2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)考點(diǎn)知識(shí)梳理4.3全等三角形

4.3全等三角形◎理解全等三角形的概念,能識(shí)別全等三角形中的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.◎掌握基本事實(shí):兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等.◎掌握基本事實(shí):兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.◎掌握基本事實(shí):三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.◎證明定理:兩角及其中一組等角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.◎探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理.三角形全等的判定和性質(zhì)基本每年都會(huì)考查,僅僅從這部分知識(shí)點(diǎn)看,難度不是很大,但是與其他知識(shí)綜合命題,難度加大,解題的關(guān)鍵是把判定全等的條件從綜合題中分離出來(lái),熟練利用全等三角形的判定、性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解題.命題點(diǎn)全等三角形的判定與性質(zhì)[必考,多與其1.(2019·安徽第20(1)題)如圖,點(diǎn)E在?ABCD內(nèi)部,AF∥BE,DF∥CE.求證:△BCE≌△ADF.證明:延長(zhǎng)FA與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M.∵AD∥BC,∴∠FAD=∠M.又∵AF∥BE,∴∠M=∠EBC,∴∠FAD=∠EBC,同理得∠FDA=∠ECB.又∵BC=AD,∴△BCE≌△ADF(ASA).2.(2014·安徽第23題)如圖1,正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為a,P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PM∥AB交AF于點(diǎn)M,作PN∥CD交DE于點(diǎn)N.(1)①∠MPN=60°;

②求證:PM+PN=3a;(2)如圖2,O是AD的中點(diǎn),連接OM,ON.求證:OM=ON;(3)如圖3,O是AD的中點(diǎn),OG平分∠MON,判斷四邊形OMGN是否為特殊四邊形,并說(shuō)明理由.解:(1)②如圖1,連接BE交MP于點(diǎn)H.在正六邊形ABCDEF中,PN∥CD,又BE∥CD∥AF,所以BE∥PN∥AF.又PM∥AB,所以四邊形AMHB、四邊形HENP為平行四邊形,△BPH為等邊三角形.所以PM+PN=MH+HP+PN=AB+BH+HE=AB+BE=3a.(2)如圖2,連接BE.由(1)知AM=EN,且AO=EO,∠MAO=∠NEO=60°,所以△MAO≌△NEO(SAS),所以O(shè)M=ON.(3)四邊形OMGN是菱形.理由:如圖3,連接OE,OF.由(2)知∠MOA=∠NOE,又因?yàn)椤螦OE=120°,所以∠MON=∠AOE－∠MOA+∠NOE=120°.由已知OG平分∠MON,所以∠MOG=60°.又∠FOA=60°,所以∠MOA=∠GOF.又AO=FO,∠MAO=∠GFO=60°,所以△MAO≌△GFO(ASA),所以MO=GO.又∠MOG=60°,所以△MGO為等邊三角形.同理可證△NGO為等邊三角形,所以四邊形OMGN為菱形.典例已知△ABD≌△ACE,點(diǎn)D,E在BC上.(1)如圖1.①若∠B=35°,∠DAE=70°,求∠BAD的度數(shù);②若BC=12,DE=6,求BD的長(zhǎng).(2)若點(diǎn)G,F分別在AB,AC上,且AF=AG,如圖2.①求證:△BEG≌△CDF;②求證:△ADF≌△AEG;③連接AO,如圖3,求證:AO平分∠FOG.【答案】(1)①∵△ABD≌△ACE,∴∠B=∠C=35°,∠BAD=∠CAE,∴∠BAC=180°－∠B－∠C=110°.∵∠DAE=70°,∴∠BAD=∠CAE=12×(∠BAC－∠DAE)=20°②∵△ABD≌△ACE,∴BD=CE.∵BC=12,DE=6,∴BD+CE=BC－DE=6,∴BD=3.(2)①∵△ABD≌△ACE,∴∠B=∠C,AB=AC,BD=CE,∴BD+DE=CE+DE,即BE=CD.∵AF=AG,∴AB－AG=AC－AF,即BG=CF,∴△BEG≌△CDF(SAS).②∵△ABD≌△ACE,∴AD=AE.∵△BEG≌△CDF,∴EG=DF.∵AF=AG,∴△ADF≌△AEG(SSS).③過(guò)點(diǎn)A作AH⊥EG于點(diǎn)H,AK⊥DF于點(diǎn)K.由(2)②可知△ADF≌△AEG,∴AE=AD,∠AEG=∠ADF.∵AH⊥EG,AK⊥DF,∴∠AHE=∠AKD=90°,∴△AHE≌△AKD(AAS),∴AH=AK.∴AO平分∠FOG.【選題意圖】本題通過(guò)一個(gè)題組將安徽中考常考的有關(guān)全等三角形的判定和性質(zhì)串聯(lián)起來(lái).(1)考查全等三角形的性質(zhì);(2)①②考查全等三角形的判定,③綜合考查全等三角形的判定和角平分線的判定.提分1(2021·江蘇鹽城)工人師傅常常利用角尺構(gòu)造全等三角形的方法來(lái)平分一個(gè)角.如圖,在∠AOB的兩邊OA,OB上分別取OC=OD,移動(dòng)角尺,使角尺兩邊相同的刻度分別與點(diǎn)C,D重合,這時(shí)過(guò)角尺頂點(diǎn)M的射線OM就是∠AOB的平分線.這里構(gòu)造全等三角形的依據(jù)是(D)A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS【解析】在△COM和△DOM中,OC=OD,OM=OM,MC=MD,∴△COM≌△DOM(SSS),∴∠COM提分2(2021·遼寧大連)如圖,點(diǎn)A,D,B,E在一條直線上,AD=BE,AC=DF,AC∥DF,求證:BC=EF.解:∵AD=BE,∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE.∵AC∥DF,∴∠A=∠EDF.在△ABC與△DEF中,AB∴△ABC≌△DEF(SAS),∴BC=EF.三角形的費(fèi)馬點(diǎn)教材原題呈現(xiàn)[HK版教材八上P150A組復(fù)習(xí)題第12題]已知:如圖,在△ABC中,以它的邊AB,AC為邊,分別在形外作等邊三角形ABD,ACE,連接BE,CD.求證:BE=DC.【參考答案】由已知可得AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠DAC=∠BAE.在△BAE和△DAC中,AB∴△BAE≌△DAC,∴BE=DC.【教材知識(shí)拓展】費(fèi)馬點(diǎn)是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最短的點(diǎn).如圖,若P為△ABC所在平面上一點(diǎn),且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,則P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).理由:如圖所示,以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心,將△ACP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得△ADE,連接PD,CE,易得△APD和△ACE為等邊三角形,且B,P,D,E四點(diǎn)共線,PC=DE,∴AP=DP,AP+BP+CP=BP+PD+DE=BE,∴此時(shí)AP+BP+CP的值最小,P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).教材文化延伸命題方向1考查定義1.若P為△ABC所在平面上一點(diǎn),且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,則P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).若P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn),且∠ABC=60°,PA=3,PC=4,則PB的值為23.

【解析】如圖所示,∵∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,∴∠PAB+∠PBA=60°.∵∠ABC=60°,即∠PBA+∠PBC=60°,∴∠PAB=∠PBC,∴△PAB∽△PBC,∴PAPB命題方向2求到不共線三點(diǎn)距離之和的最小值2.(2021·山東淄博改編)兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABCD,如圖所示.若∠α=30°,求對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)P到A,B,C三點(diǎn)距離之和的最小值.解:如圖,作DE⊥BC于點(diǎn)E,把△ABP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'BP'.∵∠α=30°,DE=3cm,∴CD=2DE=6cm,同理得BC=AD=6cm.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),得A'B=AB=CD=6cm,BP'=BP,A'P'=AP,∠P'BP=60°,∠A'BA=60°,∴△P'BP是等邊三角形,∴BP=PP',∴PA+PB+PC=A'P'+PP'+PC.根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短,可知當(dāng)PA+PB+PC=A'C時(shí)最短.連接A'C,與BD的交點(diǎn)即為點(diǎn)P,即點(diǎn)P到A,B,C三點(diǎn)距離之和的最小值是A'C.∵∠ABC=∠DCE=∠α=30°,∠A'BA=60°,∴∠A'BC=90°,∴A'C=A'B∴點(diǎn)P到A,B,C三點(diǎn)距離之和的最小值是62cm.命題方向3求角度3.如圖,P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),PB=1,PC=2,