船舶運動方程nomoo模型的簡化及修正方案

船舶運動方程nomoo模型的簡化及修正方案

0操證響應(yīng)方程日本科學(xué)家野本謙基于船舶縱軸運動的線性方程學(xué)，從操作員的角度研究了船舶縱軸運動。為了忽略轉(zhuǎn)向角，改變轉(zhuǎn)向角引起的各種操縱運動，確定輸入轉(zhuǎn)向角對輸入轉(zhuǎn)向角的響應(yīng)關(guān)系，并導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)角變化的反應(yīng)方程。那就是近似模型。Nomoto模型是船舶運動控制領(lǐng)域應(yīng)用最廣泛的一種線性數(shù)學(xué)模型,在線性控制器的設(shè)計和簡單的系統(tǒng)仿真中能夠保證較高的精度,文獻給出了該模型的得出過程,文獻補充了其數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程。自文獻發(fā)表50年來,其應(yīng)用一直未受到任何質(zhì)疑,最近,筆者在授課及研究時發(fā)現(xiàn),盡管Nomoto模型的結(jié)構(gòu)是正確的,結(jié)果是可用的,但其推導(dǎo)過程存在著不足,對于小型及快速船舶,其結(jié)果應(yīng)加以修正。本文重新順著Nomoto的研究思路,給出了應(yīng)用Nomoto模型時的一些注意事項及參數(shù)修正的建議。1傳統(tǒng)拉普拉斯算子僅考慮船舶的兩個自由度橫漂速度v和轉(zhuǎn)艏角速度r,船舶操縱運動的線性方程如下:式中δ為舵角輸入,系數(shù)a11,a12,a21,a22,b11,b21由船舶的基本參數(shù)確定,求取方法見文獻。式(1)可轉(zhuǎn)換為一個描述操舵對艏搖響應(yīng)的簡單方程,即式中K,T1,T2,T3為操縱性指數(shù),通常T1>T2,T3數(shù)值一般與T2相近,求取方法見文獻。對式(2)作拉氏變換,可得到如下的傳遞函數(shù)式中s為拉普拉斯算子。野本謙作對式(3)所示的二階傳遞函數(shù)做了一項出色的簡化工作,使之降為一階。論證的出發(fā)點在于,對于船舶這種大慣性的運載工具來說,其動態(tài)特性只在低頻段是重要的,故在式(3)中令s=jω→0,按冪級數(shù)展開,可得另外對一階慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)按冪級數(shù)展開得若令T=T1+T2-T3,在低頻范圍,即對于較小的s,式(4)和式(5)近似相等,于是得到Grδ(s)的一階近似為根據(jù)關(guān)系r=ψ,用船舶方位角ψ替換式(6)中的r,得到對應(yīng)的方程和這就是船舶操縱運動一階K-T方程(對于r來說),也稱為Nomoto模型。它既能抓住其響應(yīng)特性本質(zhì),又比二階方程更為簡化。式(7)被廣泛應(yīng)用于船舶自動舵的控制器設(shè)計中,因為用Nomoto模型進行船舶運動控制器設(shè)計有兩個好處:一是在低頻范圍,其頻譜與高階模型的頻譜非常相近;二是設(shè)計出的控制器階次低,易于實現(xiàn)。2關(guān)于改進的操縱性指數(shù)t和b、c、te-tc1的發(fā)現(xiàn)關(guān)于式(3)到式(6)的簡化過程,理論上看似乎是完全正確的。但在實際的教學(xué)實踐中,我們發(fā)現(xiàn)一個問題,那就是s→0并不等于Ts→0。海浪頻譜范圍為0.3～1.25rad/s,在航海實踐中認為海浪頻譜為高頻,故只要頻率低于海浪的頻譜就算低頻有效的頻率。假設(shè)s=jω中的頻率ω取為0.1rad/s,而實船的操縱性指數(shù)T一般為幾十到幾百的量級,Ts→0的條件很容易就被破壞了,所以從式(3)到式(6)的簡化過程是不成立的。故重新仔細研讀文獻,并找出高等數(shù)學(xué)書重新驗證Nomoto的推導(dǎo)過程。根據(jù)文獻,函數(shù)若想展開成x的冪級數(shù),要求—1<x<1;同理或若想展開成s的冪級數(shù),則要求滿足相應(yīng)的邊界約束條件,而在文獻的簡化過程中并未提到這一邊界約束條件。式(5)的展開要求滿足-1<Ts<1,按前面的假設(shè),如果ω=0.1rad/s,只要船舶的操縱性指數(shù)T在10以上,該條件就不能滿足,故該式就不能展開成冪級數(shù)形式,但在給出結(jié)論前我們驗證了表1給出的幾條船的Bode圖,發(fā)現(xiàn)操縱性指數(shù)T數(shù)值較大的船的帶寬頻率都遠小于0.1rad/s,-1<Ts<1的條件能夠滿足,故其展開是正確的。這是什么原因呢?原來我們犯了一個偷梁換柱的概念性錯誤,即小于海浪高頻的系統(tǒng)頻帶不等于船舶運動數(shù)學(xué)模型的頻帶,經(jīng)過控制的系統(tǒng)頻帶要小于0.3rad/s,而大型船舶的航向保持數(shù)學(xué)模型的頻帶要遠小于0.1rad/s,另外,式(5)左端為一階慣性系統(tǒng),近似地其帶寬頻率剛好為1/T,這樣-1<Ts<1自動滿足,故式(5)的展開是成立的?，F(xiàn)在來驗證式(4)的展開是否正確。因文獻并未給出展開式的約束條件,直接冪級數(shù)展開還是不清楚冪級數(shù)展開的約束條件。我們將分成三部分的乘積,即,K(1+T3s)三部分的乘積,驗證一下他們分別展開相乘后是否與式(4)展開一致,如果一致,則說明他們的展開也要滿足相應(yīng)的約束條件。式(9)與式(10)相乘后并不寫四階以上的項得:將式(11)再乘以K(1+T3s)并不寫四階以上的項得:比較式(4)與式(12)展開的s的平方項以前的各項完全一致,我們認為文獻s的立方項沒有寫出來,可以認為式(4)與式(12)是一致的。那么,顯然式(9)與式(10)的展開也要滿足-1<T1s<1和-1<T2s<1的約束條件。假設(shè)T>T2,如果式(9)的約束條件滿足,則式(10)的約束條件自動滿足。我們驗證了表1給出的幾條船。設(shè)帶寬頻率為ωb,T1sls=jωb,則第1條船的T1ωb=1.28,第2條船的T1ωb=1.03,第3條船的T1ωb=0.99,發(fā)現(xiàn)了一個規(guī)律,對于大型的速度稍慢的船舶,式(4)的展開是成立的,而對于小型及速度稍快的船舶(一般情況下,T1<50s),式(4)的展開從數(shù)學(xué)上來說是不嚴密的。解決辦法,觀察表1中給出的幾條船的T1,T2,T3三個參數(shù),一般情況下,T2,T3這一對零極點的數(shù)值較為接近,他們與T1這一極點的數(shù)據(jù)相差較大,在近似的情況下,可將T2,T3這一對零極點對消,結(jié)果變?yōu)槭?13)與式(7)的區(qū)別在于式(7)中的T=T1+T2-T3,而式(13)直接用T1了,一般情況下,T1>T。故對于大型船舶來說,其操縱性指數(shù)較大,用未修正的原Nomoto模型,其最終的T小于T1;而對于小型及快速船舶來說,因Nomoto模型推導(dǎo)不嚴密,改用近似的T1代替未修正的T,對于小時間常數(shù)的快速船來說,因T的稍微增加更利于控制了,物理意義更明顯了。例如,對于第一條船,采用未修正的Nomoto模型T=4.1s,其時間常數(shù)快趕上汽車的性能了,取修正后的T=T1=5.9s,時間常數(shù)就不會快得那么讓人難以置信了(根據(jù)一階慣性系統(tǒng)的特性,其物理意義為船舶回轉(zhuǎn)角速度的穩(wěn)定時間約為3T)。文獻從Bode圖圖形近似上也提到了零極點對消的近似,但直接給出了推導(dǎo)的簡化結(jié)果,文獻補上了簡化的數(shù)學(xué)過程。從Bode圖近似來說,采用T或T1來近似,兩者的Bode圖幾乎重合,近似的精度差不多。3nomoto模型基本思想(1)船舶Nomoto模型簡化的推導(dǎo)過程未說明約束條件,從數(shù)學(xué)上對于小型及快速船舶存在著不嚴密性;(2