新人教A版高中數(shù)學(xué)教材習(xí)題研究

目錄CONTENT01題源分析單擊此處添加正文03對(duì)不同類型習(xí)題的教學(xué)方式分析單擊此處添加正文02必修一習(xí)題的功能及數(shù)量分析單擊此處添加正文04案例分析單擊此處添加正文題源探究2023年高考題：教材習(xí)題：必修一P12必修一P536題源探究2023年高考題：教材習(xí)題：選修一P92題源探究2023年高考題：教材習(xí)題：選修二P25題源探究2023年高考題：教材習(xí)題：必修一P228題源探究2023年高考題：教材習(xí)題：必修一P141題源探究2020年高考題：教材習(xí)題：必修一P256

這兩道題在情境上類似，都考查三角函數(shù)的應(yīng)用，只是教材中給出的是平面圖，而高考題中為立體圖，有了教材習(xí)題的鋪墊，學(xué)生只需要將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形就能建立熟悉的數(shù)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)解決問題的思路。高考考題是課本內(nèi)容的拓展和延伸，考題的思想與課本上某個(gè)例題或習(xí)題的思想高度統(tǒng)一，既不可能出現(xiàn)原題，而且要保證所考查的知識(shí)點(diǎn)一定來源于教材。因此我們需要對(duì)教材中的例題或習(xí)題進(jìn)行二次開發(fā)，用好教材中的題。必修一習(xí)題的功能及數(shù)量分析新人教A版高中數(shù)學(xué)必修一共有習(xí)題241道，其中“復(fù)習(xí)鞏固”類習(xí)題最多，102道，“綜合運(yùn)用”類習(xí)題94道，“拓廣探索”類習(xí)題最少，共45道。復(fù)習(xí)鞏固綜合運(yùn)用拓廣探索總計(jì)第一章139628第二章1110526第三章1318839第四章25231058第五章40341690必修一習(xí)題的功能及數(shù)量分析相比人教A版高中數(shù)學(xué)舊教材將習(xí)題分為A、B組的編排方式，新人教A版高中數(shù)學(xué)教材根據(jù)習(xí)題的功能與難度不同，將習(xí)題分為“復(fù)習(xí)鞏固”、“綜合運(yùn)用”、“拓廣探索”三種類型，層次分明，定位清晰，且題目數(shù)量有所減少，更貼合“雙減”政策的要求.復(fù)習(xí)鞏固類習(xí)題的功能：這類習(xí)題主要起到鞏固強(qiáng)化的功能.主要作用有兩個(gè)：一是熟悉消化新知，二是對(duì)新知的鞏固，從而加深對(duì)新學(xué)知識(shí)的記憶與理解，通過這類習(xí)題的訓(xùn)練，達(dá)到孰能生巧的效果.

如圖，在新人教A版高中數(shù)學(xué)教材中，通過節(jié)集合概念的學(xué)習(xí)，學(xué)生在了解集合含義的基礎(chǔ)上，會(huì)用列舉法、描述法刻畫集合，并能判斷元素與集合之間的關(guān)系，緊接著給出習(xí)題對(duì)本節(jié)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行強(qiáng)化，達(dá)到熟練掌握所學(xué)知識(shí)的目的。必修一習(xí)題的功能及數(shù)量分析總體來看，“復(fù)習(xí)鞏固”類習(xí)題的數(shù)量最多，且難度不大，基礎(chǔ)性較強(qiáng)，對(duì)這類題目要讓學(xué)生達(dá)到模仿、理解的水平。必修一習(xí)題的功能及數(shù)量分析綜合運(yùn)用類習(xí)題的功能：這類習(xí)題主要功能是綜合應(yīng)用新知，靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題，讓學(xué)生通過類比、遷移等方式，將學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法以及解決問題的經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用于新的情境，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)與其他學(xué)科以及實(shí)際生活之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生系統(tǒng)掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性。

如圖，教材中類比等式基本性質(zhì)，研究了不等式的基本性質(zhì)及其證明和應(yīng)用，并類比教材42頁例2得到“綜合運(yùn)用”類習(xí)題的第7題、8題，將不等式的基本性質(zhì)與命題結(jié)合起來，9-10題為不等式的性質(zhì)在實(shí)際問題中的運(yùn)用，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值。必修一習(xí)題的功能及數(shù)量分析“綜合運(yùn)用”類習(xí)題的數(shù)量適中，相對(duì)“復(fù)習(xí)鞏固”類題目難度有所增加，對(duì)這類題目要求學(xué)生在模仿、理解的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)應(yīng)用和探究，題目大多為利用本章節(jié)所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題。必修一習(xí)題的功能及數(shù)量分析拓廣探索類習(xí)題的功能：這類習(xí)題的主要功能是拓展延伸，其拓展延伸功能表現(xiàn)在兩個(gè)方面，一是作為教材正文內(nèi)容的延伸，有利于學(xué)生把握數(shù)學(xué)概念和命題的內(nèi)涵；二是為后面學(xué)習(xí)內(nèi)容作鋪墊，起著承前啟后的作用，構(gòu)建邏輯嚴(yán)密的知識(shí)體系。

如圖，教材中利用單位圓的對(duì)稱性探究誘導(dǎo)公式，運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)的計(jì)算和化簡(jiǎn)，并進(jìn)行恒等式的證明，在學(xué)生會(huì)把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，以及通過誘導(dǎo)公式實(shí)現(xiàn)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化后，在“拓廣探索”類習(xí)題第9題中通過引入?yún)?shù)n對(duì)誘導(dǎo)公式進(jìn)行探究，加深學(xué)生對(duì)誘導(dǎo)公式的理解，同時(shí)增加探究的難度，使學(xué)生掌握研究問題的通性通法。第10題借助單位圓探究三角函數(shù)值之間的恒等關(guān)系不僅是對(duì)本節(jié)所學(xué)知識(shí)的拓展，也為下一節(jié)利用單位圓研究三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)做鋪墊。必修一習(xí)題的功能及數(shù)量分析“拓廣探索”類習(xí)題的數(shù)量較少，且難度較高，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維含量和深度要求較高，合理使用有助于培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)和創(chuàng)新精神。對(duì)不同類型習(xí)題的教學(xué)方式分析對(duì)于“復(fù)習(xí)鞏固”類習(xí)題，題目所涉及的內(nèi)容與每節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)高度一致，是針對(duì)一節(jié)課的主要內(nèi)容展開的，是教材例題的延伸。在學(xué)生熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，可以適當(dāng)增加具有典型性、代表性的題目，并幫助學(xué)生總結(jié)解決問題的通性通法，達(dá)到識(shí)記、理解相關(guān)知識(shí)的目的。

對(duì)于“綜合運(yùn)用”類習(xí)題，在“復(fù)習(xí)鞏固”類習(xí)題的基礎(chǔ)上更加注重變式訓(xùn)練和綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，考察學(xué)生的應(yīng)變能力和綜合知識(shí)儲(chǔ)備，也是考試中經(jīng)常會(huì)遇到的題目。教師要在教學(xué)過程中設(shè)置不同難度而又相關(guān)聯(lián)的題目逐步引導(dǎo)學(xué)生，進(jìn)而解決綜合類問題。同時(shí)，還要善于一題多解和題后反思，提高分析問題、解決問題的能力。

對(duì)于“拓廣探索”類習(xí)題，雖然數(shù)量較少，但難度較大，對(duì)教材進(jìn)行分析時(shí)發(fā)現(xiàn)，探究性問題和開發(fā)性問題大多出自此類習(xí)題。教師應(yīng)通過引導(dǎo)學(xué)生，師生共同探究，共同感受，小坡度推進(jìn)，在探究的過程中把學(xué)生思維逐步引向深入，達(dá)到“螺旋上升”的效果。“復(fù)習(xí)鞏固”教學(xué)方式案例1

這3道“復(fù)習(xí)鞏固”類習(xí)題作為基礎(chǔ)題，起到鞏固函數(shù)基本概念，函數(shù)的三要素定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系的作用，特別是第2題，僅用初中學(xué)習(xí)過的函數(shù)概念很難回答這個(gè)問題，學(xué)生做完這三個(gè)題之后老師要引導(dǎo)學(xué)生做一個(gè)題后反思使學(xué)生體會(huì)為什么初中學(xué)習(xí)過函數(shù)的概念之后，高中還要再學(xué)習(xí)函數(shù)概念的必要性，體會(huì)高中數(shù)學(xué)對(duì)函數(shù)概念的定義相比于初中函數(shù)概念的精確性?！熬C合運(yùn)用”教學(xué)方式案例1

這個(gè)集合題難度較低，學(xué)生能很快完成，通過對(duì)這個(gè)題的解答一方面可以達(dá)到復(fù)習(xí)集合基礎(chǔ)知識(shí)的作用，另一方面可以深化學(xué)生對(duì)元素與集合關(guān)系以及集合與集合關(guān)系的理解，學(xué)會(huì)利用Venn圖進(jìn)行簡(jiǎn)單的集合交并補(bǔ)混合運(yùn)算。

在學(xué)生快速完成該小題后，教師可以通過設(shè)置變式問題將難度適當(dāng)加深，

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比發(fā)現(xiàn)雖然題目變了，但是處理問題的基本思想和基本方法不變，改變的只是問題的呈現(xiàn)形式，但是問題的本質(zhì)沒有變，一方面充分體現(xiàn)了多題一解的基本思想，另一方面也開闊了學(xué)生的視野。P14“綜合運(yùn)用”教學(xué)方式案例1設(shè)計(jì)意圖：充分體現(xiàn)逆向變式，在之前解題經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上先給出全集，再給出集合間的交并補(bǔ)運(yùn)算結(jié)果，要求學(xué)生逆向計(jì)算集合B，給學(xué)生的思維設(shè)置一定難度的障礙，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析問題的本質(zhì)。一方面體現(xiàn)了韋恩圖的作用和功效，另一方面引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)與形的關(guān)聯(lián)和轉(zhuǎn)化?！熬C合運(yùn)用”教學(xué)方式案例2P48“綜合運(yùn)用”教學(xué)方式案例3習(xí)題綜合運(yùn)用P86本題難度不大，重在用好奇函數(shù)的性質(zhì)求解析式。變式1和變式2是為了強(qiáng)化利用函數(shù)奇偶性求解分段函數(shù)解析式的基本方法。“綜合運(yùn)用”教學(xué)方式案例3習(xí)題綜合運(yùn)用P86“綜合運(yùn)用”教學(xué)方式案例3習(xí)題綜合運(yùn)用P86“綜合運(yùn)用”教學(xué)方式案例4習(xí)題綜合運(yùn)用P127“綜合運(yùn)用”教學(xué)方式案例5復(fù)習(xí)參考題P255

這道課本習(xí)題看起來很平常，實(shí)際上卻有很大的教學(xué)價(jià)值和研究空間，可以探究出它有10種解法。這種解法技巧性很強(qiáng)，一般同學(xué)不易想到這種解法“綜合運(yùn)用”教學(xué)方式案例5“綜合運(yùn)用”教學(xué)方式案例5“綜合運(yùn)用”教學(xué)方式案例5把含有正弦和余弦的代數(shù)式或方程轉(zhuǎn)化為含有正切的代數(shù)式或方程。體現(xiàn)了方程思想和化歸思想.“綜合運(yùn)用”教學(xué)方式案例5“綜合運(yùn)用”教學(xué)方式案例5“綜合運(yùn)用”教學(xué)方式案例5“綜合運(yùn)用”教學(xué)方式案例5“綜合運(yùn)用”教學(xué)方式案例5三角函數(shù)，不僅自身有許多基本而重要的公式，如：同角三角函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、和差角公式、倍角公式等等，而且還離不開解方程（組）等代數(shù)運(yùn)算，還要用到三角知識(shí)之外的知識(shí)，因此，三角函數(shù)是一個(gè)思維訓(xùn)練的良好場(chǎng)所，我們學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)，要充分利用課本的例題習(xí)題，著重加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，就有利于培養(yǎng)學(xué)生的分析和解決能力?！巴貜V探索”教學(xué)方式案例1習(xí)題此題到此結(jié)束，只能算照本宣科，沒有發(fā)揮這道拓廣探索題應(yīng)有的作用，解決該題還可以在學(xué)完第三章內(nèi)容后引導(dǎo)學(xué)生通過求函數(shù)解析式或求函數(shù)最值的思路解決?！巴貜V探索”教學(xué)方式案例1對(duì)求函數(shù)解析方法的探究：“拓廣探索”教學(xué)方式案例1對(duì)求函數(shù)最值方法的探究：“拓廣探索”教學(xué)方式案例1其他方法的探究：其他方法的探究：“拓廣探索”教學(xué)方式案例1從不同角度提問：“拓廣探索”教學(xué)方式案例1從不同角度提問：“拓廣探索”教學(xué)方式案例2習(xí)題

這是課本習(xí)題中極具探究性的一個(gè)問題，通過解決這個(gè)問題可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出處理一類數(shù)學(xué)問題的基本思想和方法，考查了函數(shù)奇偶性也考查了函數(shù)單調(diào)性的證明方法，一方面深化了函數(shù)的概念，另一方面挖掘函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系。“拓廣探索”教學(xué)方式案例2習(xí)題“拓廣探索”