2021-2022學年人教版九年級數學下冊第二十七章-相似課時練習試卷

人教版九年級數學下冊第二十七章-相似課時練習

考試時間：90分鐘；命題人：數學教研組

考生注意：

1、本卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘

2、答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上

3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內相應的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的

答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。

第I卷（選擇題30分）

一、單選題（10小題，每小題3分，共計30分）

1、如圖，己知AB"CD"EF,BD：DF=2：5,則會的值為（

2、如圖，DE//BC,則下列式子正確的是（

E

BC

AABBDADDE八AEAB、ADDE

A--=---nK-------C--=---I）-------

'ECAE?ABBC'ECAD,ABBC

3、若2a=36,則f的值為（）

h

4、如圖，在中，點〃、￡分別是45、/C的中點，若比1的面積為16,則四邊形式功的面積為

（）

A.8B.12C.14D.16

5、如圖，在△/國中，點〃￡分別是/C和8c的中點，連接力反被交于點片則下列結論中正確的

是（）

,DF?cCD+CE+DE1

A-----=—B-------------------=—

'DB2'AC+BC+AB4

「_J_nS&DEF_￡

6、如圖，在矩形ABC。中，AD=2,CD=\,連接AC,以對角線AC為邊，按逆時針方向作矩形A8CO

的相似矩形A4GC,再連接AG，以對角線4G為邊作矩形A8CC的相似矩形AB￡V,…按此規(guī)律繼續(xù)下

去，則矩形相,CQ-的周長為（）

7、如圖所示，某校數學興趣小組利用標桿用測量建筑物的高度,已知標桿項高為1.5m,測得AB=

3m,BC=lm,則建筑物切的高是（）m

C.4.5D.5

8、如圖，在/△?1%中，N[=90°.點〃在四邊上，點少在邊上，滿足Nfl9￡=45°,AAED=

==

NB.右DE1,BC7?則SACDE=（）

A.2B.4C.5D.6

9、如圖，AD//BE//CF,AB=3,BC=2,DE=3.6,則用的值為（）

A.1.8B.2.4C.4.8D.5.4

10、如圖，4〃4〃*BC=2,三7=3,則月6的長為（)

A.6B.5C.4D.3

第n卷（非選擇題70分）

二、填空題（5小題，每小題4分，共計20分）

1、如圖，在平面直角坐標系中，點R4的坐標分別為（1,0）,（2,4）,點8是y軸上一動點，過點

/作/人力8交x軸于點。，點〃為線段理的中點，則的最小值為.

2、如圖，已知直線a〃力〃c,直線以A截a、b、c分別于點力、C、后和反D、F,如果力￡2,AE=

8,D打5,那么BD=.

3、如圖，矩形ABC。中，E是4）的中點，AB=4,AD=6,M是線段CE上的動點，則的最小值

4、如圖，在鹿△/優(yōu)中，NC=90°.正方形斷W的三個頂點區(qū)F,〃分別在邊BC,ACk.已

知力仁15,BC=5,則正方形的邊長為.

5、如圖，Z1=Z2,請?zhí)砑右粋€條件，使△49￡'s△力

三、解答題（5小題，每小題10分，共計50分）

1、如圖所示，在坐標系X以中，拋物線尸-ax'bAc與X軸交于點4B,與y軸交于點C,直線y

=/8經過4,C兩點.

圖1圖2

(1)求拋物線的解析式；

(2)在/C上方的拋物線上有一動點2

①如圖1,當點尸運動到某位置時，以4R4。為鄰邊的平行四邊形第四個頂點恰好也在拋物線上，求

出此時點。的坐標；

②如圖2,過點。，P的直線7=&(4<0)交然于點區(qū)若PE：0E=5：6,求4的值.

2、(1)基本模型：如圖1,與BC交于點0,且A8〃CZ),求證：AAOBS^DOC；

(2)模型應用：如圖2,在—3C中，點。為BC邊上一點，連接4%點E為線段49上一點，連接

CE,若格二，NBAD=NCED,求黑的值.

CE2CD

(3)綜合應用：在(2)的條件下，若AC=8C,CE平分ZBC4,Z&M>=45。，4c=9，求AO的

長.

3、如圖，Rt△力6。中，ZACB=90°,AC=4cm,比三3cm,以力。為邊向右作正方形力屹'，點尸從點C

出發(fā)，沿射線。以lcm/s的速度向右運動，過點夕作直線/與射線為交于點Q,使得N8P0=N8,設

運動時間為t(s),△則與正方形/碗'重合部分的面積為S(cm?).

(1)當直線/經過點6時，力的值為.

(2)求S關于2的函數關系式，并直接寫出自變量Z的取值范圍.

備用圖

4、如圖，在平面直角坐標系中，△/6C的邊4?在x軸上，且仍＞的，以4?為直徑的圓過點C,若點

C的坐標為（0,4）,且15=10.

（1）求拋物線的解析式；

（2）設點P是拋物線上在第一象限內的動點（不與C,8重合），過點P作"_L6C,垂足為點〃，點9

在運動的過程中，以RD,。為頂點的三角形與△如相似時，求點尸的坐標；

（3）若乙4"的平分線所在的直線，交x軸于點6,過點少任作一直線,分別交射線。，必（點C除

外）于點M,N,則1y+上是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

5、小豪為了測量某塔高度，把鏡子放在離塔（43）500的點少處，然后沿著直線座后退到點〃這時

恰好在鏡子里看到塔尖4再測得分'=2.4/，小豪目高6ZAL68加，求塔的高度46.

A

----------參考答案------------

一、單選題

1、D

【解析】

【分析】

根據平行線分線段成比例定理得到C&BD：D22：5,然后利用比例性質即可得出答案.

【詳解】

解：VAB//CD//EF,

：.AC-.舊BD：DF,

,:BD：DF=2：5,

：.AC：C柞BD-.DF=2：5,即C*AC,

7

：.AE=-AC,

2

2

：.AC：脛2：7=1

故選：D.

【點睛】

本題考查平行線分線段成比例即三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例，解題的關鍵是找出

成比例線段進行求解.

2、B

【解析】

【分析】

由題意直接根據平行線所截線段成比例進行分析判斷即可.

【詳解】

解：'JDE//BC,

：.NADE=ZABC,ZAED=ZACB,

/?AADE—^,ABC,

,ADDEAE

故選：B.

【點睛】

本題考查平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵.

3、D

【解析】

【分析】

等式兩邊都除以2b即可.

【詳解】

解：兩邊都除以助得，

b2

故選：D.

【點睛】

本題考查了比例的性質，解題的關鍵是主要利用了兩內項之積等于兩外項之積的性質.

4、B

【解析】

【分析】

直接利用三角形中位線定理得出DE〃BC,般/比1，再利用相似三角形的判定與性質得出

5/=%的=36=4即可.

【詳解】

解：?.?在△46。中，點〃、￡分別是/氏4c的中點，

:.DE〃BC,DE^BC,

:"AD反/B,乙AE24C,

:.XADEsMABC,

..DE

,BCF

qI

?“AADE_

r"4，

儂＞16,

,,S1MtE=)S4Age=1X16=4,

..?S四邊形況繆=S^ABC-SAADE=16-4=12.

故選B.

【點^青】

考查了三角形的中位線以及相似三角形的判定與性質，正確得出△4應是解題關鍵.

5、D

【解析】

【分析】

根據三角形的中位線的性質和相似三角形的判定和性質定理即可得到結論.

【詳解】

解：?.?點〃后分別是/C和比的中點，

...DE=-AB,CD=-AC,CE=-BC,DE//BC,

222

:ADEFSABFA,

.DFDE1

..---=---=-,

BFAB2

..?黑=g,故/選項錯誤；

.CD+CE+DE10、出后AH、口

??就擊而=5'故"選項錯陜；

???△龐尸s△胡凡

,EFDF_\

.?赤一茄—2，

.FB2

??=,

BD3

S9

，一，故。選項錯誤；

.EFDF

*~FA~~BF~2

二〃為然的中點,

：.AD^CD

??SgDE=S&cDE

.?.2=:，故〃選項正確；

^△CDE3

故選：D.

【點睛】

本題考查了三角形的中位線的性質，相似三角形的判定和性質，正確的識別圖形是解題的關鍵.

6、C

【解析】

【分析】

根據已知和矩形的性質可分別求得AC?4a的長，從而可發(fā)現規(guī)律，根據規(guī)律即可求得第〃個矩

形的周長.

【詳解】

?.?四邊形力6位是矩形，

：.AD±DC,AD=2,CD=]

AC=NAD2+CD2=石，

???按逆時針方向作矩形4?切的相似矩形ABCC,

矩形相心C的邊長和矩形ABCD的邊長的比為有:2

矩形ABCC的周長和矩形ABCD的周長的比石:2,

?.?矩形/靦的周長=(2+1)X2=6,

???矩形月6￡C的周長=@x6,

2

依此類推，矩形/員&C的周長和矩形力的周長的比不：2

矩形版M的周長=碎）2X6

矩形四心心的周長=（―）3x6

2

按此規(guī)律矩形A8,CC-的周長為：（亭）"x6

故選：C.

【點睛】

本題考查了矩形的性質，勾股定理，相似多邊形的性質，解此題的關鍵是能根據求出的結果得出規(guī)

律.

7、D

【解析】

【分析】

根據題意和圖形，利用三角形相似的性質，可以計算出切的長，從而可以解答本題.

【詳解】

解：,:EBLAC,DCVAC,

：.EB//DC,

：.4ABEs4ACD,

.ABBE

"'~AC~~CD'

，：B斤1.5m,AB=3m,BOIm,

：.A(=AB+B(=10m,

?3_L5

"10~~CD

解得，D(=5,

即建筑物⑦的高是5〃；

故選：D

【點睛】

本題考查相似三角形的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答.

8、A

【解析】

【分析】

根據△/龐得至1"0749,AB=-1AE,過點￡作牙文〃C,垂足為E由/。?￡=45°,DE=\,

XCFEs叢CAD,得到斯，DF,FC,戊7的長，計算面積即可.

【詳解】

如圖，過點￡作品1_〃。，垂足為代

■:4AED=4B,ZJ=ZJ,

：./\ADE^/\ACB,

:.AD：AC=AExAB=DE,B(=l：7,

J.AO1AD,AB=7AE,

?:/CDE=45°,DE=\,

:.E2D再旺,

2

D

'：/EFC=/DAC,AECF=ZDCA,

:ZFEsMCAD,

:.EF：DA=CF-.CA,

：.EF：gDA：CA=1：7,

...小苧，CD=4y/2,

??SACDE二-CZ).￡F=-x—X4V2=2,

222

故選.

【點睛】

本題考查了三角形的相似與性質，勾股定理，熟練掌握三角形相似的判定是解題的關鍵.

9、B

【解析】

【分析】

根據平行線分線段成比例定理即可得出答案.

【詳解】

AD//BE//CF,

.ABDE

VAB=3,BC=2,DE=3.6,

.33.6

.—=，

e2EF

：.防=2.4.

故選：B

【點睛】

本題考查了平行線分線段成比例定理，掌握定理的內容是解題的關鍵.

10、C

【解析】

【分析】

由平行線分線段成比例，可得比例式：Wn/7=處AC,代入值，利用線段間的關系，直接求解答案.

EFBC

【詳解】

解：?.“人人且《DF=3,

EF

,DFAC

?,==3,

EFBC

???8。=2,

AC=6,

:.AB=AC-BC=6-2=4,

故選：c.

【點睛】

本題主要是考查了平行線分線段成比例，正確找到對應邊長的比例式，是求解這類問題的關鍵.

二、填空題

1、拉

【解析】

【分析】

連接AM,。歷，根據直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得：AM=OM,則點M在線段4。的垂直平

分線上，作線段AO的垂直平分線交x軸，）軸于點E,。則當時，PM最小，再利用相似三

角形的判定和性質，結合勾股定理解答即可.

【詳解】

如圖：過點A作AF_Ly于點b，連接AM,OM

Zfi4c=N30C=90。，〃為8c中點，

AM=OM

???點M在線段AO的垂直平分線上

作線段A。的垂直平分線交）'軸，x軸于點。，E,當PMLDE,PM最小

連接AO,則4）=。￡>

?.?A（2,4）

/.AF=2,OF=4

^OD=AD=t,則ED=4-f,

FD2+AF2=AD2

.\(4-r)2+22=r2

5

..t=一

2

OD=-

2

vZFOA+ZAOE=90°,ZAOE+ZOED=90°

:.NFOA=NOED

-.-ZAFO=ZDOE=90°

:./\FAO^/\ODE

APQf

??.一=—,BPAF.OE=OD^OF

ODOE9

；.OE=5

\P(1,0)

;.PE=4

???在RtAAFO中OA=>IOF2+AF2=>/42+22=2后

當PM_L￡>七時，PM最小

/./PME=ZAFO=90。

/\PME^/\AFO

.PMPE

'^\F~~OA

PM4

/.=—=

22石

PM=g有

故答案為：《石

【點睛】

本題考查了線段垂直平分線的判定和性質，直角三角形的性質，相似三角形的判定和性質，點到直線

的距離，勾股定理等知識，能夠綜合熟練運用這些性質和判定是解題關鍵.

52

2、

33

【解析】

【分析】

利用平行線分線段成比例定理列出比例式，計算即可.

【詳解】

解：'：a//b//c,

.ACBDHr,2_BD

E8"BD+5'

解得：BD=|,

故答案為：g.

【點睛】

本題考查了平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵.

【解析】

【分析】

先利用勾股定理求出CE的長，再根據垂線段最短可得當時，取得最小值，然后根據相似

三角形的判定證出ABCWYED,最后根據相似三角形的性質即可得.

【詳解】

解：?.?矩形A8CD中，E是4）的中點，AB=4,AD=6,

：.DE=3,CD=4,BC=6,ZD=90°,AD\\BC,

:.CE=yjDE2+CD2=5,ZBCM=ZCED,

由垂線段最短可知，當BMLCE時，8M取得最小值,

ZBCM=ZCED

在ABCM和VED中,

zawc="=90°'

:ABCM~iiCED,

BMBCBM6

---=——,即nn---=-,

CDCE45

解得24

即加的最小值是菖，

故答案為：.

【點睛】

本題考查了垂線段最短、矩形的性質、相似三角形的判定與性質等知識點，正確找出兩個相似三角形

是解題關鍵.

4、―

44

【解析】

【分析】

根據正方形的性質和相似三角形的判定方法可知可得到關于正方形邊長的比例式，代

入數值計算即可.

【詳解】

解：?.?NC=90。，四邊形C￡>E尸是正方形,

，DE//BC,

：.ZAED=ZB,/AD斤/090。,

，^ADE^AACB,

.DEAD

^~CB~~ACf

若設正方形。Er的邊長為了,庚=售乂又4=15,80=5,力分力小緇15-后

.x_15-x

,?二］5，

解得：x=￥，

4

則正方形CZJEF的邊長為：.

4

故答案為）.

4

【點^青】

本題考查了正方形的性質、相似三角形的判定和性質，解一元一次方程，解題的關鍵是注意圖形中的

相等線段的替換.

5、N廬/C（答案不唯一）

【解析】

【分析】

先根據N1=N2求出N砌C=N加色再根據相似三角形的判定方法解答.

【詳解】

解：VZ1=Z2,

,N1+/BAE=42+4BAE,

即N%QNQ16,

■:XADESXACB

所以，添加的條件為NZ>NC.

故答案為：N仄NC（答案不唯一）.

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定，先求出兩三角形的一對相等的角N〃彷是確定其他條件的關

鍵.

三、解答題

1、（1）y=-1x2-5x+8；（2）①P（穩(wěn)號;②％=-：或斤-10

【解析】

【分析】

（1）由直線的解析式y=x+4易求點/和點。的坐標，把4和。的坐標分別代入y=-求出

8和c的值即可得到拋物線的解析式；

（2）①若以力只1。為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點0恰好也在拋物線上，則血〃再根據拋物

線的對稱軸可求出點尸的橫坐標，由（1）中的拋物線解析式，進而可求出其縱坐標，問題得解；

②過尸點作如〃8交47于點凡因為PF〃OC,舐以APEFsXOEC,由相似三角形的性質：對應邊的

比值相等可求出件的長，進而可設點/（心葉8）,利用（-二/+bx+c）-（x+8）=:，可求出x

43

的值，解方程求出X的值可得點。的坐標，代入直線尸取即可求出A的值.

【詳解】

解：（1）?.?直線y=x+8經過4C兩點,

點坐標是（~8,0）,點C坐標是（0,8）,

又???拋物線過兒c兩點,

3,

——X(-8)2-8Z?+C=0

??j4,

c=8

解得：憶;，

3

?\y=一二/2―51+8；

4

(2)①如圖1,

圖I

???由（1）知，拋物線解析式是y=-=f—5X+8,

4

拋物線的對稱軸是直線k-1=號.

?.?以力R力。為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點。恰好也在拋物線上,

：.PQ//AO,PQ=AO=S.

,:P,0都在拋物線上，

：.P,0關于直線對稱，

...0點的橫坐標是2專2，

?出223,22、2u,22、。13

..當k-y時，y=-x（~y）-5x（-）+8=y,

2213

.?/點的坐標是（專，y）;

②如圖2,過。點作PF//%交〃'于點F,

X

圖2

'：PF//OC,

:.△PEFSXOEC,

.PEPF

又,：PE：0E=5：6,0C=8,

:g=個,

?.?點6在然上，

.??設點尸（x,x+8）,

（--7-5A^8）-（X+8）=爭

43

化簡得：（x+4）2=y.

解得：必=號，X2=~1.

...尸點坐標是（二^，8）或（T，三）?

又..?點P在直線尸“X上，

20440

，把（一丁，8）或（與，y）分別代入/=取中,

/.4=一|或A=T0.

【點睛】

本題是二次函數綜合題，考查了待定系數法求函數解析式，平行四邊形的判定和性質，相似三角形的

判定和性質，解一元二次方程，題目綜合性較強，難度不大，是一道很好的中考題.

2、(1)見解析；(2)y;(3)4

【解析】

【分析】

(1)由46〃微可得N/=N〃，4土43即可證明△力勿

(2)如圖所示，過點C作⑦〃46交力〃延長線于凡先證明△/如得到一=—,由

/BAANCED,得到N尸N物,則上陽即可推出一=—=5

(3)如圖所示，延長常交4?于G,過點。作以"'于〃，由三線合一定理可得AB=2AG,然

后證明Na戶90°,設==，則=2,==4,則=+

=5,先求出=V可=4\[2,從而得到===1-2^2,

在直角△.中2="2,則/3=，+25八求出=當然后求出

V—=2=3=V~1,即可得到=+=*

【詳解】

解：⑴'：AB//CD,

爐NO,N田NG

:.△AOBS^DOC；

(2)如圖所示，過點，作CF〃AB交49延長線于F,

,JCF//AB,

：.ABAD^AF,AB-AFCD,

：./\ABD^/\FCD,

又,：4BAA乙CED,

/CED,

：.C拄CF,

??-=—一

(3)如圖所示，延長CE交AB于G,過點。作尸于H,

,：AOBC,CE平分4ACB,

:.CGLAB,AB=2AG,

VZBAD=45°,

...N4吩45°,4用4CED=45°,

:,

設==，則=2,==4,

=+=5?

■:CHIEF,

2

,+2=4y[2，

===2\[2

在直角△4CG中2=2+

A13=2+252,

【點睛】

本題主要考查了等腰三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，勾股定理等等，解題的關鍵在

于能夠正確作出輔助線進行求解.

!\0<<3)

4-6(3<<0

3、(1)7；(2)

2+T*(4<<7)

16(>7)

【解析】

【分析】

(1)根據正方形的性質可證得△身旅(/MS),即可求得答案；

(2)分三種情況：①當0W1W3時，如圖2,設PQ與AC交于點、F,由△外如△/比；可求得

~3,再運用三角形面積公式即可；

②當3<fW4時，如圖3,設聞與/￡交于點G,過點4作"'〃國交由于點E先證明四邊形是

平行四邊形，再證明(A4S),即可求得答案；

③當4V1W7時，如圖4,PQ交AE于G,交龐于〃，由XPHMXGHE,XABCsXHPD,S=S正方彩ACDE

-SAEGH,即可求得答案；

④當t>7時,5=16.

【詳解】

(1),四邊形/C必是正方形，CP=tern,

：.ZACD=ZCDE=90a,AC=CD=DE=\cm,

?..直線/經過點￡/BPQ=/B,

:.MEP恒XABC(44S),

:.PD=BC=3cm,

：.CP=CD^PD=A+3=1(cm),

.?"=7,

故答案為：7；

B

(2)①

當0WK3時，如圖2,設國與"'交于點尸,

,：ZFCP=ZACB=9Q°,ZFPC=AABC,

：.XFPCsXAB3

--=---,即---=y

,—4

"-3'

1142o

：?—-?=-XX-=--：

②

當3V/W4時，如圖3,設PQ與交于點G,

過點A作/月〃內交"于點F,

?.?四邊形力儂是正方形，

：.AE//CD,

：.四邊形力外。是平行四邊形，

'：AF//PQ,

：.AAFC=ABPQ,

V￡BPQ=AABC,ZACF=ZACB=90°,AC=AC,

：./\AFC^/\ABC(4S),

CF=CB=3cm,

：.FP=CP-CF=(t-3)cm,

+=：?+-=L,乂3x4+4(—3)=4—6；

B

DP

圖4

當4<1三7時?，如圖4,PQ交AE于G,交龐于

??,四邊形力物是正方形，

：.ZPDH=ZE=90°,ZPHD=AGHE,

:.△PHMXGHE,

—=—,即=—,

Y/ACB=/HDP=90°,AABC=AHPD,

:.△ABCS^HPD,

?一=一，即1=4

=}(一書,

.4,44

：.=—=4—(-4]=--

3、)3

?,———3

?—―/

+?=-+7'

,,>=正方形-A=I6-/X(一+

④當t>70'b5=16；

I2(0w<3)

4-6(3<<4)

綜上所述,

4(>7)

【點睛】

本題考查正方形的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質，掌握相關知識點是解

決問題的關鍵.

4、⑴=-32+J+4；⑵(6⑨或(3§)；⑶是，—t—=迪

【解析】

【分析】

(1)根據題意，先證明△,得到一=一，求出點4、8的坐標，然后利用待定系

數法，即可求出拋物線解析式；

(2)根據題意，可分為兩種情況：△一△或4,結合解一元二次方

程，相似三角形的判定和性質，分別求出點P的坐標，即可得到答案；

(3)過點“作團」〃'于/,EJ1CN干J,然后由角平分線的性質定理，得到小￡/再證明

△.，吃7s△網/4NEJSXNMC,得到‘+'=然后求出￡7一個定值，即可進行判斷.

【詳解】

解：(1)???以48為直徑的圓過點C,

.?.N”廬90°,

???點。的坐標為

J.C0VAB,

：.4A0O/C0B=gQ°,

：.ZAC(AZ0CB=ZAC(AZ0A^Qo,

：.Z0CB=Z0AC,

/.AS△

.?---=----,

\*=4,+==10,

：.=10-,

.10-_4

--=一'

解得：=緘=8,

經檢驗，滿足題意，

*/>,

=8,

.??點力為（—2,0）,點方為（8,0）.

設拋物線的解析式為=?++,把點從B、。三點的坐標代入，有

=4