雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課件 2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程一、復(fù)習(xí)和等于常數(shù)2a(2a>|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡是平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的二

、引入問題：差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么呢？同學(xué)們，先觀察一段動(dòng)畫，然后總結(jié).平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的橢圓①如圖(A)，|MF1|-|MF2|=|FF2|=2a②如圖(B)，|MF2|-|MF1|=|FF1|=2a上面兩條曲線合起來叫做雙曲線||MF1|-|MF2||=2a（差的絕對(duì)值）F①兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2——雙曲線的焦點(diǎn);②|F1F2|=2c——焦距.（2a<|F1F2|）

oF2F1M

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于︱F1F2︱)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.三、雙曲線定義

||MF1|-|MF2||

=2a對(duì)雙曲線定義的兩點(diǎn)說明：(1)距離的差要加絕對(duì)值,否則只為雙曲線的一支.若F1,F2表示雙曲線的左、右焦點(diǎn),且點(diǎn)P滿足|PF1|-|PF2|=2a,則點(diǎn)P在右支上;若點(diǎn)P滿足|PF2|-|PF1|=2a,則點(diǎn)P在左支上.(2)在雙曲線定義中,規(guī)定2a<|F1F2|,若把|F1F2|用2c表示,則當(dāng)2a<2c時(shí),P的軌跡為雙曲線.當(dāng)2a=2c時(shí),P的軌跡為以F1,F2為端點(diǎn)的兩條射線.當(dāng)2a>2c時(shí),動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不存在.①兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2——雙曲線的焦點(diǎn);②|F1F2|=2c——焦距.（2a<2c）

oF2F1M平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)（小于︱F1F2︱)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.雙曲線定義思考：（1）若2a=2c,則軌跡是？（2）若2a>2c,則軌跡是？||MF1|-|MF2||

=2a（3）2a=0,則軌跡是？距離的差為什么要加絕對(duì)值?以F1,F2為端點(diǎn)的兩條射線.M的軌跡不存在.線段F1F2的中垂線.生活中的雙曲線雙曲線型自然通風(fēng)冷卻塔雙曲線也是具有廣泛應(yīng)用的一種圓錐曲線生活中的雙曲線

xyo

設(shè)M(x,y),雙曲線的焦距為2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0),常數(shù)=2aF1F2M即

|(x+c)2+y2-(x-c)2+y2|

=2a

以F1,F2所在的直線為X軸，線段F1F2的垂直平分線為Y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系Oxy1.建系.2.設(shè)點(diǎn)．3.限制條件．||MF1|-|MF2||=2a如何求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程？4.坐標(biāo)代入．5.化簡.移項(xiàng)兩邊平方后整理得：

兩邊再平方后整理得：

由雙曲線定義知：

設(shè)

代入上式整理得：

5.化簡.F1F2yxoy2a2-x2b2=1焦點(diǎn)在Y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么思考F2F1MxOyOMF2F1xy雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上注：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程都可化為一個(gè)統(tǒng)一的形式,即Ax2+By2=1(AB<0)而橢圓的方程為Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).問題：如何判斷雙曲線的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上？F(±c,0)F(0,±c)x2與y2的系數(shù)符號(hào)，決定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，x2,y2哪個(gè)系數(shù)為正，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上，而橢圓的焦點(diǎn)所在位置與分母的大小有關(guān),所以由方程定焦點(diǎn)：橢圓看大小，雙曲線看符號(hào)F(±c,0)F(0,±c)焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上練習(xí)：寫出以下雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)（請(qǐng)注意焦點(diǎn)的位置）F(±5,0)F(0,±5)F(±c,0)F(0,±c)例1

已知雙曲線的焦點(diǎn)為F1(-5,0),F2(5,0)，雙曲線上一點(diǎn)P到F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.∵2a=6,

c=5∴a=3,c=5∴b2=52-32=16所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為：解:課堂練習(xí)

1.寫出適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

1)a=4，b=3，焦點(diǎn)在x軸上.

2）a=，c=4，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上.2.已知雙曲線過P1(-2,)和P2(,4)兩點(diǎn),求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.∵雙曲線的焦點(diǎn)位置不確定,∴可設(shè)雙曲線方程為mx2+ny2=1(mn<0).∵P1,P2在雙曲線上,∴解得

故所求雙曲線方程為

使A、B兩點(diǎn)在x軸上，并且點(diǎn)O與線段AB的中點(diǎn)重合解:由聲速及在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,可知A地與爆炸點(diǎn)的距離比B地與爆炸點(diǎn)的距離遠(yuǎn)680m.因?yàn)閨AB|>680m,所以爆炸點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線在靠近B處的一支上.

例2已知A,B兩地相距800m,在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,且聲速為340m/s,求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程.如圖所示，建立直角坐標(biāo)系Oxy,設(shè)爆炸點(diǎn)P(x,y)，則即2a=680，a=340

xyoPBA因此炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程為利用兩個(gè)不同的觀測(cè)點(diǎn)A，B測(cè)得同一點(diǎn)P發(fā)出信號(hào)的時(shí)間差，可以確定點(diǎn)P所在雙曲線的方程．如果再增設(shè)一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C，利用B，C（或A，C）兩處測(cè)得的點(diǎn)P發(fā)出信號(hào)的時(shí)間差，就可以確定點(diǎn)P所在另一雙曲線的方程．解這兩個(gè)方程組成的方程組，就能確定點(diǎn)P的準(zhǔn)確位置，這是雙曲線的一個(gè)重要應(yīng)用.例3.已知圓C1：(x+3)2+y2=1和圓C2：(x-3)2+y2=9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．解：設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r,則由外切的條件可得|MC1|=r+1|MC2|=r+3這表明動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)C2、C1的距離的差是常數(shù)2．根據(jù)雙曲線的定義，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M與C2的距離大，與C1的距離小)，這里a=1，c=3，則b2=8，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，其軌跡方程為：

2、如果方程

表示雙曲線，求m的范圍.答案：m<1或m>2課堂練習(xí)定義圖象方程焦點(diǎn)a.b.c的關(guān)系||PF1|-|PF2||=2a（０<2a<|F1F2|）F(±c,0)

F(0,±c)小結(jié)定義

方程

焦點(diǎn)a.b.c的關(guān)系F(±c,0)F(±c,