第三章地圖數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

地圖學(xué)

Cartography南京師范大學(xué)地理科學(xué)學(xué)院GIS系第二章地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（1）上一講回顧試比較裴秀制圖六體與現(xiàn)代地圖學(xué)的三要素？試比較計(jì)里畫方與經(jīng)緯度？本節(jié)內(nèi)容12地球體模型三級(jí)近似地理坐標(biāo)系統(tǒng)3高程系統(tǒng)1.地球體地表是一個(gè)有些微起伏、極其復(fù)雜的表面。

——

珠穆朗瑪峰與太平洋的馬里亞納海溝之間高差近20km。+=

如何在球面上建立坐標(biāo)系？常用坐標(biāo)系統(tǒng)XYO++++----平面直角坐標(biāo)系XOγP(γ,θ)θ極坐標(biāo)系8地球表面水準(zhǔn)面大地水準(zhǔn)面鉛垂線地球橢球體地球模型

地圖數(shù)學(xué)基礎(chǔ)自然表面大地水準(zhǔn)面靜止、平均的海水面向陸地內(nèi)部無限延伸所形成的閉合曲面。由它所包圍的球體，稱之為大地體。靜止：無風(fēng)浪、潮汐、無水流。平均：受風(fēng)浪、潮汐的影響，水準(zhǔn)面有無數(shù)個(gè)，取其平均值。大地水準(zhǔn)面可以表示地球自然表面，表面處處與鉛垂線正交。大地水準(zhǔn)面與鉛垂線是實(shí)際測量工作的基準(zhǔn)面、基準(zhǔn)線。大地水準(zhǔn)面地球橢球面長半徑a短半徑bO地球模型地圖數(shù)學(xué)基礎(chǔ)鉛垂線：即重力方向線，它是可以找到的。

地心吸引力離心力

重力由于地球內(nèi)部物質(zhì)密度極不均勻，礦物的比重不同，鉛垂線方向的不規(guī)則，因而大地水準(zhǔn)面也是不規(guī)則的。略有起伏的、不規(guī)則曲面不能用數(shù)學(xué)模型表示OPFG地球模型112.2地球模型12

一個(gè)國家或地區(qū)在建立大地坐標(biāo)系時(shí)，為使地球橢球面更切合本國或本地區(qū)的自然地球表面，往往需要選擇合適的橢球參數(shù)、確定一個(gè)大地原點(diǎn)的起始數(shù)據(jù)，并進(jìn)行橢球的定位(大地原點(diǎn)）和定向。13地球模型：三級(jí)近似地球自然表面極不規(guī)則，無法用數(shù)學(xué)表面進(jìn)行描述水準(zhǔn)面所包圍的球體大地水準(zhǔn)面所包圍的球體旋轉(zhuǎn)橢球體不規(guī)則性、動(dòng)態(tài)性、不唯一性不規(guī)則性、相對(duì)唯一性標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)曲面1952：海福特橢球1953：克拉索夫斯基橢球1978：1975年國際橢球

由于國際上在推求年代、方法及測定的地區(qū)不同，故地球橢球體的元素值有很多種。

地球表面上的定位問題，是與人類的生產(chǎn)活動(dòng)、科學(xué)研究及軍事國防等密切相關(guān)的重大問題。具體而言，就是球面坐標(biāo)系統(tǒng)的建立。2.1地理坐標(biāo)

——用經(jīng)緯度表示地面點(diǎn)位的球面坐標(biāo)。①天文經(jīng)緯度②大地經(jīng)緯度③地心經(jīng)緯度2.地球坐標(biāo)系與大地定位①

天文經(jīng)緯度：表示地面點(diǎn)在大地水準(zhǔn)面上的位置，用天文經(jīng)度和天文緯度表示。天文經(jīng)度：觀測點(diǎn)天頂子午面與格林尼治天頂子午面間的兩面角。在地球上定義為本初子午面與觀測點(diǎn)之間的兩面角。天文緯度：在地球上定義為鉛垂線與赤道平面間的夾角。②

大地經(jīng)緯度：表示地面點(diǎn)在參考橢球面上的位置，用大地經(jīng)度l

、大地緯度

和大地高h(yuǎn)

表示。大地經(jīng)度l

：指參考橢球面上某點(diǎn)的大地子午面與本初子午面間的兩面角。東經(jīng)為正，西經(jīng)為負(fù)。大地緯度

：指參考橢球面上某點(diǎn)的垂直線（法線）與赤道平面的夾角。北緯為正，南緯為負(fù)。③

地心經(jīng)緯度：即以地球橢球體質(zhì)量中心為基點(diǎn)，地心經(jīng)度同大地經(jīng)度

l，地心緯度是指參考橢球面上某點(diǎn)和橢球中心連線與赤道面之間的夾角y。 在大地測量學(xué)中，常以天文經(jīng)緯度定義地理坐標(biāo)。 在地圖學(xué)中，以大地經(jīng)緯度定義地理坐標(biāo)。 在地理學(xué)研究及地圖學(xué)的小比例尺制圖中，通常將橢球體當(dāng)成正球體看，采用地心經(jīng)緯度。地理坐標(biāo)的獲取方法

天文測量：用來測定天文經(jīng)緯度，以大地水準(zhǔn)面和鉛垂線為依據(jù)，在欲測的點(diǎn)上安置儀器觀測天體，在地面點(diǎn)上獨(dú)立觀測直接得到各點(diǎn)的天文經(jīng)緯度（λ,φ

）。

大地測量：用來測定大地經(jīng)緯度，以參考橢球體和法線為基準(zhǔn)，根據(jù)大地原點(diǎn)的大地基準(zhǔn)數(shù)據(jù)，由大地控制網(wǎng)逐點(diǎn)測算各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到各點(diǎn)的大地經(jīng)緯度（L,B）。 1954年北京坐標(biāo)系：1954年，我國將原蘇聯(lián)采用克拉索夫斯基橢球元素建立的坐標(biāo)系，聯(lián)測并經(jīng)平差計(jì)算引申到我國，以北京為全國大地坐標(biāo)原點(diǎn)，確定了過渡性大地坐標(biāo)系，稱1954北京坐標(biāo)系。缺點(diǎn)是橢球體面與我國大地水準(zhǔn)面不能很好地符合，誤差較大。2.2我國的大地坐標(biāo)系統(tǒng)

1980年國家大地坐標(biāo)系：1978年采用IUGG第十六屆大會(huì)推薦的橢球體參數(shù)GRS(1975)，以陜西省西安市以北涇陽縣永樂鎮(zhèn)某點(diǎn)為國家大地坐標(biāo)原點(diǎn)，進(jìn)行定位和測量工作，通過全國天文大地網(wǎng)整體平差計(jì)算，建立了全國統(tǒng)一的大地坐標(biāo)系，即1980年國家大地坐標(biāo)系。陜西省涇陽縣永樂鎮(zhèn)北洪流村為“1980坐標(biāo)系”大地坐標(biāo)的起算點(diǎn)——大地原點(diǎn)。2.2我國的大地坐標(biāo)系統(tǒng)

優(yōu)點(diǎn)：橢球體參數(shù)精度高；定位采用的橢球體面與我國大地水準(zhǔn)面符合好；天文大地坐標(biāo)網(wǎng)傳算誤差和天文重力水準(zhǔn)路線傳算誤差都不太大，而且天文大地坐標(biāo)網(wǎng)坐標(biāo)經(jīng)過了全國性整體平差，坐標(biāo)統(tǒng)一，精度優(yōu)良，可以滿足1：5000甚至更大比例尺測圖的要求等。2.2我國的大地坐標(biāo)系統(tǒng)

與當(dāng)今社會(huì)發(fā)展存在的矛盾：①坐標(biāo)維的矛盾。隨著衛(wèi)星定位導(dǎo)航技術(shù)在我國的廣泛使用，二維不能適應(yīng)現(xiàn)代的三維定位技術(shù)；②精度的矛盾。衛(wèi)星定位技術(shù)可達(dá)10-7～10-8的點(diǎn)位相對(duì)精度，而西安80系只能保證3×10-6；③坐標(biāo)系統(tǒng)（框架）的矛盾。數(shù)字地球的發(fā)展要求用戶需要提供與全球總體適配的地心坐標(biāo)系統(tǒng)。2.2我國的大地坐標(biāo)系統(tǒng)“參心坐標(biāo)系”與“地心坐標(biāo)系”地球體參心質(zhì)心地心坐標(biāo)系橢球參心坐標(biāo)系橢球最佳擬合區(qū)參心坐標(biāo)系:以參考橢球?yàn)榛鶞?zhǔn)的坐標(biāo)系地心坐標(biāo)系:以地球質(zhì)心（總橢球的幾何中心）為基準(zhǔn)的坐標(biāo)系。

ChinaGeodeticCoordinateSystem2000，(CGCS2000):隨著社會(huì)的進(jìn)步，國民經(jīng)濟(jì)建設(shè)、國防建設(shè)和社會(huì)發(fā)展、科學(xué)研究等對(duì)國家大地坐標(biāo)系提出了新的要求，迫切需要采用原點(diǎn)位于地球質(zhì)量中心的坐標(biāo)系統(tǒng)（簡稱地心坐標(biāo)系）作為國家大地坐標(biāo)系。采用地心坐標(biāo)系，有利于采用現(xiàn)代空間技術(shù)對(duì)坐標(biāo)系進(jìn)行維護(hù)和快速更新，測定高精度大地控制點(diǎn)三維坐標(biāo)，并提高測圖工作效率。2.2我國的大地坐標(biāo)系統(tǒng)衛(wèi)星軌道計(jì)算更加精確；衛(wèi)星遙感數(shù)據(jù)便于納入地球坐標(biāo)系統(tǒng)；衛(wèi)星定位的精度提高；地球重力場測定精度提高；科學(xué)觀測（如地殼運(yùn)動(dòng)觀測，板塊移動(dòng)監(jiān)測）精度提高；優(yōu)點(diǎn)：原來的地圖經(jīng)緯度坐標(biāo)值將會(huì)改變，工作量大；已建成的地理空間數(shù)據(jù)庫的坐標(biāo)值將要改算；局部地區(qū)的地圖變形將增大。帶來的問題：大地控制網(wǎng)

大地控制網(wǎng)由平面控制網(wǎng)和高程控制網(wǎng)組成。包括具有精確測定平面位置和高程的典型的具有控制意義的點(diǎn)，它是測制地圖的基礎(chǔ)。

平面控制網(wǎng)采用平面控制測量確定控制點(diǎn)的平面位置，即大地經(jīng)度（L）和大地緯度（B）。其主要方法是三角測量和導(dǎo)線測量。

三角測量：在平面上選擇一系列控制點(diǎn)，建立三角網(wǎng)，經(jīng)測量由已知推算未知。為達(dá)到層層控制的目的，由國家測繪主管部門統(tǒng)一布設(shè)一、二、三、四等三角網(wǎng)。一等三角網(wǎng)是全國平面控制的骨干，由近于等邊的三角形構(gòu)成，邊長在20～25km左右，基本上沿經(jīng)緯線方向布設(shè)；二等三角網(wǎng)是在一等三角網(wǎng)的基礎(chǔ)上擴(kuò)展的，三角形平均邊長約為13km，這樣可以保證在測繪1:10萬、1:5萬比例尺地形圖時(shí)，每150km2內(nèi)有一個(gè)大地控制點(diǎn)，即每幅圖至少有3個(gè)控制點(diǎn)；以此類推，保證不同比例尺地圖的精度。大地控制網(wǎng)

導(dǎo)線測量：把各個(gè)控制點(diǎn)連成連續(xù)折線，然后測定這些折線邊長和轉(zhuǎn)角，最后根據(jù)起算點(diǎn)坐標(biāo)及方位角推算其它點(diǎn)坐標(biāo)。包括：一種是閉合導(dǎo)線；另一是附合導(dǎo)線。 建立大地控制網(wǎng)時(shí)，通常要隔一定距離選測若干大地點(diǎn)的天文經(jīng)緯度、天文方位角和起始邊長，作為定向控制及校核數(shù)據(jù)使用，故大地控制網(wǎng)又有天文大地控制網(wǎng)之稱。大地控制網(wǎng)平面控制網(wǎng)國家測繪局

高程控制網(wǎng)的建立，必須規(guī)定一個(gè)統(tǒng)一的高程基準(zhǔn)面。我國利用青島驗(yàn)潮站1950～1956年的觀測記錄，確定黃海平均海水面為全國統(tǒng)一的高程基準(zhǔn)面，并在青島觀象山埋設(shè)了永久性的水準(zhǔn)原點(diǎn)。以黃海平均海水面建立起來的高程控制系統(tǒng)，統(tǒng)稱“1956年黃海高程系”。青島觀象山水準(zhǔn)原點(diǎn)2.3高程系

1987年，因多年觀測資料顯示，黃海平均海平面發(fā)生了微小的變化，由原來的72.289m變?yōu)?2.260m，國家決定啟用新的高程基準(zhǔn)面，即“1985年國家高程基準(zhǔn)”。高程控制點(diǎn)的高程也發(fā)生微小的變化，但對(duì)已成圖上的等高線的影響則可忽略不計(jì)。2.3高程系國家水準(zhǔn)原點(diǎn)

借助水準(zhǔn)儀提供的水平視線來測定兩點(diǎn)之間的高差，是建立高程控制網(wǎng)的主要方法。兩點(diǎn)之間的高差H=a-b，設(shè)HA為已知點(diǎn)的高程，則待求點(diǎn)的高程HB=HA+H水準(zhǔn)測量41在測量中常用的高程系統(tǒng)有大地高系統(tǒng)、正高系統(tǒng)和正常高系統(tǒng)。大地高系統(tǒng)是以參考橢球面為基準(zhǔn)面的高程系統(tǒng)。某點(diǎn)的大地高是該點(diǎn)到通過該點(diǎn)的參考橢球的法線與參考橢球面的交點(diǎn)間的距離。大地高也稱為橢球高，大地高一般用符號(hào)H表示。同一個(gè)點(diǎn)，在不同的基準(zhǔn)下，具有不同的大地高。正高系統(tǒng)是以大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)面的高程系統(tǒng),是由地面點(diǎn)沿通過該點(diǎn)的鉛垂線至大地水準(zhǔn)面的距離。正高用符號(hào)Hg表示。

正常高系統(tǒng)是以似大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)的高程系統(tǒng)。是由地面點(diǎn)沿通過該點(diǎn)的鉛垂線至似大地水準(zhǔn)面的距離。正常高用Hγ表示。高程系統(tǒng)42大地水準(zhǔn)面與似大地水準(zhǔn)面示意圖位差理論求高程(重力平均值不宜求出，而以正常重力值代替)1)

大地水準(zhǔn)面到地球橢球面的距離，稱為大地水準(zhǔn)面差距，記為N。

大地高與正高之間的關(guān)系可表示為：

H=Hg+N

2)

似大地水準(zhǔn)面和地考橢球面之間的距離，稱為高程異常，記為ζ。

大地高與正常高之間的關(guān)系