蘇州市蘇州高新區(qū)實驗初級中學(xué)2021-2022學(xué)年九年級上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁/共31頁蘇州市高新實驗初級中學(xué)2021-2022學(xué)年九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）一、選擇題（每題3分，共30分）1.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，則sinB的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)勾股定理計算出斜邊AB的長，然后根據(jù)正弦的定義求解．【詳解】如圖，∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB==10，∴sinB=．故選：A．【點睛】本題考查了正弦的定義：在直角三角形中，一銳角的正弦等于它的對邊與斜邊的比值．也考查了勾股定理．2.已知函數(shù)y＝（m＋3）x2＋4是二次函數(shù)，則m的取值范圍為（）A.m＞－3 B.m＜－3 C.m≠－3 D.任意實數(shù)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)定義解答．【詳解】由題意知，，解得：，故選C．【點睛】本題考查二次函數(shù)的定義，熟練掌握基礎(chǔ)知識即可．3.已知在圓的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A：∠C＝3：1，則∠C的度數(shù)是（）A.45° B.60° C.90° D.135°【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠A+∠C＝180°，再求出∠C即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠C＝180°，∵∠A：∠C＝3：1，∴∠C＝×180°＝45°，故選：A．【點睛】本題考查了元內(nèi)接四邊形對角互補的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4.如圖，在△ABC中，點D、E是AB、AC的中點，若△ADE的面積是1，則四邊形BDEC的面積為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】由DE是△ABC的中位線，得DE∥BC，且DE＝BC，則△ADE∽△ABC，從而BC＝，從而解決問題．【詳解】解：∵點D、E是AB、AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，且DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵△ADE的面積是1，∴＝4，∴＝﹣＝3，故選：B．【點睛】本題考查了三角形中位線定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握中位線定理，靈活運用三角形相似的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5.如圖，正五邊形內(nèi)接于，則的度數(shù)是（）A.36° B.26° C.30° D.45°【答案】A【解析】【分析】連接OD，OE，求出∠DOE=72°，再根據(jù)圓周角定理即可求出的值.【詳解】解：如圖所示，連接OD，OE，∵ABCDE是正五邊形，∴∠DOE==72°，∴=∠DOE=36°，故選：A．【點睛】本題考查正多邊形和圓、圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識.6.如圖，一寬為2cm的刻度尺在圓上移動，當(dāng)刻度尺的一邊與圓相切時，另一邊與圓兩個交點處的讀數(shù)恰好為“1”和“4”（單位：cm），則該圓的半徑為（）.A.5cm B.cm C.cm D.cm【答案】C【解析】【詳解】解：如圖示，連接OA，根據(jù)題意知，PC=2cm，OP⊥AB，

∴AP=BP，

∵AB=3cm，

∴AP=cm，

在Rt△AOP中，設(shè)OA=x，則0P=x﹣2，根據(jù)勾股定理得，，解得，x=．故選C．7.關(guān)于拋物線y＝（x+3）2，以下說法正確的是（）A.開口向下B.對稱軸是直線x＝﹣3C.頂點坐標(biāo)是（0，0）D.當(dāng)x＞﹣3時，y隨x的增大而減小【答案】B【解析】【分析】由拋物線的解析式可求得開口方向、對稱軸及頂點坐標(biāo)，可判斷A、B、C，由二次函數(shù)的增減性即可判斷D，則可求得答案．【詳解】解：∵y＝（x+3）2，∴拋物線開口向上、對稱軸為直線x＝﹣3、頂點坐標(biāo)為（﹣3，0），∴當(dāng)x＞﹣3時，y隨x的增大而增大，故A、C、D說法是錯誤的，B說法是正確的；故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，，a＞0拋物線開口向上，a＜0拋物線開口向下，頂點坐標(biāo)是（h，0），對稱軸為x=h．8.在如圖所示的網(wǎng)格中，小正方形的邊長為，點都在格點上，與相交于點則的正切值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如圖，取格點K，連接AK，BK．觀察圖象可知AK⊥BK，BK=2AK，BK∥CD，推出∠AED=∠ABK，解直角三角形求出tan∠ABK即可．【詳解】如圖，取格點K，連接AK，BK．觀察圖象可知AK⊥BK，BK=2AK，BK∥CD，∴∠AED=∠ABK，∴tan∠AED=tan∠ABK=，故選：B．【點睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．9.如圖，菱形ABCD放置在直線l上(AB與直線l重合)，AB＝4，∠DAB＝60°，將菱形ABCD沿直線l向右無滑動地在直線l上滾動，從點A離開出發(fā)點到點A第一次落在直線l上為止，點A運動經(jīng)過的路徑總長度為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】畫出圖形即可知道，從點A離開出發(fā)點到A第一次落在直線上為止，點A運動經(jīng)過的路徑的長度為圖中的弧線長，由此即可解決問題.【詳解】解：如圖，從點A離開出發(fā)點到點A第一次落在直線l上為止，點A運動經(jīng)過的路徑的長度為圖中的弧線長.由題意可知，∠DOA2=120°，DO=4，所以點A運動經(jīng)過的路徑的長度=，故選D．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是正確畫出圖象，探究點A的運動軌跡，解題時注意正確運用弧長公式．10.如圖，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，D是上任一點（不與B、C重合），連接BD、CD，AD交BC于E，CF切⊙O于點C，AF⊥CF交⊙O于點G．下列結(jié)論：①∠ADC＝60°；②DB2＝DE?DA；③若AD＝2，則四邊形ABDC的面積為；④若CF＝2，則圖中陰影部分的面積為．正確的個數(shù)為（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】如圖1，△ABC是等邊三角形，則∠ABC＝60°，根據(jù)同弧所對的圓周角相等∠ADC＝∠ABC＝60°，所以判斷①正確；如圖1，可證明△DBE∽△DAC，則，所以DB?DC＝DE?DA，而DB與DC不一定相等，所以判斷②錯誤；如圖2，作AH⊥BD于點H，延長DB到點K，使BK＝CD，連接AK，先證明△ABK≌△ACD，可證明S四邊形ABDC＝S△ADK，可以求得S△ADK＝，所以判斷③正確；如圖3，連接OA、OG、OC、GC，由CF切⊙O于點C得CF⊥OC，而AF⊥CF，所以AF∥OC，由圓周角定理可得∠AOC＝120°，則∠OAC＝∠OCA＝30°，于是∠CAG＝∠OCA＝30°，則∠COG＝2∠CAG＝60°，可證明△AOG和△COG都是等邊三角形，則四邊形OABC是菱形，因此OA∥CG，推導(dǎo)出S陰影＝S扇形COG，在Rt△CFG中根據(jù)勾股定理求出CG的長為4，則⊙O的半徑為4，可求得S陰影＝S扇形COG＝＝，所以判斷④正確，所以①③④這3個結(jié)論正確．【詳解】解：如圖1，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∵等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，∴∠ADC＝∠ABC＝60°，故①正確；∵∠BDE＝∠ACB＝60°，∠ADC＝∠ABC＝60°，∴∠BDE＝∠ADC，又∠DBE＝∠DAC，∴△DBE∽△DAC，∴,∴DB?DC＝DE?DA，∵D是上任一點，∴DB與DC不一定相等，∴DB?DC與DB2也不一定相等，∴DB2與DE?DA也不一定相等，故②錯誤；如圖2，作AH⊥BD于點H，延長DB到點K，使BK＝CD，連接AK，∵∠ABK+∠ABD＝180°，∠ACD+∠ABD＝180°，∴∠ABK＝∠ACD，∴AB＝AC，∴△ABK≌△ACD（SAS），∴AK＝AD，S△ABK＝S△ACD，∴DH＝KH＝DK，∵∠AHD＝90°，∠ADH＝60°，∴∠DAH＝30°，∵AD＝2，∴DH＝AD＝1，∴DK＝2DH＝2，，∴S△ADK＝，∴S四邊形ABDC＝S△ABD+S△ACD＝S△ABD+S△ABK＝S△ADK＝，故③正確；如圖3，連接OA、OG、OC、GC，則OA＝OG＝OC，∵CF切⊙O于點C，∴CF⊥OC，∵AF⊥CF，∴AF∥OC，∵∠AOC＝2∠ABC＝120°，∴∠OAC＝∠OCA＝×（180°﹣120°）＝30°，∴∠CAG＝∠OCA＝30°，∴∠COG＝2∠CAG＝60°，∴∠AOG＝60°，∴△AOG和△COG都是等邊三角形，∴OA＝OC＝AG＝CG＝OG，∴四邊形OABC是菱形，∴OA∥CG，∴S△CAG＝S△COG，∴S陰影＝S扇形COG，∵∠OCF＝90°，∠OCG＝60°，∴∠FCG＝30°，∵∠F＝90°，∴FG＝CG，∵FG2+CF2＝CG2，CF＝，∴（CG）2+（）2＝CG2，∴CG＝4，∴OC＝CG＝4，∴S陰影＝S扇形COG＝＝，故④正確，∴①③④這3個結(jié)論正確，故選C．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，圓切線的性質(zhì)，圓周角定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．二、填空題（每題3分，共24分）11.將二次函數(shù)y＝2x2的圖象沿y軸向上平移2個單位長度所得圖象的解析式為_____．【答案】y＝2x2+2【解析】【分析】根據(jù)頂點式及平移前后二次項的系數(shù)不變可得新拋物線的解析式．【詳解】解：原拋物線的頂點為（0，0），向上平移2個單位，那么新拋物線的頂點為（0，2）；可設(shè)新拋物線的解析式為y＝2(x﹣h)2+k，代入得：y＝2x2+2．故答案為：y＝2x2+2．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的平移，掌握平移的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．12.已知圓錐的底面半徑是2cm，母線長為5cm，則圓錐的側(cè)面積是____cm2（結(jié)果保留π）【答案】10π【解析】【分析】圓錐的側(cè)面積=底面周長×母線長÷2，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解．【詳解】解：圓錐的側(cè)面積=2π×2×5÷2=10π．故答案為：10π．【點睛】本題考查了圓錐的計算，解題的關(guān)鍵是弄清圓錐的側(cè)面積的計算方法，特別是圓錐的底面周長等于圓錐的側(cè)面扇形的弧長．13.已知圓O中有一條長與半徑相等的弦AB，那么弦AB所對圓周角度數(shù)為___【答案】或【解析】【分析】由的半徑為厘米，弦的長為厘米，可得等邊三角形，因此，再利用圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出弦所對的圓周角．注意所對的圓周角有兩種情形．【詳解】解：如圖，，為等邊三角形，則．設(shè)弦所對的圓周角為，當(dāng)點在弦所對的優(yōu)弧上，則；當(dāng)點在弦所對的劣弧上，則．所以弦所對的圓周角為或，故答案為：或．【點睛】本題考查圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．14.如圖，在A處測得點P在北偏東60°方向上，在B處測得點P在北偏東30°方向上，若AP＝6千米，則A，B兩點的距離為_____千米．【答案】6【解析】【分析】證明AB＝PB，在Rt△PAC中，求出PC＝3千米，在Rt△PBC中，解直角三角形可求出PB的長，則可得出答案．【詳解】解：由題意知，∠PAB＝30°，∠PBC＝60°，∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°，∴∠PAB＝∠APB，∴AB＝PB，在Rt△PAC中，∵AP＝6千米，∴PC＝PA＝3千米，在Rt△PBC中，∵sin∠PBC＝，∴PB＝＝6千米．∴AB＝6千米．故答案為：6．【點睛】本題考查了解直角三角形應(yīng)用題，方向角：指正北或指正南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的角叫做方向角．注意在描述方向角時，一般應(yīng)先說北或南，再說偏西或偏東多少度，而不說成東偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度.當(dāng)方向角在45°方向上時，又常常說成東南、東北、西南、西北方向．15.如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點為D，E，F(xiàn)，若AD＝5，BE＝12，則△ABC的周長為_____．【答案】40【解析】【分析】利用切線的性質(zhì)以及正方形的判定方法得出四邊形OECD是正方形，進而利用勾股定理得出答案．【詳解】解：連接EO，DO，∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點分別為D，E，F(xiàn)，∴OE⊥BC，OD⊥AC，BF＝BE＝12，AD＝AF＝5，EC＝CD，又∵∠C＝90°，∴四邊形ECDO是矩形，又∵EO＝DO，∴矩形OECD是正方形，設(shè)EO＝x，則EC＝CD＝x，在Rt△ABC中BC2+AC2＝AB2故（x+12）2+（x+5）2＝172，解得：x＝3(負(fù)值已舍)，∴△ABC的周長＝8+15+17＝40．故答案為：40．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心，切線長定理，勾股定理，正方形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．16.如圖，在△ABC中，D、E分別是邊BC、AC上的點，AD與BE相交于點F，若E為AC的中點，BD：DC＝2：3，則AF：FD的值是_____．【答案】##2.5【解析】【分析】過D作DH∥AC交BE于H，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：過D作DH∥AC交BE于H，∴△DHF∽△AEF，△BDH∽△BCE，∴，，∵若E為AC的中點，∴CE＝AE，∴，∵BD：DC＝2：3，∴BD：BC＝2：5，∴DF：AF＝2：5，∴AF：FD＝．故答案為：．【點睛】本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，合理添加輔助線，正確選擇比例式是解題的關(guān)鍵．17.如圖，在△ABC中，I是△ABC的內(nèi)心，O是AB邊上一點，⊙O經(jīng)過點B且與AI相切于點I，若tan∠BAC＝，則sin∠ACB的值為_____．【答案】##0.8【解析】【分析】連接OI，BI，作OE⊥AC，可證△AOD是等腰三角形，然后證明OD∥BC，進而∠ADO＝∠ACB，解三角形AOD即可．【詳解】解：如圖，連接OI并延長交AC于D，連接BI，∵AI與⊙O相切，∴AI⊥OD，∴∠AIO＝∠AID＝90°，∵I是△ABC的內(nèi)心，∴∠OAI＝∠DAI，∠ABI＝∠CBI，∵AI＝AI，∴△AOI≌△ADI（ASA），∴AO＝AD，∵OB＝OI，∴∠OBI＝∠OIB，∴∠OIB＝∠CBI，∴OD∥BC，∴∠ADO＝∠C，作OE⊥AC于E，∵tan∠BAC＝＝，∴不妨設(shè)OE＝24k，AE＝7k，∴OA＝AD＝25k，∴DE＝AD﹣AE＝18k，∴OD＝＝30k，∴sin∠ACB＝＝＝．故答案是：【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．18.如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E為邊AD上一個動點，點F在邊CD上，且線段EF＝4，點G為線段EF的中點，連接BG、CG，則BG+CG的最小值為_____．【答案】5【解析】【分析】因為DG＝EF＝2，所以G在以D為圓心，2為半徑圓上運動，取DI＝1，可證△GDI∽△CDG，從而得出GI＝CG，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系，得出BI其最小值【詳解】解：如圖，在Rt△DEF中，G是EF的中點，∴DG＝，∴點G在以D為圓心，2為半徑的圓上運動，在CD上截取DI＝1，連接GI，∴＝＝，∴∠GDI＝∠CDG，∴△GDI∽△CDG，∴＝，∴IG＝，∴BG+＝BG+IG≥BI，∴當(dāng)B、G、I共線時，BG+CG最小＝BI，在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，∴BI＝5，故答案是：5．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，圓的概念，求得點的運動軌跡是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共10小題，共76分）19.計算：sin260°+|tan45°﹣|﹣2cos45°．【答案】【解析】【分析】先運用特殊角的三角函數(shù)值和絕對值的知識進行計算，然后再合并即可解答．【詳解】解：原式＝（）2+|1﹣|﹣2×＝+﹣1﹣＝．【點睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值的混合運算、絕對值等知識點，牢記特殊角的三角函數(shù)值成為解答本題的關(guān)鍵．20.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每一個小正方形的邊長都為1，△ABC的頂點分別為A(2，3)，B(2，1)，C(5，4)．(1)只用直尺在圖中找出△ABC的外心P，并寫出P點的坐標(biāo)_____________(2)以(1)中的外心P為位似中心，按位似比2：1在位似中心的左側(cè)將△ABC放大為△A′B′C′，放大后點A、B、C的對應(yīng)點分別為A′、B′、C′，請在圖中畫出△A′B′C′；(3)若以A為圓心，為半徑的⊙A與線段BC有公共點，則的取值范圍是____________．【答案】（1）（4，2）；（2）見解析；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的外接圓的圓心是三邊垂直平分線的交點即可找到點P；

（2）根據(jù)位似中心與三角形三個頂點的連線將原三角形擴大2倍即可；

（3）根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系：當(dāng)半徑大于或等于點A到BC的距離時，⊙A與線段BC有一個或兩個公共點即可．【詳解】解：如圖所示：

（1）點P即為△ABC的外心，P點的坐標(biāo)為（4，2），故答案為：（4，2）；

（2）圖中畫出的△A′B′C′即為所求作的圖形；

（3）觀察圖形可知：r=時，⊙A與線段BC有一個公共點．此時⊙A與線段BC相切，當(dāng)時，⊙A只經(jīng)過點，∴的取值范圍是

故答案為：．【點睛】本題考查了作圖?位似變換、三角形的外接圓與圓心、直線與圓的位置關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)位似中心畫位似圖形．21.如圖，在△ABC中，∠B＝30°，BC＝40cm，過點A作AD⊥BC，垂足為D，∠ACD＝75°．（1）求點C到AB的距離；（2）求線段AD的長度．【答案】（1）20cm；（2）【解析】【分析】（1）過C點作CH⊥AB于H，如圖，在Rt△BCH中，利用含30°的直角三角形三邊的關(guān)系易得CH＝BC＝20；（2）在Rt△BCD中利用含30°的直角三角形三邊的關(guān)系可得CH＝20，BH＝CH＝20，再利用三角形外角性質(zhì)計算出∠BAC＝45°，則△ACH為等腰直角三角形，所以AH＝CH＝20，然后利用面積法求AD．【詳解】解：（1）過C點作CH⊥AB于H，如圖，Rt△BCH中，∵∠B＝30°，∴CH＝BC＝×40＝20cm，即點C到AB的距離為20cm；（2）在Rt△BCH中，∵∠B＝30°，∴CH＝20cm，BH＝CH＝20cm，∵∠ACD＝∠B+∠BAC，∴∠BAC＝75°﹣30°＝45°，∴△ACH為等腰直角三角形，∴AH＝CH＝20cm，∴AB＝(20+20)cm，∵AD?BC＝CH?AB，∴AD＝＝(10+10)cm．【點睛】本題主要考查了含30°直角三角形的性質(zhì)、解直角三角形、三角形的外角以及三角形的面積等知識點，正確作出輔助線、構(gòu)造直角三角形成為解答本題的關(guān)鍵．22.如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC邊上一點，連接DE，點F為線段DE上一點，且∠AFE＝∠B.（1）求證△ADF∽△DEC；（2）若BE＝2，AD＝6，且DF=DE，求DF的長度．【答案】（1）見解析；（2）DF=4【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠ADF＝∠DEC，∠C+∠B=180°，根據(jù)∠AFE＝∠B得到∠AFD=∠C，根據(jù)相似三角形的判定定理即可證明；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入計算即可．【詳解】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC，∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC；（2）∵△ADF∽△DEC∴∵四邊形ABCD是平行四邊形，AD=6，BE=2∴EC=BC-BE=AD-BE=4，又∵DF=DE∴DE=DF∴解得DF=4.【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解決本題的關(guān)鍵．23.如圖是某貨站傳送貨物的平面示意圖，為了提高傳送過程的安全性，工人師傅欲減小傳送帶與地面的夾角，使其由改為．已知原傳送帶長為．（1）求新傳送帶長度；（2）如果需要在貨物著地點的左側(cè)留出的通道，試判斷距離點的貨物是否需要挪走，并說明理由．【答案】（1）新傳送帶的長度為；（2）貨物需要挪走，理由見解析．【解析】【分析】（1）先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AD的長，然后再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AC即可；（2）先根據(jù)余弦的定義求出CD，然后再根據(jù)題意求出PC的長，最后根據(jù)題意判斷即可．【詳解】解：（1）在中，，在中，，，答：新傳送帶的長度為；（2）在中，，，在中，，，，貨物需要挪走．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用一坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的相關(guān)知識是解本題的關(guān)鍵．24.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點D在OC的延長線上，OD與AB相交于E，cosA＝，∠D＝30°．（1）證明：BD是⊙O的切線；（2）若OD⊥AB，AC＝3，求BD的長．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】【分析】（1）連接OB，由cosA＝得∠A＝30°，則∠BOD＝2∠A＝60°，而∠D＝30°，可求得∠OBD＝90°，根據(jù)切線的判定定理即可證明；（2）由OD⊥AB，根據(jù)垂徑定理得BE＝AE，則BC＝AC＝3，再證明△BOC是等邊三角形，則OB＝BC＝3，根據(jù)直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半,可得OD＝2OB＝6，根據(jù)勾股定理即可求出BD的長．【詳解】（1）證明：如圖，連接OB，∵cosA＝，且cos30°＝，∴∠A＝30°，∵∠A＝∠BOC，∴∠BOC＝2∠A＝60°，∴∠BOD＝60°，∵∠D＝30°，∴∠OBD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵OB是⊙O的半徑，且BD⊥OB，∴BD是⊙O的切線．（2）解：如圖，∵OD⊥AB，∴EB＝AE，∴BC＝AC＝3，∵OB＝OC，∠BOC＝60°，∴△BOC是等邊三角形，∴OB＝BC＝3，∵∠OBD＝90°，∠D＝30°，∴OD＝2OB＝6，∴BD＝＝＝3，∴BD的長為3．【點睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值、切線的證明、垂徑定理以及直角三角形的性質(zhì)等知識點，靈活運用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵．25.如圖所示，某中學(xué)九年級數(shù)學(xué)活動小組選定測量學(xué)校前面小河對岸大樹BC的高度，他們在斜坡上D處測得大樹頂端B的仰角是30°，朝大樹方向下坡走6米到達坡底A處，在A處測得大樹頂端B的仰角是48°．若斜坡FA的坡比i＝1：，求大樹的高度．（結(jié)果保留一位小數(shù)）參考數(shù)據(jù)：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，取1.73．【答案】樹高BC約12.5米．【解析】【分析】首先過點D作DM⊥BC于點M，DN⊥AC于點N，由FA的坡比i=1：，DA=6，可求得AN與DN的長，然后設(shè)大樹的高度為x，又由在斜坡上A處測得大樹頂端B的仰角是48°，可得AC=，又由在△BDM中，，可得x﹣3＝（3+），繼而求得答案．【詳解】過點D作DM⊥BC于點M，DN⊥AC于點N，則四邊形DMCN是矩形，∵DA＝6，斜坡FA的坡比i＝1：，∴DN＝AD＝3，AN＝AD?cos30°＝6×＝3，設(shè)大樹高度為x，∵在斜坡上A處測得大樹頂端B的仰角是48°，∴tan48°＝≈1.11，∴AC＝，∴DM＝CN＝AN+AC＝3+，∵在△BDM中，，BM＝DM，∴x﹣3＝（3+），解得：x≈12.5．答：樹高BC約12.5米．【點睛】此題考查解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，解題關(guān)鍵在于做輔助線26.如圖，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于點P，過點B的直線交OP的延長線于點C，且BC是⊙O的切線．（1）判斷△CBP的形狀，并說明理由；（2）若OA＝6，OP＝2，求CB的長；（3）設(shè)△AOP的面積是S1，△BCP的面積是S2，且，若⊙O的半徑為6，BP＝4，求tan∠APO．【答案】（1）等腰三角形，理由見解析；（2）8；（3）【解析】【分析】（1）由垂直定義得∠A+∠APO＝90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由CP＝CB得∠CBP＝∠CPB，根據(jù)對頂角相等得∠CPB＝∠APO，所以∠APO＝∠CBP，而∠A＝∠OBA，所以∠OBC＝∠CBP+∠OBA＝∠APO+∠A＝90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到BC是⊙O的切線；（2）設(shè)BC＝x，則PC＝x，在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理得到62+x2＝（x+2）2，然后解方程即可；（3）作CD⊥BP于D，由已知條件可得，PD＝BD，進而求得CD，然后根據(jù)整正切的定義即可求解．【詳解】解：（1）△CBP是等腰三角形；證明：連接OB，如圖，∵BC是⊙O的切線，∴∠OBC＝90°，∴∠OBA+∠CBP＝90°，∵OP⊥OA，∴∠AOP＝90°，∴∠A+∠APO＝90°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠ABO，∵∠APO＝∠CPB，∴∠CBP＝∠CPB，∴△CBP是等腰三角形；（2）解：設(shè)BC＝x，則PC＝x，在Rt△OBC中，OB＝OA＝6，OC＝CP+OP＝x+2，∵OB2+BC2＝OC2，∴62+x2＝（x+2）2，解得x＝8，即BC的長為8；（3）解：如圖，作CD⊥BP于D，∵PC＝CB，∴PD＝BD＝PB＝，∵∠PDC＝∠AOP＝90°，∠APO＝∠CPD，∴△AOP∽△PCD，∵，∴，∴＝，∵OA＝6，∴CD＝3，∴tan∠APO＝tan∠CBP＝＝＝．

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．27.在學(xué)習(xí)蘇科版九下《銳角三角函數(shù)》一章時，小明同學(xué)對一個角的倍角的三角函數(shù)值是否具有關(guān)系產(chǎn)生了濃厚的興趣，進行了一些研究．（1）初步嘗試：我們知道：tan60°＝，tan30°＝，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：tanA2tan∠A（填“＝”或“≠”）；（2）實踐探究：如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan∠A的值；小明想構(gòu)造包含∠A的直角三角形：延長CA至D，使得DA＝AB，連接BD，所以得到∠D＝∠A，即轉(zhuǎn)化為求∠D的正切值．請按小明的思路進行余下的求解：（3）拓展延伸：如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝．①tan2A＝；②求tan3A的值．【答案】（1），，≠；（2）﹣2；（3）①；②.【解析】【分析】（1）直接利用特殊角的三角函數(shù)值得結(jié)論；（2）根據(jù)題意，利用勾股定理求AC，得結(jié)論；（3）①作AB的垂直平分線交AC于E，連接BE，則∠BEC=2∠A，在Rt△EBC中，利用勾股定理求出EC，求tan∠BEC得結(jié)果；②作BM交AC于點M，使∠MBE=∠EBA，則∠BMC=3∠A．利用角平分線的性質(zhì)和勾股定理求出EM的長，求tan∠BMC得結(jié)果.【詳解】（1）tan60°＝，tan30°＝，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：tanA≠2tan∠A，故答案為，，≠；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，∴AB＝＝，如圖1，延長CA至D，使得DA＝AB，∴AD＝AB＝，∴∠D＝∠ABD，∴∠BAC＝2∠D，CD＝AD+AC＝2+，∴tan∠A＝tan∠D＝＝﹣2；（3）①如圖2，作AB的垂直平分線交AC于E，連接BE，則∠BEC＝2∠A，AE＝BE，∠A＝∠ABE∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝，∴BC＝1，AB＝，設(shè)AE＝x，則EC＝3﹣x，在Rt△EBC中，x2＝（3﹣x）2+1，解得x＝，即AE＝BE＝，EC＝，∴tan2A＝tan∠BEC＝＝，故答案為；②如圖3，作BM交AC于點M，使