2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末04 空間向量的應(yīng)用（解析版）

2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末必考題

必考點04空間向量的應(yīng)用

題型一異面直線所成角

例題1若兩異面直線4與4的方向向量分別是）=（1，o,-1）,履=（o,-1,1）,則直線4與4的夾角為（

A.30°B.60,C.120°D.150°

【答案】B

【解析】1=(1,0,-1),1=(0,-1,1),

可得用?/=lx0+0x(-l)+(-l)xl=-1

|)|=0,同=及，

貝!Icos<n,,n2>=~三

1%卜1%1

由0。,，v>,1>,,180。,可得<成,石>=120。，

可得直線4與4的夾角為60。，

故選B.

例題2若向量1=（1,2,1）,6=（2,—1,-2）,且1與5的夾角余弦為更，則2等于（）

A.-V2B.叵C.-血或夜

【答案】A

【解析】?.?向量G=(1,A,l),b=(2,-1,-2),

乙與萬的夾角余弦為正，

=也

?.cos<a,b>=

1外|5|，2+下.強

解得A=-亞.

故選A.

匚解題技巧提煉】

注意向量的夾角與異面直線所成角的區(qū)別

當(dāng)異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時，就是此異面直線所成的角；當(dāng)異面直線的方向向量的夾角

為鈍角時，其補角才是異面直線所成的角.

題型二直線與平面所成角

例題1如圖，在正方體ABC0-ABCA中，E,F分別為棱A4，BC的中點，則EF與平面所成角

的正弦值為（）

H6B&C上D夜

A.t5?L.U.

6633

【答案】D

【解析】在正方體A88-ABC。中，E,F分別為棱4烏，BC的中點，

以。為原點，八4為x軸，10c為y軸，￡>"為z軸，建立空間直角坐標系，

設(shè)正方體ABC。-AAG"中棱長為2,

則E(2,1,2),F(1,2,0),4(2，0，2),8(2,2,0),C,(0,2,2),

￡F=(-1,I,-2),B\=(0,-2,2),BC't=(-2,0,2),

設(shè)平面A8C1的法向量為=(x,y,z),

則1_L",取x=i,得乃=(i,i,i),

n?BQ=-2x+2z=0

設(shè)EF與平面ABC,所成角為。,

|而利2_丘

則sin*

IEFIIMTx/6-V3-3

：.EF4T-llli\BC,所成角的正弦值為夸.

故選D.

劃題2已知直四棱柱ABCD-ABCQ的所有棱長相等，Z4BC=60°,則直線g與平面ACC0所成角的

正切值等于()

A#RW「石D厲

4455

【答案】D

【解析】如圖所示的直四棱柱A8CQ-ABGR，ZABC=60°,取8c中點￡，

以A為坐標原點，隹所在直線為x軸，49所在直線為y軸，A4,所在直線為z軸，建立空間直角坐標系.

設(shè)AB=2,則A(0,0,0),4(0,0,2),B(g,-1,0),C(G,1,O)C(G,1,2),

%=(0,2,2),/=(6,1,0),麗=(0,0,2).

設(shè)平面ACC/的法向量為萬=(x,%z)，

則＜_.7取x=l,得近=(1,—6,0).

”?朋=2z=0

設(shè)直線BC,與平面ACC,A,所成角為0,

|.|||-nI3&?萬|-2百瓜

則sm0==：-------=|r~「|=—,

\BCi|.|n|V8.V44

cos6=

直線BC,與平面ACGA所成角的正切值等于半，

故選D.

:解題技巧提煉】

利用向量法求線面角的方法

(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補

角)；

(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角,

取其余角就是斜線和平面所成的角.

題型三用向量法求二面角

。題1(2021秋?朝陽區(qū)校級月考)如圖，在長方體A8CD-A4Gq中，已知A8=4,AD=3,AA]=2,

E、F分別是線段45、BC上的點，且3尸=1,點E到直線尸口的距離為巫.

16

(1)求異面直線與F0所成角的大小；

(2)求平面與平面CGE所成角的余弦值.

【答案】設(shè)8E=x，根據(jù)題意得。爐=（4-xy+32,D,E2=（4-X）2+32+22,D,F=x/42+22+22=2>/6,

EF=VJC2+12,

而|、1zc-nc-D、E-+D!、F--EF-13-2xKPI'I-2/cr>c1,13—2x

所以cosZED,F=--------------------=———i=,所以sinZED,F=l-（———t=

2xD、ExDFV6X7（4-X）2+13底J（4-X：+13

設(shè)點EFD］的距離為d,則d2=DEsirj/ERF

（4-X）2+；-（13-2X）2=（平y(tǒng),解得I,

(1)以A為原點X反通,分別為x軸、y軸、z軸的正向建立空間直角坐標系，

則有。(0，3,0),0,(0,3,2),E(3,0,0),尸(4,1,0),C,(4,3,2),C(4,3,0).

于是。E=(3,-3,0),FD\=(-4,2,2),

設(shè)異面直線DE與尸R所成角的大小為0,

3x(-4)-3x2+0

:.cos0=|cos<DE,FDt>|=

732+(-3)27(-4)2+22+22

(2)由(1)知瓦=(3,-3,0),函=(1,3,2),

設(shè)向量”=(x,y,z)與平面GDE垂直，則有

fi-DE=0w/3x-3y=0

〈____，即〈,

rt-Eq=0[x+3y+2z=0

令x=1,貝ijy=1,z=—2

所以平面C}DE的一個法向量為h=(1,1,-2),

由⑴知西=(0,0,2),C￡=(-l,-3,0),

設(shè)成=(a,h,c)為平面CCXE的一個法向量，

[2c=0.

\，令Z?=1,則a=—3,c=0,

Ia+3Z?=0

所以平面GEC的一個法向量為用=(-3,1,0),

…岳

..cos<m,n>=-----,

15

2(2021秋?上高縣校級月考)如圖，在直三棱柱ABC-AAG中，ZACB=90°,AC=BC=CCt,M

為A3的中點，。在A4上，且耳.

(1)求證：平面CM￡>_L平面AB4A；

(2)求二面角C-的余弦值.

G

【答案】(1)證明：?.,直角三棱柱ABC-AAG中，AC=BC=CC,,M為A3的中點，。在A片上且

40=3。片..'.CMYAB,■平面ABC,CMu平面ABC,,CM_LA4,,又44口48=4,:.CM1.

平面ABB|A，???CMu平面CM￡),

平面CMDJ_平面ABB】A.

(2)以C為原點，C4為x軸，CB為y軸，CQ為z軸，建立空間直角坐標系，

設(shè)AC=8C=CG=4,則C(0,0,0),8(0,4,0),D(1,3,4),M(2,2,0),

BD=(1,-1,4),BC=(0,-4,0),BM=(2,-2,0),

設(shè)平面BDC的法向量后=(x,y,z),

n■BD=x-y+4z=0,,.z,,

,取z=l,得為=(—4,011),

{n-BC=-4y=0

設(shè)平面8DW的法向量沆=3，b,c),

m-BD=a-b+Ac=Q,,z.,.八

__>取a=I,得m=(1,1,0).

)m-BM=2a-2b=Q

設(shè)二面角C-BD-M的平面角為6,

則”=坦包=7，="

\m\-\n\V2.V1717

二面角C—BD—M的余弦值為2回.

【解題技巧提煉】

利用坐標法求二面角的步驟

設(shè)〃/,〃2分別是平面a,4的法向量，則向量〃/與〃2的夾角(或其補角)就是兩個平面夾

角的大小，如圖.用坐標法的解題步驟如下：

(1)建系：依據(jù)幾何條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系.

(2)求法向量：在建立的坐標系下求兩個面的法向量〃/,H2.

(3)計算：求〃1與〃2所成銳角，，cos。=|詈.

(4)定值：若二面角為銳角，則為仇若二面角為鈍角，則為兀一仇

題型四空間中的翻折與探索性問題

I題1(2021?河南模擬)如圖，在矩形中，2AB=BC=2,AE=CF=\.將A,C分別沿BE,DF

作CHLNE于H,

建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)/4紀/=。，4CNE=(3,(a,尸€(0,萬)),

.“五八夜.、c,叵夜〃夜夜?〃、

A(—coscc,0>—sina),C(-------cosp?—,—sinZ?),

222222

PV2V2V2。>/2)y[2.V2.2

IAC~=(-------cos6-------cosa)~+(-------0)~+(——sinB-------sincr),

222222

=((1-cosp-cosa)2+l+(sin￡-sina)2).*,

JT

當(dāng)l-cos4一cosa=0,且sin尸一sina=0時IACI最小，丁是當(dāng)a=/?=§時，|A!C\最小,

麗=(一冬日，0),欣=(等,0,手)，而=(-9，爭當(dāng)),

設(shè)平面EE4'和平面￡FC的法向量分別為沆=(x,y,z),n=(u,v,w),

與

當(dāng)

一

而+o

=-22=

田

令

X=而=

紇x/3

和

比+V-6o

=-44=

(2)設(shè)平面ARC的法向量為而=(x，y，z),則,竺二°_ax+夜y-z=0

tn-CD,=0-\!ly+z=0

令y=l,則x=0，z=0,7M=(0,1,&),

同理可得，平面AAC的法向量為=(1,1,0),

tnn1顯

cos<Hi,n>=-----=-T=—=—，

\m\-\ii\73x726

由圖知，二面角。-AC—A為鈍角，

故二面角R-AC-4平面角大小的余弦值為-毛.

(3)存在，理由如下：

?.?A(夜，0,0),0,(0,0,1),C(0,72,0),

△D.AC的重心的坐標為Q吟,辛，1),

設(shè)存在點P滿足題意，且率=2而，貝!JP(夜(1-4),&,1-A),

?.?P在平面D,AC的投影為^DtAC的重心，

PQ_L平面￡>iAC,

PQLAC,

..尸0前=(&_半，4-&,A-|)-(-V2,近,0)=_&衣1_半)+0哼_&)=0,

整理得2-奴=0,

解得」，

2

.,.平=4年=；而,即IPC|=；|4口=冬

【解題技巧提煉】

1.與空間角有關(guān)的翻折問題的解法

要找準翻折前后的圖形中的不變量及變化的量，再結(jié)合向量知識求解相關(guān)問題.

2.關(guān)于空間角的探索問題的處理思路

利用空間向量解決空間角中的探索問題，通常不需要復(fù)雜的幾何作圖、論證、推理，只

需先假設(shè)結(jié)論成立，設(shè)出空間的坐標，通過向量的坐標運算進行推斷，把是否存在問題轉(zhuǎn)化

為點的坐標是否有解的問題來處理.

對點變式練

題型一異面直線所成角

7

1.已知向量值=(3,1,2),5=(-1,3,t),且1與5夾角的余弦值為一，則f的取值可以是()

7

A.2B.-2C.4D.±2

【答案】A

【解析】?.?向量M=(3,1,2),5=(-1,3,/),且4與5夾角的余弦值為士，

7

ab2t2

:.cos<a,b>=

⑷?出I7

解得t=2.

故選A.

2.已知A(l,0,0),B(0,-1,1),O是坐標原點，0流+4。豆與。方的夾角為120。，則冗的值為()

A.土亞B.亞C.—近D.±76

666

【答案】C

【解析】因為04+之0月=(1,0,0)+〃0,-1,1)=(1,-2,2),

所以|。4+/1。也=J1+23，

\OB\=y/2,

(OA+WB)OB=2A,

所以cosl20。=產(chǎn)”=--，

&J2—+12

所以幾＜0,

K4/1=-A/4A2+2

解得：丸=_顯.

6

故選C.

題型二直線與平面所成角

1.在正三棱柱中，側(cè)棱長為四，底面三角形的邊長為1，則BG與側(cè)面ACGA所成角的正弦

值為()

A.—B.y/2C.GD.—

32

【答案】B

【解析】?.?平面ABCD〃平面A4CQ,

平面ACMC平面AgCQ=1，平面ACWC平面ABC￡>=AC,

.-.Z/MC.

直線/與平面所成角即為直線AC與平面SAE所成角，

以。為原點，D4為x軸，"為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，

則A(2,0,0),C(0,2,0),R(0,0,4),BQ,2,4),E(0,2,2),

AC=(-2,2,0),。耳=(2,2,0),席=(0,2,-2),

設(shè)平面8QE的法向量為=(x,y,z),

[n-D.B,=2x+2y=0仃

則<_L*J,取x=l,得zri開=(1，T，T)，

萬?RE=2y-2z=0

則直線AC與平面4QE所成角的正弦值為

sin,=l^=i=^>.cos0=

|AC|-|n|V8-V33~3’

：.直線l與平面片RE所成角的正切值為tan。=卡=&.

3

故選B.

題型三用向量法求二面角

(2021秋?滄州月考)如圖，在四棱錐P—ABCD中，AD//BC,AB1AP,PD_L平面舫8,

AP=BC=yf2AB=2AD.

(1)證明：PBYAC；

(2)求平面R4B與平面P8C夾角的余弦值.

BC

【答案】證明：(1)，設(shè)4)=2,則由已知得，AB=242,AP=BC=4,

PD_L平面ABCD,3Cu平面ABCD，

:.PD±BC,XvABlAP,

APp\PD=p,

.?.ABJ■平面B4O，?.??!￡)<=面RW，：.AB±AD,,

過點￡>作/W//A8交BC于點M,可得PD_LD”，PDA.AD,

在RtAADP中易求得PD=2拒,

以點。為坐標原點，以D4，DM,DP所在宜線分別作為坐標軸建立如圖所示的坐標系,

貝4尸(0,0,2>/3),8(2,20,0),A(2,0,0)C(-2,2a,0),

所以麗=(2,2&,-26)，而=(-4,2亞，0),

PB-AC=2x(-4)+2^x272+0x25/3=0,

,PBLAC-,

(2)由(1)知通=(0,20,0),麗=(-2,0,2我

設(shè)平面A3P的一個法向量萬=(x,y,z),

n-AB=02岳=0

所以

riAP=0-2x+2百z=0

令z=6,則x=3,y=0

所以平面AB尸的一個法向量萬=(3,0,6),

由(1)知行=(4,0,0),CP=(2,-2拒，2后)

設(shè)平面P8C的個法向量加=(a,b,c)

m-CB=04a=0

所以<所以

m-CP=02a-2s[2b+2y/3c=0

令b=5/3,則c=y/2,

所以平面PBC的一個法向量沅=(0,G，V2),

__0X3+0X5/3+A/2X5/3而

cos<n?m>=-------j=——------=----，

2Gx610

所以平面PAB與平面PBC夾角的余弦值巫.

10

故答案為：(1)P8_LAC成立.

2.(2021秋?珠海月考)如圖，在四棱錐P-A8CD中，側(cè)棱底面A8CZ),底面A8CD為長方形，且

PD=CD=1,E是尸C的中點，作斤_LP8交于點F.

(1)證明：/>31.平面?！?；

(2)若三棱錐的體積為I，求二面角3P-C的余弦值.

3

【答案】證明：(1)?.?/>￡>_1_面49a>,BCu面49CD,.?./>￡>_LBC,

?.?底面AfiCD為長方形，.?.CDJL3C,

Pop)CD=D,二3CJ_平面PCD,

???￡)Eu平面尸8,:.DEYBC,

.PD=CD,"為PC的中點，:.DE^PC,

PC^\BC=C,..?！辏篲1平面「3。，

；.DELPB,又EFLPB,DE^EF=E,

平面D￡F.

解：(2)由題意知D4、DC、DP兩兩垂直，以。為坐標原點，建立如圖空間直角坐標系。-◎z,

可得。(0,0,0),P(0,0,1),C(0,I,0).

設(shè)8c=f，則仃展,=gxgxrxl=g,解得f=2,

——?—?11

.?.8(2,1,0),BD=(-2,-1,0),BP=(-2,-1,1),又鳳0,-,-),

“,,,,,日n-BD=0.[-2x—y=0/

設(shè)平面尸8。的法向量元=(x,y,z),_則rl<「八，取x=l,得萬=(1,一2,0),

”.麗=0[-2x-j+z=0

________ii

由(1)。后一平面尸"。，得OE為平面依。的法向量，得?！?(0,-,-),

.,|說國Jjo

設(shè)二面角。―C為c,則cosa=??jy=-----,

I網(wǎng)冏5

所以二面角D-3P-C的余弦值為半.

z

題型四空間中的翻折與探索性問題

（2021?浙江模擬）AABC是邊長為6的正三角形，。在上，且滿足通=2而，現(xiàn)沿著C￡）將A4C￡）折

起至△4CD,使得W在平面38上的投影在ABQC內(nèi)部（包括邊界），則二面角A-CD-3所成角的余

弦值的取值范圍是（）

【答案】C

【解析】如圖1,在A4BC中，過點4作AOLO交CD于O,交BC于H,

?.?點4在平面3C。上的投影在ABDC內(nèi)部（包括邊界），

其投影在線段O”上，如圖2,過A作AM_LO”，

垂足為M,則AM_L平面3DC，

ZA'OM為二面角A—C￡>-8的平面角，

?.?犯=4,AC=6,NC4Z)=60°,

CD2=AD2+AC2-2AD-AC-cos600

=164-36-2X4X6XCOS60°=28.

:.CD=2近,

又,Cr>.AO=，ADACsin60°,即2V7AO=4x6x走,

222

,C6后

A0=------,

7

以8c的中點E為坐標原點，建立如圖1所示的平面直角坐標系,

則A(0,3我,C(3,0),D(-2#),設(shè)H(a,0),

因為AB[\BC=B,AB,3Cu平面ABC,

則&4_L平面ABC，

又CPu平面ABC,

故弘,叱；

(2)解：以點A位坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示,

則4(0,0,0),8(0,2&,0),C(a,72,0),5(0,0,2),P(0,夜,0),

所以礪=(-V2,-V2,2),CP=(-72,0,0),

由(1)可知I,8C_L平面SAC，

則平面S4C的法向量為BC=(V2,-V2,0),

設(shè)平面SPC的法向量為n=(x,y,z),

\iiCS=0f-V2x-V2y+2z=0

則___，即,，

iiCP=0[-V2x=0

令z=1,則y=板,

故行=(0,a,1),

所以|cos<B&療>|J無竺L2,

|n||BC\V2+2xy/2+13

由圖可知，二面角A-SC—P為銳二面角，

故二面角A-SC—P的余弦值為且；

3

Ap

(3)解：設(shè)—=幾(噴收1),

AB

則P(0,2722,0),

因為M盧，平,0),可(坐,平,1),

2244

所以麗=(立，述—202,1),

44

因為PN//平面S4C,

1Q1

則9仁區(qū)仁二。，即上一二+44=0,解得4=一，

224

所以存在點P使得RV//平面S4C,此時理=』.

AB4

解得：—旦.

6

故選C.

3.(2019秋?太原期末)已知&=(1,-1,2),5=(-1,〃?，”)，若不=篇,則實數(shù)〃?，〃的值分別是(

)

A.1,-2B.-1,-2C.1,2D.-1,2

【答案】A

【解析】a=(l,-1>2),b=(-1,m,n),

1=-A

若a=焉,則<-1=km,

2=An

解得m-\,典=—2.

故選A.

4.(2019秋?茂名期末)已知向量值=(1,-1,-2)及6=(-4,2,0)則M+b等于()

A.(-3,1,-2)B.(5,5,-2)C.(3,-1,2)D.(-5,-5,2)

【答案】A

【解析】由向量日=(1,一1,一2),5=(-4,2,0),

所以1+5=(-3,1,-2).

故選A.

5.(2019秋?欽州期末)已知〃=(1,2,1),5=(2,-4,1),貝IJ2江+B等于()

A.(4,-2,0)B.(4,0,3)C.(40,3)D.(4,0,-3)

【答案】B

【解析】21+5=2(1,2,1)+(2,-4,1)=(4,0,3),

故選B.

€.(2019秋?慈溪市期末)在空間直角坐標系。孫z中，若點。+3,2c+l)關(guān)于y軸的一個對稱

點的坐標為(4,-2,15),貝lja+匕+c的值()

A.等于10B,等于0C.等于-11D.不確定

【答案】C

【解析】在空間直角坐標系Chyz中，點〃(/一加，匕+3,2c+l)關(guān)于y軸的一個對稱點AT的坐標為(4,

-2,15),

+3=-2，解得a=2,b=—5,c=—8,

2c+l=-15

?,.a+Z?+c=2—5—8=-11?

故選c.

7.（2019秋?陽泉期末）已知向量4=（0,3,3）和5=（-1,1,0）分別是直線/和加的方向向量，則直線/

與m所成的角為（）

A.—B.—C.—D.—

6432

【答案】C

【解析】?.,向量五=（0,3,3）和B=（一1,1,0）分別是直線/和〃?的方向向量，