專(zhuān)題02 數(shù)軸中的九類(lèi)動(dòng)態(tài)模型（解析版）

專(zhuān)題02數(shù)軸中的九類(lèi)動(dòng)態(tài)模型數(shù)軸中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題屬于七年級(jí)上冊(cè)必考?jí)狠S題型，主要以數(shù)軸為載體，體現(xiàn)分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合等思想，考查學(xué)生的分析與綜合能力。解題時(shí)，一般遵循“點(diǎn)、線、式”三步策略。即：先根據(jù)題意中動(dòng)點(diǎn)的出發(fā)位置，移動(dòng)方向和速度，用含t的式子表示動(dòng)點(diǎn)，然后根據(jù)題中要求提煉出線段，用動(dòng)點(diǎn)的含t表達(dá)式表示線段，最后根據(jù)線段間的等量關(guān)系，列出式子，然后求解（注意：要檢驗(yàn)解是否符合動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間范圍）?！局R(shí)儲(chǔ)備】①求A、B兩點(diǎn)間的距離：若能確定左右位置：右—左；若無(wú)法確定左右位置：；②求A、B的中點(diǎn)：；③數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題主要步驟：1）畫(huà)圖——在數(shù)軸上表示出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況：運(yùn)動(dòng)方向和速度；2）寫(xiě)點(diǎn)——寫(xiě)出所有點(diǎn)表示的數(shù)：一般用含有t的代數(shù)式表示，向右運(yùn)動(dòng)用“+”表示，向左運(yùn)動(dòng)用“-”表示；3）表示距離——右—左，若無(wú)法判定兩點(diǎn)的左右需加絕對(duì)值；4）列式求解——根據(jù)條件列方程或代數(shù)式，求值。注意：要注意動(dòng)點(diǎn)是否會(huì)來(lái)回往返運(yùn)動(dòng)。模型1.左右跳躍模型（動(dòng)態(tài)規(guī)律模型）【模型解讀】例1．（2022·北京朝陽(yáng)·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P從數(shù)軸上的原點(diǎn)O出發(fā)開(kāi)始移動(dòng)，第1次向右移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)P1，第2次向右移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)P2，第3次向左移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)P3，第4次向左移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)P4，第5次向右移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)P5…，點(diǎn)P按此規(guī)律移動(dòng)，則移動(dòng)第158次后到達(dá)的點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)為（）A．159 B．-156 C．158 D．1【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)軸，按題目敘述的移動(dòng)方法即可得到點(diǎn)前五次移動(dòng)后在數(shù)軸上表示的數(shù)；根據(jù)移動(dòng)的規(guī)律即可得移動(dòng)第158次后到達(dá)的點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)．【詳解】解：設(shè)向右為正，向左為負(fù)，則表示的數(shù)為+1，表示的數(shù)為+3表示的數(shù)為0，表示的數(shù)為-4，表示的數(shù)為+1……由以上規(guī)律可得，每移動(dòng)四次相當(dāng)于向左移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度．所以當(dāng)移動(dòng)156次時(shí)，156=39×4相當(dāng)于向左移動(dòng)了39次四個(gè)單位長(zhǎng)度．此時(shí)表示的數(shù)為．則第157次向右移動(dòng)157個(gè)單位長(zhǎng)度，；第158次還是向右，移動(dòng)了158個(gè)單位長(zhǎng)度，所以．故在數(shù)軸上表示的數(shù)為159．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，正確理解題意，找出點(diǎn)在數(shù)軸上的運(yùn)動(dòng)次數(shù)與對(duì)應(yīng)點(diǎn)所表示的數(shù)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·浙江嘉興·七年級(jí)期末）一個(gè)機(jī)器人從數(shù)軸原點(diǎn)出發(fā)，沿?cái)?shù)軸正方向，以每前進(jìn)3步后退2步的程序運(yùn)動(dòng)，設(shè)該機(jī)器人每秒鐘前進(jìn)或后退1步，并且每步的距離為1個(gè)單位長(zhǎng)度，表示第n秒時(shí)機(jī)器人在數(shù)軸上的位置所對(duì)應(yīng)的數(shù)．給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中，正確結(jié)論的序號(hào)是_______．【答案】①②④【分析】“前進(jìn)3步后退2步”這5秒組成一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)，先根據(jù)題意列出幾組數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)找尋規(guī)律：第一個(gè)循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x5=1，第二個(gè)循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x10=2，第三個(gè)循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x15=3，…，第m個(gè)循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)就是第5m個(gè)數(shù)，即x5m=m．然后再根據(jù)“前進(jìn)3步后退2步”的運(yùn)動(dòng)規(guī)律來(lái)求取對(duì)應(yīng)的數(shù)值．【詳解】根據(jù)題意可知：x1=1，x2=2，x3=3，x4=2，x5=1，x6=2，x7=3，x8=4，x9=3，x10=2，x11=3，x12=4，x13=5，x14=4，x15=3，…由上列舉知①②正確，符合題意；由上可知：第一個(gè)循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x5=1，第二個(gè)循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x10=2，第三個(gè)循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x15=3，…，即第m個(gè)循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x5m=m．∵x100=20，∴x101=21，x102=22，x103=23，x104=22，∵x105=21，∴x106=22，x107=23，x108=24故x108＞x104，故③錯(cuò)誤，不合題意；∵x2015=403，∴x2016=404，x2017=405，x2018=406，x2019=405，x2020=404，故x2019＞x2020，故④正確．符合題意．故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型——數(shù)字的變化類(lèi)，主要考查了數(shù)軸，要注意數(shù)軸上點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律是“左減右加”．把數(shù)和點(diǎn)對(duì)應(yīng)起來(lái)，也就是把“數(shù)”和“形”結(jié)合起來(lái)．前進(jìn)3步后退2步”這5秒組成一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)，讓n÷5看余數(shù)，余數(shù)是幾，那么第n秒時(shí)就是循環(huán)節(jié)中對(duì)應(yīng)的第幾個(gè)數(shù)．變式1．（2022·福建龍巖·七年級(jí)期末）如圖，A點(diǎn)的初始位置在數(shù)軸上表示1的點(diǎn)上，先對(duì)A做如下移動(dòng)：第一次向右移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)B，第二次從B點(diǎn)出發(fā)向左移動(dòng)6個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)C，第三次從C點(diǎn)出發(fā)向右移動(dòng)9個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)D，第四次從D點(diǎn)出發(fā)向左移動(dòng)12個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)E，……．以此類(lèi)推，按照以上規(guī)律第（

）次移動(dòng)到的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為20.A．7 B．10 C．14 D．19【答案】C【分析】次數(shù)的序號(hào)為奇數(shù)的點(diǎn)在點(diǎn)A的右邊，各點(diǎn)所表示的數(shù)依次增加3，序號(hào)為偶數(shù)的點(diǎn)在點(diǎn)A的左側(cè)，各點(diǎn)所表示的數(shù)依次減少3，用n的代數(shù)式表示出一般規(guī)律，即可解答．【詳解】解：第1次點(diǎn)A向右移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)B，則B表示的數(shù)，1+3=4；第2次從點(diǎn)B向左移動(dòng)6個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)C，則C表示的數(shù)為46=2；第3次從點(diǎn)C向右移動(dòng)9個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)D，則D表示的數(shù)為2+9=7；第4次從點(diǎn)D向左移動(dòng)12個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)E，則E表示的數(shù)為712=5；第5次移動(dòng)后表示的數(shù)為5+15=10；第6次移動(dòng)后表示的數(shù)為1018=8；…；當(dāng)移動(dòng)次數(shù)為奇數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的數(shù)是4，7，10，…，第n次移動(dòng)后表示的數(shù)是，當(dāng)時(shí)，解得，n=（不符合題意，舍去）．當(dāng)移動(dòng)次數(shù)為偶數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的數(shù)是2，5，8，…，第n次移動(dòng)后表示的數(shù)是，當(dāng)時(shí)，解得，n=14．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)所給點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，探索出對(duì)應(yīng)點(diǎn)所表示數(shù)的一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022秋·河北石家莊·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，甲、乙兩人（看成點(diǎn)）分別在數(shù)軸和5的位置上，沿?cái)?shù)軸做移動(dòng)游戲．每次的移動(dòng)游戲規(guī)則如下：裁判先捂住一枚硬幣，再讓兩人猜向上一面是正另一面是反，而后根據(jù)所猜結(jié)果進(jìn)行移動(dòng)．①若都對(duì)或都錯(cuò)，則甲向東移動(dòng)1個(gè)單位，同時(shí)乙向西移動(dòng)1個(gè)單位；②若甲對(duì)乙錯(cuò)，則甲向東移動(dòng)4個(gè)單位，同時(shí)乙向東移動(dòng)2個(gè)單位；③若甲錯(cuò)乙對(duì)，則甲向西移動(dòng)2個(gè)單位，同時(shí)乙向西移動(dòng)4個(gè)單位．(1)若第一次移動(dòng)游戲，甲、乙兩人都猜對(duì)了，則甲、乙兩人之間的距離是_______________個(gè)單位；(2)若完成了10次移動(dòng)游戲，發(fā)現(xiàn)甲、乙每次所猜結(jié)果均為一對(duì)一錯(cuò)．設(shè)乙猜對(duì)n次，且他最終停留的位置對(duì)應(yīng)的數(shù)為m．請(qǐng)你用含n的代數(shù)式表示m；(3)經(jīng)過(guò)_______________次移動(dòng)游戲，甲、乙兩人相遇．【答案】(1)6(2)(3)4【分析】（1）利用規(guī)則可知甲乙都對(duì)兩人移動(dòng)后兩人的距離縮短2個(gè)單位，甲對(duì)乙錯(cuò)兩人移動(dòng)后兩人的距離縮短2個(gè)單位，由此可得結(jié)論；（2）根據(jù)乙猜對(duì)n次，則甲猜對(duì)次，利用平移規(guī)則即可推算出結(jié)果；（3）由題意可得開(kāi)始時(shí)兩人相距8個(gè)單位，根據(jù)情況推算3種情況縮小的距離即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：∵甲、乙兩人（看成點(diǎn)）分別在數(shù)軸和5的位置上，∴甲乙之間的距離為8，∵若甲乙都對(duì)，則甲向東移動(dòng)1個(gè)單位，同時(shí)乙向西移動(dòng)1個(gè)單位，∴移動(dòng)后甲乙的距離縮小2個(gè)單位，∴移動(dòng)后甲乙的距離為：個(gè)單位)；（2）解：由題意可得，乙猜對(duì)n次，則乙猜錯(cuò)次，則有：；（3）解：由題意可得，∵若甲乙都對(duì)，則甲向東移動(dòng)1個(gè)單位，同時(shí)乙向西移動(dòng)1個(gè)單位，∴移動(dòng)后甲乙的距離縮小2個(gè)單位，∵若甲對(duì)乙錯(cuò)，則甲向東移動(dòng)4個(gè)單位，同時(shí)乙向東移動(dòng)2個(gè)單位，∴移動(dòng)后甲乙的距離縮小2個(gè)單位，∵若甲錯(cuò)乙對(duì)，則甲向西移動(dòng)2個(gè)單位，同時(shí)乙向西移動(dòng)4個(gè)單位，∴移動(dòng)后甲乙的距離縮小2個(gè)單位，∵甲乙之間的距離為8，∴甲、乙兩人相遇要經(jīng)過(guò)：（次）．【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式，數(shù)軸，本題是動(dòng)點(diǎn)型題目，找出移動(dòng)后甲乙距離變化的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．模型2.點(diǎn)的常規(guī)運(yùn)動(dòng)模型【模型解讀】例1．（2023·江蘇、·七年級(jí)期中）已知數(shù)軸上有A、B、C三點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)有理數(shù)－26、－10、10，動(dòng)點(diǎn)P從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度向終點(diǎn)C移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的移動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t＝5秒時(shí)，數(shù)軸上點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的數(shù)為；P、Q兩點(diǎn)間的距離為．（2）用含t的代數(shù)式表示數(shù)軸上點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為．（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中（點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)），請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示P、Q兩點(diǎn)間的距離．【答案】（1）-5，－11；6．（2）－10＋t．（3）當(dāng)0≤t≤8時(shí)，PQ＝－2t＋16；當(dāng)8＜t≤12時(shí)，PQ＝2t－16；當(dāng)12＜t≤20時(shí)，PQ＝20－t．【分析】（1）由題意根據(jù)數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)向正方向移動(dòng)用加法以及兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行分析計(jì)算；（2）根據(jù)題意點(diǎn)P的移動(dòng)時(shí)間為t秒列出代數(shù)式即可；（3）根據(jù)題意分當(dāng)0≤t≤8時(shí)，當(dāng)8＜t≤12時(shí)，當(dāng)12＜t≤20時(shí)三種情況進(jìn)行分析即可.【詳解】解：（1）由題意可得當(dāng)t＝5秒時(shí)，數(shù)軸上點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為：，點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的數(shù)為：，P、Q兩點(diǎn)間的距離為：，故答案為：－5,－11；

6．（2）用含t的代數(shù)式表示數(shù)軸上點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為：－10＋t．故答案為：－10＋t．（3）當(dāng)0≤t≤8時(shí)，PQ＝(－10＋t)－(－26＋3t)＝－2t＋16；當(dāng)8＜t≤12時(shí)，PQ＝(－26＋3t)－(－10＋t)＝2t－16；

當(dāng)12＜t≤20時(shí)，PQ＝10－(－10＋t)＝20－t．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握列代數(shù)式表示動(dòng)點(diǎn)以及兩點(diǎn)間距離公式，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思維和分類(lèi)討論思維進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵.變式1.（2022·河北石家莊·七年級(jí)期末）如圖，已知A，B（B在A的左側(cè)）是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為8，且AB＝12，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，M，N始終為AP，BP的中點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒，則下列結(jié)論中正確的有（

）①B對(duì)應(yīng)的數(shù)是－4；②點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，t＝6；③BP＝2時(shí)，t＝5；④在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段MN的長(zhǎng)度不變A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】①根據(jù)兩點(diǎn)間距離進(jìn)行計(jì)算即可；②利用路程除以速度即可；③分兩種情況，點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)，點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)，由題意求出AP的長(zhǎng)，再利用路程除以速度即可；④分兩種情況，點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)，點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)，利用線段的中點(diǎn)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是x，∵點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為8，且AB=12，∴8-x=12，∴x=-4，∴點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是-4，故①正確；由題意得：12÷2=6（秒），∴點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，t=6，故②正確；分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，∵AB=12，BP=2，∴AP=AB-BP=12-2=10，∴10÷2=5（秒），∴BP=2時(shí)，t=5，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，∵AB=12，BP=2，∴AP=AB+BP=12+2=14，∴14÷2=7（秒），∴BP=2時(shí)，t=7，綜上所述，BP=2時(shí)，t=5或7，故③錯(cuò)誤；分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，∵M(jìn)，N分別為AP，BP的中點(diǎn)，∴MP=AP，NP=BP，∴MN=MP+NP=AP+BP=AB=×12=6，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，∵M(jìn)，N分別為AP，BP的中點(diǎn)，∴MP=AP，NP=BP，∴MN=MP-NP=AP-BP=AB=×12=6，∴在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段MN的長(zhǎng)度不變，故④正確；所以，上列結(jié)論中正確的有3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·江蘇南京·七年級(jí)期中）已知數(shù)軸上有A、B、C三點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)有理數(shù)－26、－10、10，動(dòng)點(diǎn)P從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度向終點(diǎn)C移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的移動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t＝5秒時(shí)，數(shù)軸上點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的數(shù)為；P、Q兩點(diǎn)間的距離為．（2）用含t的代數(shù)式表示數(shù)軸上點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為．（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中（點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)），請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示P、Q兩點(diǎn)間的距離．【答案】（1）-5，－11；6．（2）－10＋t．（3）當(dāng)0≤t≤8時(shí)，PQ＝－2t＋16；當(dāng)8＜t≤12時(shí)，PQ＝2t－16；當(dāng)12＜t≤20時(shí)，PQ＝20－t．【分析】（1）由題意根據(jù)數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)向正方向移動(dòng)用加法以及兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行分析計(jì)算；（2）根據(jù)題意點(diǎn)P的移動(dòng)時(shí)間為t秒列出代數(shù)式即可；（3）根據(jù)題意分當(dāng)0≤t≤8時(shí)，當(dāng)8＜t≤12時(shí)，當(dāng)12＜t≤20時(shí)三種情況進(jìn)行分析即可.【詳解】解：（1）由題意可得當(dāng)t＝5秒時(shí)，數(shù)軸上點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為：，點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的數(shù)為：，P、Q兩點(diǎn)間的距離為：，故答案為：－5,－11；

6．（2）用含t的代數(shù)式表示數(shù)軸上點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為：－10＋t．故答案為：－10＋t．（3）當(dāng)0≤t≤8時(shí)，PQ＝(－10＋t)－(－26＋3t)＝－2t＋16；當(dāng)8＜t≤12時(shí)，PQ＝(－26＋3t)－(－10＋t)＝2t－16；

當(dāng)12＜t≤20時(shí)，PQ＝10－(－10＋t)＝20－t．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握列代數(shù)式表示動(dòng)點(diǎn)以及兩點(diǎn)間距離公式，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思維和分類(lèi)討論思維進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵.變式2．（2022·河北·邯鄲七年級(jí)階段練習(xí)）在數(shù)軸上標(biāo)出數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)；兩點(diǎn)間距離=____；兩點(diǎn)間距離=；數(shù)軸上有兩點(diǎn)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，那么兩點(diǎn)之間的距離=；若動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿?cái)?shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)；已知點(diǎn)的速度是每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)的速度是每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，問(wèn)：①為何值時(shí)兩點(diǎn)重合？②為何值時(shí)兩點(diǎn)之間的距離為？【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）（4）①；②2或4【分析】直接根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系即可得出答案；用數(shù)軸上右邊的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有理數(shù)減去左邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有理數(shù)即可求出距離；根據(jù)距離等于兩點(diǎn)表示的數(shù)之差的絕對(duì)值即可得出答案；①分別用含t的代數(shù)式表示出P，Q表示的有理數(shù)，通過(guò)題意建立方程，解方程即可；②根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離為1，建立方程，解方程即可．【詳解】如圖，之間的距離為，B，C兩點(diǎn)間距離為；兩點(diǎn)之間的距離為；①設(shè)點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，令解得，②間的為，令解得．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)，掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離的求法是解題的關(guān)鍵．模型3.中點(diǎn)與n等分點(diǎn)模型【模型解讀】例1．（2022·河北唐山·七年級(jí)期末）如圖，已知在數(shù)軸上有、兩點(diǎn)，點(diǎn)表示的數(shù)是，點(diǎn)表示的數(shù)是．點(diǎn)在數(shù)軸上從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)在數(shù)軸上從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度在沿?cái)?shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）_______；時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)是_______；當(dāng)_______時(shí)，、兩點(diǎn)相遇；（2）如圖，若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段中點(diǎn)，點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出線段的長(zhǎng)；（3）如圖，若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．點(diǎn)為線段中點(diǎn)，則直接寫(xiě)出用含的代數(shù)式表示的線段的長(zhǎng)．【答案】（1）15；；3；（2）不變化，=7.5；（3）．【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間距離的定義，線段的和差定義計(jì)算即可；（2）根據(jù)線段的中點(diǎn)定義，可得MN=MP+NP=（AP+BP）=AB；（3）由題意根據(jù)線段的中點(diǎn)定義，線段和差定義計(jì)算即可.【詳解】解：（1）AB=9-（-6）=15，t=1時(shí)，BQ=3，OQ=6，設(shè)t秒后相遇，由題意（2+3）t=15，t=3，故答案為：15，6，3.（2）答：MN長(zhǎng)度不變，理由如下：∵M(jìn)為AP中點(diǎn)，N為BP中點(diǎn)∴MP=AP，NP=BP，∴MN=MP+NP=（AP+BP）=AB=7.5．（3）根據(jù)題意分別得到點(diǎn)M表示的數(shù)為t-6；點(diǎn)T表示的數(shù)為9-1.5t；根據(jù)兩點(diǎn)間距離的定義可得MT=9-1.5t-（t-6）=15-2.5t.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，線段中點(diǎn)定義，線段的和差定義等知識(shí)，解題關(guān)鍵是掌握相關(guān)基本知識(shí)．例2．（2022·四川綿陽(yáng)·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為和4，P為數(shù)軸上一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)數(shù)為x．(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出P所表示的數(shù)，使P到A點(diǎn)、B點(diǎn)距離的和為10．(2)若點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)P（點(diǎn)P在原點(diǎn)）同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)，他們的速度分別為每秒1、2、1個(gè)（單位長(zhǎng)度/秒）．①幾秒中后點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)？并求出此時(shí)x的值；②是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P為線段的三等分點(diǎn)，若存在請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)或(2)①2秒中后點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)；②或【分析】(1)分計(jì)算即可．（2）①根據(jù)題意,點(diǎn)B表示的數(shù)為，點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)P表示的數(shù)為，根據(jù)點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，得到，化簡(jiǎn)計(jì)算即可．②分兩種情況計(jì)算求解即可．【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)軸上A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為和4，P為數(shù)軸上一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)數(shù)為x，P到A點(diǎn)、B點(diǎn)距離的和為10，當(dāng)時(shí)，則，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，則，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，則，不符號(hào)題意，故或．（2）①根據(jù)題意,點(diǎn)B表示的數(shù)為，點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)P表示的數(shù)為，因?yàn)辄c(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，所以，解得．②因?yàn)閿?shù)軸上A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為和4，所以，當(dāng)時(shí)，則，解得．當(dāng)時(shí)，則，解得．當(dāng)或時(shí)，點(diǎn)P為線段的三等分點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，兩點(diǎn)間的距離，線段的中點(diǎn)即線段上一點(diǎn)把線段分成相等的兩條相等，線段的三等分點(diǎn)，熟練掌握兩點(diǎn)間的距離公式是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022秋·成都市·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上有A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右邊），點(diǎn)C是數(shù)軸上不與A，B兩點(diǎn)重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是線段AC，BC的中點(diǎn)，如果點(diǎn)A表示數(shù)a，點(diǎn)B表示數(shù)b，求線段MN的長(zhǎng)度．下列關(guān)于甲、乙、丙的說(shuō)法判斷正確的是（

）甲說(shuō)：若點(diǎn)C在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度為；乙說(shuō)：若點(diǎn)C在射線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度為；丙說(shuō)：若點(diǎn)C在射線BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度為．A．只有甲正確 B．只有乙正確 C．只有丙正確 D．三人均不正確【答案】A【分析】分別求得點(diǎn)C在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C在射線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)和點(diǎn)C在射線BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的長(zhǎng)度，判定即可．【詳解】解：點(diǎn)C在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如下圖：甲說(shuō)法正確；當(dāng)點(diǎn)C在射線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如下圖：乙說(shuō)法不正確；當(dāng)點(diǎn)C在射線BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如下圖：丙說(shuō)法不正確故選A【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)以及兩點(diǎn)之間的距離，解題的關(guān)鍵是對(duì)點(diǎn)C的位置進(jìn)行分類(lèi)討論分別求解．變式2．（2022秋·安徽滁州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在數(shù)軸上，若點(diǎn)、點(diǎn)表示的數(shù)分別是、，則、兩點(diǎn)間的距離可以表示為，例如，在數(shù)軸上，表示數(shù)和數(shù)的兩點(diǎn)間的距離是，表示數(shù)和數(shù)的兩點(diǎn)間的距離是，利用上述結(jié)論，解決問(wèn)題：(1)若，則=_____；(2)若有一個(gè)半徑為的圓上有一點(diǎn)，與數(shù)軸上表示的點(diǎn)重合，將圓沿?cái)?shù)軸無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)周，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，則點(diǎn)表示的數(shù)為_(kāi)_____用含有的代數(shù)式表示；(3)，為數(shù)軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，且，點(diǎn)C表示的數(shù)為，若點(diǎn)、、、三點(diǎn)中的某一點(diǎn)到另外兩點(diǎn)的距離相等，求、的值．【答案】(1)10或-4；(2)或；(3)，或，或，．【分析】（1）根據(jù)距離公式進(jìn)行求解即可；（2）分向左和向右兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)左減右加進(jìn)行求解即可；（3）分、、分別為線段的中點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)討論進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴在數(shù)軸上，表示數(shù)的點(diǎn)與數(shù)的點(diǎn)之間的距離為，或，解得或．故答案為：或；（2）解：∵圓的半徑為，此圓的周長(zhǎng)，當(dāng)圓向左滾動(dòng)時(shí)點(diǎn)表示的數(shù)是；當(dāng)圓向右滾動(dòng)時(shí)點(diǎn)表示的數(shù)是．故答案為：或；（3）解：∵，∴在數(shù)軸上，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為，且點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)．①當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，．點(diǎn)表示的數(shù)為，，．②當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，．點(diǎn)表示的數(shù)為，，．③當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，．點(diǎn)表示的數(shù)為，，．綜上所述，，或，或，．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題．熟練掌握兩點(diǎn)間的距離公式是解題的關(guān)鍵．模型4.動(dòng)態(tài)定值（無(wú)參型）模型【模型解讀】設(shè)未知數(shù)并表示各動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)，若是行程問(wèn)題一般設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，從而表示出兩點(diǎn)之間的距離。當(dāng)計(jì)算結(jié)果中不含有未知數(shù)，則為定值。例1．（2022秋·福建福州·七年級(jí)?？计谀c(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為，且滿足．(1)如圖，求線段的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)C在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，且x是方程的根，在數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P使，若存在，求出點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)，若不存在，說(shuō)明理由；(3)如圖，點(diǎn)P在B點(diǎn)右側(cè)，的中點(diǎn)為為靠近于B點(diǎn)的四等分點(diǎn)，當(dāng)P在B的右側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，有兩個(gè)結(jié)論：①的值不變；②的值不變，其中只有一個(gè)結(jié)論正確，請(qǐng)判斷正確的結(jié)論，并求出其值．【答案】(1)4(2)或(3)正確的結(jié)論為①的值不變，其值為2【分析】（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a與b的值，即可確定出的長(zhǎng)；（2）求出已知方程的解確定出x，得到C表示的點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)是m，由確定出P位置，即可做出判斷；（3）設(shè)P點(diǎn)所表示的數(shù)為n，就有，，根據(jù)條件就可以表示出，，再分別代入①和②求出其值即可．【詳解】（1）解：∵，∴，，∴，∴．答：的長(zhǎng)為4；（2）∵，∴，∴BC==5．設(shè)點(diǎn)P在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)是m，∵，∴，令，，∴或．①當(dāng)時(shí)，，；②當(dāng)時(shí)，，（舍去）；③當(dāng)時(shí)，，．∴當(dāng)點(diǎn)P表示的數(shù)為或時(shí)，；（3）解：設(shè)P點(diǎn)所表示的數(shù)為n，∴，．∵PA的中點(diǎn)為M，∴．∵N為的四等分點(diǎn)且靠近于B點(diǎn)，∴B，∴①=2（不變），②（隨點(diǎn)P的變化而變化），∴正確的結(jié)論為①，且．【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)軸的運(yùn)用，數(shù)軸上任意兩點(diǎn)間的距離公式的運(yùn)用，去絕對(duì)值的運(yùn)用，一元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式．例2．（2022秋·廣西·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A、B、C表示的數(shù)分別為－2、1、6（點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為AB）．（1）AB=，BC=，AC=．（2）若點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度和5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)．請(qǐng)問(wèn)：2BC－AC的值是否隨著運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的變化而改變？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求其值．（3）若點(diǎn)C以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度和每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)．求隨著運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的變化，AB、BC、AC之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）3，5，8；（2）不會(huì)，理由見(jiàn)解析；（3）當(dāng)t<1時(shí)，AB+BC=AC；當(dāng)t大于或等于1，且t小于或等于2時(shí)，BC+AC=AB；當(dāng)t>2時(shí)，AB+AC=BC【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A、B、C在數(shù)軸上的位置，寫(xiě)出AB、BC、AC的長(zhǎng)度；（2）求出BC和AC的值，然后求出2BC?AC的值，判斷即可；（3）分別表示出AB、BC、AC的長(zhǎng)度，然后分情況討論得出之間的關(guān)系．【詳解】解：（1）由圖可得，AB＝3，BC＝5，AC＝8，故答案為：3，5，8；（2）2BC?AC的值不會(huì)隨著時(shí)間t的變化而改變．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則2BC?AC＝2[6＋5t?（1＋2t）]?[6＋5t?（?2?t）]＝12＋10t?2?4t?8?6t＝2，故2BC?AC的值不會(huì)隨著時(shí)間t的變化而改變；（3）由題意得，AB＝t＋3，BC＝5?5t（t＜1時(shí)）或BC＝5t?5（t≥1時(shí)），AC＝8?4t（t≤2時(shí)）或AC＝4t?8（t＞2時(shí)），當(dāng)t＜1時(shí)，AB＋BC＝（t＋3）＋（5?5t）＝8?4t＝AC；當(dāng)1≤t≤2時(shí)，BC＋AC＝（5t?5）＋（8?4t）＝t＋3＝AB；當(dāng)t＞2時(shí)，AB＋AC＝（t＋3）＋（4t?8）＝5t?5＝BC．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸及兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是能求出兩點(diǎn)間的距離．變式1．（2022秋·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)軸上，點(diǎn)A、B分別表示數(shù)a、b，且（a+2）2+|b﹣4|＝0，記AB＝|a﹣b|．（1）求AB的值；（2）如圖，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q的速度是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)BQ＝2BP時(shí)，P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是多少？（3）在（2）的條件下，點(diǎn)M從原點(diǎn)與P、Q點(diǎn)同時(shí)出發(fā)沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，速度是每秒x個(gè)單位長(zhǎng)度（1＜x＜2），若在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，2MP—MQ的值與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t無(wú)關(guān)，求x的值．【答案】（1）6；（2）1；（3）【分析】（1）由（a+2）2+|b﹣4|＝0，得a＝—2，b＝4，即可求解；（2）設(shè)P運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，BQ＝2BP，①當(dāng)0≤t＜6時(shí)，BP＝6?t，BQ＝2t，得2t＝2（6?t），②當(dāng)t≥6時(shí)，BQ＝2BP不成立；（3）點(diǎn)P、M、Q向運(yùn)動(dòng)t秒后，分別表示的數(shù)是：?2＋t，xt，4＋2t，得MP＝xt?（?2＋t），MQ＝4＋2t?xt，表示出2MP?MQ＝2[xt?（?2＋t）]?（2＋2t?xt）＝（3x?4）t，由當(dāng)2MP?MQ的值與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t無(wú)關(guān)時(shí)，得3x?4＝0，解方程即可．【詳解】解：（1）∵（a+2）2+|b﹣4|＝0，∴a＝﹣2，b＝4，∴AB＝|﹣2﹣4|＝6；（2）設(shè)P運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，BQ＝2BP，①當(dāng)0≤t＜6時(shí)，BP＝6﹣t，BQ＝2t，2t＝2（6﹣t），解得t＝3，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)是﹣2+1×3＝1；②當(dāng)t≥6時(shí)，BQ＝2BP不成立，綜上，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)是1；（3）點(diǎn)P、M、Q向運(yùn)動(dòng)t秒后，分別表示的數(shù)是：﹣2+t，xt，4+2t，∴MP＝xt﹣（﹣2+t），MQ＝4+2t﹣xt，∴2MP﹣MQ＝2[xt﹣（﹣2+t）]﹣（2+2t﹣xt）＝（3x﹣4）t，∵當(dāng)2MP﹣MQ的值與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t無(wú)關(guān)時(shí)，∴3x﹣4＝0，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸表示數(shù)的方法和意義，掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離與這兩點(diǎn)所表示的數(shù)之間的關(guān)系式解決問(wèn)題的關(guān)鍵．變式1．（2022·江西·七年級(jí)期末）已知數(shù)軸上點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊，到原點(diǎn)的距離為4，點(diǎn)在原點(diǎn)右邊，從點(diǎn)走到點(diǎn)，要經(jīng)過(guò)16個(gè)單位長(zhǎng)度．（1）寫(xiě)出、兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)；（2）若點(diǎn)也是數(shù)軸上的點(diǎn)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到原點(diǎn)距離的3倍，求對(duì)應(yīng)的數(shù)；（3）已知點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始向右出發(fā)，速度每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，同時(shí)從點(diǎn)開(kāi)始向右出發(fā)，速度每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)線段的中點(diǎn)為，線段的值是否會(huì)發(fā)生變化？若會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由，若不會(huì)，請(qǐng)求出求其值．【答案】（1）-4，12；（2）-6或3；（3）不變化，6【分析】（1）直接根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上各點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系求出A，B表示的數(shù)即可；（2）設(shè)點(diǎn)C表示的數(shù)為c，再根據(jù)點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離是點(diǎn)C到原點(diǎn)的距離的3倍列出關(guān)于c的方程，求出c的值即可；（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AM=t，NO=12+2t，再根據(jù)點(diǎn)P是NO的中點(diǎn)用t表示出PO的長(zhǎng)，再求出PO-AM的值即可．【詳解】（1）∵數(shù)軸上點(diǎn)A在原點(diǎn)左邊，到原點(diǎn)的距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)B在原點(diǎn)的右邊，從點(diǎn)A走到點(diǎn)B，要經(jīng)過(guò)16個(gè)單位長(zhǎng)度，∴點(diǎn)A表示-4，點(diǎn)B表示12；（2）設(shè)點(diǎn)C表示的數(shù)為c，∵點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離是點(diǎn)C到原點(diǎn)的距離的3倍，∴|c-12|=3|c|，∴c-12=3c或c-12=-3c，解得c=-6或c=3；（3）不變化．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AM=t，NO=12+2t，∵點(diǎn)P是NO的中點(diǎn)，∴PO=6+t，∴PO-AM=6+t-t=6，∴PO-AM的值沒(méi)有變化．【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)軸，熟知數(shù)軸上各點(diǎn)與全體實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．變式2.（2022·福建·廈門(mén)市七年級(jí)期中）已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B所表示的數(shù)分別為a和b，且滿足|a＋3|＋(b－9)2＝0，O為原點(diǎn)；(1)a＝，b＝.(2)若點(diǎn)C從O點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)3秒后點(diǎn)C到A點(diǎn)的距離等于點(diǎn)C到B點(diǎn)距離，求點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)速度？（結(jié)合數(shù)軸，進(jìn)行分析.）(3)若點(diǎn)D以2個(gè)單位每秒的速度從點(diǎn)O向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以3個(gè)單位每秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以6個(gè)單位每秒的速度向右運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，M、N分別為PD、OQ的中點(diǎn)，問(wèn)的值是否發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.（注：PD指的是點(diǎn)P與D之間的線段，而算式PQ－OD指線段PQ與OD長(zhǎng)度的差.類(lèi)似的，其它的兩個(gè)大寫(xiě)字母寫(xiě)在一起時(shí)意義一樣.【答案】（1）-3、9；（2）點(diǎn)C的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度；（3）的值沒(méi)有發(fā)生變化，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則每一個(gè)數(shù)都是0，建立關(guān)于a、b的方程即可求出a、b的值；（2）根據(jù)點(diǎn)C從O點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)3秒后點(diǎn)C到A點(diǎn)的距離等于點(diǎn)C到B點(diǎn)距離，可表示，，再由CA=CB建立關(guān)于x的方程求解即可；（3）根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度和方向，分別用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)D、P、Q、M、N對(duì)應(yīng)的數(shù)，再分別求出PQ、OD、MN的長(zhǎng)，然后求出的值為常量，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）∵|a＋3|＋(b－9)2＝0，∴a+3=0，b-9=0，解得a=-3，b=9；（2）設(shè)3秒后點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，則，，∵CA=CB，∴，當(dāng)，無(wú)解；當(dāng)，解得x=3，此時(shí)點(diǎn)C的速度為3÷3=1個(gè)單位每秒，∴點(diǎn)C的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度；（3）的值沒(méi)有發(fā)生變化，理由如下：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的數(shù)為2t；點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為-3-3t；點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的數(shù)為9+6t；點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)為-1.5-0.5t；點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的數(shù)為4.5+3t；則PQ=9t+12，OD=2t，MN=3.5t+6，∴，為定值，即的值沒(méi)有發(fā)生變化.【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式和一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸表示的數(shù)正確列出代數(shù)式.模型5.折線數(shù)軸（雙動(dòng)點(diǎn)）模型【模型解讀】例1．（2022秋·浙江寧波·七年級(jí)?？计谥校?shù)軸上點(diǎn)A表示，點(diǎn)B表示6，點(diǎn)C表示12，點(diǎn)D表示18．如圖，將數(shù)軸在原點(diǎn)O和點(diǎn)B、C處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”．在“折線數(shù)軸”上，把兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的兩數(shù)之差的絕對(duì)值叫這兩點(diǎn)間的和諧距離．例如，點(diǎn)A和點(diǎn)D在折線數(shù)軸上的和諧距離為個(gè)單位長(zhǎng)度．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以4個(gè)單位/秒的速度沿著折線數(shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)，從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C期間速度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，過(guò)點(diǎn)C后繼續(xù)以原來(lái)的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)的同時(shí)，點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，一直以3個(gè)單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”負(fù)方向向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)秒時(shí)，M、N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為_(kāi)_________；(2)當(dāng)點(diǎn)M、N都運(yùn)動(dòng)到折線段上時(shí)，O、M兩點(diǎn)間的和諧距離__________（用含有t的代數(shù)式表示）；C、N兩點(diǎn)間的和諧距離__________（用含有t的代數(shù)式表示）；__________時(shí)，M、N兩點(diǎn)相遇；(3)當(dāng)__________時(shí)，M、N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度；當(dāng)__________時(shí)，M、O兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離相等．【答案】(1)12(2)，，(3)或；8或【分析】（1）當(dāng)秒時(shí)，M表示的數(shù)是，N表示的數(shù)是，即的M、N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為；（2）當(dāng)點(diǎn)M、N都運(yùn)動(dòng)到折線段上，即時(shí)，M表示的數(shù)是，N表示的數(shù)是，而M、N兩點(diǎn)相遇時(shí)，M、N表示的數(shù)相同，即得，可解得答案；（3）根據(jù)M、N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度，得，可解得或，由時(shí)，M運(yùn)動(dòng)到O，同時(shí)N運(yùn)動(dòng)到C，可知時(shí)，不存在M、O兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離相等，當(dāng)，即M在從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，有，可解得或，當(dāng)時(shí)，M在從C運(yùn)動(dòng)到D，速度變?yōu)?個(gè)單位/秒，不存在M、O兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離相等，即可得答案．【詳解】（1）當(dāng)秒時(shí)，M表示的數(shù)是，N表示的數(shù)是，∴M、N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為，故答案為：12；（2）由（1）知，2秒時(shí)M運(yùn)動(dòng)到O，N運(yùn)動(dòng)到C，∴當(dāng)點(diǎn)M、N都運(yùn)動(dòng)到折線段上，即時(shí)，M表示的數(shù)是，N表示的數(shù)是，∴O、M兩點(diǎn)間的和諧距離，C、N兩點(diǎn)間的和諧距離，∵M(jìn)、N兩點(diǎn)相遇時(shí)，M、N表示的數(shù)相同，∴，解得，故答案為：，，；（3）∵M(jìn)、N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度，∴，即，∴或，解得或，由（1）知，時(shí)，M運(yùn)動(dòng)到O，同時(shí)N運(yùn)動(dòng)到C，∴時(shí)，不存在M、O兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離相等，當(dāng)，即M在從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，，即，∴或，解得或，當(dāng)時(shí)，M在從C運(yùn)動(dòng)到D，速度變?yōu)?個(gè)單位/秒，不存在M、O兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離相等，故答案為：或；8或．【點(diǎn)睛】本題考查一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)運(yùn)動(dòng)后表示的數(shù)及分類(lèi)討論．變式1．（2023·廣東·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如下圖，數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為，點(diǎn)C表示的數(shù)為9，點(diǎn)D表示的數(shù)為13，在點(diǎn)B和點(diǎn)C處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”，我們稱(chēng)點(diǎn)A和點(diǎn)D在數(shù)軸上相距20個(gè)長(zhǎng)度單位，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著“折線數(shù)軸”的正方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿著“折線數(shù)軸”的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，它們?cè)凇八铰肪€”射線BA和射線CD上的運(yùn)動(dòng)速度相同均為2個(gè)單位/秒，“上坡路段”從B到C速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的一半，“下坡路段”從C到B速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的2倍．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，問(wèn)：(1)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B需要的時(shí)間為_(kāi)_____秒；(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)需要的時(shí)間為多少秒？(3)當(dāng)P、O兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長(zhǎng)度與Q、O兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長(zhǎng)度相等時(shí)，求出動(dòng)點(diǎn)P在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)．【答案】(1)2.5(2)15(3)【分析】（1）求出BC長(zhǎng)度，“下坡路段”速度是4個(gè)單位/秒，即得動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的時(shí)間；（2）先求出AB，BC，CD的長(zhǎng)度，再根據(jù)“水平路線”速度是2個(gè)單位/秒，從B到C速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的一半，即得動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)需要的時(shí)間；（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，分四種情況：①當(dāng)0≤t≤2，②當(dāng)2＜t≤3，③當(dāng)3<t<4.5，④當(dāng)4.5＜t≤7.5，列方程求出t．【詳解】（1）∵點(diǎn)B表示的數(shù)為-1，點(diǎn)C表示的數(shù)為9，∴BC=1-(-9)=10(個(gè)單位)，∵“下坡路段”從C到B速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的2倍，“水平路線”速度是2個(gè)單位/秒，∴“下坡路段”速度是4個(gè)單位/秒，∴動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B需要的時(shí)間為10÷4=2.5(秒)；（2）根據(jù)題意知：AB=|-7-(-1)|=6(個(gè)單位)，BC=1-(-9)=10(個(gè)單位)，CD=13-9=4(個(gè)單位)，∴“水平路線”速度是2個(gè)單位/秒，從B到C速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的一半，∴動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)需要的時(shí)間為6÷2+10÷+4÷2=3+10+2=15(秒)；（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，①當(dāng)0≤t≤2，即P在AB上，Q在CD上，顯然P、O兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長(zhǎng)度與Q、O兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長(zhǎng)度不會(huì)相等；②當(dāng)2＜t≤3，即P在AB上，Q在CB上時(shí)，P表示的數(shù)是-7+2t，Q表示的數(shù)是9-4(t-2)，∴0-(-7+2t)=9-4(t-2)-0，解得t=5，此時(shí)P已不在AB上，不符合題意，這種情況不存在；③當(dāng)3<t<4.5，即P在BC上，Q在CB上時(shí)，P表示的數(shù)是-1+(t-3)=t-4，Q表示的數(shù)是9-4(t-2)=17-4t，∴|t-4|=|17-4t|，解得t=或t=，∴P表示的數(shù)是或；④當(dāng)4.5＜t≤7.5，即P在BC上，Q在AB上時(shí)，P表示的數(shù)是t-4，Q表示的數(shù)是-1-2(t-4.5)=8-2t，∴t-4-0=0-(8-2t)，解得t=4(不合題意，舍去)，綜上所述，當(dāng)P、O兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長(zhǎng)度與Q、O兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長(zhǎng)度相等時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)是或．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解題關(guān)鍵是用含t的代數(shù)式表示動(dòng)點(diǎn)表示的數(shù)，據(jù)運(yùn)動(dòng)過(guò)程分類(lèi)討論．變式2．（2022·重慶·七年級(jí)期中）數(shù)軸上點(diǎn)A表示－12，點(diǎn)B表示12，點(diǎn)C表示24，如圖，將數(shù)軸在原點(diǎn)O和點(diǎn)B處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”，在“折線數(shù)軸”上，把兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的兩數(shù)之差的絕對(duì)值叫這兩點(diǎn)間的和諧距離，那么我們稱(chēng)點(diǎn)A和點(diǎn)C在折線數(shù)軸上的和諧距離為36個(gè)單位長(zhǎng)度．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以3個(gè)單位/秒的速度沿著折線數(shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)，從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B期間速度變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍，過(guò)點(diǎn)B后繼續(xù)以原來(lái)的速度向正方向運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)的同時(shí)，點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，以4個(gè)單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O期間速度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，過(guò)點(diǎn)O后繼續(xù)以原來(lái)的速度向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)秒時(shí)，求M，N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離；（2）當(dāng)M，N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；（3）當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，立即以原速返回，從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O期間速度變?yōu)樵瓉?lái)的一半；當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)M、N立即停止運(yùn)動(dòng)，是否存在某一時(shí)刻t使得M、O兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離相等？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的取值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）15；（2）秒或秒；（3）存在，或或【分析】（1）當(dāng)秒時(shí)，求出點(diǎn)和點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長(zhǎng)度單位，點(diǎn)和點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長(zhǎng)度單位，據(jù)此求出、和諧距離即可；（2）分兩種情況：當(dāng)M，N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度，且沒(méi)有相遇時(shí)，當(dāng)M，N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度，且相遇后又離開(kāi)時(shí)，分別列出方程，然后求解即可；（3）分六種情況：①當(dāng)點(diǎn)在，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)在，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，④當(dāng)點(diǎn)在，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，⑤當(dāng)點(diǎn)在，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)沒(méi)有返回時(shí)，⑥當(dāng)點(diǎn)在，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)返回時(shí)，分別列出方程，然后求解即可．【詳解】解：（1）當(dāng)秒時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)在數(shù)軸上相距個(gè)長(zhǎng)度單位，即點(diǎn)在數(shù)軸上表示的點(diǎn)是點(diǎn)和點(diǎn)在數(shù)軸上相距個(gè)長(zhǎng)度單位，即點(diǎn)在點(diǎn)的位置上，在數(shù)軸上表示的點(diǎn)是12，則、和諧距離是：個(gè)單位長(zhǎng)度；（2）如圖示：點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)位置時(shí)，用的時(shí)間是：秒，當(dāng)點(diǎn)在折線數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)4秒時(shí)，則在上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是秒，在上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是秒，則，∴，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)在在上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是，當(dāng)M，N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度，且沒(méi)有相遇時(shí)，依題意得：，解得：，∴總用時(shí)是：秒；當(dāng)M，N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度，且相遇后又離開(kāi)時(shí)，依題意得：，解得：，∴總用時(shí)是：秒；綜上所述，當(dāng)運(yùn)動(dòng)秒或秒時(shí)，M，N兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度；（3）存在，理由如下：根據(jù)題意可知，點(diǎn)在上的運(yùn)動(dòng)，并沒(méi)返回時(shí)，使用的時(shí)間是秒，點(diǎn)在上的運(yùn)動(dòng)，使用的時(shí)間是秒，可得，點(diǎn)在到達(dá)點(diǎn)時(shí)，繼續(xù)返回運(yùn)動(dòng)了2秒，①當(dāng)點(diǎn)在，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，依題意得：解得：，不合題意，舍去；∵點(diǎn)在到達(dá)點(diǎn)時(shí)，使用的時(shí)間是秒，先于點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，②當(dāng)點(diǎn)在，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，依題意得：解得：；③當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，依題意得：解得：；④∵點(diǎn)在到達(dá)點(diǎn)時(shí)，使用的時(shí)間是秒，先于點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，無(wú)法找到任一點(diǎn)，使得M、O兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離相等，故不存在這樣的時(shí)間；⑤當(dāng)點(diǎn)在，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)沒(méi)有返回時(shí)，依題意得：解得：，不合題意，舍去；⑥當(dāng)點(diǎn)在，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)返回時(shí)，依題意得：解得：；綜上所述，使得M、O兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點(diǎn)在折線數(shù)軸上的和諧距離相等的時(shí)間是：或或；【點(diǎn)睛】本題綜合考查了數(shù)軸與有理數(shù)的關(guān)系，一元一次方程在數(shù)軸上的應(yīng)用，路程、速度、時(shí)間三者的關(guān)系等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，利用分類(lèi)討論思想，對(duì)題目進(jìn)行分析解答是解題的關(guān)鍵．模型6.動(dòng)點(diǎn)往返運(yùn)動(dòng)模型【模型解讀】例1．（2022秋·重慶·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，A、O、B兩點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為﹣20、0、40，C點(diǎn)在A、B之間，在A、B兩點(diǎn)處各放一個(gè)擋板，M、N兩個(gè)小球同時(shí)從C處出發(fā)，M以2個(gè)單位/秒的速度向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，N以4個(gè)單位/秒的速度向數(shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，碰到擋板后則反方向運(yùn)動(dòng)，速度大小不變．設(shè)兩個(gè)小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒鐘（0＜t＜40），當(dāng)M小球第一次碰到A擋板時(shí)，N小球剛好第一次碰到B擋板．則：①C點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為0；②當(dāng)10＜t＜25時(shí)，N在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)可以表示為80﹣4t；③當(dāng)25＜t＜40時(shí)，2MA+NB始終為定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上結(jié)論正確的有（）A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②④【答案】D【分析】設(shè)C點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為，根據(jù)題意可得，求得；根據(jù)題意分時(shí)間段討論兩小球的位置，分別求解即可．【詳解】解：設(shè)C點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為，則，當(dāng)M小球第一次碰到A擋板時(shí)，N小球剛好第一次碰到B擋板，則解得，即C點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為0，①正確；當(dāng)時(shí)，N小球運(yùn)動(dòng)的距離為，剛好到達(dá)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，N小球運(yùn)動(dòng)的距離為，剛好到達(dá)點(diǎn)，M小球運(yùn)動(dòng)的距離為當(dāng)10＜t＜25時(shí)，N小球從點(diǎn)向點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，點(diǎn)表示數(shù)的為，②正確；當(dāng)時(shí)，N小球運(yùn)動(dòng)的距離為，M小球運(yùn)動(dòng)的距離為當(dāng)25＜t＜40時(shí)，N小球從點(diǎn)向點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，M小球向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)則，，，③錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，由題意得，，解得，不符題意；當(dāng)時(shí)，，，由題意得，，解得，不符題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由題意得，，解得，此時(shí)三點(diǎn)重合，成立；當(dāng)時(shí)，，由題意得，，解得，不符題意；當(dāng)時(shí)，，由題意得，，解得，不符題意；④正確故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)軸的應(yīng)用，涉及了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離以及數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握題中的等量關(guān)系，分時(shí)間段進(jìn)行討論求解即可．例2．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)校考期中）已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是6，﹣8，M、N、P為數(shù)軸上三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)速度為點(diǎn)M的3倍，點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．（1）求A、B兩點(diǎn)的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度．（2）若點(diǎn)M向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N向左運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)M與點(diǎn)N相距54個(gè)單位長(zhǎng)度？（3）若點(diǎn)M、N、P同時(shí)都向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N相遇后，點(diǎn)M、P繼續(xù)以原來(lái)的速度向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N改變運(yùn)動(dòng)方向，以原來(lái)的速度向左運(yùn)動(dòng)，求從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P到點(diǎn)M、N的距離相等？【答案】（1）14；（2）5秒；（3）秒或3.5秒或秒.【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求出A、B兩點(diǎn)的距離；（2）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒點(diǎn)M與點(diǎn)N相距54個(gè)單位，由點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)速度為每秒2個(gè)單位，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)速度為M點(diǎn)的3倍，得出2x+6x+14＝54求出即可；（3）首先求出點(diǎn)M與點(diǎn)N相遇的時(shí)間為14÷（6﹣2）＝3.5秒，此時(shí)N點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是﹣8+6×3.5＝13，再設(shè)從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后，相遇前經(jīng)過(guò)t秒點(diǎn)P到點(diǎn)M、N的距離相等，或相遇后經(jīng)過(guò)t秒點(diǎn)P到點(diǎn)M、N的距離相等，根據(jù)PM＝PN列出方程，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：（1）∵數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是6，﹣8，∴A、B兩點(diǎn)的距離為6﹣（﹣8）＝14．故答案為14；（2）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒點(diǎn)M與點(diǎn)N相距54個(gè)單位．依題意可列方程為：2x+6x+14＝54，解方程，得x＝5．答：經(jīng)過(guò)5秒點(diǎn)M與點(diǎn)N相距54個(gè)單位；（3）點(diǎn)M與點(diǎn)N相遇的時(shí)間為14÷（6﹣2）＝3.5秒，此時(shí)N點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是﹣8+6×3.5＝13．設(shè)從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后，相遇前經(jīng)過(guò)t秒點(diǎn)P到點(diǎn)M、N的距離相等．依題意可列方程為：t﹣（﹣8+6t）＝6+2t﹣t，解得t＝，設(shè)從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后，相遇后經(jīng)過(guò)t秒點(diǎn)P到點(diǎn)M、N的距離相等．依題意可列方程為：（2t+6）﹣t＝t﹣[13﹣6（t﹣3.5）]，解得t＝．答：從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后，經(jīng)過(guò)秒或3.5秒或秒點(diǎn)P到點(diǎn)M、N的距離相等．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，利用行程問(wèn)題的基本數(shù)量關(guān)系，以及數(shù)軸直觀解決問(wèn)題即可．變式1．（2023春·廣東·七年級(jí)期末）已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為、3，點(diǎn)P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x．(1)若點(diǎn)P到點(diǎn)A，點(diǎn)B的距離相等，求點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)；(2)數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和為6？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，說(shuō)明理由；(3)點(diǎn)A、點(diǎn)B分別以2個(gè)單位長(zhǎng)度/分、1個(gè)單位長(zhǎng)度/分的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P以6個(gè)單位長(zhǎng)度/分的速度從O點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)．當(dāng)遇到A時(shí)，點(diǎn)P立即以同樣的速度向右運(yùn)動(dòng)，并不停地往返于點(diǎn)A與點(diǎn)B之間，求當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的總路程是多少？【答案】(1)1(2)或4(3)點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的總路程是個(gè)單位長(zhǎng)度【分析】（1）若點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)與、3差的絕對(duì)值相等，則點(diǎn)P到點(diǎn)A，點(diǎn)B的距離相等．（2）根據(jù)當(dāng)P在A的左側(cè)以及當(dāng)P在B的右側(cè)分別求出即可；（3）設(shè)經(jīng)過(guò)a分鐘點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，根據(jù)點(diǎn)A比點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的距離多4，列出方程，求出a的值，即為點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再乘以點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度，可得點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的總路程．【詳解】（1）∵，2的絕對(duì)值是2，，的絕對(duì)值是2，∴點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)是1．（2）當(dāng)P在之間，（不可能有）當(dāng)P在A的左側(cè)，，得當(dāng)P在B的右側(cè)，，得故點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為或4；（3）設(shè)經(jīng)過(guò)a分鐘點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，根據(jù)題意得：，解得．則．答：點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的總路程是個(gè)單位長(zhǎng)度．【點(diǎn)睛】此題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解題關(guān)鍵是正確表示點(diǎn)和點(diǎn)直接的距離，以及根據(jù)數(shù)量關(guān)系列方程求解．變式2．（2022秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)O是數(shù)軸的原點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是﹣12、b、c，且b、c滿足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1個(gè)單位/秒速度向左運(yùn)動(dòng)，O、B兩點(diǎn)之間為“變速區(qū)”，規(guī)則為從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B期間速度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，之后立刻恢復(fù)原速，從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O期間速度變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，之后立刻恢復(fù)原速，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為_(kāi)____秒時(shí)，P、Q兩點(diǎn)到點(diǎn)B的距離相等．【答案】或30【分析】利用已知條件先求出B、C在數(shù)軸表示的數(shù)，根據(jù)不同時(shí)間段，通過(guò)討論P(yáng)、Q點(diǎn)的不同位置，找到對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)關(guān)系，列出關(guān)于的方程，進(jìn)行求解即可．【詳解】∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，∴b﹣9＝0，c﹣15＝0，∴b＝9，c＝15，∴B表示的數(shù)是9，C表示的數(shù)是15，①當(dāng)0≤t≤6時(shí)，P在線段OA上，Q在線段BC上，此時(shí)不存在P、Q兩點(diǎn)到點(diǎn)B的距離相等；②當(dāng)6＜t≤9時(shí)，P、Q都在線段OB上，P表示的數(shù)為t﹣6，Q表示的數(shù)是9﹣3（t﹣6），∴P、Q兩點(diǎn)到點(diǎn)B的距離相等只需t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t＝，③當(dāng)9＜t≤15時(shí)，P在線段OB上，Q在線段OA上，此時(shí)不存在P、Q兩點(diǎn)到點(diǎn)B的距離相等；④當(dāng)t＞15時(shí)，P在射線BC上，Q在射線OA上，P表示的數(shù)為9+2（t﹣15），Q表示的數(shù)是﹣（t﹣9），∴P、Q兩點(diǎn)到點(diǎn)B的距離相等只需9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30，綜上所述，P、Q兩點(diǎn)到點(diǎn)B的距離相等，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒或30秒，故答案為：或30．【點(diǎn)睛】本題主要是考查了數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，熟練地通過(guò)動(dòng)點(diǎn)在不同時(shí)間段的運(yùn)動(dòng)，進(jìn)行分類(lèi)討論，找到等量關(guān)系，列出關(guān)于時(shí)間的方程，并進(jìn)行求解，這是解決這類(lèi)問(wèn)題的主要思路．模型7.線段和差且含參模型【模型解讀】例1．（2023春·廣東深圳·七年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，已知：數(shù)軸上點(diǎn)A表示的為8，B是數(shù)軸上一點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)A左邊且點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B兩點(diǎn)同時(shí)向左移動(dòng)，點(diǎn)P的速度為每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．(1)寫(xiě)出數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)；(2)經(jīng)過(guò)多少秒以后，P、Q兩點(diǎn)的距離為6個(gè)單位長(zhǎng)度，并求出此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)是多少？(3)若點(diǎn)M為中點(diǎn)，N為中點(diǎn)，是否存在常數(shù)k使得的值為定值，若存在，求出k的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)經(jīng)過(guò)4秒以后，P、Q兩點(diǎn)的距離為6個(gè)單位長(zhǎng)度，此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)是；經(jīng)過(guò)10秒以后，P、Q兩點(diǎn)的距離為6個(gè)單位長(zhǎng)度，此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)是(3)存在，【分析】分析：（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求解；（2）分兩種情況：①相遇前P、Q兩點(diǎn)的距離為6個(gè)單位長(zhǎng)度；②相遇后P、Q兩點(diǎn)的距離為6個(gè)單位長(zhǎng)度；進(jìn)行討論即可求解；（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，分別表示出所表示的數(shù)，進(jìn)而表示出，用含的式子表示出的值，根據(jù)與的值無(wú)關(guān)，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：（1）數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)是．故答案為：；（2）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒以后，P、Q兩點(diǎn)的距離為6個(gè)單位長(zhǎng)度，依題意有：①相遇前P、Q兩點(diǎn)的距離為6個(gè)單位長(zhǎng)度，，解得，則點(diǎn)P表示的數(shù)是；②相遇后P、Q兩點(diǎn)的距離為6個(gè)單位長(zhǎng)度，，解得．則點(diǎn)P表示的數(shù)是．答：經(jīng)過(guò)4秒以后，P、Q兩點(diǎn)的距離為6個(gè)單位長(zhǎng)度，此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)是；經(jīng)過(guò)10秒以后，P、Q兩點(diǎn)的距離為6個(gè)單位長(zhǎng)度，此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)是；（3）解：存在；設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，則：點(diǎn)表示的數(shù)為：，點(diǎn)表示的數(shù)為：，∵點(diǎn)M為中點(diǎn)，N為中點(diǎn)，∴點(diǎn)表示的數(shù)為：，點(diǎn)表示的數(shù)為：，∴，，∴，∴當(dāng)時(shí)，即，是定值：．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸和一元一次方程的應(yīng)用以及整式加減中的無(wú)關(guān)型問(wèn)題，熟練掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式，列出方程，是解題的關(guān)鍵．注意分類(lèi)思想的應(yīng)用．例2．（2022春·湖南衡陽(yáng)·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)表示的數(shù)是，點(diǎn)表示的數(shù)是，滿足，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，動(dòng)點(diǎn)表示的數(shù)是．(1)直接寫(xiě)______，______，______用含的代數(shù)式表示；(2)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，①問(wèn)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)追上點(diǎn)？②問(wèn)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)與點(diǎn)相距個(gè)單位長(zhǎng)度？并求出此時(shí)點(diǎn)表示的數(shù)；(3)點(diǎn)、以（2）中的速度同時(shí)分別從點(diǎn)、向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從原點(diǎn)以每秒個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，是否存在常數(shù)，使得的值為定值，若存在請(qǐng)求出值以及這個(gè)定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；；(2)①點(diǎn)運(yùn)動(dòng)秒時(shí)追上點(diǎn)；②點(diǎn)運(yùn)動(dòng)秒或秒時(shí)與點(diǎn)相距個(gè)單位長(zhǎng)度，此時(shí)點(diǎn)表示的數(shù)為或(3)存在常數(shù)，使得的值為定值，該定值為【分析】（1）利用絕對(duì)值及偶次方的非負(fù)性，即可求出，的值，由點(diǎn)的出發(fā)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)方向及運(yùn)動(dòng)速度，即可用含的代數(shù)式表示出值；（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)為．根據(jù)點(diǎn)，表示的數(shù)相同，即可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；根據(jù)點(diǎn)，兩點(diǎn)之間的距離為，即可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出的值，再將其代入中即可求出點(diǎn)表示的數(shù)；（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，利用數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式，可找出，，的值，進(jìn)而可得出，結(jié)合的值為定值，即可求出的值，進(jìn)而可得出該定值為．（1）解；，，，，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，，故答案為：，，；（2）解：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)為．依題意得：，解得：，故點(diǎn)運(yùn)動(dòng)秒時(shí)追上點(diǎn)．依題意得：，即或，解得：或．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．綜上：點(diǎn)運(yùn)動(dòng)秒或秒時(shí)與點(diǎn)相距個(gè)單位長(zhǎng)度，此時(shí)點(diǎn)表示的數(shù)為或；（3）解：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，，，，．的值為定值，，，存在常數(shù)，使得的值為定值，該定值為．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)性、偶次方的非負(fù)性、列代數(shù)式、一元一次方程的應(yīng)用以及數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，解題的關(guān)鍵是：（1）利用絕對(duì)值及偶次方的非負(fù)性，求出，；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（3）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含的代數(shù)式表示出，，的長(zhǎng)度．變式1．（2022秋·福建廈門(mén)·七年級(jí)?？计谥校┮阎欣頂?shù)a，b，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，且滿足，．(1)分別求a，b，c的值；(2)若點(diǎn)D在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，當(dāng)A、D間距離是B、C間距離的4倍時(shí)，請(qǐng)求出x的值；(3)若點(diǎn)A和點(diǎn)B分別以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度和每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在數(shù)軸上同時(shí)向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，是否存在一個(gè)常數(shù)k，使得的值在一定時(shí)間范圍內(nèi)不隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的改變而改變？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)或；(3)存在符合條件的k，k=6．【分析】（1）絕對(duì)值和平方具有非負(fù)性，由非負(fù)數(shù)的和等于0，每個(gè)非負(fù)數(shù)都為零，求出a，b，c；（2）由數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式表示出和，建立方程求解x；（3）假設(shè)存在符合條件的k，表示，再利用整式的性質(zhì)求解．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴，又∵，∴．∴；（2）解：由題意得：，∴，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上：或；（3）解：假設(shè)存在符合條件的k，經(jīng)過(guò)t秒，點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為，且A，B都在點(diǎn)C右側(cè)，∴，，∴，∵的值在一定時(shí)間范圍內(nèi)不隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的改變而改變，∴，∴，∴存在符合條件的k，．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、數(shù)軸、絕對(duì)值以及偶次方的非負(fù)性，解題的關(guān)鍵是：（1）利用絕對(duì)值及偶次方的非負(fù)性，求出a，b的值；（2）①找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；②用含t的代數(shù)式表示出的值．變式2．（2022秋·浙江·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知：有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，且|c|>|a|．（1）若|a+10|=20，b2=400，c的相反數(shù)是30，求a、b、c的值；（2）在（1）的條件下，a、b、c分別是A、B、C點(diǎn)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)，①線段AC的長(zhǎng)是________，將數(shù)軸折疊使得點(diǎn)A和點(diǎn)C重合，則折痕處在數(shù)軸上表示的數(shù)是__________②數(shù)軸上是否存在一點(diǎn)P，使得P點(diǎn)到C點(diǎn)的距離加上P點(diǎn)到A點(diǎn)的距離減去P點(diǎn)到B點(diǎn)的距離為50，即PC+PA?PB=50?若存在，求出P點(diǎn)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；③點(diǎn)C，B分別以4個(gè)單位/秒和3個(gè)單位/秒的速度同時(shí)向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A以7個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，是否存在常數(shù)m，使得3CA+2mOB-mOA為定值，若存在，請(qǐng)求出m值以及這個(gè)定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)a=10，b=20，c=-30；(2)①40，-10；②存在；-90或；（2）存在m=9，定值是390.【分析】（1）利用絕對(duì)值的性質(zhì)和數(shù)軸即可求出a，利用b2=400和數(shù)軸即可求出b，利用c的相反數(shù)即可求出c；（2）①利用數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式即可求出AC，再利用中點(diǎn)公式即可求出折痕所表示的數(shù)；②設(shè)P表示的數(shù)為，根據(jù)P點(diǎn)不同的位置及數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離公式分類(lèi)討論即可；③設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，利用數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式，表示出CA、OB、OA，將它們代入3CA+2mOB-mOA并化簡(jiǎn)，再根據(jù)其為定值，即與t值無(wú)關(guān)，令t的系數(shù)為0即可.【詳解】解：（1）∵|a+10|=20，b2=400，c的相反數(shù)是30解得a＝﹣30或10，b＝±20，c＝﹣30由數(shù)軸可知：a＞0，b＞0∴a＝10，b＝20，c＝﹣30（2）①根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式：AC=|a－c|=40；若A、C兩點(diǎn)重合，則折痕在數(shù)軸上所表示的點(diǎn)即為AC的中點(diǎn)，故折痕處在數(shù)軸上表示的數(shù)是；②存在，求法如下假設(shè)P點(diǎn)所表示的數(shù)為，當(dāng)P在C左側(cè)時(shí)，即，如下圖所示：∴PC=﹣30－，PA=10－，PB=20－根據(jù)PC+PA?PB=50，∴（﹣30－）＋（10－）－（20－）=50解得：.若P在C、A之間時(shí)，即，如下圖所示：∴PC=，PA=10－，PB=20－根據(jù)PC+PA?PB=50（）＋（10－）－（20－）=50解得：，不符合前提，故舍去；若P在A、B之間時(shí)，即，如下圖所示：∴PC=，PA=，PB=20－根據(jù)PC+PA?PB=50（）＋（）－（20－）=50解得：；若P在B右側(cè)時(shí)，即，如下圖所示：∴PC=，PA=，PB=根據(jù)PC+PA?PB=50（）＋（）－（）=50解得：，不符合前提，故舍去；綜上所述：P點(diǎn)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)是：-90或.③存在，理由如下：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，此時(shí)C表示的數(shù)為：﹣30＋4t，A表示的數(shù)為：10＋7t，B表示的數(shù)為20＋3t.∴AC=（10＋7t）－（﹣30＋4t）=3t＋40，OA=10＋7t，OB=20＋3t代入3CA+2mOB-mOA中得：原式=3（3t＋40）＋2m（20＋3t）－m（10＋7t）

=（9－m）t＋120＋30m∵3CA+2mOB-mOA為定值，即與t值無(wú)關(guān)，令t的系數(shù)為0即可，∴9－m=0，解得：m=9，代入得：定值=120＋30×9=390.【點(diǎn)睛】此題考查的是（1）用絕對(duì)值的性質(zhì)去絕對(duì)值，相反數(shù)的定義及平方的意義；（2）根據(jù)點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類(lèi)討論及數(shù)軸上任意兩點(diǎn)之間的距離；（3）長(zhǎng)度與某個(gè)變量無(wú)關(guān)時(shí)令其系數(shù)為0.模型8.數(shù)軸折疊（翻折）模型【模型解讀】例1．（2022秋·河南漯河·七年級(jí)統(tǒng)考期中）操作探究：已知在紙上有一數(shù)軸（如圖所示）．(1)操作一：折疊紙面，若使1表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合，則表示的點(diǎn)與________表示的點(diǎn)重合．(2)操作二：折疊紙面，若使表示的點(diǎn)與3表示的點(diǎn)重合，回答以下問(wèn)題：①5表示的點(diǎn)與數(shù)________表示的點(diǎn)重合；②若數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)之間距離為10（A在B左側(cè)），且A，B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，則點(diǎn)A表示的數(shù)為_(kāi)_______，點(diǎn)B表示的數(shù)為_(kāi)_______；(3)操作三：點(diǎn)E以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從數(shù)5對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沿著數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沿著數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，且兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，請(qǐng)直接寫(xiě)出多少秒后，折疊紙面，使1表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)F也恰好重合．【答案】(1)3(2)①；②，6(3)秒【分析】（1）設(shè)表示的點(diǎn)與x表示的點(diǎn)重合，根據(jù)1表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合，得到折痕過(guò)原點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離相等得到，解得；（2）①根據(jù)表示的點(diǎn)與3表示的點(diǎn)重合，得到折痕經(jīng)過(guò)數(shù)表示的點(diǎn)，設(shè)5表示的點(diǎn)與數(shù)x表示的點(diǎn)重合，得到，解得；②設(shè)點(diǎn)A表示的數(shù)為x，則，解得，點(diǎn)B表示的數(shù)為；（3）設(shè)t秒，得到點(diǎn)E表示的數(shù)為，點(diǎn)F表示的數(shù)為，當(dāng)1表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合時(shí)，得到折痕過(guò)原點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)E與點(diǎn)F也恰好重合，得到，解得．【詳解】（1）設(shè)表示的點(diǎn)與x表示的點(diǎn)重合∵1表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合，∴折痕經(jīng)過(guò)數(shù)表示的點(diǎn)，即原點(diǎn)，∴，∴∴表示的點(diǎn)與3表示的點(diǎn)重合；故答案為：3（2）①∵表示的點(diǎn)與3表示的點(diǎn)重合，∴折痕經(jīng)過(guò)數(shù)表示的點(diǎn)，設(shè)5表示的點(diǎn)與數(shù)x表示的點(diǎn)重合，則，∴；故答案為：；②設(shè)點(diǎn)A表示的數(shù)為x，則點(diǎn)B表示的數(shù)為，，∴，，故答案為：，6；（3）設(shè)t秒，則點(diǎn)E表示的數(shù)為，點(diǎn)F表示的數(shù)為，∵1表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合時(shí)，折痕經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，∴點(diǎn)E與點(diǎn)F也恰好重合時(shí)，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握對(duì)稱(chēng)點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離相等，中點(diǎn)坐標(biāo)公式．變式1．（2023·浙江·七年級(jí)期中）已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖）折疊紙面．（1）若1表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合，則表示的點(diǎn)與數(shù)_____表示的點(diǎn)重合；（2）若1表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合，回答以下問(wèn)題：①13表示的點(diǎn)與數(shù)_____表示的點(diǎn)重合；②若數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離為2022（A在B的左側(cè)），且A、B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，求A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)是多少？【答案】（1）5；（2）①-17；②A點(diǎn)表示的數(shù)為-1013，B點(diǎn)表示的數(shù)為1009【分析】（1）由表示1的點(diǎn)與表示-1的點(diǎn)重合，即可找出與表示-5的點(diǎn)重合的點(diǎn)表示的數(shù)；（2）①由表示1的點(diǎn)與表示-5的點(diǎn)重合，即可找出與表示13的點(diǎn)重合的點(diǎn)表示的數(shù)；②設(shè)A點(diǎn)表示的數(shù)為x，則B點(diǎn)表示的數(shù)為x+2022，根據(jù)重合兩點(diǎn)表示的數(shù)之和相等，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵表示1的點(diǎn)與表示-1的點(diǎn)重合，∴與表示-5的點(diǎn)重合的點(diǎn)表示的數(shù)為1+（-1）-（-5）=5．故答案為：5．（2）①∵表示1的點(diǎn)與表示-5的點(diǎn)重合，∴與表示13的點(diǎn)重合的點(diǎn)表示的數(shù)為1-5-13=-17．故答案為：-17．②設(shè)A點(diǎn)表示的數(shù)為x，則B點(diǎn)表示的數(shù)為x+2022，根據(jù)題意得：1-5=x+x+2022，解得：x=-1013，∴x+2022=1009．答：A點(diǎn)表示的數(shù)為-1013，B點(diǎn)表示的數(shù)為1009．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸、折疊的性質(zhì)以及一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)折疊的性質(zhì)找出重合兩點(diǎn)表示的數(shù)之和相等是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)期中）平移和翻折是初中數(shù)學(xué)中兩種重要的圖形變化，閱讀并回答下列問(wèn)題：（一）平移：在平面內(nèi)，講一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為平移．（1）把筆尖放在數(shù)軸的原點(diǎn)處，先向左移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度，這時(shí)筆尖的位置表示的數(shù)是；（2）一個(gè)機(jī)器人從數(shù)軸上原點(diǎn)出發(fā)，并在數(shù)軸上移動(dòng)2次，每次移動(dòng)2個(gè)單位后到達(dá)B點(diǎn)，則B點(diǎn)表示的數(shù)是；（3）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為?1，點(diǎn)B表示的數(shù)為1，點(diǎn)P從5出發(fā)，若P，A兩點(diǎn)的距離是A，B兩點(diǎn)距離的2倍，則需將點(diǎn)P向左移動(dòng)個(gè)單位．（二）翻折：將一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊的運(yùn)動(dòng)．（4）若折疊紙條，表示?3的點(diǎn)與表示1的點(diǎn)重合，則表示?4的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合；（5）若數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)之間的距離為10，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，A，B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，折痕與數(shù)軸相交于表示?1的點(diǎn)，則A點(diǎn)表示的數(shù)為；（6）在數(shù)軸上，點(diǎn)M表示是的數(shù)為4，點(diǎn)N表示的數(shù)為x，將點(diǎn)M，N兩點(diǎn)重合后折疊，得折痕①，折痕①與數(shù)軸交于P點(diǎn)；將點(diǎn)M與點(diǎn)P重合后折疊，得折痕②，折痕②與數(shù)軸交于Q點(diǎn)．若此時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)Q的距離為2，則x＝．【答案】（1）；（2）或或；（3）2或10；（4）2；（5）-6；（6）或【分析】（1）根據(jù)移動(dòng)的方向和距離，求解即可；（2）分情況討論，分別向左，向右移動(dòng)2次2個(gè)單位長(zhǎng)度和向右移動(dòng)一次向左移動(dòng)一次，然后求解即可；（3）設(shè)點(diǎn)P向左移動(dòng)個(gè)單位，求得P，A兩點(diǎn)的距離和A，B兩點(diǎn)距離，再求解即可；（4）求得對(duì)稱(chēng)中心，然后求解即可；（5）求得對(duì)稱(chēng)中心，由題意可得A點(diǎn)在表示?1的點(diǎn)的左側(cè)5個(gè)單位，求解即可；（6）根據(jù)題意，求得的距離，然后分在左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論求解即可．【詳解】解：（1）筆尖的位置表示的數(shù)為故答案為；（2）機(jī)器人向右移動(dòng)兩次，則B點(diǎn)表示的數(shù)為機(jī)器人向左移動(dòng)兩次，則B點(diǎn)表示的數(shù)為機(jī)器人向右移動(dòng)一次，再向左移動(dòng)一次，則B點(diǎn)表示的數(shù)為故答案為或或（3）設(shè)點(diǎn)P向左移動(dòng)個(gè)單位，則點(diǎn)P表示的數(shù)為，，，由題意可得：，解得或即向左平移2或10個(gè)單位長(zhǎng)度故答案為2或10（4）由題意可得：對(duì)稱(chēng)中心為，則表示?4的點(diǎn)與表示2的點(diǎn)重合故答案為2（5）由題意可得，A點(diǎn)在表示?1的點(diǎn)的左側(cè)5個(gè)單位長(zhǎng)度，則A點(diǎn)表示的數(shù)為故答案為-6（6）由題意可得：，則，即之間的距離為8當(dāng)在左側(cè)時(shí)，，點(diǎn)N表示的數(shù)為-4當(dāng)在右側(cè)時(shí)，，點(diǎn)N表示的數(shù)為12故答案為或【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)軸的應(yīng)用，涉及了數(shù)軸上的距離和動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸的基本性質(zhì)．模型9.數(shù)軸上的線段移動(dòng)模型【模型解讀】例1．（2022·廣東佛山·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，有兩條線段，（單位長(zhǎng)度），（單位長(zhǎng)度）在數(shù)軸上，點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是-12，點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是15．（1）點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是______，點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是______，線段的長(zhǎng)=______；（2）若線段以1個(gè)單位長(zhǎng)度秒的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段以2個(gè)單位長(zhǎng)度秒的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是多少？（3）若線段以1個(gè)單位長(zhǎng)度秒的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度也向左勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為1個(gè)單位長(zhǎng)度？【答案】-10，14，24；(2)-2；(3)t=23或25【分析】(1)根據(jù)AB、CD的長(zhǎng)度結(jié)合點(diǎn)A、D在數(shù)軸上表示的數(shù)，即可求出點(diǎn)B、C在數(shù)軸上表示的數(shù)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出線段BC的長(zhǎng)度；(2)設(shè)相遇時(shí)間為a,分別用a表示出相遇時(shí)B、C兩點(diǎn)所表示的數(shù),讓其相等即可求出;(3)分線段AB與線段CD在相遇之前與相遇之后兩種情況，利用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合BC=1，得出關(guān)于t的的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；【詳解】解：（1）∵AB=2，點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是-12，∴點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)是-12+2=-10；∵CD=1，點(diǎn)D在數(shù)軸上表示的數(shù)是15，∴點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)是15-1=14．∴BC=14-（-10）=24．故答案為：-10，14，24；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為a秒時(shí)B、C相遇，此時(shí)點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)為-10+a，點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)為14-2a∵B、C重合∴-10+a=14-2a解得a=8此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是-10+a=-10+8=-2；故答案為：-2(3)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)為-10-t，點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)為14-2t∴BC==∵BC=1∴=1∴t1=，t2=綜上所述：當(dāng)BC=1時(shí)，t=23或25；【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，兩點(diǎn)間的距離，數(shù)軸等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)之間的位置關(guān)系求出點(diǎn)B、C在數(shù)軸上表示的數(shù)．變式1．（2022·山東濟(jì)南·七年級(jí)期末）在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小亮同學(xué)借助于兩根小木棒m、n研究數(shù)學(xué)問(wèn)題：如圖，他把兩根木棒放在數(shù)軸上，木棒的端點(diǎn)A、B、C、D在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a、b、c、d，已知|a＋5|＋（b＋1）2＝0，c＝3，d＝8．(1)求m和n的長(zhǎng)度；(2)小亮把木棒m、n同時(shí)沿x軸正方向移動(dòng)，m、n的速度分別為4個(gè)單位/s和3個(gè)單位/s，設(shè)平移時(shí)間為t（s）①若在平移過(guò)程中原點(diǎn)O恰好是木棒m的中點(diǎn)，則t＝（s）；②在平移過(guò)程中，當(dāng)木棒m、n重疊部分的長(zhǎng)為2個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，求t的值．【答案】(1)m＝4，n＝5(2)①；②6s或11s【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性