2023-2024學(xué)年重慶市渝中區(qū)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年重慶市渝中區(qū)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．若，則集合P中元素的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．命題“，0”的否定為（

）A．， B．，C．， D．，3．已知集合，，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．既不充分也不必要條件 D．充要條件4．若，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．5．已知，q：關(guān)于x的不等式的解集為R，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．?dāng)?shù)學(xué)里有一種證明方法叫做Proofswithoutwords，也稱之為無字證明，一般是指僅用圖象語言而無需文字解釋就能不證自明的數(shù)學(xué)命題，由于這種證明方法的特殊性，無字證明被認為比嚴格的數(shù)學(xué)證明更為優(yōu)雅.現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點為斜邊的中點，點為斜邊上異于頂點的一個動點，設(shè)，，則該圖形可以完成的無字證明為（

）A． B．C． D．7．已知且，不等式恒成立，則正實數(shù)m的取值范圍是（）A．m≥2 B．m≥4 C．m≥6 D．m≥88．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．）9．下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是（）A． B．C．菱形的對角線互相垂直 D．任意四邊形均有外接圓10．下列冪函數(shù)中滿足條件的函數(shù)是（

）A． B． C． D．11．已知函數(shù)的定義域為R，且，當(dāng)時，，且滿足，則下列說法正確的是（

）A．為奇函數(shù)B．C．不等式的解集為D．12．已知,若對任意的,不等式恒成立.則（

）A． B．C．的最小值為12 D．的最小值為三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．）13．已知，，則（填數(shù)值）14．若函數(shù)，滿足對任意，都有成立，則實數(shù)a的取值范圍是.15．若冪函數(shù)過點，則滿足不等式的實數(shù)的取值范圍是．16．設(shè)函數(shù)的定義域為R，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，當(dāng)時，，若，則．四、解答題（本大題共6小題，共70分．請將正確答案做在答題卷相應(yīng)位置，要有必要的推理或證明過程．）17．已知集合，集合.(1)當(dāng)時，求；(2)若，求的取值范圍.18．已知拋物線經(jīng)過點.(1)若關(guān)于的不等式的解集為，求的值；(2)若，求關(guān)于的不等式的解集.19．已知的三邊長為，其中.求證：為等邊三角形的充要條件是．20．如圖，現(xiàn)將正方形區(qū)域規(guī)劃為居民休閑廣場，八邊形位于正方形的正中心，計劃將正方形WUZV設(shè)計為湖景，造價為每平方米20百元；在四個相同的矩形，上修鵝卵石小道，造價為每平方米2百元；在四個相同的五邊形上種植草坪，造價為每平方米2百元；在四個相同的三角形上種植花卉，造價為每平方米5百元.已知陰影部分面積之和為8000平方米，其中的長度最多能達到40米.(1)設(shè)總造價為（單位：百元），長為（單位：米），試用表示；(2)試問該居民休閑廣場的最低造價為多少百元？（參考數(shù)據(jù)：取，結(jié)果保留整數(shù)）21．已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，.(1)求的解析式；(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍.22．若在函數(shù)的定義域內(nèi)存在區(qū)間，使得在上單調(diào)，且函數(shù)值的取值范圍是（是常數(shù)），則稱函數(shù)具有性質(zhì)．(1)當(dāng)時，函數(shù)否具有性質(zhì)?若具有，求出，；若不具有，說明理由；(2)若定義在上的函數(shù)具有性質(zhì)，求的取值范圍．答案和解析1．B【分析】根據(jù)集合和元素的概念進行求解.【詳解】集合P中元素為，，共2個．故選：B2．C【分析】利用含有一個量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】因為命題“，0”是全稱量詞命題，所以其否定為，，故選：C3．A【分析】根據(jù)集合之間的包含關(guān)系判斷即可.【詳解】，，表示3的整數(shù)倍加1，表示全體整數(shù)，所以可以推出，不可以推出，所以是的充分不必要條件.故選：A4．D【分析】由基本不等式求最小值．【詳解】，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故選：D．5．A【分析】解不等式得到，由不等式解集為R，利用根的判別式得到，結(jié)合兩集合的包含關(guān)系，得到p是q的充分不必要條件．【詳解】，由關(guān)于x的不等式的解集為R，可得，解之得，則由是的真子集，可得p是q的充分不必要條件．故選：A6．B【分析】通過圖形，并因為，，所以，，從而可以通過勾股定理求得，又因為，從而可以得到答案.【詳解】等腰直角三角形，O為斜邊AB的中點，，，而，所以，故選項B正確.故選：B7．D【分析】由條件結(jié)合基本不等式可求的范圍，化簡不等式可得，利用二次函數(shù)性質(zhì)求的最大值，由此可求m的取值范圍.【詳解】不等式可化為，又，，所以，令，則，因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又已知在上恒成立，所以因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以m≥8，當(dāng)且僅當(dāng)，或，時等號成立，所以m的取值范圍是，故選：D.8．C【分析】根據(jù)題意結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)分析的符號，進而解不等式.【詳解】當(dāng)時，令，可知：當(dāng)時，；當(dāng)時，；又因為是奇函數(shù)，可知：當(dāng)時，；當(dāng)時，；對于不等式，則或，可得或，所以不等式的解集為.故選：C.9．AC【分析】根據(jù)全稱量詞的定義，逐項判斷命題真假即可.【詳解】對于A，“”是全稱量詞，且由于，故對，為真命題，故A正確；對于B，“”是存在量詞，故B錯誤；對于C，“所有的”是全稱量詞，所有的菱形的對角線都互相垂直，故C正確，對于D，任意四邊形不一定有外接圓，對角和為的四邊形，有外接圓；對角和不是的四邊形，沒有外接圓，故D錯誤.故選：AC.10．BD先明確題目中條件對應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，再根據(jù)性質(zhì)進行判斷選擇.【詳解】由題意可知，當(dāng)時，滿足條件的函數(shù)的圖象是凹形曲線.對于A，函數(shù)的圖象是一條直線，故當(dāng)時，；對于B，函數(shù)的圖象是凹形曲線，故當(dāng)時，；對于C，函數(shù)的圖象是凸形曲線，故當(dāng)時，；對于D，在第一象限，函數(shù)的圖象是一條凹形曲線，故當(dāng)時，，故選：BD.本題考查函數(shù)圖象與性質(zhì)，考查綜合分析判斷能力，屬中檔題.11．AB【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義，并結(jié)合條件，即可判斷A；根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求的值，即可判斷B；根據(jù)單調(diào)性的定義，判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求解不等式，判斷C；根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求和，判斷D.【詳解】對于A中，令，可得，所以，令，得到，即，所以為奇函數(shù)，故A正確；對于B中，因為為奇函數(shù)，所以，故B正確；對于C中，設(shè)，可得，所以，又因為，所以，所以，即，所以在R上單調(diào)遞增，因為，所以，由，可得，所以，所以，得到，所以的解集為，所以C錯誤；對于D中，因為為奇函數(shù)，所以，所以，又，故，所以D錯誤.故選：AB12．ACD【分析】先對進行因式分解,分情況討論小于等于零的情況,可得,即,可得選項A,B正誤;將中的用代替,再用基本不等式即可得出正誤;先將代入中,再進行換元,求出新元的范圍,根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可求出最值,判斷D的正誤.【詳解】因為,恒成立,即恒成立,因為,所以當(dāng)時,,則需,當(dāng)時,,則需,故當(dāng)時,,即,所以且,故選項A正確,選項B錯誤;所以,當(dāng)且僅當(dāng)時,即時取等,故選項C正確;因為,令,當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故，所以,故,所以在上,單調(diào)遞減,即,所以，故選項D正確.故選:ACD思路點睛:該題考查基本不等式的應(yīng)用,屬于難題,關(guān)于不等式有:(1),;(2)柯西不等式:;(3)變換后再用基本不等式:.13．2【分析】利用指數(shù)冪的運算法則計算出結(jié)果.【詳解】.故214．【分析】先判斷出函數(shù)為減函數(shù)，再根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性來列出不等關(guān)系，求出結(jié)果【詳解】因為，所以在R上是減函數(shù)，當(dāng)時，，對稱軸為，分段函數(shù)要滿足在上單調(diào)遞減，需要滿足，解得.故15．【分析】根據(jù)冪函數(shù)所過點得到為偶函數(shù)，在第一象限過，從而求出解析式，根據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性得到不等式，求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】冪函數(shù)的圖象過點，∴為偶函數(shù)，在第一象限過；當(dāng)，設(shè)，則，解得；∴冪函數(shù)，由于，故在上單調(diào)遞增，不等式，平方得，解得；所以實數(shù)的取值范圍是．故16．【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，先求得，然后求得.【詳解】因為是偶函數(shù)，所以①，因為是奇函數(shù)，所以②，令，由①得：，由②得：，因為，所以，令，由②得：，所以當(dāng)時，，.故17．(1)，(2)或【分析】（1）根據(jù)集合的交并補運算即可求解，（2）分類討論即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，，.因為或，所以.（2）當(dāng)時，，解得.當(dāng)時，或解得，即的取值范圍是或.18．(1)(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)不等式的解集結(jié)合韋達定理計算求值即可;（2）分,,三種情況討論一元二次不等式的解集.【詳解】（1）由拋物線經(jīng)過點得，因為不等式的解集為，所以，易得關(guān)于的一元二次方程的兩個根分別為.由根與系數(shù)的關(guān)系可得解得或-3（舍去），即.（2）不等式可化為.令，得.當(dāng)時，不等式為，無解；當(dāng)時，，解不等式得；當(dāng)時，，解不等式得.綜上，當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為.19．證明見解析【分析】根據(jù)題意，結(jié)合充分性和必要性的證明方法，結(jié)合多項式的化簡、運算，即可求解.【詳解】證明：充分性：當(dāng)時，多項式可化為，即，所以，則，所以，即，為等邊三角形，即充分性成立；必要性：由為等邊三角形，且，所以，則，，所以，即必要性成立．故為等邊三角形的充要條件是．20．(1)(2)68800百元【分析】（1）將各部分分別求造價再求和即可；（2）根據(jù)基本不等式求解即可.【詳解】（1）方法一：因為米，所以米，得米.根據(jù)題意可得四個三角形的面積之和為平方米，正方形的面積為平方米，四個五邊形的面積之和為平方米，則休閑廣場的總造價.方法二：設(shè)米，因為米，所以米，得米，根據(jù)題意可得陰影部分面積為平方米，則，四個三角形的面積之和為平方米，正方形的面積為平方米，因為正方形的面積為平方米，所以四個五邊形的面積之和為平方米，所以休閑廣場的總造價.（2）因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以該居民休閑廣場的總造價最低為68800百元.21．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（2）設(shè)，且則，即可得到恒成立，參變分離得到，即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時，由函數(shù)為R上的奇函數(shù)得；當(dāng)時，，則，因為為R上的奇函數(shù)，所以，所以，

故（2）由函數(shù)在上單調(diào)遞減，設(shè)，且，都有，即，即.

則，因為，所以，所以，則，又，

所以.22．(1)函數(shù)具有性質(zhì)M，(2)．【分析】（1）首先求出函數(shù)的定義域與單調(diào)性，依題意可得，解得