廣西壯族自治區(qū)百色市貴百聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2024屆廣西名校開學(xué)考試試題數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：150分鐘滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單選題：共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】運(yùn)用集合交集的定義直接求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，故選：D2.若復(fù)數(shù)z滿足，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法與幾何意義求解即可.【詳解】由，對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，在第二象限．故選：B．3.函數(shù)是奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)列方程求參數(shù)，驗(yàn)證是否滿足題設(shè).【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，且定義域?yàn)?，∴，即，解得，所以，而，故，滿足題設(shè).故選：C4.已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，，，則（）A.15 B.31 C.63 D.7【答案】A【解析】【分析】設(shè)公比為，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，由，，得，即，解得，所以，所以，故選：A．5.圓，圓，則兩圓的一條公切線方程為（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】由圓與圓位置關(guān)系的判斷可知兩圓外離，得公切線條數(shù)；根據(jù)兩圓半徑相同可確定兩條公切線過，兩條公切線平行于，假設(shè)公切線方程，利用圓心到直線距離等于半徑可構(gòu)造方程求得公切線.【詳解】由兩圓方程得：圓心，，半徑，兩圓圓心距，，即兩圓外離，公切線共有條；兩圓半徑相同，兩圓兩條公切線經(jīng)過中點(diǎn)，兩條公切線與平行，經(jīng)過中點(diǎn)的公切線斜率顯然存在，可設(shè)為：，，解得：或，即公切線方程為：或；，與平行的公切線方程為，即，，解得：，即公切線方程為或；綜上所述：兩圓公切線方程為：或或或.故選：C.6.某中學(xué)體育節(jié)中，羽毛球單打12強(qiáng)中有3個(gè)種子選手，將這12人任意分成3個(gè)組（每組4個(gè)人），則3個(gè)種子選手恰好被分在同一組的分法種數(shù)為（）A.210 B.105 C.315 D.630【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分組方法，利用排列組合即可得出3個(gè)種子選手恰好被分在同一組的分法種數(shù).【詳解】由題意，12人任意分成3個(gè)組，3個(gè)種子選手分在同一組的方法有：（種），故選：C．7.圓錐的底面圓半徑，側(cè)面的平面展開圖的面積為，則此圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面積公式可求得母線長，進(jìn)而得到圓錐的高，代入圓錐體積公式即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，高為，圓錐的側(cè)面展開圖面積，，，圓錐的體積.故選：A.8.設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，，通過其單調(diào)性后可得，整理后可得；作差，則可得.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，則，得在上單調(diào)遞減，又，則，即.作差：，則，綜上所述，.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題涉及比較指數(shù)式與分?jǐn)?shù)的大小，難度較大.本題因難以估值及找中間量，故采用構(gòu)造函數(shù)法比較大小，而構(gòu)造函數(shù)的關(guān)鍵為找到比較式子間的關(guān)系.二、多選題：共4小題，每小題5分，共20分，每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)得0分．9.下列命題中，正確的命題是（）A.數(shù)據(jù)4，5，6，7，8的第80百分位數(shù)為7B.若經(jīng)驗(yàn)回歸方程為時(shí)，則變量x與y負(fù)相關(guān)C.對于隨機(jī)事件A，B，若，則A與B相互獨(dú)立D.某學(xué)習(xí)小組調(diào)查5名男生和5名女生的成績，其中男生成績的平均數(shù)為9，方差為13；女生成績的平均數(shù)為7，方差為10，則該10人成績的方差為10.5【答案】BC【解析】【分析】A項(xiàng)，根據(jù)5個(gè)數(shù)據(jù)即可計(jì)算出第80百分位數(shù)；B項(xiàng)，根據(jù)回歸方程的自變量前的系數(shù)即可得出x與y的相關(guān)關(guān)系；C項(xiàng)，通過給出的條件，即可得出A與B是否相互獨(dú)立；D項(xiàng)，根據(jù)已知數(shù)據(jù)求出10人的平均成績，即可得出該10人成績的方差.【詳解】對于A，由于，則4，5，6，7，8的第50百分位數(shù)為：，故A錯(cuò)；對于B，若方程為時(shí)，則變量x與y負(fù)相關(guān)，故B正確；對于C，若，則有，可得，則A與B相互獨(dú)立，故C正確；對于D，10人的成績平均：，則10人的方差，故D錯(cuò)；故選：BC．10.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，且A在x軸上方，過A、B分別作C的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為、，則（）A.若的縱坐標(biāo)為，則B.C.準(zhǔn)線方程為D.以為直徑的圓與直線相切于F【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的幾何性質(zhì)，可判定A錯(cuò)誤、C正確；設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程方程組，結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和直線與圓的位置關(guān)系的判定方法，可判定B錯(cuò)誤，D正確.【詳解】由拋物線，可得拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，所以C正確；對于A中，由的縱坐標(biāo)為，可得橫坐標(biāo)為，根據(jù)拋物線的定義，可得，所以A錯(cuò)誤；對于B中，設(shè)直線的方程為，且，，則，，聯(lián)立方程，整理得，則，，因?yàn)?，，可得，所以與不互垂直，所以B錯(cuò)誤；對于D中，因?yàn)椋?，可得，則，所以的中點(diǎn)到直線的距離，又因?yàn)?，故以為直徑的圓與直線相切于，所以D正確.故選：CD．11.已知四面體的四個(gè)面均為直角三角形，其中平面，，且．若該四面體的體積為，則（）A.平面 B.平面平面C.的最小值為3 D.四面體外接球的表面積的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】如圖所示，將四面體補(bǔ)全為長方體，證得，，進(jìn)而證得平面，可判定A正確；根據(jù)題意得到即為二面角的平面角，結(jié)合為銳角，可判定B不正確；設(shè)，，求得，結(jié)合基本不等式，可判定C正確．設(shè)四面體外接球的半徑為，結(jié)合基本不等式，求得，可判定D正確．【詳解】如圖所示，將四面體補(bǔ)全為長方體，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，且平面，所以平面，所以A正確；因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫?，，平面，則即為二面角的平面角，因?yàn)闉殇J角，即二面角為銳二面角，所以B不正確；設(shè)，，可得，得，又由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，所以C正確．設(shè)四面體外接球的半徑為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，即四面體外接球的表面積的最小值為，所以D正確．故選：ACD．12.函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別是，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為方程在有兩個(gè)不等實(shí)根，由一元二次方程根的分布可構(gòu)造不等式組求得A正確；利用韋達(dá)定理和的范圍可確定BC正確；構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)可求得，由此可確定D正確.【詳解】對于A，的定義域?yàn)?，，有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于方程在有兩個(gè)不等實(shí)根，，解得：，A正確；對于B，，，，又，，即，B錯(cuò)誤；對于C，，，，C正確；對于D，；令，則，令，則，在上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞減，，，，D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問題；本題求解參數(shù)范圍的基本思路是將問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)變號零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題的求解，根據(jù)方程根的分布來構(gòu)造不等關(guān)系；本題證明不等式的關(guān)鍵是能夠?qū)㈦p變量的問題轉(zhuǎn)化為單一變量的問題，從而構(gòu)造關(guān)于單一變量的函數(shù)來求解.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.的展開式中的系數(shù)為________．【答案】90【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式公式求解中與的項(xiàng)，再求解即可.【詳解】的通項(xiàng)，令，則；令，則，故的展開式中的系數(shù)為.故答案為：90．14.已知，，則________．【答案】22【解析】【分析】根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示即可得，再根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可.【詳解】，，故答案為：22．15.函數(shù)在上恰有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】化簡得到，求得的范圍后，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，在上恰有個(gè)零點(diǎn)，，解得：，即的取值范圍為.故答案為：.16.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在C上，若，，則C的離心率為________．【答案】##【解析】【分析】利用余弦定理列方程，化簡求得離心率.【詳解】，，O是的中點(diǎn)，所以，故由得，因?yàn)?，，所以，在中，，在中，，∴，即，則，離心率為．故答案為：【點(diǎn)睛】求橢圓的離心率，方法有很多，一種是直接求得，進(jìn)而求得橢圓的離心率；一種是求得的關(guān)系式（齊次式），化簡求得橢圓的離心率；一種是求得的關(guān)系式（齊次式），化簡求得橢圓的離心率.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知數(shù)列滿足：，，數(shù)列是以4為公差的等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合累和法進(jìn)行求解即可；（2）運(yùn)用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】根據(jù)題意可得；當(dāng)時(shí)，，又符合上式，所以；【小問2詳解】，18.在中，角的對邊分別是，且．（1）求的值；（2）若，，是線段上的一點(diǎn)，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角余弦公式和同角三角函數(shù)平方關(guān)系直接求解即可；（2）利用余弦定理可得，利用面積關(guān)系可求得所求最小值.【小問1詳解】由得：，整理可得：，或（舍），，.【小問2詳解】由余弦定理得：，，且角B為鈍角，可知當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，即，解得：，的最小值為.19.四邊形為菱形，平面，，，．（1）設(shè)中點(diǎn)為，證明：平面；（2）求平面與平面的夾角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用菱形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)和判定定理進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】四邊形為菱形，且，中點(diǎn)為，所以．因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以．又，，平面，所以平面；【小?詳解】設(shè)交于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，所以，底面．以為原點(diǎn)，以，，分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，所以，，，，，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得；，，平面一個(gè)法向量為，則，令得；所以，所以平面與平面的夾角的大小為．20.某研究小組為研究經(jīng)常鍛煉與成績好差的關(guān)系，從全市若干所學(xué)校中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，其中有體育鍛煉習(xí)慣的有45人．經(jīng)調(diào)查，得到這100名學(xué)生近期考試的分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖．記分?jǐn)?shù)在600分以上的為優(yōu)秀，其余為合格．（1）請完成下列列聯(lián)表．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析成績優(yōu)秀與體育鍛煉有沒有關(guān)系．經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計(jì)合格25優(yōu)秀10合計(jì)100（2）現(xiàn)采取分層抽樣的方法，從這100人中抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取5人進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)查，記抽到5人中優(yōu)秀的人數(shù)為X，求X的分布列．附：，其中．0.0500.0100.001k3.841663510.828【答案】（1）列聯(lián)表見解析；成績優(yōu)秀與是否經(jīng)常體育鍛煉有關(guān)聯(lián)（2）分布列見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到列聯(lián)表，求得的值，結(jié)合附表，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意，求得抽取的10人中合格有人，優(yōu)秀的為人，得到服從超幾何分布，得出的可能值，求得相應(yīng)的概率，列出分布列.【小問1詳解】解：根據(jù)題意，得到列聯(lián)表經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉合計(jì)合格254570優(yōu)秀201030合計(jì)4555100零假設(shè)：成績是否優(yōu)秀與是否經(jīng)常體育鍛煉無關(guān)，可得．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，所以的把握認(rèn)為成績優(yōu)秀與是否經(jīng)常體育鍛煉有關(guān)聯(lián).【小問2詳解】解：根據(jù)頻率分布直方圖，可得大于600分的頻率為，小于600分的頻率為，所以由分層抽樣知，抽取的10人中合格有人，優(yōu)秀的為人，則從這10人中隨機(jī)抽取5人，優(yōu)秀人數(shù)服從超幾何分布，由題意的可能值為0，1，2，3可得，，，所以隨機(jī)變量分布列為X0123P21.已知雙曲線C：一個(gè)焦點(diǎn)F到漸近線的距離為．（1）求雙曲線C的方程；（2）過點(diǎn)的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)N，使得為定值？如果存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)及該定值；如果不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在；點(diǎn)，【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)到線的距離公式去接即可；（2）設(shè)其方程為，，設(shè)，，，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，得出韋達(dá)定理，化簡可得，從而得到定點(diǎn)與定值.小問1詳解】由雙曲線得漸近線方程為，設(shè)，則，∴雙曲線C方程為；【小問2詳解】依題意，直線的斜率不為0，設(shè)其方程為，，代入得，設(shè)，，，則，，∴若要上式為定值，則必須有，即，∴，故存在點(diǎn)滿足

22.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍．【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間即可；（2）設(shè)，求導(dǎo)分析單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增