2023-2024學(xué)年重慶市渝中區(qū)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年重慶市渝中區(qū)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．若，則集合P中元素的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．命題“，0”的否定為（

）A．， B．，C．， D．，3．已知集合，，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．既不充分也不必要條件 D．充要條件4．若，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．5．已知，q：關(guān)于x的不等式的解集為R，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．?dāng)?shù)學(xué)里有一種證明方法叫做Proofswithoutwords，也稱(chēng)之為無(wú)字證明，一般是指僅用圖象語(yǔ)言而無(wú)需文字解釋就能不證自明的數(shù)學(xué)命題，由于這種證明方法的特殊性，無(wú)字證明被認(rèn)為比嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明更為優(yōu)雅.現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為斜邊上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，則該圖形可以完成的無(wú)字證明為（

）A． B．C． D．7．已知且，不等式恒成立，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．m≥2 B．m≥4 C．m≥6 D．m≥88．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．）9．下列命題中是全稱(chēng)量詞命題并且是真命題的是（）A． B．C．菱形的對(duì)角線互相垂直 D．任意四邊形均有外接圓10．下列冪函數(shù)中滿足條件的函數(shù)是（

）A． B． C． D．11．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，當(dāng)時(shí)，，且滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．為奇函數(shù)B．C．不等式的解集為D．12．已知,若對(duì)任意的,不等式恒成立.則（

）A． B．C．的最小值為12 D．的最小值為三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上．）13．已知，，則（填數(shù)值）14．若函數(shù)，滿足對(duì)任意，都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.15．若冪函數(shù)過(guò)點(diǎn)，則滿足不等式的實(shí)數(shù)的取值范圍是．16．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則．四、解答題（本大題共6小題，共70分．請(qǐng)將正確答案做在答題卷相應(yīng)位置，要有必要的推理或證明過(guò)程．）17．已知集合，集合.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，求的取值范圍.18．已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)若關(guān)于的不等式的解集為，求的值；(2)若，求關(guān)于的不等式的解集.19．已知的三邊長(zhǎng)為，其中.求證：為等邊三角形的充要條件是．20．如圖，現(xiàn)將正方形區(qū)域規(guī)劃為居民休閑廣場(chǎng)，八邊形位于正方形的正中心，計(jì)劃將正方形WUZV設(shè)計(jì)為湖景，造價(jià)為每平方米20百元；在四個(gè)相同的矩形，上修鵝卵石小道，造價(jià)為每平方米2百元；在四個(gè)相同的五邊形上種植草坪，造價(jià)為每平方米2百元；在四個(gè)相同的三角形上種植花卉，造價(jià)為每平方米5百元.已知陰影部分面積之和為8000平方米，其中的長(zhǎng)度最多能達(dá)到40米.(1)設(shè)總造價(jià)為（單位：百元），長(zhǎng)為（單位：米），試用表示；(2)試問(wèn)該居民休閑廣場(chǎng)的最低造價(jià)為多少百元？（參考數(shù)據(jù)：取，結(jié)果保留整數(shù)）21．已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求的解析式；(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．若在函數(shù)的定義域內(nèi)存在區(qū)間，使得在上單調(diào)，且函數(shù)值的取值范圍是（是常數(shù)），則稱(chēng)函數(shù)具有性質(zhì)．(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)否具有性質(zhì)?若具有，求出，；若不具有，說(shuō)明理由；(2)若定義在上的函數(shù)具有性質(zhì)，求的取值范圍．答案和解析1．B【分析】根據(jù)集合和元素的概念進(jìn)行求解.【詳解】集合P中元素為，，共2個(gè)．故選：B2．C【分析】利用含有一個(gè)量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】因?yàn)槊}“，0”是全稱(chēng)量詞命題，所以其否定為，，故選：C3．A【分析】根據(jù)集合之間的包含關(guān)系判斷即可.【詳解】，，表示3的整數(shù)倍加1，表示全體整數(shù)，所以可以推出，不可以推出，所以是的充分不必要條件.故選：A4．D【分析】由基本不等式求最小值．【詳解】，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故選：D．5．A【分析】解不等式得到，由不等式解集為R，利用根的判別式得到，結(jié)合兩集合的包含關(guān)系，得到p是q的充分不必要條件．【詳解】，由關(guān)于x的不等式的解集為R，可得，解之得，則由是的真子集，可得p是q的充分不必要條件．故選：A6．B【分析】通過(guò)圖形，并因?yàn)?，，所以，，從而可以通過(guò)勾股定理求得，又因?yàn)?，從而可以得到答?【詳解】等腰直角三角形，O為斜邊AB的中點(diǎn)，，，而，所以，故選項(xiàng)B正確.故選：B7．D【分析】由條件結(jié)合基本不等式可求的范圍，化簡(jiǎn)不等式可得，利用二次函數(shù)性質(zhì)求的最大值，由此可求m的取值范圍.【詳解】不等式可化為，又，，所以，令，則，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又已知在上恒成立，所以因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以m≥8，當(dāng)且僅當(dāng)，或，時(shí)等號(hào)成立，所以m的取值范圍是，故選：D.8．C【分析】根據(jù)題意結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)分析的符號(hào)，進(jìn)而解不等式.【詳解】當(dāng)時(shí)，令，可知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，可知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；對(duì)于不等式，則或，可得或，所以不等式的解集為.故選：C.9．AC【分析】根據(jù)全稱(chēng)量詞的定義，逐項(xiàng)判斷命題真假即可.【詳解】對(duì)于A，“”是全稱(chēng)量詞，且由于，故對(duì)，為真命題，故A正確；對(duì)于B，“”是存在量詞，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，“所有的”是全稱(chēng)量詞，所有的菱形的對(duì)角線都互相垂直，故C正確，對(duì)于D，任意四邊形不一定有外接圓，對(duì)角和為的四邊形，有外接圓；對(duì)角和不是的四邊形，沒(méi)有外接圓，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10．BD先明確題目中條件對(duì)應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，再根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行判斷選擇.【詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，滿足條件的函數(shù)的圖象是凹形曲線.對(duì)于A，函數(shù)的圖象是一條直線，故當(dāng)時(shí)，；對(duì)于B，函數(shù)的圖象是凹形曲線，故當(dāng)時(shí)，；對(duì)于C，函數(shù)的圖象是凸形曲線，故當(dāng)時(shí)，；對(duì)于D，在第一象限，函數(shù)的圖象是一條凹形曲線，故當(dāng)時(shí)，，故選：BD.本題考查函數(shù)圖象與性質(zhì)，考查綜合分析判斷能力，屬中檔題.11．AB【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義，并結(jié)合條件，即可判斷A；根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求的值，即可判斷B；根據(jù)單調(diào)性的定義，判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求解不等式，判斷C；根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求和，判斷D.【詳解】對(duì)于A中，令，可得，所以，令，得到，即，所以為奇函數(shù)，故A正確；對(duì)于B中，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，故B正確；對(duì)于C中，設(shè)，可得，所以，又因?yàn)?，所以，所以，即，所以在R上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，由，可得，所以，所以，得到，所以的解集為，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以，又，故，所以D錯(cuò)誤.故選：AB12．ACD【分析】先對(duì)進(jìn)行因式分解,分情況討論小于等于零的情況,可得,即,可得選項(xiàng)A,B正誤;將中的用代替,再用基本不等式即可得出正誤;先將代入中,再進(jìn)行換元,求出新元的范圍,根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可求出最值,判斷D的正誤.【詳解】因?yàn)?恒成立,即恒成立,因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),,則需,當(dāng)時(shí),,則需,故當(dāng)時(shí),,即,所以且,故選項(xiàng)A正確,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí)取等,故選項(xiàng)C正確;因?yàn)?令,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故，所以,故,所以在上,單調(diào)遞減,即,所以，故選項(xiàng)D正確.故選:ACD思路點(diǎn)睛:該題考查基本不等式的應(yīng)用,屬于難題,關(guān)于不等式有:(1),;(2)柯西不等式:;(3)變換后再用基本不等式:.13．2【分析】利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算出結(jié)果.【詳解】.故214．【分析】先判斷出函數(shù)為減函數(shù)，再根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性來(lái)列出不等關(guān)系，求出結(jié)果【詳解】因?yàn)?，所以在R上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱(chēng)軸為，分段函數(shù)要滿足在上單調(diào)遞減，需要滿足，解得.故15．【分析】根據(jù)冪函數(shù)所過(guò)點(diǎn)得到為偶函數(shù)，在第一象限過(guò)，從而求出解析式，根據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性得到不等式，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】?jī)绾瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，∴為偶函數(shù)，在第一象限過(guò)；當(dāng)，設(shè)，則，解得；∴冪函數(shù)，由于，故在上單調(diào)遞增，不等式，平方得，解得；所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故16．【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，先求得，然后求得.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以①，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以②，令，由①得：，由②得：，因?yàn)?，所以，令，由②得：，所以?dāng)時(shí)，，.故17．(1)，(2)或【分析】（1）根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可求解，（2）分類(lèi)討論即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，.因?yàn)榛颍?（2）當(dāng)時(shí)，，解得.當(dāng)時(shí)，或解得，即的取值范圍是或.18．(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)不等式的解集結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算求值即可;（2）分,,三種情況討論一元二次不等式的解集.【詳解】（1）由拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)得，因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以，易得關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根分別為.由根與系數(shù)的關(guān)系可得解得或-3（舍去），即.（2）不等式可化為.令，得.當(dāng)時(shí)，不等式為，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，解不等式得；當(dāng)時(shí)，，解不等式得.綜上，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.19．證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)題意，結(jié)合充分性和必要性的證明方法，結(jié)合多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)、運(yùn)算，即可求解.【詳解】證明：充分性：當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式可化為，即，所以，則，所以，即，為等邊三角形，即充分性成立；必要性：由為等邊三角形，且，所以，則，，所以，即必要性成立．故為等邊三角形的充要條件是．20．(1)(2)68800百元【分析】（1）將各部分分別求造價(jià)再求和即可；（2）根據(jù)基本不等式求解即可.【詳解】（1）方法一：因?yàn)槊?，所以米，得?根據(jù)題意可得四個(gè)三角形的面積之和為平方米，正方形的面積為平方米，四個(gè)五邊形的面積之和為平方米，則休閑廣場(chǎng)的總造價(jià).方法二：設(shè)米，因?yàn)槊?，所以米，得米，根?jù)題意可得陰影部分面積為平方米，則，四個(gè)三角形的面積之和為平方米，正方形的面積為平方米，因?yàn)檎叫蔚拿娣e為平方米，所以四個(gè)五邊形的面積之和為平方米，所以休閑廣場(chǎng)的總造價(jià).（2）因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以該居民休閑廣場(chǎng)的總造價(jià)最低為68800百元.21．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）設(shè)，且則，即可得到恒成立，參變分離得到，即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由函數(shù)為R上的奇函數(shù)得；當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)闉镽上的奇函數(shù)，所以，所以，

故（2）由函數(shù)在上單調(diào)遞減，設(shè)，且，都有，即，即.

則，因?yàn)?，所以，所以，則，又，

所以.22．(1)函數(shù)具有性質(zhì)M，(2)．【分析】（1）首先求出函數(shù)的定義域與單調(diào)性，依題意可得，解得