，

由作圖得：DE垂直平分BC，BD平分NA8C，

BD-CD,

/./DBC=/DCB,

VAC=BC,ZA=70°,

，ZABC=ZA=70°,

：.ZACfi=180°-ZA-ZABC=180。-70°-70°=40°,

NDCB=NDBC=-ZABC」x70。=35°,

22

Za=ZACB-ZDCB=40°—35°=5°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查基本作圖，角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角

形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理.掌握角平分線和線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.已知二次函數(shù)丁=奴2+法+。（4/0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,〃），其部分圖象如圖所示，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的

是（）

B.a-i-b+oO

C.2a=bD.關(guān)于x的方程ax?+H+C=無(wú)實(shí)數(shù)根

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線開口方向，對(duì)稱軸的位置以及與y軸的交點(diǎn)可以對(duì)A、C進(jìn)行判斷;根據(jù)％=1時(shí)，y<0,

可對(duì)B進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線,=加+法+c與直線y=〃+l無(wú)交點(diǎn)，可對(duì)D進(jìn)行判斷.

【詳解】解：；拋物線開口向下，

a<0,

?.?對(duì)稱軸為直線》=—2=—1,

2a

b=2a<0,

:拋物線與y軸交于正半軸，

Ac>0,

abc>0,

故A、C正確，不合題意；

???拋物線的對(duì)稱軸為直線行—1,拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在(-3,0)和(-2,0)之間，

.?.拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)在(0,0)和(1，0)之間，

x=l時(shí)，y<0,

即a+b+c<0,

故B錯(cuò)誤，符合題意；

???拋物線開口向下，頂點(diǎn)為(一1，〃)，

函數(shù)有最大值”，

拋物線y=必2+bx+c與直線y=〃+1無(wú)交點(diǎn)，

...一元二次方程at?+/?x+c="+l無(wú)實(shí)數(shù)根，

故D正確，不合題意.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次是圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與

X軸的交點(diǎn)，能夠把求二次函數(shù)y=ax?+Zzx+c(a,b,C是常數(shù),a。0)與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解

關(guān)于x的一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，點(diǎn)E是―A3C的內(nèi)心，AE的延長(zhǎng)線和_ABC的外接圓相交于點(diǎn)O,與BC相交于點(diǎn)G，則

下列結(jié)論：①N84￡）=NC4￡>；②若N3AC=50°,則/BEC=130°；③若點(diǎn)G為3C的中點(diǎn)，則

NBGD=90°；?BD=DE.其中一定正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)得到NR4￡>=NC4O,則可對(duì)①進(jìn)行判斷；直接利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)

對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)圓周角定理，等弧和等弦的關(guān)系及等腰三角形的性質(zhì)可對(duì)③進(jìn)行判斷；通過證明

NDEB=/DBE得到BD=DE，則可對(duì)④進(jìn)行判斷.

【詳解】解：?.?點(diǎn)后是_筋。內(nèi)心，

/.平分NB4C,

...NBAD=ZCAD,故①正確；

如圖，連接BE,CE,

；點(diǎn)E是ABC的內(nèi)心，

ZEBC=-ZABC,NECB=-ZACB,

22

ABAC=50°,

：.ZABC+ZACB=\30°,

ZEBC+ZECB=1(ZABC+ZACB)=gx130°=65。,

/.ZBEC=180°-(ZEBC+ZECB)=180°-65°=115°,故②不正確;

C

BG

D

???ZBAD=ZCAD,

BD=DC，

BD-CD,

?.?點(diǎn)G為BC的中點(diǎn)，

DG1BC,

...N5G0=9()°,故③正確；

如圖，連接BE,

?..點(diǎn)E是的內(nèi)心，

二BE平分NABC,

：.ZABE=ZCBE,

???ZDBC=ACAD=/BAD,

ZDBC+ZEBC=/EBA+ZEAB,

；?ZDBE^ZDEB,

；.DB=DE，故④正確，

...一定正確是①③④，共3個(gè)，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)心，圓周角定理，等弧與等弦的關(guān)系，等腰三角

D

形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理與三角形外角的性質(zhì).掌握三角形的內(nèi)心是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

11.分解因式：ab2-a=.

【答案】a(b+1)Cb-1)

【解析】

【詳解】解：原式=。(戶—1)=。(b+1)(6-1),

故答案為a(b+1)(6-1).

12.如圖，在平行四邊形ABC。中，過點(diǎn)D作DE工AB，垂足為E，過點(diǎn)B作BF1AC,垂足為

F.若AB=4，AC=6,DE=3,則防的長(zhǎng)為

【答案】2

【解析】

【分析】利用平行四邊形的面積公式s==尸即可求解.

【詳解】解：：四邊形ABCO平行四邊形，且?！阓ZA5，BF1AC,

SAI!rn^ABDE-2x-ACBF^ACBF,

VA6=4.AC=6,OE=3,

.*.4x3=6BF,

/.BF=2,

3廠的長(zhǎng)為2，

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，利用平行四邊形的面積公式求垂線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

13.若關(guān)于x的一元二次方程3/+6x+小=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則〃，的值為.

【答案】3

【解析】

【分析】一元二次方程儂?+陵+c=0(aw0)的根的判別式△=〃-4ac：當(dāng)△>()，方程有兩個(gè)不相等

的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A=0,方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)AvO,方程沒有實(shí)數(shù)根.根據(jù)一元二次方程根的判別

式的意義，方程3f+6x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則有A=0,得到關(guān)于加的方程，解方程即可.

【詳解】解：???關(guān)于x的一元二次方程3d+6x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

A=0,即6?-4x3x〃z=0，

解得m=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式以及解一元一次方程的知識(shí)，理解并正確運(yùn)用一元二

次方程的根的判別式是解題關(guān)鍵.

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形A8C的斜邊軸于點(diǎn)8,直角頂點(diǎn)A在丫軸上,

k

雙曲線丁=一（2聲0）經(jīng)過AC邊的中點(diǎn)O,若3c=20，則4=

X

3

【答案】一一

2

【解析】

【分析】根據(jù)二ABC是等腰直角三角形，BC_Lx軸，得到二A0B是等腰直角三角形，再根據(jù)BC=2j5

求出A點(diǎn)，C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)公式求出。點(diǎn)坐標(biāo)，將。點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式即可求得左.

【詳解】；是等腰直角三角形，軸.

Be

/.ZABO=90°—ZABC=90°—45°=45°；=

_AQB是等腰直角三角形.

AB=V2.

BO-AO=正

故：A(0,V2),C(-V2,2V2).

。（一

將D點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式.

,723y/23

%=---x-7-=--

3

故答案為：---.

2

【點(diǎn)睛】本題考查平面幾何與坐標(biāo)系綜合，反比例函數(shù)解析式；本體解題關(guān)鍵是得到是等腰直角三

角形，用中點(diǎn)公式算出。點(diǎn)坐標(biāo).

15.如圖，在矩形A8C。中，點(diǎn)。是的中點(diǎn)，點(diǎn)〃是線段8上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AM上（不與點(diǎn)

A重合)，且0P=，A8,點(diǎn)。在邊A￡>上，AB=5,49=4,￡>2=1.6,當(dāng)/。尸。=90°0寸，則

2

DM=.

【解析】

【分析】過點(diǎn)P作G”〃C￡),交于G，交BC于H,設(shè)。M=x,QG=a,則CH=a+1.6,

BH=AG=4-\.6-a=2A-a,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到PG=0.6x—0.25公，根據(jù)三角函數(shù)的定

義得到;?〃，6=。6??！?，同理得到NAPG=NP8〃，推出PGP"=AG8"=4^，解方程即

可得到結(jié)論.

【詳解】解：過點(diǎn)P作G"〃C。，交AO于G,交BC于H,

:.ZAGH=ND,ZGHB=ZDCB,

?..四邊形ABC。是矩形，AB=5,4)=4,OQ=L6,

/.ZD=ADCB=ZCBA=ABAD=9()°,

ZAGH=/GHB=9QP,

NDGH=/GHC=90。,

四邊形ABHG和四邊形DCHG是矩形，

設(shè)DM=x,QG=a,

：.CH=DG=QG+DQ^a+\.6,

BH=AG=AD-DG^4-1.6-a=2A-a,

?；PG//DM,

AAGP^AADM,

PGAGPG2.4—a

..-----=——，即Rn——=--------,

DMADx4

PG=0.6x—0.25ax,

NCPQ=90°,

NCPH+NQPG=90。,

,/ZCPH+ZPCH=90°,

：.ZQPG=NPCH,

tanZQPG=tanZPCH,即史=里，

PGCH

PHPG=QGCH,

?..點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，0P=」A5,

2

OA^OB^OP^-AB,

2

AZOAP^ZOPA,/OBP=/OPB,

：.180°=ZPAB+ZPBA+ZAPB=ZOPA+AOPB+ZAPB=2ZAPB,

ZAPB=90°,

/.ZAPG+ABPH=9Q°,

???Z.BPH+/PBH=90°,

ZAPG^ZPBH,

AGPH

tanAAPG=tan/PBH,即---=,

PGBH

/.PGPH=AGBH=AG2，

AG2=QG-CH,BP(2.4-a)2=a(1.6+a),

9

a=一

10

3193

PG=0.6x-0.25ar=—x——x—x=—x,

54108

PH=GH-PG=AB-PG=5-》x,

8

1293

AG=2.4-?=-

5102

,/PGPH=AG?，

..335事

88

4

解得：占=12（舍去），x=—,

-23

4

DM=-

3

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，直角三角形的判定等知

識(shí)點(diǎn).正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

5x+l〉3（x-l）①

16.解不等式組：〈I

4<3②

12

【答案】-2<x<6

【解析】

【分析】根據(jù)一元一次不等式組的解法，結(jié)合求不等式組解集法則“同大取大、同小取小、大小小大中間找、

大大小小無(wú)解了”即可得到答案.

5x+l>3（x-l）①

【詳解】解：《I

乙<3②

[2

由①得x>-2；

由②得x<6；

二不等式組的解集為：一2<%<6.

【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式組，熟記求不等式組解集法則“同大取大、同小取小、大小小大中間

找、大大小小無(wú)解了”是解決問題的關(guān)鍵.

x

17.先化簡(jiǎn)，再求值:，其中=\/2—1-

x?+2x+1x

【答案】x+1,V2.

【解析】

【分析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則把原式化簡(jiǎn)，把x的值代入計(jì)算即可.

【詳解】解：1J-U—三—

x+1Jx~+2x+1

(X+l__(尤+1)2

(x+1x+1)X

X+lX

=x+l

當(dāng)x=0—1時(shí),

原式=0_i+i=VL

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

18.深圳百合外國(guó)語(yǔ)學(xué)校建校20多年來，形成了“優(yōu)良的校園文化，厚重的人文底蘊(yùn)”，為深入了解我校

的校園文化，九年級(jí)1班某學(xué)習(xí)小組開展以“課間10分鐘，您如何度過？”為主題的調(diào)查活動(dòng).在全校范

圍內(nèi)隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查（每名學(xué)生必選且只能選取一項(xiàng)活動(dòng)類別），將調(diào)查結(jié)果整理后繪制成

如圖所示的不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖，其中最喜歡打羽毛球的學(xué)生人數(shù)占所調(diào)查人數(shù)的25%.請(qǐng)你根據(jù)圖中提

供的信息解答下列問題：

音樂散步

（1）在這次調(diào)查中，一共抽取了多少名學(xué)生？

（2）請(qǐng)通過計(jì)算補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（3）若百合外國(guó)語(yǔ)學(xué)校共有2020名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)我校最喜歡聽課間音樂的學(xué)生共有多少名.

【答案】⑴80名

（2）補(bǔ)圖見解析（3）606名

【解析】

【分析】（1）先從條形圖中確定喜歡打羽毛球的學(xué)生數(shù)，利用“調(diào)查人數(shù)=喜歡打羽毛球人數(shù)十喜歡打羽毛

球人數(shù)占調(diào)查人數(shù)的百分比”得結(jié)論；

（2）先算出喜歡散步的學(xué)生人數(shù)，再補(bǔ)全條形圖；

（3）利用“該校喜歡某項(xiàng)人數(shù)=該校人數(shù)x調(diào)查中喜歡某項(xiàng)人數(shù)的比”得結(jié)論.

【小問1詳解】

從條形圖知：喜歡打羽毛球的學(xué)生有20人.

???喜歡打羽毛球的學(xué)生人數(shù)占所調(diào)查人數(shù)的25%,

這次調(diào)查中一共學(xué)生：20+25%=80（名）.

【小問2詳解】

喜歡校園散步的學(xué)生人數(shù)為：80-16-24-20=20（名）.

【小問3詳解】

24

2020X—=606（名）.

80

答：喜歡聽課間音樂的學(xué)生有606名.

【點(diǎn)睛】本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用.讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)

鍵.條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的數(shù)據(jù).

19.深圳市南山區(qū)不僅是一座美麗的海濱之城，更是一個(gè)充滿了青春與活力的科技之城、創(chuàng)新之城，連續(xù)

5年蟬聯(lián)全國(guó)“百?gòu)?qiáng)區(qū)”第一名.該區(qū)的無(wú)人機(jī)制造商“大疆創(chuàng)新科技”更是享譽(yù)全球.該公司旗下無(wú)人

機(jī)配件銷售部現(xiàn)有A和8兩種配件，它們的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表.用15（X）0元可購(gòu)進(jìn)A產(chǎn)品5（）件和8產(chǎn)品25

件.（利潤(rùn)=售價(jià)一進(jìn)價(jià)）

種類A種配件8種配件

進(jìn)價(jià)（元/件）a80

售價(jià)（元/件）300100

(1)求A種配件進(jìn)價(jià)。的值.

(2)若該配件銷售部購(gòu)進(jìn)A種配件和8種配件共300件，據(jù)市場(chǎng)銷售分析，8種配件進(jìn)貨件數(shù)不低于A

種配件件數(shù)的2倍.如何進(jìn)貨才能使本次銷售獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？

【答案】(1)。的值為260

(2)當(dāng)購(gòu)進(jìn)A種配件1()0件，8種配件2()0件時(shí)，本次銷售獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是8000元

【解析】

【分析】(1)利用總價(jià)=單價(jià)X數(shù)量，即可得出關(guān)于a的一元一次方程，解之即可得出a的值；

(2)設(shè)購(gòu)進(jìn)A種配件x件，則購(gòu)進(jìn)B種配件(3(X)-X)件，根據(jù)B種配件進(jìn)貨件數(shù)不低于A種配件件數(shù)的

2倍，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范圍，設(shè)兩種商品全部售出后獲得的總

利潤(rùn)為w元，利用總利潤(rùn)=每件的銷售利潤(rùn)x銷售數(shù)量，即可得出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函

數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題.

【小問1詳解】

解：依題意得：50?+80x25=15(XX),

解得：a=260,

答：。的值為260；

【小問2詳解】

設(shè)購(gòu)進(jìn)A種配件x件，則購(gòu)進(jìn)8種配件(3(X)-X)件，

依題意得：3(X)-x>2x,

解得：x<10(),

/.l<x<100(x為正整數(shù))，

設(shè)兩種配件全部售出后獲得的總利潤(rùn)為w元，

卬=(300—260卜+(100—80)(300—x)=20x+6000,

V20>0,

...w隨x的增大而增大，

當(dāng)x=100時(shí)，卬取得最大值，最大值為：20x100+6000=8000,

此時(shí)300-x=300—100=200,

答：當(dāng)購(gòu)進(jìn)A種配件1()()件，B種配件200件時(shí)，本次銷售獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是8(X)0元.

【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：

(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；(2)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出卬關(guān)于1的函數(shù)關(guān)系

式.

20.已知，如圖所示，A3為CO的直徑，點(diǎn)。是。上一點(diǎn)，點(diǎn)。是。外一點(diǎn)，/BCD=ABAC,

連接。。交BC于點(diǎn)E.

（2）若CE=Q4,AB=10,AC=6,求tanNCEO的值.

【答案】（1）證明見解析

（2）3

【解析】

【分析】（1）連接0C,證明OC_LCD即可；

（2）過點(diǎn)。作OHJ.BC于點(diǎn)H,解直角三角形即可得到結(jié)論.

【小問1詳解】

證明：連接0C,

：AB為:。的直徑，

ZACB=90°,

NA+/B=90°，

OC=OB，

：.ZOCB=ZOBC,

,/ZBCD=ZBAC,

：.ZOCB+NDCB=90°,即NOCD=90°,

OCA.CD,

,：oc為：。的半徑，

CO是O的切線；

【小問2詳解】

解：過點(diǎn)。作。于點(diǎn)”，

為的直徑，A3=10,AC=6,CE=OA,

：.ZACB=90°,

BC=y]AB2-AC2=V102-62=8，

VOHIBC,OC=OB,

:.CH=BH=LBC=4,NOHC=NOHE=90°,

2

OC=OA=OB=LAB=5,

2

?**CE=OA=5,

：.EH=CE-CH=5-4=1,

在RteOHC中，0H=d0C。-CH?=抬-U=3,

CH3

/.tanZCEO=——=-=3.

EH1

，tan/CEO的值為3.

【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，直角所對(duì)的圓周角是直角，等邊對(duì)等角，勾股定理，銳角三角函數(shù)等知

識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握切線的判定和解直角三角形.

21.《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽著作，是數(shù)學(xué)發(fā)展史的一個(gè)里程碑.在該書的第2

幕“兒何與代數(shù)”部分，記載了很多利用幾何圖形來論證的代數(shù)結(jié)論，利用幾何給人以強(qiáng)烈印象將抽象的

邏輯規(guī)律體現(xiàn)在具體的圖形之中.

(1)我們?cè)趯W(xué)習(xí)許多代數(shù)公式時(shí)，可以用幾何圖形來推理，觀察下列圖形，找出可以推出的代數(shù)公式，

(下面各圖形均滿足推導(dǎo)各公式的條件，只需填寫對(duì)應(yīng)公式的序號(hào))

公式①：(^a+b+c^d=ad+bd+cd

公式②：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

公式③：(^a-by=cr-2ab+b1

公式④：(。+。)2=/+2“。+/

圖1對(duì)應(yīng)公式,圖2對(duì)應(yīng)公式______,圖3對(duì)應(yīng)公式,圖4對(duì)應(yīng)公式______；

(2)《幾何原本》中記載了一種利用幾何圖形證明平方差公式))=/一片的方法，如圖5,

請(qǐng)寫出證明過程；(已知圖中各四邊形均為矩形)

圖5

(3)如圖6,在等腰直角三角形ABC中，ABAC=90°,。為3c的中點(diǎn)，E為邊AC上任意一點(diǎn)(不與

端點(diǎn)重合)，過點(diǎn)E作EG_L3C于點(diǎn)G,作七H，AT＞尸點(diǎn)，過點(diǎn)B作8F//4C交EG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

F.記△BFG與△CEG的面積之和為S1,AABD與△AE”的面積之和為S2.

s.

①若E為邊4c的中點(diǎn)，則U的值為；

?2

②若E不為邊AC的中點(diǎn)時(shí)，試問①中的結(jié)論是否仍成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理

由.

【答案】(1)①，②，④，③

(2)證明見解析(3)①2

②結(jié)論仍成立，理由見解析

【解析】

【分析】(1)觀察圖形，根據(jù)面積計(jì)算方法即可快速判斷；

(2)根據(jù)面積關(guān)系：矩形AK"。面積=矩形4KLe面積+矩形CLH。面積=矩形O8FG面積+矩形面

積=正方形BCEF面積一正方形LEGH面積，即可證明；

(3)①由題意可得△AB。，△AEH,ACEG,△■BFG都是等腰直角三角形，四邊形OGEH是正方形，設(shè)

BD=a,從而用含〃的代數(shù)式表示出Si、S2進(jìn)行計(jì)算即可；②由題意可得△48。，△AEH,△CEG,/XBFG

都是等腰直角三角形，四邊形。GE”是矩形，設(shè)DG=h,從而用含b的代數(shù)式表示出與、S2進(jìn)

行計(jì)算即可.

【小問1詳解】

解：圖1對(duì)應(yīng)公式①，圖2對(duì)應(yīng)公式②，圖3對(duì)應(yīng)公式④，圖4對(duì)應(yīng)公式③；

故答案為：①，②，④，③；

【小問2詳解】

解：由圖可知，矩形3cM和矩形EGHL都是正方形，S.AK=DB=a-b,

S矩形AKZ1c=S矩形0BFG=，

S矩形4KHO=S矩形AK2C+S矩形CLH0，

Cl

?'S矩形謝D=S矩形DBFG+S矩形=S正方形BCEF~^Z^LEGH~一8，

又S矩形A.0=(a+b)(a-b),

(a+b)(a-b)=a2-b2?

【小問3詳解】

解：①由題意可得："BD,/\AEH,△CEG,△BFG都是等腰直角三角形，四邊形。GE”是正方形，

設(shè)BD=a，

13

AD=BD=a，AH=HE=DG=—a,EGCG=-a,FG=BG=-a,

2

??S]=S4BFG+S'EG=/X(5

5

-Cl

故答案為：2；

②成立，證明如下：

由題意可得：AABD,/\AEH,△CEG,△8FG都是等腰直角三角形，四邊形DGE"是矩形，

設(shè)BO=a,DG=b,

AD=BD-a>AH—HE=DG=b,EG-CG=a—b,FG-BG—a+b)

22

S[=SABFG+5AC￡G=—(a+b)~+—(a-Z>)=a+b,

S2=SAABD+S^AEH=++"),

=2仍成立.

?2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了公式的幾何驗(yàn)證方法，矩形和正方形的判定與性質(zhì)，掌握數(shù)形結(jié)合思想，觀察圖

形，通過圖形面積解決問題是解題的關(guān)鍵.

22.閱讀材料：小百合特別喜歡探究數(shù)學(xué)問題，一天萬(wàn)老師給她這樣一個(gè)幾何問題：

如圖1,A8C和△瓦龍都是等邊三角形，將△8。石繞著點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)a。，求證：AE=CD.

【探究發(fā)現(xiàn)】(1)小百合很快就通過一論證了AE=CD,于是她想，把等邊和等

邊宏都換成等腰直角三角形，如圖2,將ZXBDE繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)a。,其中NACB=NEO3=90°那

么AK和CD有什么數(shù)量關(guān)系呢？請(qǐng)寫出你的結(jié)論，并給出證明.

【拓展遷移】(2)如果把等腰直角三角形換成正方形，如圖3,將正方形AFEG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)a。，若

AB=6C，AG=4,在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)C，G，￡三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出。G的長(zhǎng)度.

【拓展延伸】(3)小百合繼續(xù)探究，做了如下變式：如圖4