廣東省茂名市信宜市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)本試卷共6頁(yè)，22小題，滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)填寫在答題卡指定的位置上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案涂黑；如需改動(dòng)，擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案：不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效.4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單選題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，即可求解.【詳解】命題“，”的否定是“,”,故選：A2.下列不等式中成立的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】B【解析】【分析】A，如時(shí)，，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；BCD，利用作差法比較大小分析得解.【詳解】A.若，則錯(cuò)誤，如時(shí)，，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；更多優(yōu)質(zhì)支援請(qǐng)嘉威鑫MXSJ663B.若，則，所以該選項(xiàng)正確；C.若，則，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.若，則，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B3.“”是“，”的（）A.充分不必要條件 B.既不充分也不必要條件C.充要條件 D.必要不充分條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)充分性和必要性判斷即可.【詳解】，則，或，；，，則，所以是，的必要不充分條件.故選：D.4.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析可得，由此可得出結(jié)論.【詳解】任取，則，其中，所以，，故，因此，.故選：C.5.下列四組函數(shù)中，與表示同一個(gè)函數(shù)的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】分別判斷兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同，即可對(duì)選項(xiàng)一一判斷是否為同一函數(shù)．【詳解】對(duì)于A，與的定義域均為，與的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，故不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于B，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋c的定義域不同，故不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于C，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，與的定義域不同，故不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于D，與的定義域均為，與的對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，故是同一個(gè)函數(shù).故選：D.6.已知函數(shù)在上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)取值范圍為A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得對(duì)稱軸與區(qū)間位置關(guān)系，解不等式得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上具有單調(diào)性，所以或，即得以或，選D.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.7.某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（）A.62% B.56%C46% D.42%【答案】C【解析】【分析】由容斥原理即可得解..【詳解】由題意，該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為所以該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為.故選：C.8.關(guān)于的方程，有下列四個(gè)命題：甲：是該方程的根；乙：是該方程的根；丙：該方程兩根之和為；?。涸摲匠虄筛愄?hào)．如果只有一個(gè)假命題，則該命題是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】A【解析】【分析】對(duì)甲、乙、丙、丁分別是假命題進(jìn)行分類討論，分析各種情況下方程的兩根，進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】若甲是假命題，則乙丙丁是真命題，則關(guān)于的方程的一根為，由于兩根之和為，則該方程的另一根為，兩根異號(hào)，合乎題意；若乙是假命題，則甲丙丁是真命題，則是方程的一根，由于兩根之和為，則另一根也為，兩根同號(hào)，不合乎題意；若丙是假命題，則甲乙丁是真命題，則關(guān)于的方程的兩根為和，兩根同號(hào)，不合乎題意；若丁是假命題，則甲乙丙是真命題，則關(guān)于方程的兩根為和，兩根之和為，不合乎題意.綜上所述，甲命題為假命題.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查命題真假的判斷，解題的關(guān)鍵就是對(duì)甲、乙、丙、丁分別是假命題進(jìn)行分類討論，結(jié)合已知條件求出方程的兩根，再結(jié)合各命題的真假進(jìn)行判斷.二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知集合，則以下正確的有（）A. B.C. D.集合A的真子集個(gè)數(shù)為4【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)條件，先求出集合，再對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可得到結(jié)果.【詳解】由，得到，所以，則選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)榧吓c集合間的關(guān)系是包含關(guān)系，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)槭侨魏渭系淖蛹?，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，集合?個(gè)元素，故集合A的真子集個(gè)數(shù)為，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.10.定義在上的偶函數(shù)在上的圖象如下圖，下列說(shuō)法不正確的是（）A.僅有一個(gè)單調(diào)增區(qū)間B.有兩個(gè)單調(diào)減區(qū)間C.在其定義域內(nèi)的最大值是5D.在其定義域內(nèi)的最小值是-5【答案】ABD【解析】【分析】補(bǔ)齊函數(shù)圖象，觀察即可判斷.【詳解】因?yàn)槭嵌x在的偶函數(shù)，所以其圖象如下圖：由圖知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，A，B錯(cuò)誤；，C正確；由圖無(wú)法知曉其最小值，D錯(cuò)誤.故選：ABD11.正數(shù)，滿足，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式及其性質(zhì)可判斷各選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，D選項(xiàng)正確；故選：ACD.12.定義在正有理數(shù)集合上的函數(shù)具有以下性質(zhì)：①對(duì)于所有的正有理數(shù)a和b，；②對(duì)于每一個(gè)質(zhì)數(shù)，.則以下正確的是（）A. B.C D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)所給條件，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可求出結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)槭琴|(zhì)數(shù)，由題知，，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，對(duì)于所有的正有理數(shù)a和b，有，故取，得到，即，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，令，得到，得到，故，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由選項(xiàng)C知，，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：ABC.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.不等式的解集是________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法計(jì)算即可.【詳解】由，即，即，即，所以不等式的解集是.故答案為：.14.函數(shù)的定義域?yàn)開___．【答案】【解析】【分析】根據(jù)解析式，列出不等式，求出使解析式有意義的自變量的范圍即可.【詳解】因?yàn)?，所以，則，即函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.15.若函數(shù)滿足以下三個(gè)條件：①定義域?yàn)榍沂窃龊瘮?shù)；②；③只有1個(gè)解.請(qǐng)寫出一個(gè)符合要求的函數(shù).________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)題意寫出滿足條件的函數(shù)即可.【詳解】由題意，函數(shù)定義域?yàn)椋窃龊瘮?shù)，且為奇函數(shù)，只有一個(gè)零點(diǎn)，則可取（答案不唯一）.故答案為：（答案不唯一）.16.實(shí)數(shù)x，y滿足，則________.【答案】2【解析】【分析】將方程組中的方程，形式化成相同，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，即可求得結(jié)論．【詳解】方程組可化為設(shè)，由于均為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù),故答案為：2四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.集合，，求，，【答案】，，【解析】【詳解】，，，，，或，或．18.已知不等式的解集為,集合，集合.（1）求b和c的值：（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解與一元二次方程的根的關(guān)系，由根與系數(shù)的關(guān)系即可求解，（2）根據(jù)一元二次不等式化簡(jiǎn)集合，即可根據(jù)子集關(guān)系，分情況求解即可.【小問(wèn)1詳解】由于不等式的解集為，所以是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，故且，所以，【小問(wèn)2詳解】，由可得,當(dāng)時(shí)，則，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，綜上可知：或19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明：（2）討論函數(shù)在上的單調(diào)性.【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明見解析（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用函數(shù)單調(diào)性的定義和判定方法，即可求解；（2）根據(jù)題意，分和，兩種情況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義和判定方法，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.證明如下：任取且，則，因?yàn)榍?，可得，所以，即，所以函?shù)在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】解：由函數(shù)，任取，且，可得，若時(shí)，可得，所以，即，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，可得，可得，即，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，可得，可得，即，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù).綜上可得，當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.20.一家貨物公司計(jì)劃租地建造倉(cāng)庫(kù)儲(chǔ)存貨物，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查了解到下列信息：每月土地占地費(fèi)（單位：元）與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離（單位：）成反比，每月庫(kù)存貨物費(fèi)（單位：元）與成正比；若在距離車站處建倉(cāng)庫(kù)，則和分別為2萬(wàn)元和8萬(wàn)元.（1）寫出函數(shù)，的函數(shù)解析式：（2）這家公司應(yīng)該把倉(cāng)庫(kù)建在距離車站多少千米處，才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和（）最??？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接設(shè)出，根據(jù)題設(shè)條件可求出，，再根據(jù)實(shí)際問(wèn)題知，即可求出結(jié)果；（2）由（1）知，，再利用基本不等式即可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題可設(shè)，又在距離車站處建倉(cāng)庫(kù)，則和分別為2萬(wàn)元和8萬(wàn)元，所以，得到，，得到，又由實(shí)際問(wèn)題知，故.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)，即千米時(shí)，取等號(hào)，所以這家公司應(yīng)該把倉(cāng)庫(kù)建在距離車站千米處，才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和（）最小.21.已知函數(shù)，且．（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的值域；（3）解不等式：．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由題可得，即求；（2）分段求值域，再求并集即得；（3）分情況討論，轉(zhuǎn)化為不等式組，最后求并集即得.【小問(wèn)1詳解】∵，∴解得，∴，∴【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，的值域?yàn)?【小問(wèn)3詳解】∵，∴當(dāng)時(shí)，不等式可化為，即，由，解得，當(dāng)時(shí)，不等式可化為即，由，解得，當(dāng)時(shí)，不等式可化為即，由，解得，綜上所述，不等式的解集為.22.設(shè)