考點10 二次函數(shù)中6大特殊圖形的存在性問題-解析版

考點10二次函數(shù)中6大特殊圖形的存在性問題1等腰三角形的存在性解決方法畫弧法：以等腰三角形確定邊兩端點分別為圓心，確定邊長度為半徑畫弧，與動點所在直線的交點即為所求點，另外確定邊的垂直平分線與動點所在直線的交點即為所求點。2直角三角形的存在性的解決方法①運用勾股定理：a2+b2=c2②運用剝離法（參照圓證明玻璃法的運用）3平行四邊形的存在性問題的解決方法利用線段長解析式=定值長（平行四邊形對邊平行且相等）列方程求值線段中點坐標公式平面直角坐標系中，點A坐標為（x1，y1），點B坐標為（x2，y2），則線段AB的中點坐標為。2.平行四邊形頂點坐標公式ABCD的頂點坐標分別為A（xA，yA）、B（xB，yB）、C（xC，yC）、D（xD，yD），則：xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD。即平行四邊形對角線兩端點的橫坐標、縱坐標之和分別相等。4相似三角形的存在性問題的解決方法相似三角形存在性問題，分類討論步驟：第一步：找到題目中已知三角形和待求三角形中相等的角；要先確定已知三角形是否有直角，或確定的對應角；①若有已知的相等角，則其頂點對應；②若沒有相等的角，則讓不確定的三角形的角和已知三角形的特殊角相等。第二步：確定相似后，根據(jù)對應邊成比例求解動點坐標：①若已知三角形各邊已知，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對稱、旋轉(zhuǎn)等知識來推導邊的大小；②若兩個三角形的各邊均未給出，則應先設所求點的坐標進而用函數(shù)解析式來表示各邊的長度，之后用相似來列方程求解。5菱形的存在性問題的解決方法菱形依據(jù)，有一組鄰邊相等的平行四邊是是菱形。對比于平行四邊形的判定，還有鄰邊相等條件，因此，相比較于平行四邊形(AC作為對角線），坐標系中還需要滿足以下三個等式：X解題方法：(在平行四邊形的基礎上增加對角線垂直或者鄰邊相等)(1)選定點、半動點組成的三角形，三邊作為對角線再分類討論；(2)利用中點坐標公式列方程：；（AC為對角線時）(3)對角線垂直：或者鄰邊相等：X6矩形的存在性問題的解決方法1兩點間坐標公式;2平行四邊形頂點公式;3矩形的判別：對角線相等的平行四邊形平面四點坐標A（XA，YA），B（XB，YB），C（XC由以上得到矩形判別公式：（以AC，BD為對角線為例）X二、公式解讀：上式中①和②式子是判定平行四邊形依據(jù)，③式為對角線相等，從而判定為矩形。由上可以知矩形最多可以有三個未知量，帶入以上方程組可以得到一個三元一次方程組，可解。由三個未知量，則可以判別出矩形至少有兩個動點，最多可以有三個動點。兩個定點+1個全動點+一個半動點一個定點+3個半動點。注釋：（半動點是橫縱坐標其中一個已知，一個未知）求解方法：確定半動點和定點----分類討論-----列出公式求解?？键c1等腰三角形的存在性解決方法考點2直角三角形的存在性的解決方法考點3平行四邊形的存在性問題的解決方法考點4相似三角形的存在性問題的解決方法考點5菱形的存在性問題的解決方法考點6矩形的存在性問題的解決方法考點1等腰三角形的存在性解決方法1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）拋物線y＝ax2+bx+3過點A（﹣1，0），點B（3，0），頂點為C．(1)求拋物線的表達式及點C的坐標；(2)如圖，點P在x軸上方的拋物線上，連接CP并延長交x軸于點D，連接AC，若△DAC是等腰三角形，求點D的坐標．【答案】(1)，（1，4）；(2)（4，0）或或【分析】（1）把點A（﹣1，0），點B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，即可求解；（2）過點C作CE⊥x軸于點E，設D（m，0），根據(jù)勾股定理可得，，然后分三種情況討論，即可求解．【詳解】（1）解：把點A（﹣1，0），點B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：，解得：，∴拋物線的解析式為，∵，∴頂點C的坐標為（1，4）；（2）解：過點C作CE⊥x軸于點E，設D（m，0），∵A（-1，0），C（1，4），∴EA=2，EC=4，DE=m-1，，∴，，當AD=CD時，，解得：m=4；當AC=CD時，，解得：m=3（舍去）或m=-1（舍去），當AC=AD時，，解得：或綜上所述，點D的坐標為（4，0）或或．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的勾股定理是解題的關鍵．2．（2023秋·河北邢臺·九年級校聯(lián)考期末）如圖，拋物線y＝ax2+3x+c經(jīng)過A(﹣1，0)，B(4，0)兩點，并且與y軸交于點C．(1)求此拋物線的解析式；(2)直線BC的解析式為；(3)若點M是第一象限的拋物線上的點，且橫坐標為t，過點M作x軸的垂線交BC于點N，設MN的長為h，求h與t之間的函數(shù)關系式及h的最大值；(4)在x軸的負半軸上是否存在點P，使以B，C，P三點為頂點的三角形為等腰三角形？如果存在，請證明；如果不存在，說明理由．【答案】(1)(2)(3)h與t之間的函數(shù)關系式為：，h的最大值為4(4)在x軸的負半軸上存在點或，使以B，C，P三點為頂點的三角形為等腰三角形，理由見解析【分析】（1）把A(﹣1，0)，B(4，0)代入拋物線解析式，即可求解；（2）根據(jù)拋物線解析式求出點C的坐標，再利用待定系數(shù)法，即可求解；（3）根據(jù)題意可得點，點，從而得到，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（4）分三種情況：當PC=BC時，當PB=BC時，當PC=PB時，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線y＝ax2+3x+c經(jīng)過A(﹣1，0)，B(4，0)兩點，∴，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）解：當時，，∴點，設直線BC的解析式為，把點B(4，0)，代入得：，解得：，∴直線BC的解析式為；（3）解：如圖，∵點M是第一象限的拋物線上的點，且橫坐標為t，∴點，∵MN⊥x軸，∴點，∴，∴，∴當時，h的值最大，最大值為4；（4）解：在x軸的負半軸上存在點P，使以B，C，P三點為頂點的三角形為等腰三角形，理由如下：當PC=BC時，∵OC⊥BP，∴OP=OB，∵點B(4，0)，點P在x軸的負半軸上，∴點；當PB=BC時，∵B(4，0)，，∴OC=4，OB=4，∴，∴，∵點P在x軸的負半軸上，∴點；當PC=PB時，點P位于BC的垂直平分線上，∵OB=OC=4，∴點O位于BC的垂直平分線上，∴此時點P與點O重合，不合題意，舍去；綜上所述，在x軸的負半軸上存在點或，使以B，C，P三點為頂點的三角形為等腰三角形．【點睛】本題主要考查了求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．3．（2023春·天津·九年級專題練習）已知拋物線y＝x2﹣x﹣與x軸交于點A，點B（點A在點B左側(cè)）．(1)求點A，點B的坐標；(2)用配方法求該拋物線的頂點C的坐標，判斷△ABC的形狀，并說明理由；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使以點O、點C、點P為頂點的三角形構(gòu)成等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)A（-1，0），B（3，0）(2)點C的坐標為（1，-2），為等腰直角三角形，理由見解析(3)點P的坐標為（1，2），，或【分析】（1）把代入到得，，解得，，又因為點A在點B的左側(cè)，即可得；（2）配方得，即可得點C的坐標為（1，-2），根據(jù)點A，B，C的坐標得，，，則AC=BC，又因為，所以，即可得，從而得出是等腰直角三角形；（3）當點P與點C關于x軸對稱時，OC=OP，為等腰三角形，即可得點P的坐標（1，2），當時，，即可得點P的坐標為或，當時，點P在OC的垂直平分線上，設點，點P交x軸于點D，在中，根據(jù)勾股定理得，，解得，即可得點P的坐標為，綜上，即可得．【詳解】（1）解：把代入到得，解得，，∵點A在點B的左側(cè)，∴A（-1，0），B（3，0）．（2）解：===∴點C的坐標為（1，-2），為等腰直角三角形，理由如下：∵A（-1，0），B（3，0），C（1，-2），∴，，，∴AC=BC，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形．（3）解：當點P與點C關于x軸對稱時，OC=OP，為等腰三角形，∴點P的坐標為（1，2）；當時，，∴點P的坐標為或；當時，點P在OC的垂直平分線上，設點，如圖所示，點P交x軸于點D，在中，根據(jù)勾股定理得，，∴點P的坐標為；綜上，點P的坐標為（1，2），，或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與三角形的綜合，解題的關鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)．4．（2022春·江蘇·九年級專題練習）如圖，拋物線經(jīng)過點，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)是軸上一點，且是以為腰的等腰三角形，請直接寫出點坐標．【答案】(1)(2)，或，．【分析】（1）將代入解析式，待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）分兩種情形討論，①若，②若，即可求解．【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過，，得：拋物線的解析式：（2）由拋物線解析式得：，，，由勾股定理得：，若是以為腰的等腰三角形，且在軸的正半軸，①若，則，②若，則，，，綜上所述：，【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，等腰三角形的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．考點2直角三角形的存在性的解決方法5．（2022秋·四川廣安·九年級?？计谥校┤鐖D，已知拋物線經(jīng)過點，，其對稱軸為直線，為y軸上一點，直線與拋物線交于另一點D．

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)試在線段下方的拋物線上求一點E，使得的面積最大，并求出最大面積；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點F，使得是直角三角形？如果存在，求點F的坐標；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)．(2)，的面積S有最大值．(3)存在，點F的坐標為或或或．【分析】（1）根據(jù)點的坐標，運用待定系數(shù)法，建立方程組求解；（2）運用待定系數(shù)法，確定直線解析式為，聯(lián)立二次函數(shù)解析式，求解得，過點E作軸，交于點G，設，的面積：，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求得的面積有最大值，．（3）存在．設點，則；；；分情況討論：①若，②若，③若，根據(jù)勾股定理，建立方程求解得點F的坐標．【詳解】（1）解：由題意，，解得∴．（2）解：設直線的解析式為，則解得∴直線解析式為．聯(lián)立直線與拋物線解析式，得，解得，∴過點E作軸，交于點G，設，，則的面積∴∴當時，，的面積有最大值．此時，，∴．

（3）解：存在．設點，則；；；①若，則，∴，解得，∴；

②若，則，∴，解得，∴；

③若，則，∴，解得，∴或

綜上，點F的坐標為或或或．【點睛】本題考查待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，函數(shù)圖象交點與方程組的聯(lián)系，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)；根據(jù)勾股定理建立方程是解題的關鍵．6．（2022·廣東潮州·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點和點，直線經(jīng)過點，與軸交于點，與拋物線交于點，且的面積為5．(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線上一動點在直線的圖象下方，當?shù)拿娣e最大時，求點的坐標；(3)若點是軸上一點，在（2）的條件下，當為直角三角形時，直接寫出的最大值．【答案】(1)(2)(3)【分析】1）先確定直線的解析式，再利用三角形的面積，確定點的D的坐標，即可確定拋物線的解析式．（2）設，直線與y軸的交點為點F，且解析式為，確定方程組，確定點F的坐標，計算，根據(jù)構(gòu)造新的二次函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的最值計算即可．（3）分三種情況求解，比較大小即可．【詳解】（1）∵拋物線與軸交于點和點，直線經(jīng)過點，與軸交于點，∴，，，解得，∴直線解析式為，設，∵的面積為5，∴，∴，解得，∴，∴，解得，∴拋物線的解析式為．（2）如上圖，∵拋物線的解析式為，∴設，直線與y軸的交點為點F，且解析式為，根據(jù)題意，得，解得，故解析式為，∴，∴，∴，∵，∴有最大值，且當時，取得最大值，最大值為，此時，∴．（3）如圖，當時，則；當時，則；故；∵，，，設∴，∴，解得，故；當時，∵，，設，

∴，∴，解得，故；∵，∴，故當為直角三角形時，的最大值是．【點睛】本題考查了拋物線解析式的確定，一次函數(shù)解析式的確定，構(gòu)造二次函數(shù)求最值，分類思想，兩點間的距離公式，熟練掌握待定系數(shù)法求拋物線解析式，構(gòu)造二次函數(shù)求最值是解題的關鍵．7．（2021春·廣東梅州·九年級?？计谥校┮阎魏瘮?shù)的圖象經(jīng)過，，與x軸交于點．(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)點直線下方拋物線上的一動點，求面積的最大值；(3)在拋物線對稱軸上是否存在點，使是直角三角形？若存在，直接寫出點的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)二次函數(shù)的解析式為(2)(3)存在，,,【分析】（1）直接把點，代入求出、的值即可得出拋物線的解析式；（2）先求出點的坐標，根據(jù)；得出，進而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．（3）設點的坐標為，然后分三種情況討論：①；②；③．由勾股定理得到關于的方程，解方程求出的值即可．【詳解】（1）解：將，代入得解得

∴二次函數(shù)的解析式為（2）將代入得，解得∴點∵點直線下方拋物線上的一動點，過點作軸交于點，如圖所示：

則由，得直線的解析式為：∴設，則點∴∴∵，將代入可得最大面積為；（3）解：存在，，，，，對稱軸是直線．，，．設點的坐標為，分三種情況：①如果，那么，則，解得，所以點的坐標為；②如果，那么，則，解得，所以點的坐標為；③如果，那么，則，解得或，所以點的坐標為或．綜上所述，所求點的坐標為，，，．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，三角形的面積，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理等知識．熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．8．（2023春·江蘇宿遷·九年級南師附中宿遷分校校聯(lián)考階段練習）拋物線經(jīng)過點和點．

(1)求該拋物線所對應的函數(shù)解析式；(2)該拋物線與直線相交于、兩點，點是拋物線上的動點且位于直線下方，連接、．①在點運動過程中，若的面積為，求點的坐標；②在點運動過程中，若為直角三角形，求點的橫坐標．【答案】(1)；(2)①或；②或．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）①過點作軸，交于點，設，，則，，，先根據(jù)拋物線和直線的解析式求出點的坐標，再利用面積公式構(gòu)造方程求解即可；②分與兩種情況，利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點和點，∴，解得，∴該拋物線對應的函數(shù)解析式為；（2）解：①過點作軸，交于點，設，，則，，，

∵拋物線與直線相交于、兩點，∴，解得或，當時，，當時，，∴，，，，∵，的面積為，∴，解得或，當時，，當時，，∴，或，；②設，，由①得，，，，∴，，，∵軸軸，∴是以為直角的直角三角形，∴是銳角，∵點是拋物線上的動點且位于直線下方，∴在的內(nèi)部，即,∴是銳角，即是不存在的情形，

當時，，∴，∴，∴或，解得（舍去）或（舍去）或（舍去），當時，，∴，∴∴（舍去）或，綜上，點的橫坐標為或．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式，勾股定理，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)之間的關系，熟練掌握勾股定理及數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關鍵．考點3平行四邊形的存在性問題的解決方法9．（2023秋·山西陽泉·九年級統(tǒng)考期末）綜合與實踐如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，點B的坐標是，點C的坐標是，拋物線的對稱軸交x軸于點D．連接．

(1)求拋物線的解析式：(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使是以為腰的等腰三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；(3)點E在x軸上運動，點F在拋物線上運動，當以點B，C，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出點E的坐標．【答案】(1)(2)存在，或或(3)或或或【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）分兩種情況：以C為頂點，即；以D為頂點，即，利用勾股定理及等腰三角形的定義建立方程即可完成；（3）分三種情況：當是對角線時；當是對角線時；當是對角線時；分別設點E與F的坐標，利用中點坐標公式即可求解．【詳解】（1）解：∵點B的坐標是，點C的坐標是，∴，解得：，∴所求拋物線解析式為；（2）解：存在由拋物線解析式知，其對稱軸為直線，，設，則，，，①以C為頂點，即時；則，解得：或（舍去），∴點P的坐標，②以D為頂點，即時，則，解得：，∴點P的坐標為或，綜上，點P的坐標為或或；（3）解：設點E的坐標為，點F的坐標為，①當是對角線時；由中點坐標公式得：，解得：或（舍去），∴點E的坐標；②當是對角線時；由中點坐標公式得：，解得：，∴點E的坐標為或；③當是對角線時；由中點坐標公式得：，解得：或（舍去），∴點E的坐標；綜上，點E的坐標為或或或．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合，考查了待定系數(shù)法，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，中點坐標公式，勾股定理等知識，本題有一定的綜合性，注意分類討論．10．（2023·廣東珠海·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系中中，已知拋物線L：和線段，其中點，點，點C是拋物線L與y軸的交點，點D是拋物線L的頂點．(1)求直線的解析式；(2)點Q在拋物線L上，且與點C關于對稱軸對稱，連接，求證：為等腰直角三角形；(3)在（2）的條件下，射線交x軸于點F，連接，四邊形是否能構(gòu)成平行四邊形？如果能，請求m的值；如果不能，說明理由；(4)若拋物線L與線段只有一個交點．請結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出m的取值范圍________．【答案】(1)(2)見解析(3)能構(gòu)成平行四邊形，(4)或【分析】（1）設的解析式為，把點，點代入解析式計算即可；（2）分別求出的坐標即可證明；（3）利用平行四邊對邊平行且相等，結(jié)合平移求出點坐標，再根據(jù)F在x軸上計算即可；（4）先求出直線與拋物線只有一個交點，再求出直線與拋物線有兩個交點時，分別經(jīng)過，點的值，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）設的解析式為，把點，點代入解析式得，，解得∴直線的解析式為（2）∴頂點當時，∴頂點∵C、Q都在拋物線上，且關于對稱軸對稱∴，則∴∴，且∴∴為等腰直角三角形；（3）四邊形能構(gòu)成平行四邊形．理由如下：∵，，∴向右平移5個單位長度，再向上平移5個單位長度得到，∴當向右平移5個單位長度，再向上平移5個單位長度得到時，四邊形是平行四邊形，∵F在x軸上，∴；（4）聯(lián)立，整理得：，當時，，此時直線與拋物線只有一個交點，交點坐標為，在線段上；當時，，此時直線與拋物線有兩個交點，當拋物線過時，，解得，此時直線與拋物線有兩個交點坐標分別為，都在線段上；當拋物線過時，，解得，此時直線與拋物線有兩個交點坐標分別為，，只有一個點在線段上；綜上所述，拋物線L與線段只有一個交點時或．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，注意分類討論是解題的關鍵．11．（2023·陜西西安·西安市曲江第一中學?？既＃┤鐖D，已知拋物線過點，，，其頂點為D．(1)求拋物線的解析式；(2)若P是拋物線上的一個點，是否存在點P，使得，若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由；(3)若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點N，E為直線AC上任意一點，過點E作交拋物線于點F，以N，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標；若不能，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，點的坐標為或(3)能，點的坐標為或或【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；（2）先求出的垂直平分線的表達式，再聯(lián)立線段垂直平分線和拋物線的表達式，得到關于的方程，進而求出點的坐標．（3）設出點的坐標，分情況討論，①當點在線段上時，點在點上方，②當點在線段（或）延長線上時，點在點下方，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可由得關于的方程，進而求出點的坐標．【詳解】（1）解：將A、B、C點的坐標代入解析式，得，解得，∴拋物線的解析式為．（2）解：存在，點的坐標為或．如圖，設為線段的中點，∵，∴直線為線段的垂直平分線，直線與拋物線必有兩個交點，且都是滿足條件的點．∵，，∴點的坐標為，設的解析式為，將點代入得，，即直線的解析式為，聯(lián)立，得，解得或，∴點的坐標為或．（3）能，點的坐標為或或．將配方，得，∴頂點D的坐標為，由，得對稱軸為，∵，，∴直線的方程為，聯(lián)立，得，點在直線上，設，①當點在線段上時，點在點上方，則，∵，∴，解得或（舍），∴點的坐標為；②當點在線段（或）延長線上時，點在點下方，則，∵，∴，解得或，∴點的坐標為或，綜上所述：滿足條件的點坐標為或或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，解（1）的關鍵是待定系數(shù)法，解（2）的關鍵是利用線段垂直平分線的性質(zhì)；解（3）的關鍵是平行四邊形的性質(zhì)得出關于的方程，要分類討論，以防遺漏．12．（2023秋·湖南長沙·九年級統(tǒng)考期末）如圖，拋物線與軸交于點，點，與軸交于點，點與點關于軸對稱，點是軸上的一個動點．設點的坐標為，過點作軸的垂線交拋物線于點．(1)求點，，的坐標；(2)當點在線段上運動時，直線交于點，試探究為何值時，四邊形是平行四邊形；(3)在點的運動過程中，是否存在點，使是以為直角邊的直角三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，，(2)當時，四邊形是平行四邊形(3)存在，點的坐標為，，【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式列方程即可得到結(jié)論；（2）如圖所示：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，設點的坐標為，則，列方程即可得到結(jié)論；（3）設點的坐標為，分兩種情況：①當時，根據(jù)勾股定理列方程求得，（不合題意，舍去），②當時，根據(jù)勾股定理列方程求得：，，于是得到結(jié)論．【詳解】（1），令，得：，解得：，，令得，，∴，，．（2）當時，四邊形是平行四邊形，∵點與點關于軸對稱，∴點，，直線為，由題可得，，則，解得，（舍去），因此當時，四邊形是平行四邊形．（3）當時，有，即解得：，（舍去），∴有；當時，有，即解得：，，∴有，；綜上所述：點的坐標為，，．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點有：坐標軸上點的特點，待定系數(shù)法求直線的解析式，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，方程思想和分類思想的運用，綜合性較強，有一定的難度．考點4相似三角形的存在性問題的解決方法13．（2021·陜西西安·模擬預測）如圖，拋物線W與x軸交于A(1，0)，M(﹣3，0)兩點，交y軸于點B(0，3)，拋物線W關于y軸的對稱圖形為拋物線L．(1)求拋物線W的表達式；(2)如果E是點A關于原點的對稱點，D是拋物線L的頂點，那么在x軸上是否存在點P，使得△PAD與△EBO是相似三角形？若存在，求出符合條件的點P坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y＝﹣（x﹣1）（x+3）＝﹣x2﹣2x+3，過程見解析；(2)存在，點P的坐標為P1（，0）或P2（，0）或P3（﹣11，0）或P4（13，0），過程見解析．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求出W的表達式；（2）根據(jù)（1）得出點E和點D的坐標，設出P的坐標為（m，0），根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出m即可得出P的坐標．【詳解】（1）解：∵拋物線W與x軸交于A（1，0），M（﹣3，0）兩點，∴設y＝a（x﹣1）（x+3），代入點B（0，3），得3＝a×（﹣1）×3，解得a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣1）（x+3）＝﹣x2﹣2x+3；（2）解：存在符合條件的P點，如下圖，求解過程如下：由（1）知W的頂點為（﹣1，4），得L的頂點D（1，4），∵E是點A關于原點的對稱點，A（1，0），∴E（﹣1，0），綜上可知，OE=1，BO=3，AD=4，設P（m，0），則∠DAP＝∠BOE＝90°，AP=，若△PAD∽△EBO，則，則，解得m＝或m＝，∴P1（，0）或P2（，0），若△DPA∽△EBO，則，則，解得m＝13或﹣11，∴P3（﹣11，0）或P4（13，0），綜上，P的坐標為P1（，0）或P2（，0）或P3（﹣11，0）或P4（13，0）．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應用，關鍵是要會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，牢記相似三角形的性質(zhì)．14．（2022·全國·九年級專題練習）如圖1，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點點和點，連接，線段上有一動點P，過點P作的平行線交直線于點D，交拋物線于點E．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）移動點P，求線段的最大值；（3）如圖2，過點E作y軸的平行線交于點F，連接，若以點C、D、P為頂點的三角形和是相似三角形，求此時點P坐標．【答案】（1）二次函數(shù)的解析式為：；（2）ED最大值為；（3）點P坐標為（0，0）或（，0）．【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；（2）先待定系數(shù)法求BC的函數(shù)解析式為：，過點E作EF∥y軸交BC于點F，過點D作DG⊥EF于點G，證明△DFG～△BCO，再證△EDG∽△CAO，則DG=3k，EG=6k，ED=，ED=EF，要線段DE的最大，只要求EF的最大值．設點E坐標為（e，），則點F坐標為（e，），然后表示出EF，結(jié)合最值的性質(zhì)，即可得到答案；（3）△CPD與△DEF中，已有∠CDP=∠EDF，分兩種情況討論：①△DPC∽△DEF，易得P與O重合，點P坐標為（0，0）；②△DCP∽△DEF先求tan∠DCP=tan∠ACO=，過點B作BQ⊥CB交CP于點Q，過點Q作QM⊥BO于點M，在Rt△CBQ中．，證明△OCB∽△MBQ，求出點Q坐標為（2，），用待定系數(shù)法求直線CQ的解析式為：y=+2，當y=0時，x=，即得點P坐標為（，0）．【詳解】解：（1）把點A（-1，0）點B（3，0）和點C（0，2）代入二次函數(shù)y=ax2+bx+c，得，，解得，，∴二次函數(shù)的解析式為：；（2）設BC的函數(shù)解析式為：y=mx+n，把點C（0，2）和B（3，0）代入，得，，解得，，∴BC的函數(shù)解析式為：，過點E作EF∥y軸交BC于點F，過點D作DG⊥EF于點G，∴∠GFD=∠BCO，∵∠BOC=∠DGF，∴△DFG～△BCO，∴，∵AC∥EP，DG∥AO，∴∠GDE=∠OAC，∵∠COA=∠EGD=90°，∴△EDG∽△CAO，∴，設GF=2k，則DG=3k，EG=6k，∴ED=，∴ED=EF，要線段DE的最大，只要求EF的最大值．設點E坐標為（e，），則點F坐標為（e，），∴EF===；當時，EF最大=，∴ED最大=EF=；（3）∵△CPD與△DEF中，已有∠CDP=∠EDF，分兩種情況討論：①△DPC∽△DEF，∴點C與點F對應，∠PCD=∠EFD，∴CP∥EF，即P與O重合，∴點P坐標為（0，0）；②△DCP∽△DEF，∴點E與點C重合，∴∠DEF=∠PCD，∵∠DEF=∠ACO，∴∠DCP=∠ACO，∴tan∠DCP=tan∠ACO=；過點B作BQ⊥CB交CP于點Q，過點Q作QM⊥BO于點M，在Rt△CBQ中，，∵∠CBO+∠MBQ=90°，∠CBO+∠OCB=90°，∴∠MBQ=∠OCB，∵∠COB=∠BMQ，∴△OCB∽△MBQ，∴，∴BM=OC=1，MQ=BO=，∴點Q坐標為（2，），設CQ的關系為：，解得：，∴直線CQ的解析式為：，當y=0時，，∴點P坐標為（，0），綜上，點P坐標為（0，0）或（，0）；【點睛】本題考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)待定系數(shù)法求關系式，三角形相似的判定與性質(zhì)的綜合運用，解題關鍵是熟練掌握所學的知識，熟練運用化斜為直的解題策略，15．（2023春·海南?？凇ぞ拍昙壓？谑械诰胖袑W?？茧A段練習）如圖，拋物線經(jīng)過點、，交x軸于另一點B，點在第二象限的拋物線上．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)過點P作軸于點D，交于點E，作交y軸于點F．①求出四邊形的周長l與m的函數(shù)表達式，并求l的最大值；②當四邊形是菱形時，請求出P點的橫坐標；③是否存在點P，使得以P、E、C為頂點的三角形與相似？若存在，請求出滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)①，②；③存在，或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）①利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，設點P的坐標為，則點E的坐標為，求出，再根據(jù)，利用平行線分線段成比例求出，證明四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出l關于m的函數(shù)表達式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可；②若四邊形是菱形，則，據(jù)此得出方程，解方程可得答案；③分兩種情況討論：當時，，可得，據(jù)此得出方程，解方程求出t的值即可；當時，，過點P作軸于點H，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，求出t的值即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點、，∴，解得，∴該拋物線的函數(shù)表達式為；（2）解：①設，代入、得：，解得：，∴，設點P的坐標為，則點E的坐標為，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴當時，l的最大值為；②要使四邊形是菱形，則有，∴，整理得，解得，（舍去），∴當四邊形是菱形時，P點的橫坐標為；③存在，分兩種情況討論：（Ⅰ）如圖1，當時，，此時軸．∴，即，解得，（舍去），∴點P的坐標為；（Ⅱ）如圖2，當時，，過點P作軸于點H，∴，，∴，∵，∴，∴，即，解得，（舍去），∴點P的坐標為，綜上所述，點P的坐標為或．

【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，平行線分線段成比例，勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程等知識，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應用是解題的關鍵．16．（2023秋·福建莆田·九年級?？奸_學考試）如圖1，平面直角坐標系中，拋物線過點和，連接，點為拋物線上一動點，過點Р作軸交直線于點M，交x軸于點N．

(1)直接寫出拋物線和直線的解析式；(2)如圖2，連接，當為等腰三角形時，求m的值；(3)當Р點在運動過程中，在y軸上是否存在點，使得以O，P，Q為頂點的三角形與以B，C，N為頂點的三角形相似(其中點Р與點C相對應)，若存在，直接寫出點P和點Q的坐標：若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)或或(3)存在，，或，或，或，【分析】（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）分，三種請況討論求解即可；（3）分點在點左側(cè)和右側(cè)，以及分，，進行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線過點和，設，把，代入得：，解得：，∴；設直線的解析式為：，則：，解得：，∴直線的解析式為：；（2）∵點為拋物線上一動點，過點Р作軸交直線于點M，∴，∵，∴，∵為等腰三角形，①當時：，解得：（負值已舍去）；②當時：，解得：（舍去）或；③當時：，解得：；綜上：或或；（3）存在；∵點Р與點C相對應∴或；①當點在點左側(cè)時，∵，，，∴，，，∴，，，當時，，

∴，∴，即：，解得：（負值已舍掉）；∴，∴，∴，即：，∴，∴；當時，，在點上方時，過點作軸，則：，

∴，，∴，即：，解得：（不合題意，舍去）；當在點下方時，如圖，

則：，∴，即：，解得：（負值已舍去），且滿足分式方程；∴，；②當點在點右側(cè)時：則：，，當，，

∴，∴，即：，解得：（負值已舍掉）；∴，∴，∴，即：，∴，∴；當時，，

過點作軸，則：，∴，∴，，∴，即：，解得：（負值已舍去），且滿足分式方程；∴，；綜上：，或，或，或，．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應用．正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想，進行求解，是解題的關鍵．考點5菱形的存在性問題的解決方法17．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸相交于點，與y軸相交于點C．(1)求拋物線L的函數(shù)表達式；(2)將拋物線L向右平移3個單位長度得到新的拋物線，點Q為坐標平面內(nèi)一點，試判斷在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得以點B、C、P、Q為頂點的四邊形是以為邊的菱形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)點P的坐標為或或【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）設，，根據(jù)題意分兩種情況討論：當為菱形的對角線時，，或；當為菱形的對角線時，，或，注意取舍．【詳解】（1）將代入中，得解得∴拋物線L的函數(shù)表達式為．（2）如圖，∵拋物線，∴拋物線的函數(shù)表達式為，∴拋物線的對稱軸為．設點P的坐標為，在中，令，可得，∴．∵，∴．①當時，，解得，∴或，設直線的函數(shù)表達式為，將代入，得，解得，∴直線的函數(shù)表達式為，∴在直線上，不合題意，需舍去，∴點P的坐標為;②當時，，解得，∴點P的坐標為或．綜上，在拋物線對稱軸上存在點P，使得以點B、C、P、Q為頂點的四邊形是以為邊的菱形，點P的坐標為或或【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，分類討論是解題的關鍵．18．（2023·陜西咸陽·?？级＃┤鐖D，已知拋物線（為常數(shù)，且）與軸交于兩點，且，與軸交于點，點為第二象限內(nèi)拋物線上的動點，軸交所在直線于點．

(1)求拋物線的函數(shù)表達式和點的坐標；(2)若點為軸上一點，請問是否存在點，使得以點為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，點的坐標為；(2)存在點，使得以點、、、為頂點的四邊形是菱形，點的坐標為或．【分析】（1）由可得，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，令，即可得點坐標；（2）分兩種情況：①當為菱形的對角線時，②當為菱形的一條邊時，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：，，，拋物線經(jīng)過、兩點，，解得，拋物線的函數(shù)表達式為，令，得，點的坐標為；（2）解：存在，、，，，設所在直線的函數(shù)表達式為，，解得，所在直線的函數(shù)表達式為，設，則，①當為菱形的對角線時，如圖1所示．

，四邊形是菱形，，菱形為正方形，，，解得或0（舍去）．，當為菱形的對角線時，點的坐標為；②當為菱形的一條邊時，如圖2所示．過點作軸于點，

，四邊形是菱形，，，，，，解得，當為菱形的一條邊時，點的坐標為．綜上可知，存在點，使得以點、、、為頂點的四邊形是菱形，點的坐標為或．【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，學會用分類討論的思想思考問題．19．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考三模）綜合與探究：如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，直線與拋物線的對稱軸交于點E．將直線沿射線方向向下平移n個單位，平移后的直線與直線交于點F，與拋物線的對稱軸交于點D．

(1)求出點A，B，C的坐標，并直接寫出直線的解析式；(2)當是以為斜邊的直角三角形時，求出n的值；(3)直線上是否存在一點P，使以點D，E，F(xiàn)，P為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)點A的坐標為，點B的坐標為，點C的坐標為；直線BC的解析式為；直線AC的解析式為(2)(3)存在，點坐標為或【分析】（1）分別求出、、的坐標，再用待定系數(shù)法求直線的解析式即可；（2）先求平移后的直線解析式為，則，再由勾股定理可得方程，求出或（舍；（3）先求，，當、為鄰邊時，與為菱形的對角線，軸，可得，，再將點代入直線的解析式中求出的值，即可求；當為菱形的對角線時，，此時，，再將點代入直線的解析式中求出的值，即可求．【詳解】（1）當時，，解得或，，，當時，，，設直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，設直線的解析式為，，解得，直線的解析式為；（2），拋物線的對稱軸為直線，，平移后的直線解析式為，，，，，是以為斜邊的直角三角形，，解得或（舍；（3）存在點，使以點，，，為頂點的四邊形是菱形，理由如下：當時，解得，，，當、為鄰邊時，與為菱形的對角線，，軸，，，，解得，；當為菱形的對角線時，，，，，解得，；綜上所述：點坐標為或．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，直線平移的性質(zhì)，勾股定理，菱形的性質(zhì)是解題的關鍵．20．（2023春·山西長治·九年級?？茧A段練習）綜合與探究：圖1．在平面直角坐標系中，直線分別交x軸、y軸于點B，C二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點B，C，且與x軸的另一個交點為A（A點在原點左側(cè)），若，P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個動點，過點P作軸于點D，交于點F，作于點F．

(1)求點A的坐標及二次函數(shù)的表達式．(2)當?shù)闹荛L最大時，求點P的坐標．(3)如圖2，過點P作的平行線．交線段于點M，在直線上是否存在點N，使得以點A，C，M，N為頂點的四邊形為菱形？若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，或【分析】(1)根據(jù)直線分別交x軸、y軸于點B，C，確定從而確定，結(jié)合確定，選擇方式求解析式即可．(2)設，結(jié)合直線得到，確定，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，用表示周長，借以構(gòu)造二次函數(shù)，用函數(shù)思想求最值即可．(3)根據(jù)菱形的定義，分點N在直線上部和下部兩種情形，運用待定系數(shù)法和平移思想求解即可．【詳解】（1）∵直線分別交x軸、y軸于點B，C，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得，故拋物線的解析式為．（2）∵拋物線的解析式為，直線，∴設，則，∴，∵直線分別交x軸、y軸于點B，C，∴，∴，∴，∵軸,,∴，∴，∴的周長為∵，∴的周長有最大值，且當時，取得最大值，最大值為，此時，故點．（3）存在，或．理由如下：∵過點P作的平行線．交線段于點M，直線，∴設，∵∴四邊形是菱形，，∵，∴，解得∵M在第一象限，∴，故；∵四邊形是菱形，∴，故把點M沿著方向平移，平移方式與點C向點A的平移方式相同即可，∵，故點C向左平移1個單位長度，向下平移3個單位長度，

故向左平移1個單位長度，向下平移3個單位長度即可得到符合題意的點N，此時點即；∵過點P作的平行線．交線段于點M，直線，∴設，∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，解得∵M在第一象限，∴，故；∵四邊形是菱形，∴，故把點M沿著方向平移，平移方式與點C向點A的平移方式相同即可，∵，故點A向右平移1個單位長度，向上平移3個單位長度，

故向右平移1個單位長度，向上平移3個單位長度即可得到符合題意的點N，此時點，即；故存在這樣的點N，且或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式，菱形的判定和性質(zhì)，平移思想，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，二次函數(shù)的最值，熟練掌握待定系數(shù)法求拋物線的解析式，菱形的判定和性質(zhì)，平移思想，特殊角的三角函數(shù)值，二次函數(shù)的最值是解題的關鍵．考點6矩形的存在性問題的解決方法21．（2021春·廣東汕頭·九年級汕頭市龍湖實驗中學?？奸_學考試）如圖，拋物線與軸交于點，與軸交于點，其中點B的坐標為，點的坐標為，直線經(jīng)過兩點．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，點在第一象限的拋物線上，連接，若點橫坐標為，的面積為，求與的函數(shù)關系式；(3)點在第一象限的拋物線上，點是坐標平面內(nèi)一動點，是否存在動點，使得以為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點的橫坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點的橫坐標為1或【分析】（1）將、代入列方程組求出的值，即可得到拋物線的解析式；（2）連接，作軸于點，交于點，由待定系數(shù)法求值直線的解析式，由點在第一象限的拋物線上，且點橫坐標為，得，，根據(jù)，進行計算即可得到答案；（3）設點的橫坐標為，則，分兩種情況：四邊形是矩形，且以為一邊，作軸于點，可證明，則，四邊形是矩形，且以為對角線，作軸于點，軸于點，可證明，得，則，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過點、，，解得：，拋物線的解析式為：；（2）解：如圖2，連接，作軸于點，交于點，

，設直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，在拋物線中，當時，則，解得：，，點在第一象限的拋物線上，且點橫坐標為，，，，，且，，與的函數(shù)關系式為；（3）解：存在，設點的橫坐標為，則，如圖3，四邊形是矩形，且以為一邊，作軸于點，

，則，，在拋物線中，當時，，，，，，，，，解得（不符合題意，舍去），如圖4，四邊形是矩形，且以為對角線，作軸于點，軸于點，

，則，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，整理得，解得，（不符合題意，舍去），（不符合題意，舍去），（不符合題意，舍去），綜上所述，點的橫坐標為1或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、一元二次方程的解法等知識與方法，此題綜合性較強，難度較大，屬于考試壓軸題．22．（2023·吉林白城·校聯(lián)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線（b、c為常數(shù)）經(jīng)過點和點，點P在此拋物線上，其橫坐標為m．

(1)求該拋物線的解析式；(2)當點P在x軸下方時，直接寫出m的取值范圍；(3)當點P在y軸右側(cè)時，將拋物線B、P兩點之間的部分（包括B、P兩點）記為圖象G，設圖象G上最高點與最低點的縱坐標的差為h．①求h與m之間的函數(shù)關系式；②點Q在此拋物線的對稱軸上，點D在坐標平面內(nèi)，當時，以B、P、Q、D為頂點的四邊形為矩形，且BP為矩形的一邊，直接寫出點Q的坐標．【答案】(1)(2)或(3)①；②點的坐標為或【分析】（1）將點，代入之中得到關于，的方程組，解方程組求出，即可得到拋物線的解析式；（2）先求出拋物線與軸的兩個交點，，再根據(jù)拋物線的開口向下可得出當點在軸下方的拋物線上時，的取值范圍；（3）①先求出拋物線的點為，對稱軸為，點，分三種情況進行討論：當，點為最低點，點為最高點，據(jù)此可求出與之間的函數(shù)關系式；當，此時最高點為拋物線的頂點，最低點為，據(jù)此可求出與之間的函數(shù)關系式；當，此時最高點為點，最低點為，據(jù)此可求出與之間的函數(shù)關系式；②由①可知當時，，據(jù)此可求出點，再求出直線的解析式為，分兩種情況進行討論：當點在軸上方、當點在軸的下方；設點，利用勾股定理列式計算可求出點的坐標．【詳解】（1）解：將點，代入，得：，解得：，∴拋物線的解析式為：；（2）解：對于，當時，，解得：，，∴拋物線與軸的兩個交點，，又∵拋物線的開口向下，∴當點在軸下方的拋物線上時，的取值范圍是：或；（3）解：①，∴拋物線的點為，對稱軸為直線，∵點在軸右側(cè)的拋物線上，且橫坐標為，∴點的坐標為，分兩種情況討論如下：當時，∴點為最低點，點為最高點，，其中，當，此時最高點為拋物線的頂點，最低點為，其中；當，此時最高點為點，最低點為，，其中，綜上所述：與之