2021高考數(shù)學全真模擬卷（北京版）20【解析版】

【贏在高考?黃金20卷】備戰(zhàn)2021高考數(shù)學全真模擬卷(北京版)

第二十模擬

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。

1.命題對任意xeR,2*+1>()的否定是()

A.-P：存在毛eR,2%+1KOB.~^P：存在與wR,2國>+1>0

C.-P-.不存在/€^,2&+14()D.-P-.對任意xwR,2'+l<0

【答案】A

【解析】所給命題是全稱性命題，它的否定是一個存在性命題，即存在與GR,2'"+l<0.

故選：A.

2.已知全集。={%€"|0<%<6},集合A={4,5,6},則C0A=()

A.{1,2,3}B,{0,1,2,3)

C.{x|()<x<3}D,U={xeN|()<x<3}

【答案】B

【解析】因為。={0,1,2,3,4,5,6},所以14={0,1,2,3},選B.

3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A.y=3xB.>=兇+3C.y=-x2+2D.y=2X

【答案】B

【解析】由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，>=3x為奇函數(shù)，故A錯誤；

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，y=2,為非奇非偶函數(shù)，故D錯誤；

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，y=-/+2是偶函數(shù)，在(0,+8)上單調(diào)遞減；故C錯誤.

由卜x|+3=W+3得y=|x|+3是偶函數(shù)，當x>0時，y=|x|+3=x+3顯然單調(diào)遞增，故B正確；

故選：B

1、

4.若等差數(shù)列{“”}首項為2,公差為2,其前〃項和記為S,”則數(shù)列{f不}前〃項和為()

2nnn

A.----B.Cn(n+l)D.

〃+l〃+l2(〃+1)

【答案】B

【解析】等差數(shù)列前“項5“=叼+，等差數(shù)列｛4｝首項為2,公差為2,代入可得

,?(H-1)11111]

5，，=2〃+-4^義2=〃(〃+1),所以￡==7一Q所以數(shù)列｛f不｝前〃項和為

,1111111n

=1---1-----1-----F.?+--=1------

22334n〃+1〃+1〃+1

故選：B

5.已知。是第三象限角，則Jsire-sii/e可化簡為（）

A.sincosB.-sinScoseC.2sin8cos。D.—2sin^cos^

【答案】A

【解析】拓二=萬祥飛至訪卜inOcosq,因為。是第三象限角，所以

sin0<0,cos°<0,所以Jsin28-sin46-sin6cos0

故選：A

6.在梯形A5CO中，已知A3〃CO,AB=2CD,DM=2MC，CN=2NBr若麗7=4亞+4硒，

11

町+丁()

【答案】D

【解析】由題意，根據(jù)向量的運算法則，可得：AM^AC+CM=AC--AB=AC--(AC+CB)

66

=5^_1^=5-^_1^=5—=13—_1—

666464124

___一一一131

又因為AM=XAC+〃AN,所以4=j^,〃=—w，

111240

所以二-I——----44=----

4〃1313

故選：D.

Du

7.已知某不規(guī)則幾何體三視圖如圖，其中俯視圖中的圓弧為,圓周，則該幾何體的側面積為（）

21

11

人/13萬771

A.44---B.-1—

422

「7加兀7也兀

--1-----nU---1-----

2428

【答案】C

由一個三棱錐體S-ABO和一個,圓錐組成的幾何體.

【解析】由幾何體的三視圖轉換為直觀圖為:

4

如圖所示：

S

B

所以該幾何體的側面積為S=S“SAC+SS”+-7VOCSC.

4

='2x2+'后逑+lx〃x逐，垂＞兀

4------

222424

故選：c.

8.唐代詩人李欣的是《古從軍行》開頭兩句說“百日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河''詩中隱含著一個有缺的數(shù)

學故事“將軍飲馬”的問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走

才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在區(qū)域為/+若將軍從4(2,0)出發(fā)，河岸線

所在直線方程x+y-4=0,并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)域即回到軍營，貝「將軍飲馬”的最短總路程為

()

A.回B.275-1C.2y[5D.V10-1

【答案】B

b

【解析】設點A關于直線x+y=4的對稱點A'(a,b),-

a-2

I-=1

4A的中點為1*，父，故|?解得a=4,b=2,

I22)a+2b,

-----+--4

[2---2

要使從點A到軍營總路程最短，即為點Af到軍營最短的距離，

即為點4和圓上的點連線的最小值，為點A'和圓心的距離減半徑,

“將軍飲馬”的最短總路程為-1=-1，

故選:B

9.已知拋物線4%的焦點與橢圓=1(a>h>0)的一個焦點重合，且橢圓截拋物線的準線所

得線段長為&，那么該橢圓的離心率為()

A.2B.-C.—

32

【答案】C

【解析】設橢圓的焦點為《，心，拋物線的準線為AB

由題意可知馬(1,0),-1,—1

則二+上=1,即一一+」=1

a22b2b2+l2b2

整理得到2//—/一1=。，解得力2=一!(舍)，/=[,

則a=V2

vc=l

c1V2

e=—=—]=-----

a<22

故選：C

小

|x+11,—7<x<e:

10.已知函數(shù)/(x)=f'若存在實數(shù)加,使得/(〃?)=2/一4。成立，則實數(shù)。的取值范

Inx.e<x<e.

圍是()

A.[-1,+oo)B.(-oo,-1]U[3,+oo)C.[-1,3]D.(-00,3]

【答案】c

【解析】作出函數(shù)/(x)=]，~的圖象如圖：

[Inx,e~<x<e

"(-7)=6,f(e-2)=—2,.?.值域為[―2,6],

若存在實數(shù)用，使得/(加)=2/-4a成立，

.?.-242/-4a46，解得一lWaW3,

二實數(shù)。的取值范圍是IT,3J.

故選：c

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

II.若復數(shù)z=2^,則向=

【答案】1

2—z(2——2。2—4z—z—2.

【解析】由Z-l+2z(l+2/)(l-2z)-1+4'

目=1

故答案為1.

12.若@一'-）6的二項展開式中常數(shù)項為-2,則常數(shù)。的值是.

ax2

【答案】2

567r62r

（解析】（X-'）6的第r+1項為Tr+l=C；?x--（--/=（--r-C；-x-,

axaxa

51,.5

常數(shù)項為—二，則r=3,（—一）3-C；=一二，解得”=2.

2a2

故答案為：2

13.已知圓C:（x—2『+:/=2,直線/:y=Ar（x+2）,若直線與x軸交于點A,過直線/上一點P做圓C

的切線，切點為7,若PA=^PT，則左的取值范圍是.

rv~3幣377-

【答案】——-

77

【解析】圓C：(x—2)2+y2=2,直線/：y=-x+2)與X軸相交于點A(-2,0)

設尸(x,y),由=可得

(x+2)2+/=2((x-2)2+/-2),即/+y2-]2x=0,滿足m=&PT的點P的軌跡是一個圓

(X-6)2+/=36,所以問題轉化為直線與圓(X—6)2+V=36有公共點

|6A-0+2&|“3s3J7

所以dWr，'~,~<6,解得一絲工心"

y/k2+177

oFioFi

所以實數(shù)%的取值范圍是：--一,小

77

3幣3幣-

故答案為：丁，r

77

Y

14.已知雙曲線T(。>0/>0)的左右頂點分別為A、8,點尸是雙曲線上一點，若△尸AB為等

腰三角形，NPAB=120°，則雙曲線的離心率為

【答案】叵

因為為等腰三角形，所以Q4=A3=2a,

又因為NPAB=120。，所以ZPAD=60、

PO=P4sin60，AD=PAcos60u=a>故P（-2a,氐）.

29

因為點P(—2a,6a)在雙曲線?y_—1上,

a2b2

4-Cl3q_,Hn優(yōu)?

所以F-----7-=l,B[J—=1.

a2b2b2

故答案為：y/2

15.已知曲線C：_/+y4+如2y2=1(m為常數(shù)).

(i)給出下列結論：

①曲線C為中心對稱圖形；

②曲線C為軸對稱圖形；

③當機=一1時，若點P(x,y)在曲線C上，則國21或僅|21.

其中，所有正確結論的序號是.

(ii)當相＞一2時，若曲線C所圍成的區(qū)域的面積小于乃，則小的值可以是.(寫出一個即可)

【答案】(i)①②③(ii)加＞2均可

【解析】⑴在曲線。上任取一點P(x,y)，則/+寸+如2y2=],

將點爪一乂一丁)代入曲線。的方程可得(—x)4+(—y)4+m(—x)2(—?=1,

同理可知，點巴(無,一丁)、6(-x,y)都在曲線。上，則曲線C關于原點和坐標軸對稱，命題①②正確.

，1、2q

當團=-1時，l=x4+y4-x2y2=x2一一y1+-y2，反設國＜1且儀|＜1,

、2/4

則04y2＜l,所以，一大V%?一大?。浚级?則0Klx?—』,

2T2(2)4

所以，￡*+y4=1*2+(y2＜],這與無4+,4一12,2=1矛盾.

假設不成立，所以，國21或?歸1,命題③正確；

(ii)當加=2時，曲線C的方程為/+寸+2/3；2=1,B[J(x2+y2)2=1,即/+,2=1,

此時，曲線。表示半徑為1的圓，其面積為萬.

當加＞2時，同當孫。0時，在圓V+y2=l上任取一點尸則

1=6+力2=/+34+2/2</+,4+皿2y2,則點p在曲線外，所以，曲線。的面積小于圓的面

積開.

故答案為：①②③；m>2均可.

三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。

16.(本小題滿分14分)

在AABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為〃、b,c,tan^-^+tan—=—.

223

(1)求角C的大?。?/p>

(2)已知△ABC不是鈍角三角形，且c=26，sinC+sin(5-A)=2sin2A,求△ABC的面積.

【解析】(I)因為｛q｝的前20項成等差數(shù)列，生=4,$5=30,

q+d=4,

解得[7;

[a=2

所以％0=2+19x2=40.

因為數(shù)列｛%｝后11項成公比為夕的等比數(shù)列，

所以“=2■=〈.

a202

綜上，d-2,q=—.

2

(II)｛4｝的前20項成等差數(shù)列,d>0.

所以前20項為遞增數(shù)列.

即:前20項的最大項為為)=40.

數(shù)列｛a,,｝的后11項成等比數(shù)列,q=g,

所以后11項是遞減數(shù)列.

即:后11項的最大項為生。=40

綜上，數(shù)列｛6,｝的最大項為第20項，其值為40.

選擇條件②：$3=0,%>=-36,a22=-9

解：(I)因為｛叫的前20項成等差數(shù)列，S3=0,a20=-36,

｛3a.+3d=0,

所以llQ/

+19d=-36,

a=2,

所以《A

d=-2.

因為數(shù)列｛〃”｝后11項成公比為4的等比數(shù)列,

〃20=-36,又因為出2=-9,

q2=^2.=1

?204

所以q=±；.

綜上，d=-2,q=.

(II)｛%｝的前20項成等差數(shù)列，d<0.

所以前20項為遞減數(shù)列.

前20項的最大項為4=2.

因為q=±L

i.當4=5時，=-361-1(20W/1W30且“eN"),

所以當204〃430時，an<0.

此時,數(shù)列｛4｝的最大項為第1項,其值為2；

1(1)TO

ii.當4=一5時，a?=-36l--I(20<〃W3(ianeN*),

后11項的最大項為%=18.

此時，數(shù)列｛%｝的最大項為第21項，其值為18.

綜上，當4=工時，數(shù)列｛”“｝的最大項為第1項，其值為2；

當4=-g時，數(shù)列｛%｝的最大項為第21項，其值為18.

選擇條件③：￡=48,%1=20,%a=160

解：(1)因為數(shù)列口J后11項成公比為夕的等比數(shù)列，%=20,生4=160,

所以^=9=8,

%

解得4=2.

所以.

q

又因為｛6,｝的前20項成等差數(shù)列，S=q=48,

所以［=&1二幺=一2.

20-1

綜上，d=-2,q=2.

(II)｛%｝的前20項成等差數(shù)列，d<0.

所以前20項為遞減數(shù)列.

前20項的最大項為q=48.

｛%｝的后11項成等比數(shù)列，而電0=10,q=2,

,,-2

an=10-2°(20W〃W30且〃eN,),

所以后11項為遞增數(shù)列.

后11項的最大項為。3。=10240

綜上，數(shù)列｛"J的最大項為第30項，其值為10240.

17.(本小題滿分14分)

如圖，在四棱錐S-ABC。中，底面ABC。是邊長為2的菱形，ASAB是等邊三角形，NABC=120。，SD=3,

M,N分別是SC,CD的中點.

(I)求證：CD上平面BMN；

(II)求直線SA與平面SCO所成角的正弦值.

【解析】(I)連接80，由已知得，BD=BC,又N是CD的中點，所以CDLBN.

再由麗?麗=麗?(系+X5)=C5?系+CD-A5=2x2xg+2x2x(-;)=0,所以CE>J_SD,由

MNHSD.：.CD±MN,MNcBN=N，故CDJ_平面

(II)取AB的中點O,連結OS,OD,由己知OD=0S=6,OD//BN

根據(jù)（1）有C。，。。，CDLSD,SOI。。=。

所以8，平面SOD.又CDu面SCO,r.面SOD±面SC。

平面SOOc平面SCD=S￡）,作OPLSD,則。尸_L面SCD

△SO。中，OD=OS=6,SD=3,

8=g(”儲邛

AB11CD,CDu平面SCO,；.AB〃面SCD,

■.點A到平面SCD的距離等于點O到平面SCD的距離

設直線SA與平面SCO所成角為巴

上

sin0=""-""sc"=-2-=

SA2

18.（本小題滿分14分）

2012年12月18日，作為全國首批開展空氣質(zhì)量新標準監(jiān)測的74個城市之一，鄭州市正式發(fā)布PM2.5數(shù)

據(jù).資料表明，近幾年來，鄭州市霧霾治理取得了很大成效，空氣質(zhì)量與前幾年相比得到了很大改善.鄭州市

設有9個監(jiān)測站點監(jiān)測空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）,其中在輕度污染區(qū)、中度污染區(qū)、重度污染區(qū)分別設有2,5,

2個監(jiān)測站點，以9個站點測得的AQI的平均值為依據(jù)，播報我市的空氣質(zhì)量.

（1）若某日播報的AQI為118,已知輕度污染區(qū)AQI的平均值為74,中度污染區(qū)AQI的平均值為114,

求重度污染區(qū)AQI的平均值；

（2）如圖是2018年II月的30天中AQI的分布，11月份僅有一天AQI在［170,180）內(nèi).

組數(shù)分組天數(shù)

第一組[50,80)3

第二組[80,110)4

第三組[110,140)4

第四組[140,170)6

第五組[170,200)5

第六組[200,230)4

第七組[230,260)3

第八組[260,290)1

①鄭州市某中學利用每周日的時間進行社會實踐活動，以公布的AQI為標準，如果AQI小于180,則去進

行社會實踐活動.以統(tǒng)計數(shù)據(jù)中的頻率為概率，求該校周日進行社會實踐活動的概率；

②在“創(chuàng)建文明城市”活動中，驗收小組把鄭州市的空氣質(zhì)量作為一個評價指標，從當月的空氣質(zhì)量監(jiān)測數(shù)據(jù)

中抽取3天的數(shù)據(jù)進行評價，設抽取到AQI不小于180的天數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學期望.

【解析】（1）設重度污染區(qū)4。的平均值為x，WJ74x2+114x5+2x=118x9,解得x=172.

即重度污染僅40/平均值為172.

（2）①由題意知，AQ/在［170,180）內(nèi)的天數(shù)為1,

由圖可知，AQ/在［50,170）內(nèi)的天數(shù)為17天，故II月份AQ/小于180的天數(shù)為1+17=18.

1QQ3

又弓==，則該學校去進行社會實踐活動的概率為3?

3055

②由題意知，X的所有可能取值為0，1,2,3,且

P（X=0）=卑=堊，唳=1）=年=型，

7

''C；o10151Cj01015

P（X=2）=4^=也，P（X=3）=4^=。-,

'）以1015'）C；°203

則X的分布列為

X0123

20445929711

P

101510151015203

MW"c204,459c297cli6

數(shù)學期望收=Ox----+lx----+2x----+3x——=-.

1015101510152035

19.（本小題滿分14分）

已知橢圓E:0+'=l（a>O>O）,過點A（2,l）,且該橢圓的短軸端點與兩焦點”，死的張角為直角?

（1）求橢圓E的方程；

⑵過點8（0,3）且斜率大于0的直線/與橢圓E相交于點P,Q,直線AP,AQ與），軸相交于例，N兩點，

求忸M+|BN|的取值范圍.

【解析】⑴由于橢圓的短軸端點與兩焦點”，罵的張角為直角，所以6=，,/=6+。2=2/，所以

41

萬+屏=1,66,

b2=363

a2=2b2

（2）設直線/的方程為丁=依+3,。（石，M），°（工2，%），

V.—1

直線AP的方程為y-l=J（X-2）,可得M0,1一一百_L

Xj-2I%-2

1%—1

直線A。的方程為y』工（尤-2）,可得N0,1--比一

I%-2）

；2二：；：6,消去“整理得（1+2公）/+12"+12=0.

聯(lián)立《

A=14442-4x12（1+2/）〉。

12k

x,+x=----------

12-1+2公

1

可得公〉i，由于左＞o,所以左＞1.

忸M|+忸N|=2+%+2+以=4+^^+^^

~~乙*^2~~/

=4+2x(芍-2)(y-1)+(5—2)(%T)

(百-2)(%-2)

_4上,乂(，2-2)(腦+3-1)+(3-2)(5+3-1)

C)(x「2)

=4+2x(9-2)(牝+2)+(%-2)(5+2)

(X-2)(9-2)

42\2kxyx2-(2^-2)(%,+x2)-8]彳4^,%2-2(2^-2)(x,+x,)-16

玉工2-2(玉+尤2)+4xtx2-2(X]+X2)+4

「「'…+仍’")……48攵+24人(2%-2)-16.(1+2二)

12?24k?[12+24%+4(1+22

l+2k2l+2k2

，16%2—16=4+次凸=6,

=4+-----------------

8F+24Z+16k+2k+2

由于左+2>3,所以0<-^-<2,—2<—一—<0,4<6--—<6,

k+2k+2k+2

也即忸M|+忸N|的取值范圍是(4,6).

20.已知函數(shù)/(%)=-+ln--(aeR).

x

(1)當函數(shù)〃X)與函數(shù)g(x)=lnx圖象的公切線/經(jīng)過坐標原點時，求實數(shù)。的取值集合;

當ae[()L111

(2)證明:函數(shù)力(x)=/(x)-儀有兩個零點，且滿足一+一＜一.

百x2a

【解析】(1)設公切線/與函數(shù)g(x)=lnx的切點為(毛,%),則公切線/的斜率&=g'(xo)=」-，公切線

玉)

/的方程為：y-%='(X-尤0),將原點坐標(0,0)代入，得%=1,解得$=e,公切線/的方程沏y=』x,

玉)e

將它與八＞)="比聯(lián)立，整理得a=4/—inx.

xe

令機(x)=1——inx,對之求導得：加(x)=2xe,令m(幻=。，解得》=上.

eexv2

當xe(0,J|)時，加(x)＜0,/〃(x)單調(diào)遞減，值域為(竽,+8),

當了￡電收)時，加。)〉0,加。)單調(diào)遞增，值域為In2)

~T')'

由于宜線/與函數(shù)/(X)相切，即只有一個公共點,

故實數(shù)。的取值集合為，;In

(2)證明：〃(x)='+h"",要證人(x)有兩個零點，只要證-x)=o?—inx-a有兩個零點即

X

可.2(1)=0,即X=1時函數(shù)左(X)的一個零點.

對我(x)求導得：k'(x)-lax--,令&'(x)=0,解得x=1—.當工>7=時，A'(x)>0,左(x)單調(diào)遞

x72cl\J2a

增;

當0<x<I—時,人(九)<0,Z(x)單調(diào)遞減.當冗=~時，％(x)取最小值，k</:(!)=0,

72cl72a

A(x)=ax2-Inx-tz>ax2一(％-1)-Q=ax2-x+l-a>ax2-x+—,必定存%>~r=在使得二次函數(shù)

212a

w(x)=竭一%)+g>0，

即左(%)>“(%)因此在區(qū)間上

>0.,XO必定存在k(x)的一個零點.

7

\

練上所述，A(x)有兩個零點，一個是x=l,另一個在區(qū)間,+8上.

7

111

下面證明一+一<—

a

hM上.

由上面步驟知人(無)有兩個零點，一個是x=l,另一個在區(qū)間

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不妨設x]=L%>I——1則,+,