一元二次函數(shù)的最值問題

一元二次函數(shù)最值問題例1、（1）求函數(shù)在[t，t＋2]上的最小值．（2）、求函數(shù)在區(qū)間[－1，1]上的最小值．（3）、已知函數(shù)在區(qū)間[－3，2]上的最大值為4，求實(shí)數(shù)a的值．變式：（2006江蘇）（本小題滿分16分，第一小問4分，第二小問滿分6分，第三小問滿分6分）設(shè)a為實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)的最大值為g(a)。（Ⅰ）設(shè)t＝，求t的取值范圍，并把f(x)表示為t的函數(shù)m(t)（Ⅱ）求g(a)（Ⅲ）試求滿足的所有實(shí)數(shù)a例2.（浙江卷15）已知t為常數(shù)，函數(shù)在區(qū)間[0，3]上的最大值為2，則t=___.1設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)．若，求的取值范圍；求的最小值；設(shè)函數(shù)，求不等式的解集．已知函數(shù)，．若關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；求函數(shù)在區(qū)間[-2,2]上的最大值．例1、（1）求函數(shù)在[t，t＋2]上的最小值．解析：，（1）當(dāng)，即時(shí)，在[t，t＋2]上單調(diào)遞減，.（2）當(dāng)，即時(shí)，.（3）當(dāng)時(shí)，在[t，t＋2]上單調(diào)遞增，．（2）、求函數(shù)在區(qū)間[－1，1]上的最小值．解析：．（1）當(dāng)，即a≤－2時(shí)，；（2）當(dāng)，即時(shí)，；（3）當(dāng)，即a≥2時(shí)，．綜上，．（3）、已知函數(shù)在區(qū)間[－3，2]上的最大值為4，求實(shí)數(shù)a的值．解析：．（1）若a=0，，不合題意．（2）若a>0，則，由，得．（3）若a<0，則，由1－a=4，得a=－3．綜上知或a=－3變式：（2006江蘇）（本小題滿分16分，第一小問4分，第二小問滿分6分，第三小問滿分6分）設(shè)a為實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)的最大值為g(a)。（Ⅰ）設(shè)t＝，求t的取值范圍，并把f(x)表示為t的函數(shù)m(t)（Ⅱ）求g(a)（Ⅲ）試求滿足的所有實(shí)數(shù)a20．本小題主要考查函數(shù)、方程等基本知識，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力。要使有t意義，必須1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1,∴t≥0①t的取值范圍是由①得∴m(t)=a()+t=（2）由題意知g(a)即為函數(shù)的最大值。注意到直線是拋物線的對稱軸，分以下幾種情況討論。當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y=m(t),的圖象是開口向上的拋物線的一段，由<0知m(t)在上單調(diào)遞增，∴g(a)=m(2)=a+2(2)當(dāng)a=0時(shí)，m(t)=t,,∴g(a)=2.(3)當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)y=m(t),的圖象是開口向下的拋物線的一段，若，即則若，即則若，即則綜上有(3)解法一：情形1：當(dāng)時(shí)，此時(shí)，由，與a<-2矛盾。情形2：當(dāng)時(shí)，此時(shí)，解得，與矛盾。情形3：當(dāng)時(shí)，此時(shí)所以情形4：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，矛盾。情形5：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)g(a)=a+2,由解得矛盾。情形6：當(dāng)a>0時(shí)，，此時(shí)g(a)=a+2,由，由a>0得a=1.綜上知，滿足的所有實(shí)數(shù)a為或a=1例2.（浙江卷15）已知t為常數(shù)，函數(shù)在區(qū)間[0，3]上的最大值為2，則t=___。1設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)．若，求的取值范圍；求的最小值；設(shè)函數(shù)，求不等式的解集．