2023-2024學(xué)年湖南省永州市九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年湖南省永州市九年級(jí)第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題3分，共24分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的；請(qǐng)將你認(rèn)為正確的選項(xiàng)填涂到答題卡上）1．下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（）A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝﹣2．一元二次方程的一次項(xiàng)系數(shù)是（）A．2 B． C． D．﹣33．下列各組中的四條線段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，20cm，40cm C．4cm，2cm，5cm，3cm D．5cm，10cm，15cm，20cm4．已知點(diǎn)A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在函數(shù)y＝﹣的圖象上，則y1，y2的大小關(guān)系是（）A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y(tǒng)2 D．不能確定5．一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可變形為（）A．（x+4）2＝17 B．（x﹣4）2＝17 C．（x+4）2＝15 D．（x﹣4）2＝156．如圖，小正方形的邊長為1，則下列圖中的三角形與△ABC相似的是（）A． B． C． D．7．《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，成書于約一千五百年前，其中有首歌謠：今有竿不知其長，量得影長一百五十寸，立一標(biāo)桿，長一十五寸，影長五寸，問竿長幾何？意即：有一根竹竿不知道有多長，量出它在太陽下的影子長一百五十寸，同時(shí)立一根一十五寸的小標(biāo)桿，它的影長五寸，則竹竿的長為（）A．500寸 B．450寸 C．100寸 D．50寸8．如圖，在x軸的正半軸上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5＝?＝A2022A2023，過點(diǎn)A1，A2，A3，A4，A5，…，A2022，A2023分別作x軸的垂線，與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)P1，P2，P3，P4，P5，…，P2022，P2023，得直角三角形OP1A1，A1P2A2，A2P3A3，A3P4A4，A4P5A5，…，A2022P2023A2023，并設(shè)其面積分別為S1，S2，S3，S4，S5，…，S2023，則S2023的值為（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共8個(gè)小題，每小題3分，共24分．請(qǐng)將答案填在答題卡的答案欄內(nèi)）9．若＝，則＝．10．若x＝﹣1是關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+a＝0的一個(gè)根，則a的值為．11．已知關(guān)于x的方程x2﹣kx+6＝0的兩根分別是x1，x2，則x1x2的值是．12．已知點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AB＝1cm，AC＞BC，則AC＝．13．某藥品原價(jià)每盒25元，為了響應(yīng)國家解決老百姓看病貴的號(hào)召，經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)，現(xiàn)在售價(jià)每盒16元，則該藥品平均每次降價(jià)的百分率是．14．反比例函數(shù)y＝（x＞0）與正比例函數(shù)y＝x的交點(diǎn)坐標(biāo)為．15．如圖：△ABO∽△CDO，若AB＝10，CD＝4，AO＝6，則OC的長為．16．如圖，點(diǎn)A是雙曲線y＝﹣在第二象限分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AO并延長交另一分支于點(diǎn)B，以AB為底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，點(diǎn)C在第一象限，隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C的位置也不斷變化，但點(diǎn)C始終在雙曲線y＝上運(yùn)動(dòng)，則k的值為．三、解答題（本大題共10個(gè)小題，第17、18題每小題5分，第19、20題每小題5分，第21、22題每小題5分，第23、24題每小題5分，第25、26題每小題5分，共72分．解答題要求寫出必要的文字說明或演算步驟）17．解方程：2x2﹣4x+1＝0．18．已知反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過A（2，﹣4）．（1）求k的值；（2）判斷點(diǎn)B（﹣1，5）是否在這個(gè)函數(shù)的圖象上，并說明理由．19．如圖，在△ABC中，BC＝8，AC＝4，D是BC邊上一點(diǎn)，CD＝2．求證△ABC∽△DAC．20．如圖，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝6cm，點(diǎn)P，Q同時(shí)從B，A出發(fā)，分別向終點(diǎn)A，C移動(dòng)，P，Q的速度分別是2cm/s，1cm/s，問經(jīng)過幾秒后，三角形APQ的面積是4cm2？21．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．（1）求證：無論m取何值時(shí)，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若x1，x2是原方程的兩根，且，求m的值．22．如圖，已知△ABC中，DE∥BC，EF∥AB．（1）求證：△ADE∽△EFC；（2）AD：DB＝2：3，AB＝15，BC＝10，求四邊形BDEF的周長．23．如圖，一次函數(shù)y＝kx+b與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于A（1，3），B（n，2）兩點(diǎn)．（1）求一次函數(shù)表達(dá)式和反比例函數(shù)表達(dá)式；（2）直接寫出關(guān)于x的不等式kx+b＜的解集；（3）求△AOB的面積．24．商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元．商場為了減少庫存開始降價(jià)銷售，每件商品每降價(jià)1元，商場平均每天可多售出2件．（1）在商場日盈利達(dá)到2100元時(shí)，每件商品應(yīng)該降價(jià)多少元？（2）若商場要保證每天銷售量不少于100件，每件商品最多能盈利多少元？25．如圖，Rt△OAB的直角頂點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，已知反比例函數(shù)（x＞0）的圖象經(jīng)過線段OA的中點(diǎn)D，交直線AB于點(diǎn)C．若△OAB的面積為6．（1）求k的值；（2）若AC＝OB，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．26．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是邊BC上的一點(diǎn)（不與B、C重合），點(diǎn)N在邊CD延長線上，且滿足∠MAN＝90°，聯(lián)結(jié)MN，AC，MN與邊AD交于點(diǎn)E．（1）求證：AM＝AN；（2）如果∠CAD＝2∠NAD，求證：AM2＝AB?AE；（3）MN交AC點(diǎn)O，若＝k，則＝（直接寫答案、用含k的代數(shù)式表示）．

參考答案一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題3分，共24分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的；請(qǐng)將你認(rèn)為正確的選項(xiàng)填涂到答題卡上）1．下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（）A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝﹣【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義（形如y＝k為常數(shù)，k≠0的函數(shù)稱為反比例函數(shù)）逐一判斷即可得答案．解：A、y＝中，y是x的反比例函數(shù)，故該選項(xiàng)符合題意；B、y＝﹣中，y是x2的反比例函數(shù)，故該選項(xiàng)不符合題意；C、y＝是一次函數(shù)，故該選項(xiàng)不符合題意；D、y＝中，y是x+1的反比例函數(shù)，故該選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的定義，形如y＝（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)．其中x是自變量，y是函數(shù)，自變量x的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù)．2．一元二次方程的一次項(xiàng)系數(shù)是（）A．2 B． C． D．﹣3【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式，即可解答．解：一元二次方程的一次項(xiàng)系數(shù)是，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的一般形式及其概念，熟練掌握和運(yùn)用一元二次方程的一般形式及其概念是解決本題的關(guān)鍵．3．下列各組中的四條線段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，20cm，40cm C．4cm，2cm，5cm，3cm D．5cm，10cm，15cm，20cm【分析】理解成比例線段的概念，注意在線段兩兩相乘時(shí)，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等．解：根據(jù)兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．A，1×4≠2×3，所以四條線段不成比例；B，1×40＝2×20，四條線段成比例；C，4×3≠2×5，所以四條線段不成比例；D，5×20≠10×15，所以四條線段不成比例．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查成比例線段的概念，關(guān)鍵是理解比例線段的定義．4．已知點(diǎn)A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在函數(shù)y＝﹣的圖象上，則y1，y2的大小關(guān)系是（）A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y(tǒng)2 D．不能確定【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可分別計(jì)算出y1，y2的值，然后比較大小即可．解：∵點(diǎn)A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在函數(shù)y＝﹣的圖象上，∴y1＝﹣＝6，y2＝﹣＝3，∴y1＞y2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，所有在反比例函數(shù)上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積應(yīng)等于比例系數(shù)．5．一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可變形為（）A．（x+4）2＝17 B．（x﹣4）2＝17 C．（x+4）2＝15 D．（x﹣4）2＝15【分析】先移項(xiàng)，再兩邊配上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方可得．解：∵x2﹣8x﹣1＝0，∴x2﹣8x＝1，∴x2﹣8x+16＝1+16，即（x﹣4）2＝17，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法．6．如圖，小正方形的邊長為1，則下列圖中的三角形與△ABC相似的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)網(wǎng)格中的數(shù)據(jù)求出AB，AC，BC的長，求出三邊之比，利用三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩三角形相似判斷即可．解：根據(jù)題意可得：，∴，A．三邊之比為，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似．B．三邊之比為，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似．C．三邊之比為，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似．D．三邊之比為，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．7．《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，成書于約一千五百年前，其中有首歌謠：今有竿不知其長，量得影長一百五十寸，立一標(biāo)桿，長一十五寸，影長五寸，問竿長幾何？意即：有一根竹竿不知道有多長，量出它在太陽下的影子長一百五十寸，同時(shí)立一根一十五寸的小標(biāo)桿，它的影長五寸，則竹竿的長為（）A．500寸 B．450寸 C．100寸 D．50寸【分析】根據(jù)同一時(shí)刻物高與影長成正比可得出結(jié)論．解：設(shè)竹竿的長度為x寸，∵竹竿的影長＝150寸，標(biāo)桿長＝15寸，影長＝5寸，∴，解得x＝450．答：竹竿長為450寸，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，熟知同一時(shí)刻物高與影長成正比是解答此題的關(guān)鍵．8．如圖，在x軸的正半軸上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5＝?＝A2022A2023，過點(diǎn)A1，A2，A3，A4，A5，…，A2022，A2023分別作x軸的垂線，與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)P1，P2，P3，P4，P5，…，P2022，P2023，得直角三角形OP1A1，A1P2A2，A2P3A3，A3P4A4，A4P5A5，…，A2022P2023A2023，并設(shè)其面積分別為S1，S2，S3，S4，S5，…，S2023，則S2023的值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)y＝中k的幾何意義再結(jié)合圖象即可解答．解：∵過雙曲線上任意一點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S是個(gè)定值，S＝|k|，∴S1＝1，S△OA2P2＝1，∵OA1＝A1A2，∴S△OA2P2＝，同理可得，S2＝S1＝，S3＝S1＝，S4＝S1＝，以此類推，Sn＝，∴S2023＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經(jīng)?？疾榈囊粋€(gè)知識(shí)點(diǎn)；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系即S＝|k|．二、填空題（本大題共8個(gè)小題，每小題3分，共24分．請(qǐng)將答案填在答題卡的答案欄內(nèi)）9．若＝，則＝．【分析】根據(jù)比例設(shè)a＝2k，b＝3k（k≠0），然后代入比例式進(jìn)行計(jì)算即可得解．解：∵＝，∴設(shè)a＝2k，b＝3k（k≠0），∴＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，此類題目，利用“設(shè)k法”求解更簡便．10．若x＝﹣1是關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+a＝0的一個(gè)根，則a的值為2．【分析】根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0有一個(gè)根為2，將x＝2代入方程即可求得a的值．解：∵x＝﹣1是關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+a＝0的一個(gè)根，∴（﹣1）2+3×（﹣1）+a＝0，解得，a＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的解，解答本題的關(guān)鍵是明確一元二次方程解得含義．11．已知關(guān)于x的方程x2﹣kx+6＝0的兩根分別是x1，x2，則x1x2的值是6．【分析】直接利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可．解：∵x2﹣kx+6＝0的兩根分別是x1，x2，∴x1x2＝6．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查根的系數(shù)的關(guān)系，解答的關(guān)鍵是熟記一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系為：x1+x2＝﹣，x1?x2＝．12．已知點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AB＝1cm，AC＞BC，則AC＝cm．【分析】根據(jù)黃金分割的定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．解：∵點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AB＝1cm，AC＞BC，∴AC＝AB＝cm，故答案為：cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．13．某藥品原價(jià)每盒25元，為了響應(yīng)國家解決老百姓看病貴的號(hào)召，經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)，現(xiàn)在售價(jià)每盒16元，則該藥品平均每次降價(jià)的百分率是20%．【分析】設(shè)該藥品平均每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)降價(jià)后的價(jià)格＝降價(jià)前的價(jià)格（1﹣降價(jià)的百分率），則第一次降價(jià)后的價(jià)格是25（1﹣x），第二次后的價(jià)格是25（1﹣x）2，據(jù)此即可列方程求解．解：設(shè)該藥品平均每次降價(jià)的百分率為x，由題意可知經(jīng)過連續(xù)兩次降價(jià)，現(xiàn)在售價(jià)每盒16元，故25（1﹣x）2＝16，解得x＝0.2或1.8（不合題意，舍去），故該藥品平均每次降價(jià)的百分率為20%．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)量平均變化率問題．原來的數(shù)量（價(jià)格）為a，平均每次增長或降低的百分率為x的話，經(jīng)過第一次調(diào)整，就調(diào)整到a（1±x），再經(jīng)過第二次調(diào)整就是a（1±x）（1±x）＝a（1±x）2．增長用“+”，下降用“﹣”．14．反比例函數(shù)y＝（x＞0）與正比例函數(shù)y＝x的交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）．【分析】解析式聯(lián)立成方程組，解方程組即可求得．解：由解得或，∵x＞0，∴反比例函數(shù)y＝（x＞0）與正比例函數(shù)y＝x的交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），故答案為（3，1）．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)是常用的方法，也是基本的方法，需熟練掌握．15．如圖：△ABO∽△CDO，若AB＝10，CD＝4，AO＝6，則OC的長為2.4．【分析】直接利用相似三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊之間的關(guān)系進(jìn)而得出答案．解：∵△ABO∽△CDO，∴，∵AB＝10，CD＝4，AO＝6，∴，解得：CO＝2.4．故答案為：2.4．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，正確得出對(duì)應(yīng)邊之間關(guān)系是解題關(guān)鍵．16．如圖，點(diǎn)A是雙曲線y＝﹣在第二象限分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AO并延長交另一分支于點(diǎn)B，以AB為底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，點(diǎn)C在第一象限，隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C的位置也不斷變化，但點(diǎn)C始終在雙曲線y＝上運(yùn)動(dòng)，則k的值為3．【分析】連接CO，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，證明△AOD∽△OCE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出△AOD和△OCE面積比，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征求出S△AOD，得到S△EOC，求出k的值．解：連接CO，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，∵連接AO并延長交另一分支于點(diǎn)B，以AB為底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，∴CO⊥AB，∠CAB＝30°，則∠AOD+∠COE＝90°，∵∠DAO+∠AOD＝90°，∴∠DAO＝∠COE，又∵∠ADO＝∠CEO＝90°，∴△AOD∽△OCE，∴＝＝＝tan60°＝，∴＝（）2＝3，∵點(diǎn)A是雙曲線y＝﹣在第二象限分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴S△AOD＝×|xy|＝，∴S△EOC＝，即×OE×CE＝，∴k＝OE×CE＝3，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，得出△AOD∽△OCE是解題關(guān)鍵．三、解答題（本大題共10個(gè)小題，第17、18題每小題5分，第19、20題每小題5分，第21、22題每小題5分，第23、24題每小題5分，第25、26題每小題5分，共72分．解答題要求寫出必要的文字說明或演算步驟）17．解方程：2x2﹣4x+1＝0．【分析】先化二次項(xiàng)系數(shù)為1，然后把左邊配成完全平方式，右邊化為常數(shù)．解：由原方程，得x2﹣2x＝﹣，等式的兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得x2﹣2x+1＝，配方，得（x﹣1）2＝，直接開平方，得x﹣1＝±，x1＝1+，x2＝1﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．用配方法解一元二次方程的步驟：（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移項(xiàng)，把常數(shù)項(xiàng)移到右邊；第二步配方，左右兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；第三步左邊寫成完全平方式；第四步，直接開方即可．（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)，即化成x2+px+q＝0，然后配方．18．已知反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過A（2，﹣4）．（1）求k的值；（2）判斷點(diǎn)B（﹣1，5）是否在這個(gè)函數(shù)的圖象上，并說明理由．【分析】（1）首先利用待定系數(shù)法求出k的值；（2）利用解析式算出當(dāng)x＝﹣1時(shí)，函數(shù)的值即可判斷．解：（1）∵反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過A（2，﹣4）．∴1﹣k＝2×（﹣4），∴k＝9；（2）把x＝﹣1代入反比例函數(shù)解析式y(tǒng)＝﹣得，y＝8≠5，所以點(diǎn)B（﹣1，5）不在這個(gè)函數(shù)的圖象上．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)，關(guān)鍵是掌握凡是反比例函數(shù)圖象經(jīng)過的點(diǎn)，都能滿足解析式．19．如圖，在△ABC中，BC＝8，AC＝4，D是BC邊上一點(diǎn)，CD＝2．求證△ABC∽△DAC．【分析】由題意可得＝，∠C＝∠C，可得結(jié)論．【解答】證明：∵BC＝8，AC＝4，CD＝2，∴＝＝2，＝＝2．∴＝，∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．20．如圖，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝6cm，點(diǎn)P，Q同時(shí)從B，A出發(fā)，分別向終點(diǎn)A，C移動(dòng)，P，Q的速度分別是2cm/s，1cm/s，問經(jīng)過幾秒后，三角形APQ的面積是4cm2？【分析】在Rt△ABC中，利用“30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”，可求出AB的長度，過點(diǎn)Q作QM⊥AB于點(diǎn)M，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，則AP＝（12﹣2t）cm，AQ＝tcm，QM＝tcm，根據(jù)三角形APQ的面積是4cm2，可列出關(guān)于t的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝6cm，∴AB＝2BC＝2×6＝12（cm）．過點(diǎn)Q作QM⊥AB于點(diǎn)M，如圖所示．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，則AP＝（12﹣2t）cm，AQ＝tcm，QM＝AQ＝tcm，根據(jù)題意得：×t?（12﹣2t）＝4，整理得：t2﹣6t+8＝0，解得：t1＝2，t2＝4．答：經(jīng)過2s或4s后，三角形APQ的面積是4cm2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及含30度角的直角三角形，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．21．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．（1）求證：無論m取何值時(shí)，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若x1，x2是原方程的兩根，且，求m的值．【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式與根的關(guān)系即可求出答案；（2）根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及配方法即可求出答案．【解答】（1）證明：∵b2﹣4ac＝（m+3）2﹣4×1?（m+1）＝m2+2m+5＝（m+1）2+4＞0，∴無論m取何值時(shí)，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：∵，∴，又∵x1+x2＝﹣（m+3），x1?x2＝m+1，∴[﹣（m+3）]2﹣2（m+1）＝4，解得：m1＝﹣1，m2＝﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根的判別式與根的關(guān)系以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．22．如圖，已知△ABC中，DE∥BC，EF∥AB．（1）求證：△ADE∽△EFC；（2）AD：DB＝2：3，AB＝15，BC＝10，求四邊形BDEF的周長．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AED＝∠C，∠EFC＝∠B，∠ADE＝∠B，等量代換得到∠ADE＝∠EFC，即可求解；（2）由DE∥BC，EF∥AB，推出四邊形BDEF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出DE＝BF，BD＝EF，由于△ADE∽△EFC，△ADE∽△ABC，AD：DB＝2：3，得到BD＝9，DE＝4，即可求解．【解答】（1）證明：∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠AED＝∠C，∠EFC＝∠B，∠ADE＝∠B，∴∠ADE＝∠EFC，∴△ADE∽△EFC，（2）解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴四邊形BDEF是平行四邊形，∴DE＝BF，BD＝EF，∵△ADE∽△EFC，△ADE∽△ABC，AD：DB＝2：3，∴AD：AB＝2：5＝DE：BC，∵AB＝15，BC＝10，∴AD＝6，BD＝9，DE＝4，∴四邊形BDEF的周長＝2×（BD+DE）＝24．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．23．如圖，一次函數(shù)y＝kx+b與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于A（1，3），B（n，2）兩點(diǎn)．（1）求一次函數(shù)表達(dá)式和反比例函數(shù)表達(dá)式；（2）直接寫出關(guān)于x的不等式kx+b＜的解集；（3）求△AOB的面積．【分析】（1）將點(diǎn)A（1，3）代入反比例函數(shù)解析式可得其解析式；先根據(jù)反比例函數(shù)解析式求得點(diǎn)B坐標(biāo)，再由A、B坐標(biāo)可得直線解析式；（2）根據(jù)圖象得出不等式kx+b＜的解集即可；（3）先求得直線與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC求得即可．解：（1）把A（1，3）代入，得：m＝3，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝；把B（n，2）代入y＝，解得：n＝，∴B（，2），把A（1，3）、B（，2）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴一次函數(shù)的解析式為y＝﹣2x+5；（2）觀察圖象，關(guān)于x的不等式kx+b＜的解集為0＜x＜1或x＞；（3）令y＝0，即﹣2x+5＝0，解得：x＝，∴C（，0），∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝×3﹣×2＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點(diǎn)及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形面積等問題，掌握?qǐng)D象的交點(diǎn)的坐標(biāo)滿足兩個(gè)函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．24．商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元．商場為了減少庫存開始降價(jià)銷售，每件商品每降價(jià)1元，商場平均每天可多售出2件．（1）在商場日盈利達(dá)到2100元時(shí)，每件商品應(yīng)該降價(jià)多少元？（2）若商場要保證每天銷售量不少于100件，每件商品最多能盈利多少元？【分析】（1）利用銷售該商品獲得的利潤＝每件的銷售利潤×日銷售量列方程即可解得答案；（2）列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)即可得到答案．解：（1）設(shè)每件商品降價(jià)m元時(shí)，商場日盈利可達(dá)到2100元，根據(jù)題意得：（50﹣m）（30+2m）＝2100，解得m＝15或m＝20，∵為了盡快減少庫存，∴銷量盡可能大，m取20，答：每件商品降價(jià)20元時(shí)，商場日盈利可達(dá)到2100元；（2）設(shè)每件商品降價(jià)x元，每件商品盈利為y元，則y＝50﹣x，∵商場要保證每天銷售量不少于100件，∴30+2x≥100，解得：x≥35，∵﹣1＜0，∴y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝35時(shí)，y最大，最大值為15，∴商場要保證每天銷售量不少于100件，每件商品最多能盈利15元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系列方程和函數(shù)關(guān)系式．25．如圖，Rt△OAB的直角頂點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，已知反比例函數(shù)（x＞0）的圖象經(jīng)過線段OA的中點(diǎn)D，交直線AB于點(diǎn)C．若△OAB的面積為6．（1）求k的值；（2）若AC＝OB，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．【分析】（1）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2m，），由△O