負(fù)不等式條件下@-fuzzy關(guān)系方程有解的一個(gè)刻畫

負(fù)不等式條件下@-fuzzy關(guān)系方程有解的一個(gè)刻畫

1非負(fù)系數(shù)格上的非負(fù)浚力模型b50，a=（a）ii是行向量，x=（xi）ii是未知向量，i是索引集。則稱A@X=b(1)A@X=b(1)或∧i∈Ι(aiαxi)=b∧i∈I(aiαxi)=b為取值于格L上的@-Fuzzy關(guān)系方程,其中@表示inf-α合成,且所有的ai,b均取值于格L.稱滿足(1)的X為(1)的解,并記(1)的解集為X={X:A@X=b}。在E.Sanchez介紹了Fuzzy關(guān)系方程的理論以后,許多研究工作者以大量的文章進(jìn)一步擴(kuò)大了此理論的研究。1985年,A.DiNola、W.Pedrycz和S.Sessa引入了@-Fuzzy關(guān)系方程,得到了@-Fuzzy關(guān)系方程有解的一個(gè)充要條件,即一個(gè)@-Fuzzy關(guān)系方程有解當(dāng)且僅當(dāng)方程有最小解。1989年,A.DiNola、W.Pedrycz和E.Sanchez又在線性格上討論了@-Fuzzy關(guān)系方程并構(gòu)造出了其極大解。文在完備Brouwerian格上從最簡(jiǎn)單的@-Fuzzy關(guān)系方程aαx=b開(kāi)始討論,得到了其在有限論域上的解集。進(jìn)而文在論域無(wú)限時(shí),證明了如果方程(1)有解且b有不可約完全交既分解時(shí)方程的每個(gè)解有大于等于它的極大解。本文則在非負(fù)整數(shù)格上討論@-Fuzzy關(guān)系方程(1),首先討論了負(fù)整數(shù)格上元素的其性質(zhì),然后給出了非負(fù)整數(shù)格的一些性質(zhì),最后刻畫了非負(fù)整數(shù)格上@-Fuzzy關(guān)系方程的解集。定義1.1設(shè)L=(L,≤)為一偏序集,如果?a,b∈L,上確界sup{a,b}與下確界inf{a,b}均存在,則稱L=(L,≤)是格,設(shè)a∨b=sup{a,b},a∧b=inf{a,b}。如果對(duì)格L的任意非空子集Τ,∨Τ=∨a∈ΤaT,∨T=∨a∈Ta與∧Τ=∧a∈Τa∧T=∧a∈Ta均存在,則稱L為完備格。定義1.2如果格L滿足:?a,b∈L,存在使a∧x≤b成立的最大元x,則稱L為Brouwerian格,記該最大元為aαb.如果格L還是完備的,則稱L為完備Brouwerian格。定義1.3設(shè)N為非負(fù)整數(shù)構(gòu)成的集合,定義a∧b=l.c.m{a,b},a∨b=g.c.d{a,b},a≤b當(dāng)且僅當(dāng)a是b的倍數(shù),其中a,b∈N,l.c.m與g.c.d分別表示a與b的最小公倍數(shù)與最大公因子。則L=(N,∧,∨,≤)是一完備Brouwerian格。其中?a,b∈N,定義aαb=g.c.d{x∈N:a∧x≤b},易見(jiàn)0與1分別是完備格L的最小元與最大元,稱這種格為非負(fù)整數(shù)格。注1.1由定義1.3知,在非負(fù)整數(shù)格中,?a,b∈L,當(dāng)a,b互質(zhì)時(shí),ab=a∧b,ambn=am∧bn,其中m,n是大等于1的正整數(shù),ab表示a與b的普通乘法。因此在下文中用ab表示a∧b.2推廣ab的標(biāo)準(zhǔn)分解式為討論方便,先給出文中常用的一些概念和符號(hào)。以下先回憶數(shù)論中一些已知知識(shí),為區(qū)別L中的偏序“≤”或≥,本文用≤*,<*,≥*,>*分別表示兩個(gè)數(shù)之間普通的“小于或等于”“小于”“大于或等于”“大于”關(guān)系。兩個(gè)普通數(shù)相等還是用“=”,“max”表示普通數(shù)的取大。設(shè)a1,a2,…,an為整數(shù),用[a1,a2,…,an]表示它們的最小公倍數(shù),(a1,a2,…,an)表示它們的最大公因子,如果(a1,a2,…,an)=1,則稱它們互素。a|b表示a可以整除b,a?b表示a不整除b.引理2.1任意大于1的正整數(shù)a能夠唯一的寫成標(biāo)準(zhǔn)分解式:a=p1α1?pkαk,αi>*0,i∈kˉa=p1α1?pkαk,αi>?0,i∈kˉ,其中pi<*pj(i<*j),且?i∈kˉ,pi?i∈kˉ,pi為質(zhì)數(shù)。引理2.2若a|b,設(shè)a,b的標(biāo)準(zhǔn)分解式分別為:a=g1r1?glrl,b=g1s1?glsl,?i∈lˉ,ri≤*si,si>*0,ri≥*0a=g1r1?glrl,b=g1s1?glsl,?i∈lˉ,ri≤?si,si>?0,ri≥?0,則sup{x∈N:[a,x]=b}=g1t1…gltl,其中,?i∈lˉ?i∈lˉ,ti={0,ri=sisi,ri<*si引理2.3若a?b,b?a,設(shè)a,b的標(biāo)準(zhǔn)分解式分別為:a=g1r1?gkrk,b=h1s1?hlsl,?h∈kˉ,i∈lˉ,rh≥*1,si≥*1,則sup{x∈N:[a,x]≤b}=hτ11…h(huán)τll,其中,?i∈lˉ,τj={0,gi=hi且ri≥*sisj,否則推論2.1若a?b,b?a,設(shè)a,b的標(biāo)準(zhǔn)分解式分別為:a=gr11?grll,b=hs11?hsll,?k∈lˉ,i∈lˉ,rk≥*1,si≥*1,則aαb=b當(dāng)且僅當(dāng)(a,b)=1或?i∈lˉ當(dāng)gi=hi時(shí)ri<*si.定理2.1若b|a,則aαb=1。證明顯然。注2.1由引理2.2、引理2.3、推論2.1和定理2.1易知,對(duì)任意的a∈L,都存在x使得aαx是存在的。定義2.1設(shè)L為格,?x,y,a∈L,如果a=x∧y蘊(yùn)含a=x或a=y,則稱a為格L上的交既約元。記J(L)={a∈L:a是交既約元}。定義2.2設(shè)L為完備格,?a∈L,如果?S?L,由a=∧S可推出a∈S,則稱a為格L上的完全交既約元。記W(L)={a∈L:a是完全交既約元}。定義2.3設(shè)L為完備格,?a∈J(L),如果存在S?L,a?S使得a=∧S,則稱a為格L上的連續(xù)交既約元。記C(L)={a∈L:a是連續(xù)交既約元}。定義2.4設(shè)P為偏序集,?a,b∈P,如果a>b,且?x∈P,a>x>b不成立,則稱a是b的上鄰,記作a?b.定義2.5設(shè)L為完備格,a∈L,如果存在L的子集S使a≥∧S,則一定存在S的一個(gè)有限子集T使a≥∧T,稱a為對(duì)偶緊元。特別地,稱a為嚴(yán)格對(duì)偶緊元,若存在L的子集S使a=∧S,則一定存在S的一個(gè)有限子集T使a=∧T.定義2.6若L是完備的,?a∈L和L中的任意鏈C,若a∨∧C=∧x∈Ca∨x,則稱L是下連續(xù)的。定義2.7若?a,b∈L,a>b,存在u,v∈L使得a≥u?v≥b,則稱L是弱元格。定義2.8設(shè)X=(xi)i∈I∈X,如果存在i∈I,使得aiαxi=b,則稱X=(xi)i∈I為方程(1)的可達(dá)解。方程(1)的所有可達(dá)解構(gòu)成的集合記為X(+).如果任意的i∈I,aiαxi>b,則稱方程(1)的解為不可達(dá)解,方程(1)的所有不可達(dá)解的集合記為X(-).定義2.9設(shè)L是完備格,a∈L,A?L,如果(i)infA=a;(ii)若C?L,且infC≤a,則?x∈A,存在y∈C,使y≤x;則稱A為a的極大集。定義2.10如果Brouwer格L同時(shí)還滿足:?a∈L,?≠B?L,a∨(∧b∈Bb)=∧b∈B(a∨b)。則稱L為完全分配格。若格L還是完備的,則稱L為完備完全分配格。引理2.4如果b是格L上的交既約元,則X≠?當(dāng)且僅當(dāng)G(b)≠?.引理2.5如果X≠?,且b是L上的交既約元,任取j∈G(b),定義X*j=(x*k)Tk∈n為:任取k∈nˉx*k={b,k=j1,否則(4)則X*j是X中的一個(gè)極大元。引理2.6如果X≠?,且b是L上的交既約元,則X的每一個(gè)極大元都具有(4)的形式。進(jìn)一步,X有|G(b)|個(gè)極大元。引理2.7如果X≠?,且b是L上的交既約元,則X=∪j∈G(b)[(A·○b)T,X*j]。其中X*j是X的一個(gè)極大元。引理2.8如果b有不可約有限交既分解u∧i=1pi,且任取i∈uˉ,設(shè)G(pi)={aαpi=pi},則X≠?當(dāng)且僅當(dāng)i∈uˉ,G(pi)≠?.引理2.9設(shè)L是完備格,則L是完全分配格當(dāng)且僅當(dāng)L的每個(gè)元都有一極大集。3a又ma,有本節(jié)將討論非負(fù)整數(shù)格上元素的性質(zhì),設(shè)L是格,??a={x∈L:x>a},x‖y表示x與y不可比較大小。下面的討論中,若無(wú)特別說(shuō)明,L都是指非負(fù)整數(shù)格。定理3.1設(shè)L是格,若a∈J(L),則a至多有一個(gè)上鄰。證明若a∈J(L),且a有兩個(gè)上鄰x,y,則x∧y=a,而x?a,y?a,這與a∈J(L)矛盾,所以a至多有一個(gè)上鄰。定理3.2若L是完備格,a∈J(L),則a∈W(L)當(dāng)且僅當(dāng)a有唯一上鄰。證明必要性:若a∈J(L),a≠1,則??a≠?.又因?yàn)楦馤是完備的,則∧??a存在且∧??a≥a.又a∈W(L),?x∈??a,x>a,所以∧??a≠a,即∧??a>a.設(shè)∧??a=b,若存在x∈L使b>x>a,顯然x∈??a,從而x≥∧??a=b,即x≥b,顯然矛盾,所以不存在x∈L使b>x>a,從而??a是a的上鄰,由定理3.1知,??a是a的唯一上鄰。充分性:若a有唯一上鄰,設(shè)m?a,?S?L,若a=∧S,則一定有a∈S.如果a?S,則?x∈S,x>a且x≥m(因?yàn)槿舸嬖趚∈S使x<m,這與m?a矛盾;若存在x∈S使x‖m,則m>x∧m≥a又m?a,所以x∧m=a,這與a∈J(L)矛盾),因此,∧S=∧x∈Sx≥m?a,這與a=∧S矛盾,所以?S?L,若a=∧S,則一定有a∈S,由定義2.5知a∈W(L)。定理3.3設(shè)L是完備格,a∈J(L),a≠1,則a∈C(L)的充要條件是a沒(méi)有上鄰。證明必要性:設(shè)a∈C(L),若a有上鄰,由定理3.1知有唯一上鄰,設(shè)x?a,又a∈C(L),則存在B?L,a?B,使a=∧B,從而?p∈B,P>a,又x?a,則?p∈B,P≥x(因?yàn)槿舸嬖趐∈B使p<x,這與x?a矛盾;若存在p∈B使p‖x,則x>p∧x≥a,又x?a,所以p∧x=a,這與a∈J(L)矛盾),因此,∧B≥x>a,這又與a=∧B矛盾,所以a沒(méi)有上鄰。充分性:若a沒(méi)有上鄰,因?yàn)閍≠1,格L是完備的,則??a存在且??a≥a.若??a≠a,由定理3.2證明過(guò)程知??a是a的上鄰,這與a沒(méi)有上鄰矛盾,所以??a=a,而?x∈??a,x>a且a∈J(L),所以a∈C(L)。定理3.4?a∈L,若a是完全交既約元,則a是嚴(yán)格對(duì)偶緊元。證明設(shè)a∈L,Q?L且a=∧Q.因a∈W(L),從而a∈Q.因此必存在Q的有限子集T,使得a=∧T,且a∈T.由定義2.8知,a是嚴(yán)格對(duì)偶緊元。定理3.5?a∈L,若a是連續(xù)交既約元,則a不是對(duì)偶緊元。證明設(shè)a∈C(L),則存在Q?L使得a=∧Q且a?Q.若存在Q的有限子集T,使得a=∧T,又T?Q,則a?T.這與a∈J(L)矛盾。定理3.6?a∈L,a≠0,a≠1,則存在x∈L使得a?x.證明若a是質(zhì)數(shù),則顯然a?1;若a是合數(shù),設(shè)a=pα11…pαkk,則顯然?pi,i∈kˉ,都有a?pα11…pαi-1i…pαkk.定理3.7在非負(fù)整數(shù)格中,1是交既約元且是連續(xù)交既約元。證明?x,y∈L,若x∧y=1,則顯然有x=1且y=1。即1是交既約元。又∧?=1,因此由定義2.6知1是連續(xù)交既約元。定理3.8非負(fù)整數(shù)格上除0和1外沒(méi)有連續(xù)交既約元。由定理3.3、定理3.6和定理3.7可以直接得證。定理3.9若a是質(zhì)數(shù),則1是質(zhì)數(shù)a的唯一上鄰。證明a是質(zhì)數(shù),因此1顯然是a的上鄰。若x是a的上鄰,且x≠1,則x?a,即a是x的倍數(shù)。而x≠a,這與a是質(zhì)數(shù)矛盾。因此a有唯一上鄰1。定理3.10若a是質(zhì)數(shù),則a是交既約元,且是完全交既約元。證明?x,y∈L,設(shè)x∧y=a.若x≥a,y≥a,即a是x和y的倍數(shù),又a是質(zhì)數(shù),故a的因子只有1和其本身,從而必有a=x或a=y.即a是交既約元。又由定理3.2和定理3.10易知a是完全交既約元。定理3.11質(zhì)數(shù)的冪是交既約元,且是完全交既約元。證明設(shè)a是質(zhì)數(shù),an,n∈N是a的冪。?x,y∈L,設(shè)an=x∧y,因此x|an,y|an.令A(yù)={ai|ai是an的因子}={1,a,a2,…,an-1}。顯然?x,y∈A,有x≤y或y≤x.不妨設(shè)x≤y,則x∧y=x=an.故an是交既約元。又an-1是an的唯一上鄰,故由定理3.2知an是完全交既約元。定理3.12?a∈L,若a是合數(shù)且不是質(zhì)數(shù)的冪,則a有不可約完全交既分解。證明設(shè)a=gr11…grll,其中g(shù)1,g2,…,gl表示a的質(zhì)因子。因此由定理3.11知a有完全交既分解。又a的標(biāo)準(zhǔn)分解是唯一的,因此是不可約的。所以a有不可約完全交既分解。定理3.13設(shè)?y,z∈L,y≤z,若當(dāng)對(duì)任意的對(duì)偶緊元c,c≥y時(shí)有c≥z,則y=z.結(jié)論顯然成立。定理3.14非負(fù)整數(shù)格是下連續(xù)格。證明設(shè)a和鏈C?L,則顯然有a≤∧x∈C(a∨x)和∧C≤∧x∈C(a∨x)。因此a∨(∧C)≤∧x∈C(a∨x)。另一方面,設(shè)c是對(duì)偶緊元且有c≥a∨(∧C),則c≥a,c≥∧C.又由c的對(duì)偶緊性,存在一有限子集T?C,使得c≥∧T.又若x0是T上的最小元,則x0=∧T≤c,而c≥a∨x0≥∧x∈C(a∨x),因此由定理3.14知a∨(∧C)=∧x∈C(a∨x)。因此L是下連續(xù)格。定理3.15非負(fù)整數(shù)格是弱元格。證明設(shè)a,b∈a>b,令A(yù)={x|a>x>b}。若|A|=0,則a?b,即a≥a?b≥b;若|A|≥1,則設(shè)u∈A,又因?yàn)関∈L,故v有上鄰,設(shè)令Q={q:q是v的上鄰},若存在q∈Q使得q∈A,則定理得證;若?q∈Q都有q?A,則有a∈Q.綜上有L是弱元格。定理3.16非負(fù)整數(shù)格不是完全分配格。證明要證定理成立,由引理2.9只需證明0無(wú)極大集。現(xiàn)設(shè)A是0的極大集,則infA=0。顯然inf{N\{0}}=0。若0∈A,則?y∈N\{0},0≤y;若0?A,則|A|=∞,否則若|A|<∞,則必存在x∈A使得x=0,矛盾。任取x∈A,令G={y:y≤x},則顯然infA\G=0,且?y∈A\G都有y?x,矛盾。因此0無(wú)極大集。從而非負(fù)整數(shù)格不是完全分配格。4asxs,當(dāng)定理4.1設(shè)g是質(zhì)數(shù),若∧i∈Ι(aiαxi)=gr,則必存在s∈I使得asαxs=gr.證明g是質(zhì)數(shù),因此由定理3.12知gr是交既約元。因此必存在s∈I使得asαxs=gr.定理4.2b是合數(shù)時(shí),設(shè)b=gs11…gsll,任取i∈lˉ,X≠?當(dāng)且僅當(dāng)G(gsii)≠?.由引理2.8和定理3.12直接得證。定理4.3b=0時(shí),對(duì)任意的a∈L,都有aα0=0。顯然成立。定理4.4對(duì)任意的a∈L,都存在x∈L,使得aαx=1。由定理2.1易知。(一)方程的解集由和前面的討論知,當(dāng)b是質(zhì)數(shù)或質(zhì)數(shù)的冪時(shí),解集非空的充要條件是G(b)≠?;當(dāng)b是合數(shù)時(shí),解集非空的充要條件是?i∈