電路分析 第4版 04章 動態(tài)電路

04章：動態(tài)電路4.1動態(tài)電路的基本概念和換路定則 4.1.1動態(tài)電路的基本概念 4.1.2換路定則與初始值的確定 4.2一階電路的分析 4.2.1RC和RL電路的零輸入響應(yīng) 4.2.2RC和RL電路的零狀態(tài)響應(yīng) 4.2.3全響應(yīng) 4.2.4三要素法 4.3二階電路的分析 4.3.1二階電路的零輸入響應(yīng)4.3.2二階電路的零狀態(tài)響應(yīng)與全響 4.4階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng) 4.4.1階躍函數(shù)與沖激函數(shù) 4.4.2階躍響應(yīng) 4.4.3沖激響應(yīng) 知識傳授

1、了解動態(tài)元件的定義和特性；2、掌握動態(tài)電路的方程列寫方法和初值確定方法；掌握一階電路求解的三要素法；理解一階電路不同類型響應(yīng)的特點(diǎn)并能求解相應(yīng)的響應(yīng)；3、理解二階電路的工作狀態(tài)及其特點(diǎn)；4、認(rèn)知時域中沖激函數(shù)和階躍函數(shù)及其特點(diǎn)和應(yīng)用。能力培養(yǎng)1、鍛煉具備微積分知識解決問題的能力；2、鍛煉具備針對特殊情況提出特殊解決方法的能力；3、鍛煉認(rèn)知和理解復(fù)雜電路模型的能力與視野。價值引導(dǎo)1、成就=基礎(chǔ)+天賦+付出：類比電容和電感特性；2、數(shù)量、質(zhì)量與度把握:數(shù)量可以決定動態(tài)電路的階數(shù)，但質(zhì)的飛躍來自與每個數(shù)量的有力支撐，且需要適當(dāng)?shù)牧Χ龋拍軐?shí)現(xiàn)一階電路到二階電路的轉(zhuǎn)變；4.1動態(tài)電路的基本概念和換路定則4.1.1

動態(tài)電路的基本概念問題的引出1.汽車:實(shí)際生活中的物理現(xiàn)象40公里/小時勻速加速過程穩(wěn)態(tài)1穩(wěn)態(tài)2過渡過程為什么會有過渡過程?2.照相機(jī):閃光燈充電電容充電需要時間利用電容儲存電能物體慣性的存在電磁慣性的存在過渡過程為什么電容充電會有過渡過程?從靜止?fàn)顟B(tài)一、動態(tài)電路及過渡過程S未動作前,電路原已穩(wěn)定i=0,uC=0i

=0,uC=Usi+–uCUsRC兩種穩(wěn)態(tài)：S接通電源后很長時間達(dá)到穩(wěn)定兩種穩(wěn)態(tài)電路之間的過渡過程各物理量是如何變化的?設(shè)開關(guān)S在t=0由:ab+–uCUsRCi

S(t=0)ab電容的充電已經(jīng)完成例如---初始穩(wěn)態(tài)---新穩(wěn)態(tài)K+–uCUsRCi初始狀態(tài)過渡狀態(tài)新穩(wěn)態(tài)t1USuct0?i續(xù)此過程稱為電路的過渡過程

當(dāng)動態(tài)電路的結(jié)構(gòu)發(fā)生變化時，需要經(jīng)歷一個變化過程才能達(dá)到新的穩(wěn)態(tài):只有了解過渡過程,才能全面的了解動態(tài)電路的性質(zhì)。

含有動態(tài)元件（電感或者電容）的電路:動態(tài)電路約定三個時刻合上(斷開)電源、換路元件參數(shù)改變、電路結(jié)構(gòu)改變等等。定義換路前后的瞬時,換路為了討論上的方便,忽略了開關(guān)的動作時間t<0t>0綜上所述,動態(tài)電路會產(chǎn)生過渡過程:1.電路中含有動態(tài)(儲能)元件L、C3.電磁能量的儲存和釋放都需要一定的時間來完成

電路結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)發(fā)生變化電磁慣性(內(nèi)因)(外因)2.換路:過渡過程實(shí)質(zhì):是電路的能量從一種分布狀態(tài)到另一種分布狀態(tài)的變化過程。除非電路中具有無窮大功率。二.動態(tài)電路的方程描述方程為微分方程描述方程為代數(shù)方程1、動態(tài)電路電阻電路iu3+-UsR1R2R3S(t=0)比較靜態(tài)電路+–uCUsRCi

S(t=0)ab元件KVL2、動態(tài)電路的階數(shù)換路后，用一階微分方程描述的電路:一階電路+–uCiCL–+RusS(t=0)換路后，用二階微分方程描述的電路:二階電路換路后，用n階微分方程描述的電路:n階電路+–uCUsRCi

S(t=0)ab含有n個動態(tài)元件的電路------n階電路?思考題1:獨(dú)立動態(tài)元件個數(shù)三.動態(tài)電路的分析方法經(jīng)典法變換域分析法:時域分析法:拉普拉斯變換法狀態(tài)變量法數(shù)值法(復(fù)頻域分析)解微分方程狀態(tài)方程計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算本章討論求解一階微分方程組齊次解特解雙零法零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)(略)第10章討論s域中運(yùn)算t

域4.1.2換路定則與初始值的確定一.初始條件定義設(shè)換路在t=0時刻進(jìn)行,0-

換路前一瞬間0+

換路后一瞬間0-0+0tf(t)電路的初始條件（初始值）：求解微分方程的邊界條件:電路變量的初始值

如何求初始條件?在t=0點(diǎn)連續(xù):在t=0點(diǎn)不連續(xù):電路的變量（電壓或電流）及（n-1）階導(dǎo)數(shù)在t=0+時刻的值。在0點(diǎn)有躍變二.換路定則1）線性電容所以令t0=0–

，t=0+iCucC

+-uC

(0+)=uC

(0-)換路瞬間，若電容電流為有限值，說明:則有則電容電壓換路前后瞬時的值保持不變。若為有限值2）線性電感令t0=0–

，t=0+iuLL+-LiL(0+)=iL(0-)說明:

換路瞬間，若電感電壓為有限值，則有所以則電感電流換路前后瞬時的值保持不變。若為有限值換路定則

L

(0+)=

L

(0-)qc(0+)=qc

(0-)換路定則成立的條件:

換路瞬間，電感電壓為有限值。

換路瞬間，電容電流為有限值;uC

(0+)=uC

(0-)iL(0+)=iL(0-)

L=LiLqC=CuC由于可知換路定則推廣常數(shù)思考題2:若條件不滿足會如何?三、換路定則的應(yīng)用電路初始值的計(jì)算ex1(2)由換路定則uC

(0+)=uC

(0-)=8Vic(0+)+-10Vi+8V-10k0+等效電路(1)由0-電路求uC(0-)+-10V+uC(0-)-10k40kuC(0-)=?(3)由0+等效電路,求iC(0+)iC(0--)iC(0+)電路原已穩(wěn)定,開關(guān)在t=0打開，求iC(0+)。iC(0+)＝0-等效電路解8V注意:+-10ViiC+uC-S10k40kC開路等值電壓源替代ex2

iL(0+)=iL(0-)=2A電路原已穩(wěn)定,t=0時閉合開關(guān)S,求uL(0+)。iL+uL-L10VS1

4

+uL(0+)-0+電路:10V1

4

2A先求由換路定則解由0_電路:10V1

4

iL(0_)短路等值電流源替代ex3iL(0+)=iL(0-)=ISuC(0+)=uC(0-)=RISuL(0+)=-uC(0+)=-RIS0+等效電路:iC(0+)uL(0+)+–電路原已穩(wěn)定,t=0時閉合開關(guān)S,求iC(0+),uL(0+)。S(t=0)+–uLiLC+–uCLRISiC解+–uC(0-)CLRIS0-等效電路:iL(0-)=ISuC(0-)=RISiL(0-)RiL(0+)+–uC(0+)由換路定則所以練習(xí):動態(tài)電路中電路變量初值求解步驟初始值計(jì)算步驟①換路前電路已穩(wěn)定:電容開路、電感短路、uC

(0+)=uC

(0-),uC(0-)由0-電路求和iL(0-)；iL(0+)=iL(0-)②由換路定則求③

0+電路

C、L

的處理uC(0+)iL(0+)電容用等值電壓源替代電容短路電感開路電感用等值電流源替代④由0+電路求變量及相應(yīng)(n-1)階導(dǎo)數(shù)的初值。對于n階電路的初值確定其中iC(0+)和uL(0+)可根據(jù)t=0+時的等效電路求。還要把其（n-1)階導(dǎo)數(shù)的初值也確定出來。如：分析二階電路，要分析其一階導(dǎo)數(shù)的初值，即分析的初值和+0Cddtu+0Lddti例4-1電路如圖

(a)所示，開關(guān)動作前電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，t=0時開關(guān)S打開。求uC(0+)、iL(0+)、iC(0+)、uL(0+)、iR(0+)和解：作t=0–的等效電路如圖(b)所示，有由換路定則得uC(0+)=uC(0–)=6V，iL(0+)=iL(0–)=2AS(t=0)(a)iRiLiC–+12V0.1H1/24F+–uC3Ω6Ω6Ω(b)iRiLiC–+12V+–uC3Ω6Ω6Ω

畫出t=0＋時的等效電路如圖(c)所示，由KVL有所以

iR(0+)=1A，iC(0+)=iR(0+)–2=–1A，uL(0+)=6–3×2=0(c)iR(0+)iL(0+)iC(0+)–+12V+–6V3Ω6Ω2A+uL(0+)-EX7圖示電路原已穩(wěn)定,求開關(guān)打開后的各量初值。S(t=0)R1R2USLCuLuCuR2iLiC解0+電路:R2uR2(0+)iL(0+)uC(0+)iC(0+)uL(0+)?+-小結(jié)1.動態(tài)電路的特點(diǎn)含有動態(tài)元件(L、C)用微分方程來描述,方程階數(shù)=電路階數(shù)2.產(chǎn)生過渡過程過渡過程的物理現(xiàn)象換路外因動態(tài)元件內(nèi)因?qū)嵸|(zhì)在有限功率下,能量分布狀態(tài)的改變,不能立即完成。電磁慣性3.換路定則有限值條件:uC

(0+)=uC

(0-)iL(0+)=iL(0-)4.初始條件的計(jì)算?提示電路的初始值是求解微分方程的必要條件，給定動態(tài)電路,如何列寫電路的微分方程并求解?動態(tài)電路的分析?今天先討論一階電路的雙零響應(yīng)、全響應(yīng)和三要素分析法。4.2一階電路分析TheFirst-OrderCircuit

一階電路是通常指電路中僅含一個獨(dú)立的動態(tài)元件（或儲能元件）的電路。

換路后，描述電路的方程是一階（常系數(shù)）微分方程?！浑A電路定義。

常見的有一階電阻電容電路（簡稱為RC電路）和一階電阻電感電路（簡稱為RL電路）。

4.2.1零輸入響應(yīng)分析零輸入響應(yīng)：激勵(獨(dú)立電源)為零，僅由儲能元件初始儲能作用于電路產(chǎn)生的響應(yīng)。本節(jié)按照RC和RL電路來分析。Zero-inputResponse1、RC電路的零輸入響應(yīng)－－RC放電電路已知：電路如圖uC

(0-)=U0

，求uC

(t)。

解:

iK(t=0)+–uRC+–uCRuR=Ri特征根設(shè)特征方程RCp+1=0得則初始值uC

(0+)=uC(0-)=U0A=U0tU0uC0I0ti0

電壓、電流以同一指數(shù)規(guī)律衰減，衰減快慢取決于RC乘積放電過程中電容電壓uC。

發(fā)現(xiàn)：電壓是連續(xù)的，而非突變（躍變）的！在換路瞬間，i

(0－)=0，i

(0+)=U0/R，電流發(fā)生了躍變！電路的解及分析一個重要的參數(shù)：時間常數(shù)τ令

=RC

,稱

為一階電路的時間常數(shù)

=RC時間常數(shù)

的大小反映了電路過渡過程時間的長短

大過渡過程時間的長

小過渡過程時間的短電壓初值一定：R大（C不變）i=u/R放電電流小放電時間長U0tuc0

小

大C大（R不變）w=0.5Cu2

儲能大U00.368U00.135U00.05U00.007U0工程上認(rèn)為,經(jīng)過3

-5

,過渡過程結(jié)束。

：電容電壓衰減到原來電壓36.8%所需的時間。t0

2

3

。。。

5

U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

。。。

U0e

-5

tU0uCO

0.368U0時間常數(shù)τ的求法（1）用電路參數(shù)計(jì)算式中Req為從電容兩端看出去的等效電阻。（2）用特征根計(jì)算R1R2CR3次切距的長度t2-t1=

t1時刻曲線的斜率等于I0tuc0

t1t2按此速率，經(jīng)過

秒后uc減為零（3）用圖解法確定過程中能量的變化（或轉(zhuǎn)換）情況：C不斷釋放能量被R吸收,直到全部消耗完畢.設(shè)uC(0+)=U0電容放出能量電阻吸收（消耗）能量uCR+-C2、RL電路的零輸入響應(yīng)－RL放電電路iLS(t=0)L+–uLU0RR0+-t≥0時–+uRuL–+iLRLiL(0+)=iL

(0-)典型電路構(gòu)成：電路微分方程：特征方程

Lp+R=0特征根p=由初始值i(0+)=I0定積分常數(shù)AA=i(0+)=I0解方程：令iLS(t>0)L+–uLU0RR0+-令

=L/R,稱為一階RL電路時間常數(shù)i(0)一定：L大起始能量大

R小放電過程消耗能量小放電慢

大-RI0uLtI0ti0電路的解及分析ex1iL

(0+)=iL(0-)=1AuV

(0+)=-10000V

造成V損壞。iLK(t=0)+–uVL=4HR=10

VRV10k

10Vt=0時,打開開關(guān)K，求uv?，F(xiàn)象：電壓表壞了電壓表量程：50V分析iLLR10V

有效的措施：反串單向?qū)ㄐ栽ǘO管）小結(jié)：一階零輸入響應(yīng)的求解y(t)—電路的零輸入響應(yīng)；y(0+)—響應(yīng)的初始值；在一階電路中，y(t)通常是uc(t)和iL(t)———先解決的主要電量。或齊性性1.一階電路的零輸入響應(yīng)是由儲能元件的初值引起的響應(yīng),都是由初始值衰減為零的指數(shù)衰減函數(shù)。2.衰減快慢取決于時間常數(shù)

RC電路

=ReqC

,RL電路

=L/Req3.同一電路中所有響應(yīng)具有相同的時間常數(shù)。4.一階電路的零輸入響應(yīng)和初始值成正比，稱為零輸入線性性。Req例4-2

如圖

所示電路中，開關(guān)S原在位置1，且電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)。t=0時開關(guān)由1合向2，試求t≥0時的電流uC(t)、i(t)。解

換路前電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，則uC–+(a)C4ΩR21F4ΩR1S(t=0)2ΩR10V21–+i1FCuC–+R1(b)4Ω4ΩR2i例4-3已知iL(0+)=150mA，求t>0時的電壓u(t)。先求電感兩端的等效電阻Req。外加電壓源方法：(a)0.1u(t)4Ω6Ωu(t)–+iL1/2Hu–+i(b)先計(jì)算主要電量：iL(c)u(t)–+50/3ΩL=0.5HiL(t)再計(jì)算待電量：u（t）解1、關(guān)于動態(tài)電路的階數(shù)，下列說法正確的有：1個動態(tài)元件，一定是1階動態(tài)電路。換路后，能由n階微分方程描述的電路，就是n階動態(tài)電路。換路后，能由n階微分方程描述的電路，就是n-1階動態(tài)電路。ABCD提交2個動態(tài)元件，一定是2階動態(tài)電路。單選題1分2、圖示電路，開關(guān)打開后，電感中電流初值2A-1A1A-2AABCD提交單選題1分3、換路后的穩(wěn)態(tài)電壓uC=

V.20.51ABC提交4D單選題1分3、圖示為某動態(tài)電路的電流波形，則電流連續(xù)電流不連續(xù)電壓連續(xù)電壓不連續(xù)ABCD提交單選題1分100V0V63.2VABC提交4、圖中，開關(guān)S閉合前電路已經(jīng)穩(wěn)定，計(jì)算開關(guān)閉合瞬間，uL(0+)=31.8VD單選題1分5、對于下圖中，換路后，說法正確的是？ABC提交i1i2i3均保持不變;i1不變，i2增長到i1，i3衰減到0i1增長，i2增長，i3不變i1不變，i3增長到i1，i2衰減到0D單選題1分6、動態(tài)電路的相關(guān)概念如下，你認(rèn)為正確的有：電感中電流為零，則其兩端電壓也一定為零。電容中電流為零，則其兩端電壓不一定為零。一階RC電路的時間常數(shù)與等效電阻R成正比。ABCD提交一階RL電路的時間常數(shù)與等效電阻R成正比。E電流有限情況下，換路的瞬間，電容中電壓根據(jù)換路定則，不會躍變。F電流有限情況下，換路的瞬間，電感中電壓根據(jù)換路定則，不會躍變。多選題3分7、下圖換路后,時間常數(shù)τ

=？ABCD提交單選題1分4.2.2一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)

零狀態(tài)響應(yīng)：儲能元件初始能量為零的電路在輸入激勵作用下產(chǎn)生的響應(yīng).1、RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)典型電路及列方程–+uCCUsuR–+S(t=0)–+Ri

——一階線性非齊次微分方程初始條件：uC(0+)=uC(0－)=0特解：通解：方程的解：

與輸入激勵的變化規(guī)律有關(guān)，周期性激勵時強(qiáng)制分量為電路的穩(wěn)態(tài)解，此時強(qiáng)制分量稱為穩(wěn)態(tài)分量

變化規(guī)律由電路參數(shù)和結(jié)構(gòu)決定全解uC

(0+)=A+US=0

A=-US由起始條件uC

(0+)=0定積分常數(shù)A齊次方程的通解

：特解（強(qiáng)制分量）

=US

：通解（自由分量，暫態(tài)分量）

強(qiáng)制分量(穩(wěn)態(tài))自由分量(暫態(tài))

-USuChuCpUSti

OtucO

電源提供的能量一半消耗在電阻上，一半轉(zhuǎn)換成電場能量儲存在電容中，充電效率只有50％。

電容儲存：電源提供能量：

電阻消耗

RC+-US能量關(guān)系tiL

O2、RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)典型電路及列方程（解決首要問題）iLS(t=0)US+–uRL+–uLRiL(0-)=0求:電感電流iL(t)已知

——一階線性非齊次微分方程初始條件：iL(0+)=iL(0－)=0方程的解：

uLUStO連續(xù)躍變

1、τ的含義，這里表現(xiàn)為電容（電感）充電速度快慢的程度。3、τ

計(jì)算

RC電路（或最終可以化簡為Req+C的電路）τ=ReqCRL電路（或最終可以化簡為Req+L的電路）τ=L/Req。2、零狀態(tài)響應(yīng)的比例性：

零狀態(tài)響應(yīng)與外加激勵成正比，當(dāng)外加激勵增大K倍時，則零狀態(tài)響應(yīng)也增大K倍。齊性特性討論：3、正弦激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)iL(0-)=0is(t=0)L+–uLRuS+-

i(0-)=0。求：i

(t)？

接入相位角電路如圖，其中電源為：

列方程：

方程的解：

強(qiáng)制分量(穩(wěn)態(tài)分量)自由分量(暫態(tài)分量)ψu(yù)t/suSf(t)/VO

iL(0-)=0iS(t=0)L+–uLRuS+-方程的解：

強(qiáng)制分量(穩(wěn)態(tài)分量)—特解自由分量(暫態(tài)分量)－通解

通解：特解設(shè)為：

特解帶入方程：解得：

得：

特解：

解答為討論幾種情況：

電路直接進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，不產(chǎn)生過渡過程。

定積分常數(shù)A

由則A

=0,無暫態(tài)分量

解的分析

最大電流出現(xiàn)在

t=T/2時刻。iIm

-Im

T/2tiO工程中：斷電后再送電的時候：是需要選擇合適的時機(jī)的！需要選擇合適的時機(jī)合閘！4.2.3全響應(yīng)全響應(yīng)：非零初始狀態(tài)的電路受到激勵時電路中產(chǎn)生的響應(yīng)。一階電路的全響應(yīng)分析iS(t=0)US+–uRC+–uCR

穩(wěn)態(tài)解uCp

=US解答為

uC(t)=uCp+uChuC

(0-)=U0非齊次方程

=RC

暫態(tài)解

1、RC全響應(yīng)uC

(0+)=A+US=U0

A=U0-US由起始值確定A于是全響應(yīng)

強(qiáng)制分量(穩(wěn)態(tài)解)自由分量(暫態(tài)解)uC"-USU0暫態(tài)解uC'US穩(wěn)態(tài)解U0uc全響應(yīng)tucO(1).

全響應(yīng)=(穩(wěn)態(tài)解)+(暫態(tài)解)2、全響應(yīng)的兩種分解方式

iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0-)=U0iS(t=0)US+–uRC+–uCR=uC

(0-)=0+uC(0-)=U0C+–uCiS(t=0)+–uRR零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)等效+-uCuC(0-)=U0iC+-U0uCiC(2).

全響應(yīng)=零狀態(tài)響應(yīng)+零輸入響應(yīng)

零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)tuc0US零狀態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)零輸入響應(yīng)U0圖示：零狀態(tài)+零輸入的全響應(yīng)

零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)物理概念清楚便于疊加計(jì)算

全響應(yīng)=零狀態(tài)響應(yīng)+零輸入響應(yīng)全響應(yīng)=強(qiáng)制分量(穩(wěn)態(tài)解)+自由分量(暫態(tài)解)

強(qiáng)制分量(穩(wěn)態(tài)解)自由分量(暫態(tài)解)(3).兩種分解方式的比較思考？是否有更直接的公式來描述一階電路的求解問題？4.2.4三要素法:分析一階電路

一階電路的數(shù)學(xué)模型是一階微分方程：

其解答一般形式為：

一階電路的三要素：初始值f(0+)、特解和時間常數(shù)τ

在直流激勵下，即c為常數(shù)

三要素法只適用于一階電路，電路中的激勵c可以是直流、正弦函數(shù)、階躍函數(shù)等。

則不相等三要素法分析一階電路過程1、首先分析待求量

待求量有很多，在過渡過程求解分析時，電路中各個元件的電壓或者電流、以及功率等都可能作為待求來分析：+-uC1A2

1

3FS(t=0)+-uR1iR2iC如：圖中待求量2、在待求量中選取首要問題來分析解決

眾多的待求量中，首要問題只有兩個：uc和iL。首先選取uc或iL采用三要素分析。3、然后再通過待求量與uc或iL的關(guān)系求解最終結(jié)果補(bǔ)例1

已知：圖示電路已穩(wěn)定

。

t=0時合開關(guān)，求換路后的uC(t)。解：t/suC2(V)0.667O

1A2

1

3F+-uCS(t=0)分析：本題的首要問題正好是待求量補(bǔ)例2

已知：電感無初始儲能

t=0時,合K1,t=0.2s時合K2。求兩次換路后的電感電流i(t)。解：0<t<0.2s

t>0.2s

i10V1HK1(t=0)K2(t=0.2s)3

2

分析：本題的首要問題也是待求量

例4-4如圖所示電路，開關(guān)打開以前電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，t=0時開關(guān)S打開。求t≥0時的uC

、iC

。解：uC的初始值：時間常數(shù)：

特解：

+-6V+-uc3k

1k

6k

S（t＝0）ict/suc/v64O分析:本題先解決的應(yīng)該是：ucuc用三要素表示結(jié)果與波形顯示然后:ic則利用與uc的關(guān)系求出

例4-5

如圖所示電路，已知iL(0－)=2A，求t≥0時的iL(t)、i1(t)

。

先求出電感兩端的戴維南等效電路，如圖b所示，其中Uoc=24V，Req=6

。iL(0+)=iL(0－)=2

(b)UocReq–+iL3H解：得：然后：分析：顯然先計(jì)算：iL(t)

2i1–+4A4Ωi1iL3H1、一階電路的零輸入響應(yīng)和動態(tài)儲能元件初始值成正比，稱為零輸入響應(yīng)的線性性或齊性性。對錯AB提交單選題1分2、RC一階動態(tài)電路的過渡過程，就是充電過程。對錯AB提交單選題1分3、RL一階動態(tài)電路的過渡過程，R值越大，則時間常數(shù)τ越長。對錯AB提交單選題1分4.3二階電路分析

在二階電路的分析中，三要素法已不適用。本節(jié)對于二階電路的分析，采用的是經(jīng)典法(雙零響應(yīng)）。二階電路中，所列的方程是二階微分方程，因而需要兩個初始條件，它們均由儲能元件的初始值決定。TheSecond-OrderCircuit4.3.1零輸入響應(yīng)－RLC串聯(lián)情況uC(0-)=U0i(0-)=0已知求uC(t),i(t),uL(t).(t=0)RLC+-iucuL+-1、典型電路與標(biāo)準(zhǔn)待求量分析：標(biāo)準(zhǔn)待求量與一階電路一樣：uc和iL。2、標(biāo)準(zhǔn)待求量的方程—第一步3、標(biāo)準(zhǔn)待求量uc的解－第二步——二階線性常系數(shù)齊次微分方程給定的初始條件為：將初始條件代入得U0≠0I0=0方程的解為的通用表達(dá)式：的結(jié)果大于、等于或小于零時，影響到uc解的表達(dá)式，具體表達(dá)如下：第三步一、Δ>0即：(t=0)RLC+-iucuL+-uc的波形tuc設(shè)|p2|>|p1||p1|小|p2|大U0uc顯然uc的變化規(guī)律是一個單調(diào)衰減過程。非振蕩性。過阻尼狀態(tài)。i和uL的變化規(guī)律t=0+

i=0,t=i=0t=tm時i最大0<t<tm

i增加,uL>0t>tmi減小,uL

<0t=2tm時uL

極小2tmuLtmiuL(0)=U0t>2tmuL

衰減加快t>0i>0tU0ucuL(

)=0關(guān)注tm值由uL=0可計(jì)算tm由duL/dt可確定uL為極小值的時間t2tmuLtmitU0uc關(guān)注能量轉(zhuǎn)換關(guān)系0<t<tmuc減小，i增加。t>tmuc減小，i減小.RLC+-非振蕩放電過阻尼RLC+-

當(dāng)t<tm時，電感吸收能量，建立磁場；當(dāng)t>tm時，電感釋放能量，磁場逐漸消失；當(dāng)t=tm時，正是電感電壓過零點(diǎn)。2tmuLtmitU0uc二、Δ<0即：特征根為一對共軛復(fù)根uC的解答形式：

0

β

0

β三個待求量的波形δ——衰減系數(shù)，δ越大，衰減越快；ω0——電路的諧振角頻率。ω——衰減振蕩角頻率，ω越大，振蕩周期越小，振蕩越快。

0

βuLuC-2-uctU00

2i

+能量轉(zhuǎn)換關(guān)系<t<--<t<RLC+-RLC+-0<t<RLC+-uC減小，i增大uC減小，i減小|uC|增大，i減小衰減振蕩欠阻尼

i

+uct-2-2U00uCuL特例R=0LC+-等幅振蕩（無阻尼振蕩）

0

βt在第九章有應(yīng)用！三、Δ=0即：解出由初始條件非振蕩放電（臨界阻尼）2tmuLtmitU0uc可推廣應(yīng)用于一般的二階電路定積分常數(shù)由小結(jié)：二階電路分析過程第一步：列寫待求量的微分方程(給或求出初值）：第二步：寫出微分方程的特征方程；化簡成第三步：寫出方程解，由的判斷，找出與RLC關(guān)系：特征方程與激勵無關(guān)其實(shí)，每個電路，只可能是上述情況之一如圖所示電路中，已知L=1H，C=0.25F，uC(0–)=4V，i(0–)=–2A。求以下幾種情況，電容電壓uC。（1）R=5

；（2）R=4

；（3）R=2

；（4）R=0

。(1)R=5Ω時，臨界電阻<R電路為過阻尼情況。(t=0)RLC+-iucuL+-解：待求量列方程：

例4-6代入初始條件：

解得：代入：（2）R=4

時，電路為臨界阻尼情況。例4-6續(xù)（4）R=0

，電路為無阻尼振蕩（3）R=2

時，電路為欠阻尼情況。電路所示如圖

t=0時打開開關(guān)。求:電容電壓uC,并畫波形圖。解(1)

uc(0-)=25ViL(0-)=5A

特征方程為：50p2+2500p+106=05ΩμF20Ω10Ω10Ω0.5H10050V+-uc+-iL5Ω20Ω10Ω10Ω50V+-iL+uC-0-電路20Ω10Ω10Ω+-25V5AiC0+電路(2)uc(0+)=25ViC(0+)=-5A20Ω10Ω10Ω+-uCLCt

>0電路補(bǔ)例1(4)

由uC

t035825思考：結(jié)合對偶原理去預(yù)測？二階電路的三種狀態(tài)：過阻尼：欠阻尼：臨界阻尼：不振蕩慢速衰減過程。振蕩衰減過程。不振蕩快速衰減過程。RLC串聯(lián)的情況！1）RLC并聯(lián)呢？2）二階電路有零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)嗎？討論：如果電路是GCL并聯(lián)的時候1、電路求解圖示電路t>0后的iL。2、列寫方程uR=uC=uL，iLS(t=0)RLC+-isucuL+-ic+uR－iRiR+iC+iL=0，過阻尼臨界阻尼欠阻尼提示：看看與前面串聯(lián)電路的有何區(qū)別？練習(xí)列寫uC為變量的電路方程，并判斷過渡過程的性質(zhì)。已知uc(0+)和iL(0+)均為非零初值。(過阻尼，欠阻尼，臨界阻尼?)

解特征根為：p1=-2，p2=-3過阻尼響應(yīng)KCL1

5/6H1/5F+uc-iL4.3.2零狀態(tài)響應(yīng)與全響應(yīng)一.零狀態(tài)響應(yīng)

二階電路的初始儲能為零（即電容電壓為零和電感電流為零），僅由外加激勵所產(chǎn)生的響應(yīng)稱為二階電路的零狀態(tài)響應(yīng)。

如圖求所示電路中電壓uc

(t)的零狀態(tài)響應(yīng)。分析過程：解：第一步列寫微分方程由KVLusuR–+iS(t=0)–+R–+uCCL–+uLuC(0–)=0，i(0–)=0

和條件得方程——二階線性常系數(shù)非齊次微分方程解答形式為：LCp2+RCp+1=0第三步:求特解ucp特解ucp為待求量穩(wěn)態(tài)解圖示電路中ucp＝us第四步：確定積分系數(shù)uC(0–)=0，i(0–)=0得全解usuR–+iS(t=0)–+R–+uCCL–+uLuC(0–)=0，i(0–)=0

第二步:求通解uch

如圖所示電路，L=1H，C=1/3F，R=4

，us=16V，初始狀態(tài)為零。求uC

(t)、i(t)。

1、列寫電路方程為

2:求通解uchusuR–+iS(t=0)–+R–+uCCL–+uLuC(0–)=0，i(0–)=0

解例4-7特解

對應(yīng)齊次方程的通解

第3步:求特解up第4步：確定積分系數(shù),得全解usuR–+iS(t=0)–+R–+uCCL–+uLuC(0–)=0，i(0–)=0

二、全響應(yīng)

如果二階電路具有初始儲能，又接入外施激勵，則電路的響應(yīng)稱為二階電路的全響應(yīng)。全響應(yīng)是零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的疊加，可以通過求解二階非齊次方程方法求得全響應(yīng)。全響應(yīng)舉例已知：iL(0)=2AuC(0)=0R=50,L=0.5H,C=100F求：iL(t),iR(t)。解(1)列微分方程RLCiRiLiC50Vt=0+-uL+-uC(2)求通解(自由分量）特征根P=-100j100(3)求特解（強(qiáng)制分量，穩(wěn)態(tài)解）(4)求全解RLCiRiLiC50Vt=0+-uL+-uC(5)由初值定積分常數(shù)iL(0+)=2A,uC(0+)=0（已知）(6)求iR(t)解答形式為：由初始值定積分常數(shù)RLCiRiLiC50Vt=0+-uL+-uC0+電路R=50

C=100FRiR50V2AiC(6)求iR（續(xù)）思考?iR（t）也可以用與iL，iC的關(guān)系求得。RLCiRiLiC50Vt=0+-uL+-uC比較與總結(jié)1.一階電路是單調(diào)的響應(yīng)，可用時間常數(shù)表示過渡過程的時間。2.二階電路用三個參數(shù)，和

0來表示動態(tài)響應(yīng)。特征根響應(yīng)性質(zhì)自由分量形式注意：是RLC串聯(lián)的電路4.線性電路經(jīng)典法(時域法）解二階過渡過程包括以下幾步：(1)換路后(0+)電路列寫微分方程(2)求特征根，由根的性質(zhì)寫出自由分量（積分常數(shù)待定）(3)求強(qiáng)制分量（穩(wěn)態(tài)分量）(4)全解=

自由分量+強(qiáng)制分量(5)將初值f(0+)和f

（0+)代入全解，定積分常數(shù)求響應(yīng)(6)討論物理過程，畫出波形3.電路是否振蕩取決于特征根，特征根僅僅取決于電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與初始條件和激勵的大小沒有關(guān)系。求電感電流的零狀態(tài)響應(yīng)iL(t)t>0

(t)1

1/3

0.5F0.5HiL+iCiR解代入、整理得特征方程

p2+2p+1=0特征根p=p1=p2=-1初值iL(0+)=0,uL(0+)=0.25V？A1=0,A2=0.5iL(0+)=0練習(xí)：1、一階電路三要素法公式法中，三要素是指：初值、終值、平均值;初值、終值、有效值;初值、終值，τ值;零值、終值，τ值A(chǔ)BCD提交單選題1分4.4階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)4.4.1、階躍函數(shù)與沖激函數(shù)一單位階躍函數(shù)1.定義K+–uC1VRC2.延遲單位階躍函數(shù)t

(t)1OUSUSK+–uC(t)RCUSt(t-t0)t0O例1例23.由單位階躍函數(shù)可組成復(fù)雜的信號1t0tf(t)Ot0t-(t-t0)(t)Of(t)1t1f(t)O二單位沖激函數(shù)1.單位脈沖函數(shù)2.定義單位t(t)O

tf(t)Oic=CUS(t)t=0,時合開關(guān)S,S+–uCUSCick(t)實(shí)例電容C上電壓突變！非單位脈沖函數(shù)電路分析中，這個函數(shù)有嗎？tk(t)O這個量就是沖激函數(shù)3.

函數(shù)的篩分性

同理有：f(0)(t)

(t-t0)延遲單位沖激函數(shù)t

(t-t0)t0O單位延遲沖激函數(shù)ictCUS

(t-t0)t0O普通延遲沖激函數(shù)篩出0時刻的值

篩出τ時刻的值

=

(t)

即：積分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系！單位階躍函數(shù)和單位沖激函數(shù)關(guān)系1）、

(t)的積分得到

(t)

2）、

(t)

的微分得到

(t)4.4.2、階躍響應(yīng)

電路對于(單位)階躍函數(shù)輸入的零狀態(tài)響應(yīng)稱為(單位)階躍響應(yīng)，用s(t)表示。

求法：與在直流激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)相同。

如果電路的激勵是幅度為K的階躍函數(shù)，則根據(jù)零狀態(tài)響應(yīng)的比例性可知電路的零狀態(tài)響應(yīng)為Ks(t)?！壤?/p>

由于非時變電路的電路參數(shù)不隨時間變化，則在延遲的單位階躍信號作用下，其響應(yīng)為s(t–t0)?！菚r變性（或定常性）。iC+–uCRuC(0-)=0思考：tO1itOi一階電路階躍響應(yīng)分析為舉例有區(qū)別嗎？tO1i顯然，是有區(qū)別的，時間域不一樣！1）電源（激勵）的比例性tuc1OtiC0當(dāng)激勵在t=t0時加入，則響應(yīng)從t=t0開始。延遲激勵的響應(yīng)為s(t–t0)?！菚r變性iC

(t-t0)C+–uCR+-t-t0

(t-t0)t0注意t(

t-t0)不要寫為延遲激勵作用下2）延時響應(yīng)的非時變性例4-8如圖所示電路中，R=1

，L=2H，us的波形如圖所示。計(jì)算t≥0時的零狀態(tài)響應(yīng)i，并畫出i的波形。解

（1）分段計(jì)算在t＜0時，i=0在0≤t≤2s時，us=10V，電路為零狀態(tài)響應(yīng)，用“三要素”法求解。

在t≥2s時，us=0，電路為零輸入響應(yīng)。Lusi–+R2t10Ous(V)即：0≤t≤2st>2si=0，t＜06.322t/s10Oi/A（2）用階躍函數(shù)表示激勵電路的單位階躍響應(yīng)為由零狀態(tài)響應(yīng)的比例性和非時變性可得6.322t/s10Oi/A一個式子表達(dá)（3）與分時段解的結(jié)果是相等的0≤t≤2st>2si=0，t＜0比例性非時變性性4.4.3、沖激響應(yīng)

電路在單位沖激函數(shù)δ(t)的激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，用h(t)表示。求法一：是按照時間順序分部求解－－物理意義明確：(1)先計(jì)算由δ(t)作用下的uC(0+)或iL

(0+)。

作沖激電源作用瞬間的等效電路：在沖激電源作用于電路的瞬間，電容應(yīng)看做短路，電感應(yīng)看做開路。如有沖激電流流過電容處，電容電壓將發(fā)生躍變；如有沖激電壓出現(xiàn)于電感兩端，電感電流將發(fā)生躍變。(2)再求解由躍變產(chǎn)生的初值所引起的零輸入響應(yīng)，即為t>0時的沖激響應(yīng)。先沖激出初值后初值零輸入求法二：公式法－－借助數(shù)學(xué)公式的關(guān)系(1)先計(jì)算由ε(t)作用下的待求量的階躍響應(yīng)s(t)。(2)再由上面的公式

直接求出

。一階和二階電路的沖激響應(yīng)分析例題如下：注意：分部求導(dǎo)：因?yàn)榉植恐蠛袥_激項(xiàng)，要分析一下這個沖激項(xiàng)，有可能這個沖激項(xiàng)為零例4-9一階RC電路沖激響應(yīng)uc和ic。1.t在0-___0+間

2.t>0+

在初始電壓作用下的零輸入響應(yīng)

icisRC+uc-

利用0時刻電路圖求取電容在沖激電流作用后產(chǎn)生的初始電壓方法一：時間順序分析icisR+uc-icRC+uc-