高二數(shù)學之人教版高中數(shù)學選修4-5課件：2.2綜合法與分析法

綜合法與分析法高二數(shù)學PPT之人教版數(shù)學選修4-5課件：2.2綜合法與分析法2021/5/91【自主預(yù)習】1.綜合法一般地,從_________出發(fā),利用定義、公理、定理、性質(zhì)等,經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立,這種證明方法叫做綜合法.綜合法又叫順推證法或由因?qū)Ч?已知條件2021/5/922.分析法證明命題時,從___________出發(fā),逐步尋求使它成立的_________,直至所需條件為______________________________(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等),從而得出要證的命題成立,這種證明方法叫做分析法,這是一種_________的思考和證明方法.要證的結(jié)論充分條件已知條件或一個明顯成立的事實執(zhí)果索因2021/5/93【即時小測】1.關(guān)于綜合法和分析法說法錯誤的是(

)A.綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證明方法B.綜合法又叫順推證法或由因?qū)Ч–.分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法D.綜合法和分析法都是因果分別互推的兩頭湊法2021/5/94【解析】選D.根據(jù)綜合法的定義可得,綜合法是執(zhí)因?qū)Ч?是順推法;根據(jù)分析法的定義得,分析法是執(zhí)果索因法,是逆推證法.2021/5/952.下列對命題“函數(shù)f(x)=x+是奇函數(shù)”的證明不是綜合法的是(

)A.?x∈R且x≠0有f(-x)=(-x)+=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù)B.?x∈R且x≠0有f(x)+f(-x)=x+(-x)+所以f(x)=-f(-x),所以f(x)是奇函數(shù)2021/5/96C.?x∈R且x≠0,因為f(x)≠0,所以所以f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù)D.取x=-1,f(-1)=-1+=-2,又f(1)=1+=2,f(-1)=-f(1),所以f(x)是奇函數(shù)2021/5/97【解析】選D.A,B,C都是從已知條件出發(fā),利用奇函數(shù)定義,得出結(jié)論的,都是綜合法;D不是綜合法證明.2021/5/983.要證a2+b2-1-a2b2≤0,只需證(

)A.2ab-1-a2b2≤0 B.a2+b2-1-≤0C.-1-a2b2≤0 D.(a2-1)(b2-1)≥02021/5/99【解析】選D.因為a2+b2-1-a2b2=(a2-1)(1-b2)=-(a2-1)(b2-1),故要證a2+b2-1-a2b2≤0,只需證(a2-1)(b2-1)≥0.2021/5/910【知識探究】

探究點綜合法與分析法1.綜合法與分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是怎樣的?提示:綜合法:A?B1?B2?…?Bn?B(已知)(逐步推演不等式成立的必要條件)(結(jié)論).2021/5/911分析法:B?B1?B2?…?Bn?A(結(jié)論)(步步尋求不等式成立的充分條件)(已知).2021/5/9122.如何理解分析法尋找的是充分條件?提示:用分析法證明,其敘述格式是:要證明A,只需證明B.即說明只要有B成立,就一定有A成立.因此分析法是“執(zhí)果索因”,步步尋求上一步成立的充分條件.分析法體現(xiàn)了數(shù)學中“正難則反”的原則,也是思維中的逆向思維.逆求(不是逆推)結(jié)論成立的充分條件.2021/5/913【歸納總結(jié)】1.綜合法和分析法的比較(1)相同點:都是直接證明.(2)不同點:綜合法:由因?qū)Ч?形式簡潔,易于表達;分析法:執(zhí)果索因,利于思考,易于探索.2021/5/9142.證明不等式的通常做法常用分析法找證題切入點,用綜合法寫證題過程.2021/5/915類型一用綜合法證明不等式【典例】(2016·大連高二檢測)已知a,b,c均為正實數(shù),且(1)證明:(2)求證:2021/5/916【解題探究】要證明該題,根據(jù)題目的形式,你聯(lián)想到利用哪個公式解決?提示:根據(jù)題目給出的形式,可根據(jù)基本不等式求證.2021/5/917【證明】(1)由a,b,c均為正實數(shù),且可得相加可得2021/5/918即有當且僅當a=b=c=取得等號.故原不等式成立.2021/5/919(2)由a,b,c均為正實數(shù),且可得相加可得即有原不等式成立.2021/5/920【方法技巧】綜合法證明不等式的策略(1)綜合法證明不等式,揭示出條件和結(jié)論之間的因果聯(lián)系,為此要著力分析已知與求證之間,不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系.合理進行轉(zhuǎn)換,恰當選擇已知不等式,這是證明的關(guān)鍵.2021/5/921(2)綜合法證明不等式所依賴的已知不等式主要有如下幾個:①a2≥0(a∈R);②(a-b)2≥0(a,b∈R),其變形有a2+b2≥2ab,≥ab,a2+b2≥(a+b)2;③若a,b為正實數(shù),則特別≥2;④a2+b2+c2≥ab+bc+ca.2021/5/922(3)在用綜合法證明不等式時,常利用不等式的基本性質(zhì),如同向不等式相加、同向不等式相乘等,但在運用這些性質(zhì)時,一定要注意這些性質(zhì)成立的前提條件.2021/5/923【變式訓(xùn)練】(2015·綏化高二檢測)已知a,b都是正數(shù),且a≠b,求證:a3+b3>a2b+ab2.2021/5/924【證明】因為a≠b,所以a-b≠0,所以a2-2ab+b2>0,所以a2-ab+b2>ab.而a,b均為正數(shù),所以a+b>0,所以(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b),所以a3+b3>a2b+ab2成立.2021/5/925【補償訓(xùn)練】已知a,b,c∈R+,且互不相等,且abc=1,求證:【證明】因為a,b,c∈R+,且互不相等,且abc=1,所以所以2021/5/926類型二用分析法證明不等式【典例】1.(2016·聊城高二檢測)已知a,b,m都是正數(shù),并且a<b.用分析法求證:2.設(shè)a>b>c,且a+b+c=0,求證:(1)b2-ac>0.(2)2021/5/927【解題探究】1.典例1用分析法證明的關(guān)鍵是什么?提示:a,b,m都是正數(shù),要證

成立,只需證明b(a+m)>a(b+m)成立,所以關(guān)鍵是證明b(a+m)>a(b+m)成立.2021/5/9282.典例2(2)中證明的關(guān)鍵是什么?提示:證明的關(guān)鍵是對式子兩端平方后,能得到顯然成立的條件.2021/5/929【證明】1.a,b,m都是正數(shù),要證成立,只需證b(a+m)>a(b+m)成立,即證ba+bm>ab+am,即證bm>am,即證b>a,而a<b已知成立.所以成立.2021/5/9302.(1)因為a>b>c且a+b+c=0,所以a>0,c<0,ac<0,故b2-ac>0.(2)欲證只需證b2-ac<3a2.因為c=-(a+b),只要證明b2+a(a+b)<3a2成立.2021/5/931也就是(a-b)(2a+b)>0.即證(a-b)(a-c)>0.因為a>b>c,所以(a-b)(a-c)>0成立,從而成立.2021/5/932【延伸探究】1.若將典例2中條件改為“a>b>0”,求證:2021/5/933【證明】要證原不等式成立,只需證即證因為a>b>0,所以只需證即2021/5/934只需證因為a>b>0,所以成立.所以原不等式成立.2021/5/9352.典例2條件改為設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1,證明:ab+bc+ac≤.2021/5/936【證明】由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,得a2+b2+c2≥ab+bc+ca由題設(shè)得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.2021/5/937【方法技巧】用分析法證明不等式的思路及注意點(1)思路:分析法的思索路線是“執(zhí)果索因”,即從要證的不等式出發(fā),不斷地用充分條件來代替前面的不等式,直至找到已知不等式為止.2021/5/938(2)注意點:用分析法證明數(shù)學命題時,一定要恰當?shù)赜煤梅赐品枴?”或“要證明”“只需證明”“即證明”等詞語.2021/5/939【變式訓(xùn)練】1.當x≥4時,證明:【證明】欲證只需證即證2021/5/940展開整理,得只需證(x-1)(x-4)<(x-2)(x-3),即x2-5x+4<x2-5x+6,即4<6,顯然成立.所以原不等式成立.2021/5/9412.若a,b,c均為正數(shù),求證:【證明】要證只要證只要證2021/5/942只要證(a+b+c)因為(a+b+c)所以原不等式成立.2021/5/943自我糾錯用分析法證明不等式【典例】已知a,b∈(0,+∞),且a+b=1,求證:2021/5/944【失誤案例】2021/5/945分析解題過程,找出錯誤之處,并寫出正確答案.提示:錯誤的根本原因是證明過程不符合