隨機(jī)1-集壓縮型算子方程的隨機(jī)解

隨機(jī)1-集壓縮型算子方程的隨機(jī)解

自1993年和1996年李國(guó)禎提出了隨機(jī)拓?fù)涠群碗S機(jī)動(dòng)蕩指數(shù)的概念以來(lái)，隨機(jī)拓?fù)涠群碗S機(jī)動(dòng)蕩指數(shù)理論已成為研究隨機(jī)非線(xiàn)性算子的隨機(jī)擾動(dòng)檢測(cè)的基本方法。許多新的隨機(jī)不規(guī)則算子已經(jīng)建立，并被應(yīng)用于各種隨機(jī)方程的研究。朱傳喜在這項(xiàng)工作中研究了隨機(jī)算子a（，x）=（，x）的存在。在這項(xiàng)工作中，我們繼續(xù)研究這種隨機(jī)算子算法的存在。1隨機(jī)1-集壓縮型設(shè)E是可分的實(shí)Banach空間,(E,B)是一個(gè)可測(cè)空間,其中B表示E中的所有開(kāi)子集所產(chǎn)生的σ-代數(shù).又設(shè)(Ω,Σ,μ)是一個(gè)完全的概率測(cè)度空間,其中μ表示概率測(cè)度,μ(Ω)=1.設(shè)X是E中的凸閉集,D是X中的一個(gè)有界開(kāi)集,α表示非緊性測(cè)度.記R=(-∞,+∞),R+=[0,+∞).定義1設(shè)I是R中的一個(gè)區(qū)間,φ:I→R.如果φ滿(mǎn)足φ(tx+(1-t)y)>tφ(x)+(1-t)φ(y),?x,y∈I,x≠y,t∈(0,1),稱(chēng)φ是I上的嚴(yán)格凹函數(shù).同樣,如果-φ是I上的嚴(yán)格凹函數(shù),稱(chēng)φ是I上的嚴(yán)格凸函數(shù).定義2設(shè)G是E的非空凸子集,?:G→R.如果?(tx+(1-t)y)>t?(x)+(1-t)?(y),?x,y∈G,x≠y,t∈,稱(chēng)?是G上的嚴(yán)格凹泛函.同樣,如果-?是G上的嚴(yán)格凹泛函,稱(chēng)?是G上的嚴(yán)格凸泛函.引理1實(shí)數(shù)μ≥1,設(shè)θ∈D,A:Ω×ˉD→XΩ×Dˉˉˉ→X是隨機(jī)半閉1-集壓縮算子,且滿(mǎn)足A(ω,x)≠αx,?(ω,x)∈Ω×?D,α≥μ,則隨機(jī)1-集壓縮型算子方程A(ω,x)=μx在D中必有一個(gè)隨機(jī)解.2隨機(jī)半閉1-集壓縮算子的隨機(jī)求解定理1設(shè)A:Ω×ˉD→XΩ×Dˉˉˉ→X是隨機(jī)半閉1-集壓縮算子,且θ∈D,如果存在嚴(yán)格凹函數(shù)φ:R+→R,φ(0)=0,使得?(ω,x)∈Ω×?D,μ≥1,β∈(0,1],有(Η1)φ(∥A(ω?x)-βμx∥)≤φ(∥A(ω?x)∥)-βφ(∥μx∥)(H1)φ(∥A(ω?x)?βμx∥)≤φ(∥A(ω?x)∥)?βφ(∥μx∥)則隨機(jī)算子方程A(ω,x)=μx在D中必有一個(gè)隨機(jī)解.證明根據(jù)引理1,我們只需證明A(ω,x)≠αx,?(ω,x)∈Ω×?D,α≥μ.使用反證法,假設(shè)存在α0≥μ≥1,ω0∈Ω,x0∈?D,使得A(ω0,x0)=α0x0,把此式代入(H1)得φ(∥α0x0-βμx0∥)≤φ(∥α0x0∥)-βφ(∥μx0∥)φ(∥α0x0?βμx0∥)≤φ(∥α0x0∥)?βφ(∥μx0∥)即φ(∥α0x0∥)≥φ((1-βμα0)∥α0x0∥)+βφ(μα0∥α0x0∥)(1)另外,從θ∈D,x0∈?D,α0≥1知α0x0≠θ,故‖α0x0‖≠0,從而由φ的嚴(yán)格凹性知φ((1-βμα0)∥α0x0∥)+βφ(μα0∥α0x0∥)=φ((1-βμα0)∥α0x0∥+βμα0∥θ∥)+βφ(μα0∥α0x0∥+(1-μα0)∥θ∥)＞(1-βμα0)φ(∥α0x0∥)+βμα0φ(0)+βμα0φ(∥α0x0∥)+β(1-μα0)φ(0)=(1-βμα0)φ(∥α0x0∥)+βμα0φ(∥α0x0∥)=φ(∥α0x0∥)即φ((1-βμα0)∥α0x0∥)+βφ(μα0∥α0x0∥)＞φ(∥α0x0∥)(2)由式(1)、式(2)得,φ(‖α0x0‖)>φ(‖α0x0‖),這不可能,從而證明了A(ω,x)≠αx,?(ω,x)∈Ω×?D,α≥μ成立.因此,根據(jù)引理1可知,A(ω,x)=μx在D中必有一個(gè)隨機(jī)解.推論1設(shè)θ∈D,A:Ω×ˉD→X是隨機(jī)半閉1-集壓縮算子,且滿(mǎn)足∥A(ω?x)-βμx∥α≤∥A(ω?x)∥α-β∥μx∥α?(ω?x)∈Ω×?D?0＜α＜1μ≥1?β∈(0?1]則隨機(jī)算子方程A(ω,x)=μx在D中必有一個(gè)隨機(jī)解.證明令φ(t)=tα,t∈R+,0<α<1,則易知φ:R+→R+為嚴(yán)格凹函數(shù),且φ(0)=0,故據(jù)定理1可知結(jié)論成立.推論2設(shè)θ∈D,A:Ω×ˉD→X是隨機(jī)半閉1-集壓縮算子,且φ(‖A(ω,x)-βμx‖)≤φ(‖A(ω,x)‖)-βφ(‖μx‖),?(ω,x)∈Ω×?D,μ≥1,β∈(0,1].其中φ:R+→R+可導(dǎo),φ(0)=0,且當(dāng)t>0,s>0時(shí),φ′(s(t+1))-φ′(st)<0,則隨機(jī)算子方程A(ω,x)=μx在D中必有一個(gè)隨機(jī)解.證明只需證φ:R+→R+是嚴(yán)格凹函數(shù).事實(shí)上,?y>x>0,令s=y-x,t=x/s,則x=st,y=s(t+1).于是φ′(y)=φ′(s(t+1))<φ′(st)=φ′(x),因此φ′是R+上的嚴(yán)格減函數(shù).易知φ:R+→R+是嚴(yán)格凹函數(shù),故根據(jù)定理1可知結(jié)論成立.與定理1及其推論相應(yīng)的有下面的定理2及其推論.定理2設(shè)θ∈D,A:Ω×ˉD→X是隨機(jī)半閉1-集壓縮算子,如果存在嚴(yán)格凸函數(shù)φ:R+→R,φ(0)=0,使得φ(∥A(ω?x)-βμx∥)≥φ(∥A(ω?x)∥)-βφ(∥μx∥)?(ω?x)∈Ω×?D?μ≥1?β∈(0?1]則隨機(jī)算子方程A(ω,x)=μx在D中必有一個(gè)隨機(jī)解.推論3設(shè)θ∈D,A:Ω×ˉD→X是隨機(jī)半閉1-集壓縮算子,且滿(mǎn)足∥A(ω?x)-βμx∥α≥∥A(ω?x)∥α-β∥μx∥α?(ω?x)∈Ω×?D?α＞1?μ≥1?β∈(0?1]則隨機(jī)算子方程A(ω,x)=μx在D中必有一個(gè)隨機(jī)解.推論4設(shè)θ∈D,A:Ω×ˉD→X是隨機(jī)半閉1-集壓縮算子,且φ(‖A(ω,x)-βμx‖)≥φ(‖A(ω,x)‖)-βφ(‖μx‖),?(ω,x)∈Ω×?D,μ≥1,β∈(0,1].其中φ:R+→R+可導(dǎo),φ(0)=0,且當(dāng)t>0,s>0時(shí),φ′(s(t+1))-φ′(st)>0,則隨機(jī)算子方程A(ω,x)=μx在D中必有一個(gè)隨機(jī)解.注1在推論1中取β=1,就是文獻(xiàn)中的定理3,因此定理1推廣了文獻(xiàn)中的定理3.在推論3中取β=1,μ=1,α=2,即為Altman定理的隨機(jī)形式,因此定理2是Altman定理的一種推廣形式.用類(lèi)似定理1的方法還可以證明下面的兩個(gè)定理.定理3設(shè)θ∈D,A:Ω×ˉD→X是隨機(jī)半閉1-集壓縮算子,如果存在嚴(yán)格凹泛函?:X→R,?(θ)=0,使得?(A(ω?x)-βμx)≤?(A(ω?x))-β?(μx)?(ω?x)∈Ω×?D?μ≥1?β∈(0?1]則隨機(jī)算子方程A(ω,x)=μx在D中必有一個(gè)隨機(jī)解.定理4設(shè)θ∈D,A:Ω×ˉD→X是隨機(jī)半閉1-集壓縮算子,如果存在嚴(yán)格凸泛函?:X→R,?(θ)=0,使得?(A(ω?x)-βμx)≥?(A(ω?x))-β?(μx)?(ω?x)∈Ω×?D?μ≥1?β∈(0?1]則隨機(jī)算子方程A(ω,x)=μx在D中必有一個(gè)隨機(jī)解.引理2當(dāng)0<α<1,t>μ≥1,0<β≤1時(shí),下面兩個(gè)結(jié)論成立(1)(t-βμ)α>tα-βμα(2)(t+βμ)α<tα+βμα證明先證明結(jié)論(1),令f(t)=(t-βμ)α-tα+βμα,t>μ≥1,0<β≤1,則f′(t)>0,因此f(t)是(μ,∞)上的嚴(yán)格單調(diào)增加函數(shù).由t>μ知,f(t)>f(μ)=[(1-β)α-1+β]μα>(1-β-1+β)μα=0,即(t-βμ)α>tα-βμα,t>μ≥1,0<β≤1.用類(lèi)似的方法,可證明(2)成立.定理5設(shè)θ∈D,A:Ω×ˉD→X是隨機(jī)半閉1-集壓縮算子,實(shí)數(shù)μ≥1,0<β≤1.如果存在減連續(xù)函數(shù)φ:R0}→R,使得?(ω,x)∈Ω×?D,0<m+λ<1,函數(shù)φ滿(mǎn)足下面條件之一(H2)φ(‖A(ω,x)-βμx‖m+λ)≥φ(‖A(ω,x)‖m‖A(ω,x)-μx‖λ-β‖μx‖m+λ)(H′2)φ(‖A(ω,x)-βμx‖m+λ)≥φ(‖A(ω,x)‖m‖A(ω,x)+μx‖λ-β‖μx‖m+λ)(H3)φ(‖A(ω,x)-βμx‖|m+λ)≥φ(‖A(ω,x)‖m+λ-β‖A(ω,x)+μx‖λ‖μx‖m)(H4)φ(‖A(ω,x)+βμx‖m+λ)≤φ(‖A(ω,x)‖m‖A(ω,x)+μx‖λ+β‖μx‖m+λ)(H′4)φ(‖A(ω,x)+βμx‖m+λ)≤φ(‖A(ω,x)‖m‖A(ω,x)-μx‖λ+β‖μx‖m+λ)(H5)φ(‖A(ω,x)+βμx‖m+λ)≤φ(‖A(ω,x)‖m+λ+β‖A(ω,x)+μx‖λ‖μx‖m)其中(H2)～(H5)中的λ≥0,而(H′2)、(H′4)中的λ≤0,則隨機(jī)算子方程A(ω,x)=μx在D中必有一個(gè)隨機(jī)解.證明根據(jù)條件不難證明引理1的條件成立,故函數(shù)φ滿(mǎn)足其中的任何一個(gè)條件時(shí),隨機(jī)算子方程A(ω,x)=μx在D中必有一個(gè)隨機(jī)解.引理3當(dāng)α<0,t>μ≥1,0<β≤1時(shí),有(1)(t-βμ)α>tα-βμα(2)(t+βμ)α<tα+βμα類(lèi)似于定理5的證明,我們有定理6成立.定理6設(shè)θ∈D,A:Ω×ˉD→X是隨機(jī)半閉1-集壓縮算子,實(shí)數(shù)μ≥1,0<β≤1.如果存在減連續(xù)函數(shù)φ:R0}→R,使得?(ω,x)∈Ω×?D,m+λ<0,函數(shù)φ滿(mǎn)足下面條件之一(H6)φ(‖A(ω,x)-βμx‖m+λ))≥φ(‖A(ω,x)‖m‖A(ω,x)+μx‖λ-β‖μx‖m+λ)(H′6)φ(‖A(ω,x)-βμx‖m+λ)≥φ(‖A(ω,x)‖m‖A(ω,x)-μx‖λ-β‖μx‖m+λ)(H7)φ(‖A(ω,x)-βμx‖m+λ)≥φ(‖A(ω,x)‖m+λ-β‖A(ω,x)+μx‖λ‖μx‖m)(H8)φ(‖A(ω,x)+βμx‖m+λ)≤φ(‖A(ω,x)‖m‖A(ω,x)-μx‖λ+β‖μx‖m+λ)(H′8)φ(‖A(ω,x)+βμx‖m+λ)≤φ(‖A(ω,x)‖m‖A(ω,x)+μx‖λ+β‖μx‖m+λ)(H″8)φ(‖A(ω,x)+βμx‖m+λ)≤φ(‖A(ω,x)‖m+λ+β‖μx‖m‖A(ω,x)+μx‖λ)其中(H6)、(H8)中的λ≤0,而(H′6)、(H7)、(H′8)、(H″8)中的λ≥0,則隨機(jī)算子方程A(ω,x)=μx在D中必有一個(gè)隨機(jī)解.引理4當(dāng)α>1,t>μ≥1,0<β≤1時(shí),有(1)(t+βμ)α>tα+βμα(2)(t-βμ)α<tα-βμα定理7設(shè)θ∈D,A:Ω×?D→X是隨機(jī)半閉1-集壓縮算子,實(shí)數(shù)μ≥1,0<β≤1,如果存在減連續(xù)函數(shù)φ:R0}→R,使得?(ω,x)∈Ω×?D,m+λ>1,φ滿(mǎn)足下面條件之一(H9)φ(‖A(ω,x)+βμx‖m+λ)≥φ(‖A(ω,x)‖m‖A(ω,x)-μx‖λ+β‖μx‖m+λ)(H′9)φ(‖A(ω,x)+βμx‖m+λ)≥φ(‖A(ω,x)‖m‖A(ω,x)+μx‖λ+β‖μx‖m+λ)(H″9)φ(‖A(ω,x)+βμx‖m+λ)≥φ(‖A(ω,x)‖m+λ+β‖μx‖m‖A(ω,x)+μx‖λ)(H10)φ(‖A(ω,x)-βμx‖m+λ)≤φ(‖A(ω,x)‖m‖A(ω,x)+μx‖λ-β‖μx‖m+λ)(H′10)φ(‖A(ω,x)-βμx‖m+λ)≤φ(‖A(ω,x)‖m‖A(ω,x)-μx‖λ-β‖μx‖m+λ)其中(H9)、(H10)中的λ≥0,而(H′9)、(H