專(zhuān)題17 解答中檔題型：圓的性質(zhì)與計(jì)算綜合題（解析版）

專(zhuān)題17解答中檔題型：圓的性質(zhì)與計(jì)算綜合題1．（2023?安徽）已知四邊形內(nèi)接于，對(duì)角線(xiàn)是的直徑．（1）如圖1，連接，，若，求證：平分；（2）如圖2，為內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足，．若，，求弦的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：，，，即平分；（2）延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于，，，，是的直徑，，，，，，四邊形是平行四邊形，，．2．（2022?安徽）已知為的直徑，為上一點(diǎn)，為的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連接．（1）如圖1，若，，，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，若與相切，為上一點(diǎn)，且．求證：．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1），，，，；（2）與相切，，即，，，，，，即．3．（2021?安徽）如圖，圓中兩條互相垂直的弦，交于點(diǎn)．（1）是的中點(diǎn)，，，求圓的半徑長(zhǎng)；（2）點(diǎn)在上，且，求證：．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）連接，如圖：是的中點(diǎn)，，，，，中，，且，，即圓的半徑長(zhǎng)為；（2）連接，延長(zhǎng)交于，如圖：，，是的垂直平分線(xiàn)，，即是等腰三角形，，，，，，中，，，，，即．4．（2020?安徽）如圖，是半圓的直徑，，是半圓上不同于，的兩點(diǎn)，，與相交于點(diǎn)．是半圓所在圓的切線(xiàn)，與的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，求證：平分．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：是半圓的直徑，，在與中，，；（2）解：，由（1）知，，是半圓所在圓的切線(xiàn)，，，由（1）知，，，，，，，平分．5．（2023?瑤海區(qū)一模）如圖，是內(nèi)接三角形，是的直徑，點(diǎn)是弦上一點(diǎn)，連接，．（1）若，求證：；（2）在（1）的條件下，若，，求．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：連接，是的直徑，，，，，，，；（2）解：是的直徑，，，，，，，，，，．6．（2023?合肥一模）如圖1，為的直徑，為弦，過(guò)圓心作于，點(diǎn)為延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，是的切線(xiàn)．（1）求證：；（2）如圖2，取弧的中點(diǎn)，連接，，若，，求弦的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：連接，如圖1，是的切線(xiàn)，，，即，，，，，，；（2）解：連接交于，如圖2，是直徑，，，為弧的中點(diǎn)，，，，，在中，，即弦的長(zhǎng)為．7．（2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模）如圖，已知是的外接圓，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線(xiàn)與相交于點(diǎn)，過(guò)作直線(xiàn)．（1）求證：是的切線(xiàn)；（2）連接，若，，求的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：連接，點(diǎn)是的內(nèi)心，，，，，，，，，為半徑，是的切線(xiàn)；（2）解：在中，由勾股定理得，，，，，，，在中，由勾股定理得，．8．（2023?合肥三模）如圖，是的直徑，點(diǎn)為半圓的中點(diǎn)，四邊形為平行四邊形．（1）請(qǐng)用無(wú)刻度直尺畫(huà)出圓心的位置，并說(shuō)明理由；（2）點(diǎn)為中點(diǎn)，于，交于點(diǎn)，求的度數(shù)．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)即為所求．理由：為直徑，，為平行四邊形，，為直徑，、交點(diǎn)為圓心；（2）設(shè)．為半圓的中點(diǎn)，，，．為中點(diǎn)，，，，．連接，則，，，，，，．9．（2023?廬陽(yáng)區(qū)一模）如圖，的直徑垂直于弦，垂足為，，．（1）求的半徑長(zhǎng)；（2）連接，作于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）連接，如圖，設(shè)的半徑長(zhǎng)為，，，，在中，，，，，解得，即的半徑長(zhǎng)為5；（2）在中，，，，，，，在中，，即的長(zhǎng)為．10．（2023?合肥模擬）如圖，在中，，以為直徑作交于點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．（1）求證：是的切線(xiàn)；（2）若，的半徑為5，求線(xiàn)段的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：，，，，，，，是半徑，，是的切線(xiàn)；（2）解：連接，，為的直徑，，，，，在中，，，，，在中，，，，，，，，為的直徑，，，，，．11．（2023?蜀山區(qū)二模）如圖，為的直徑，為上一點(diǎn)，和過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)互相垂直，垂足為，交于點(diǎn)，連接，．（1）求證：；（2）若，求的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：連接，是的切線(xiàn)，．，，．又，，，；（2）解：是直徑，，，，．，，，，即，，．在直角中，，．12．（2023?蜀山區(qū)校級(jí)一模）已知等腰，，且，連接交于點(diǎn)，以為直徑的上有一點(diǎn)，使得，連接交于點(diǎn)，若．（1）判斷與的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若，求的值．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）與相切，理由：連接，如圖，，．，．，．，，，，為的半徑，與相切；（2）連接，交于點(diǎn)，連接，，如圖，為的直徑，，，，點(diǎn)，，，四點(diǎn)共圓，，，，．為的直徑，．，，，為等腰直角三角形，，，，．，．為的直徑，，為等腰直角三角形，．，，，，，，．13．（2023?瑤海區(qū)二模）是的直徑，是的切線(xiàn)，連接交于點(diǎn)，連接．（1）如圖1，若，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，作的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，求的值．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）如圖1，是的切線(xiàn)，，，，，是的直徑，，即，；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，如圖2，在中，，，，，，，，平分，，，，，．14．（2023?包河區(qū)二模）已知：如圖1，為的直徑，點(diǎn)為外一點(diǎn)，，連接交于．（1）若為的切線(xiàn)，求證：；（2）如圖2，若時(shí)，請(qǐng)用尺規(guī)作圖在內(nèi)部選一點(diǎn)，使，以下是部分作圖步驟：第一步：過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，交于點(diǎn)；第二步：連接、；問(wèn)題：①請(qǐng)完成接下來(lái)的作圖，并保留作圖痕跡；②在操作中得到的依據(jù)是．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：如圖1，連接，為切線(xiàn)，，為直徑，，，，，，；（2）解：①如圖第一步：過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，交于點(diǎn)；第二步：連接、；第二步：以為圓心，以為半徑作，在上且在的內(nèi)部取一點(diǎn)連接，，則即為所求；②在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半．故答案為：在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半．15．（2023?廬陽(yáng)區(qū)二模）如圖，在中，是直徑，點(diǎn)在圓上，、分別平分和，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：、分別平分和，，，，，，，；（2）解：與相交于點(diǎn)，如圖，為直徑，，在中，，平分，點(diǎn)到和的距離相等，，，，，，在中，，，，，，即，解得，即的長(zhǎng)為．16．（2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)二模）如圖，內(nèi)接于，為直徑，射線(xiàn)于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線(xiàn)交射線(xiàn)于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；（2）當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）連接，如圖，為直徑，．，為的切線(xiàn)，，，，．，，．，．；（2），設(shè)，則，．，．，為的中位線(xiàn)，，，．，．，，，，，．．17．（2023?廬江縣模擬）如圖，是的直徑，是的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，求弧的長(zhǎng)度．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：是弧的中點(diǎn)，，在中，，，，，又是弧的中點(diǎn)，，，．（2）解：連接，，，，，，，是的中點(diǎn)，，，弧長(zhǎng)．18．（2023?合肥二模）如圖，以為直徑的經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)，，分別平分和，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，連接．（1）判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）為等腰直角三角形，理由如下：平分，平分，，．，，，，為直徑，．為等腰直角三角形；（2）如圖：連接，，，交于點(diǎn)．，．，垂直平分．是等腰直角三角形，，．，．設(shè)，則．在和中，，解得，，．19．（2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模）如圖，是的直徑，，都是上的點(diǎn)，平分，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．（1）求證：是的切線(xiàn)；（2）若，，求的值．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：如圖1，連接，平分，，，，，，且在上，是的切線(xiàn)；（2）連接，交于，是的直徑，，，，，，，，，，，，，，，四邊形是矩形，，．20．（2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模）如圖，在中，直徑為，正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在半徑、以及上，并且．（1）若，求的長(zhǎng)度；（2）若半徑是5，求正方形的邊長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）四邊形為正方形，，，，，，連接，則為直角三角形，，即的半徑為，；（2）四邊形是正方形，，，，，，，，，，，在中，，即，解得：，則正方形的邊長(zhǎng)為．21．（2023?合肥一模）如圖，在中，為直徑，點(diǎn)、在上，交于點(diǎn)連接，．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：，，；（2）解：，，，，，，整理得，解得或，，．22．（2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模）中，，為上一點(diǎn)，以為心，為半徑的與相切于點(diǎn)．（1）求證：平分；（2）連接，若，求的值．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）連接，切于，，，，，，，，平分；（2）設(shè)交于，連接，為的直徑，，由（1）得，，，，，，四邊形內(nèi)接于，，，，，，設(shè)，則，，．23．（2023?合肥模擬）如圖，是的直徑，，是上兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)垂直于的延長(zhǎng)線(xiàn)，垂足為點(diǎn)，，相交于點(diǎn)．（1）求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：連接交于，切圓于，半徑，，，，，，，，是的中點(diǎn)；（2）解：設(shè)圓的半徑是，，，，，，，，，，，是的中位線(xiàn)，．24．（2023?包河區(qū)一模）如圖，是的直徑，是的一條弦，于點(diǎn)，連接．（1）若，求的度數(shù)；（2），的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)，是的切線(xiàn)，交于點(diǎn)，若，求證：．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）解：，，，是的直徑，，，，故的度數(shù)為；（2）證明：連接，，是的切線(xiàn)，，，，，，，，，是的直徑，，，，，，．25．（2023?合肥模擬）如圖，四邊形內(nèi)接于，，對(duì)角線(xiàn)為的直徑，為外一點(diǎn)，平分，，連接．（1）求的度數(shù)；（2）連接，求證：．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）解：連接，平分，，，，，，，，為的直徑，，，，；（2）證明：延長(zhǎng)交于，連接，，是圓的直徑，，，由（1）知，，是等腰直角三角形，，，，，，，，．26．（2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)三模）如圖，是的直徑，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于，連接，．（1）求證：；（2）若，，求的面積．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：如圖，連接，是的切線(xiàn)，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，；（2）解：如圖，連接，，，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是菱形，，，是等邊三角形，，，，，，，的面積．即的面積為．27．（2023?廬陽(yáng)區(qū)模擬）如圖，點(diǎn)為圓外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，連接，若與垂直．（1）求證：；（2）若，圓的半徑為8，求的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：，，，，，，，，與圓切于，半徑，，，；（2）解：作于，，，，圓的半徑為8，，，，，，，，，，，，的長(zhǎng)是．28．（2023?合肥二模）如圖，為的外接圓，直線(xiàn)與相切于點(diǎn)，弦，與相交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求的半徑．【答案】見(jiàn)解析【詳解】證明：（1）連接，交于，連接，直線(xiàn)與相切于點(diǎn)，，，，，；（2），，，，，，的半徑為．29．（2023?瑤海區(qū)三模）如圖，在中，，是邊上的一點(diǎn)，以為半徑的與邊相切于點(diǎn)．（1）若，的半徑為3，求的長(zhǎng)．（2）過(guò)點(diǎn)作弦于，連接，若．求證：四邊形是菱形．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）解：連接，，的半徑為3，，與邊相切于點(diǎn)，，，，是的切線(xiàn)，，在中，，即，解得：；（2）證明：由圓周角定理得：，，，，，，，，，，，，，四邊形為平行四邊形，，平行四邊形為菱形．30．（2023?廬江縣二模）如圖，點(diǎn)是直徑延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，，點(diǎn)是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），點(diǎn)為半徑的中點(diǎn)．（1）如圖1，若，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，求證：是的切線(xiàn)．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）解：如圖1，連接．，，又，，，，；（2）證明：如圖2，連接，．點(diǎn)為半徑的中點(diǎn)，．，．，．又，是等邊三角形，，，，，，，是的半徑，是的切線(xiàn)．31．（2023?蜀山區(qū)校級(jí)一模）如圖，為的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．作，垂足為點(diǎn)，已知平分．（1）求證：是的切線(xiàn)；（2）若，，求的半徑．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：，，，，平分，，，，，是的半徑，是的切線(xiàn)；（2）解：設(shè)．，，，，，（負(fù)根已經(jīng)舍去），的半徑為．32．（2023?蕪湖模擬）如圖1，已知為的直徑，為上一點(diǎn)，于，為弧的中點(diǎn)，連接，分別交、于點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求證：；（2）如圖2，若，連接，求證：．【答案】見(jiàn)解析【詳解】證明：（1）連接，為的直徑，，，，，，為弧的中點(diǎn)，，，，，，；（2）連接，，，，，，，，，，，，，，，．33．（2023?包河區(qū)校級(jí)一模）如圖，四邊形為的內(nèi)接四邊形，且為的直徑，，延長(zhǎng)到，使得，連接．（1）求證：；（2）若為的切線(xiàn)，且，求的長(zhǎng)度．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：連接，，，，，，；解：連接，，，，，為的直徑，，，為的中點(diǎn)，，為的切線(xiàn)，，，，，，，，，，，，，，的長(zhǎng)度是．34．（2023?瑤海區(qū)模擬）如圖，是的直徑，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于，連接，．（1）求證：；（2）若，，求的半徑．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：如圖，連接，是的切線(xiàn)，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，；（2）解：如圖，連接，，，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是菱形，，，是等邊三角形，，，，，，，即的半徑為2．35．（2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模）如圖1，已知是的內(nèi)接三角形，是的直徑，是的弦，連接，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如圖2，連接、，若，且，，求的長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：，都是弧所對(duì)的圓周角，，，；（2）解：方法一：，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為的中位線(xiàn)，，為直徑，，，，，設(shè)，，在和中，有，即，整理得：，，解得：，，，解得：或（舍去），的長(zhǎng)為；方法二：，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為的中位線(xiàn)，，為直徑，，，，，，，，，．36．（2023?安慶一模）如圖，在中，以的邊為直徑作，交于點(diǎn)，是的切線(xiàn)，且，垂足為點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求直徑長(zhǎng)．【答案】見(jiàn)解析【詳解】（1）連接，是的