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一階微分方程節(jié)

一、可分離變量方程二、齊次型微分方程三、可化為齊次型的微分方程四、一階線性微分方程五、全微分方程2021/5/91判別:P,Q

在某單連通域D內(nèi)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),①為全微分方程則求解步驟:方法1湊微分法;方法2利用積分與路徑無(wú)關(guān)的條件.1.求原函數(shù)

u(x,y)2.由du=0知通解為

u(x,y)=C.五、全微分方程則稱為全微分方程

(又叫做恰當(dāng)方程

).①2021/5/92例1.求解解:因?yàn)楣蔬@是全微分方程.則有因此方程的通解為2021/5/93例2.求解解:∴這是一個(gè)全微分方程.用湊微分法求通解.將方程改寫為即故原方程的通解為或2021/5/94積分因子法思考:如何解方程這不是一個(gè)全微分方程,就化成例2的方程.使為全微分方程,在簡(jiǎn)單情況下,可憑觀察和經(jīng)驗(yàn)根據(jù)微分倒推式得到為原方程的積分因子.但若在方程兩邊同乘若存在連續(xù)可微函數(shù)積分因子.2021/5/95常用微分倒推公式:積分因子不一定唯一

.例如,對(duì)可取2021/5/96例3.

求解解:分項(xiàng)組合得即選擇積分因子同乘方程兩邊,得即因此通解為即因x=0也是方程的解,故C

為任意常數(shù).2021/5/97練習(xí)題解方程解法1

積分因子法.原方程變形為取積分因子故通解為此外,y=0也是方程的解.2021/5/98解法2

化為齊次方程.原方程變形為積分得將代入,得通解此外,y=0也是方程的解.2021/5/99解法3

化為線性方程.原方程

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