工具變量(IV)：估計(jì)與檢驗(yàn)

工具變量回歸由來(lái)估計(jì)矩估計(jì)（不好）2SLS（最常用）GMM（異方差自相關(guān)）；LIML（若IV）工具變量有效性檢驗(yàn)相關(guān)性

F檢驗(yàn);PartialR2，單內(nèi)生解釋變量Minimumeigenvaluestatistic，最小特征值統(tǒng)計(jì)量，用于多內(nèi)生解釋變量外生性

過(guò)度識(shí)別約束檢驗(yàn)J統(tǒng)計(jì)量

（又稱(chēng)Sargan統(tǒng)計(jì)量）解釋變量?jī)?nèi)生性檢驗(yàn)Hausman檢驗(yàn)尋找工具變量的方法：幾個(gè)實(shí)例方法例子由來(lái)經(jīng)典假設(shè)

所有的解釋變量Xi與隨機(jī)誤差項(xiàng)彼此之間不相關(guān)。若解釋變量Xi和ui相關(guān)，則OLS估計(jì)量是非一致的，也就是即使當(dāng)樣本容量很大時(shí)，OLS估計(jì)量也不會(huì)接近回歸系數(shù)的真值。造成誤差項(xiàng)與回歸變量相關(guān)（內(nèi)生性）的原因很多，但我們主要考慮如下幾個(gè)方面：遺漏變量變量變量有測(cè)量誤差雙向因果關(guān)系。遺漏變量偏差可采用在多元回歸中加入遺漏變量的方法加以解決，但前提是只有當(dāng)你有遺漏變量數(shù)據(jù)時(shí)上述方法才可行。雙向因果關(guān)系偏差是指如果有時(shí)因果關(guān)系是從X到Y(jié)又從Y到X時(shí)，此時(shí)僅用多元回歸無(wú)法消除這一偏差。同樣，變量有測(cè)量誤差也無(wú)法用我們前面學(xué)過(guò)的方法解決。因此我們就必須尋找一種新的方法。工具變量(instrumentalvariable,IV)回歸是當(dāng)回歸變量X與誤差項(xiàng)u相關(guān)時(shí)獲得總體回歸方程未知系數(shù)一致估計(jì)量的一般方法。我們經(jīng)常稱(chēng)其為IV估計(jì)。其基本思想是：假設(shè)方程是：我們假設(shè)ui與Xi相關(guān)，則OLS估計(jì)量一定是有偏的和非一致的。工具變量估計(jì)是利用另一個(gè)“工具”變量Z將Xi分離成與ui相關(guān)和不相關(guān)的兩部分。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中：（1）內(nèi)生變量：由模型內(nèi)的變量所決定的變量稱(chēng)作內(nèi)生變量。（2）外生變量：由模型外的變量所決定的變量稱(chēng)作外生變量。重要概念：內(nèi)生變量和外生變量在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中，把所有與擾動(dòng)項(xiàng)相關(guān)的解釋變量都稱(chēng)為“內(nèi)生變量”。這與一般經(jīng)濟(jì)學(xué)理論中的定義有所不同。1。與誤差項(xiàng)相關(guān)的變量稱(chēng)為內(nèi)生變量(endogenousvariable)。2。與誤差項(xiàng)不相關(guān)的變量稱(chēng)為外生變量(exogenousvariable)。我們的工作就是要尋找相應(yīng)的工具變量將解釋變量分解成內(nèi)生變量和外生變量，然后利用兩階段最小二乘法(TSLS)進(jìn)行估計(jì)。一個(gè)例子：考慮貨幣政策對(duì)宏觀經(jīng)濟(jì)的影響。由于貨幣政策的制定者會(huì)根據(jù)宏觀經(jīng)濟(jì)的運(yùn)行情況來(lái)調(diào)整貨幣政策，故貨幣政策是個(gè)內(nèi)生變量（雙向因果關(guān)系）。Romer(2004)通過(guò)閱讀歷史文獻(xiàn)將貨幣政策的變動(dòng)分解為“內(nèi)生”（對(duì)經(jīng)濟(jì)的反應(yīng)）與“外生”（貨幣當(dāng)局的自主調(diào)整）的兩部分。誰(shuí)開(kāi)創(chuàng)了工具變量回歸？1928年的著作的“TheTariffonAnimalandVegetableOils”的附錄B。作者是誰(shuí)？PhilipWright還是他的兒子SewallWright文體計(jì)量學(xué)的分析為什么IV回歸是有效的？例1:PhilipWright的問(wèn)題PhilipWright關(guān)心的是那個(gè)時(shí)期的一個(gè)重要經(jīng)濟(jì)問(wèn)題：即如何對(duì)諸如黃油，大豆油這樣的動(dòng)植物油和食用動(dòng)物設(shè)置進(jìn)口關(guān)稅。在20世紀(jì)20年代，進(jìn)口關(guān)稅是美國(guó)主要的稅收收入來(lái)源。而理解關(guān)稅的經(jīng)濟(jì)效應(yīng)的關(guān)鍵在于要有商品需求和供給曲線(xiàn)的定量估計(jì)。由前知供給彈性為價(jià)格上漲1%引起的供給量變化的百分率，而需求彈性為價(jià)格上漲1%引起的需求量的百分率變化。例如具休考慮黃油的需求彈性估計(jì)問(wèn)題：根據(jù)11個(gè)均衡樣本點(diǎn)估計(jì)的方程究竟是需求函數(shù)還是供給函數(shù)？?jī)烧叨疾皇?。由于這些點(diǎn)是由需求和供給兩者的變化確定的，因此用OLS擬合這些點(diǎn)的直線(xiàn)既不是需求曲線(xiàn)也不是供給曲線(xiàn)的估計(jì)。利用這些樣本點(diǎn)估計(jì)出來(lái)的OLS擬合線(xiàn)是需求曲線(xiàn)還是供給曲線(xiàn)，都不是！兩個(gè)極端的情況如圖：因此，由于這些點(diǎn)是由需求和供給兩者的變化確定的，因此用OLS擬合這些點(diǎn)的直線(xiàn)既不是需求曲線(xiàn)也不是供給曲線(xiàn)的估計(jì)。Wright的解決辦法：1。找到第三個(gè)變量，這個(gè)變量影響供給但不影響需求。這樣，所有的均衡價(jià)格和均衡量對(duì)都落在這條穩(wěn)定的需求曲線(xiàn)上，此時(shí)很容易估計(jì)出它的斜率。2?？梢?jiàn)，這第三個(gè)變量，也就是工具變量，它與價(jià)格相關(guān)(它使供給曲線(xiàn)移動(dòng)，于是導(dǎo)致價(jià)格發(fā)生變化)，但與u無(wú)關(guān)(需求曲線(xiàn)保持不變)。3。Wright考慮了幾個(gè)可能的工具變量；其中一個(gè)是天氣。例如，某牧場(chǎng)的降雨量低于平均值會(huì)使牧草減少?gòu)亩鴾p少給定價(jià)格時(shí)黃油的產(chǎn)量(會(huì)使供給曲線(xiàn)向左移動(dòng)而使均衡價(jià)格上升)，因此牧場(chǎng)地區(qū)降雨量滿(mǎn)足工具變量相關(guān)性的條件。但牧場(chǎng)地區(qū)降雨量對(duì)黃油的需求沒(méi)有直接影響，因此牧場(chǎng)地區(qū)降雨量與ui的相關(guān)系數(shù)為零；也就是牧場(chǎng)地區(qū)降雨量滿(mǎn)足工具變量外生性條件。上圖表明若某個(gè)變量使供給曲線(xiàn)移動(dòng)而使需求保待不變時(shí)會(huì)發(fā)生什么樣的情況。現(xiàn)在所有的均衡價(jià)格和均衡量對(duì)都落在這條穩(wěn)定的需求曲線(xiàn)工具變量法的本質(zhì)是聯(lián)立方程，只不過(guò)，我們只關(guān)心原方程的可識(shí)別性估計(jì)：矩估計(jì)、TSLS、GMM、LIMLGMM估計(jì)TSLS估計(jì)量的抽樣分布為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們僅考慮只有一個(gè)回歸變量X和一個(gè)工具變量Z的情況。即，參數(shù)的TSLS估計(jì)量為Z和Y的樣本協(xié)方差與Z和X的樣本協(xié)方差之比。假設(shè)原方程為：即總體系數(shù)為Z和Y的總體協(xié)方差與Z和X的總體協(xié)方差之比。在香煙需求中的應(yīng)用為了減少由于吸煙導(dǎo)致的疾病和死亡，以及這些生病的人對(duì)社會(huì)其他成員產(chǎn)生的成本或外部性，一種方法是對(duì)香煙征收重稅從而減少吸煙同時(shí)阻止?jié)撛诘男挛鼰熣摺５唧w需要增加多大幅度的稅收來(lái)削減香煙的消費(fèi)呢？例如，若要使香煙消費(fèi)減少20%則香煙的稅后售價(jià)應(yīng)該是多少？若需求彈性為-1，使價(jià)格上漲20%就能達(dá)到減少20%消費(fèi)量的目標(biāo)。若彈性為-0.5，則價(jià)格必須上漲40%才能使消費(fèi)下降20%。同philipWright對(duì)黃油的研究一樣。我們無(wú)法通過(guò)數(shù)量對(duì)數(shù)關(guān)于價(jià)格對(duì)數(shù)的OLS回歸得到香煙需求彈性的一致估計(jì)。我們利用TSLS和1985-1995年美國(guó)48個(gè)大陸州的年度數(shù)據(jù)估計(jì)了香煙的需求彈性。模型假定：被解釋變量：香煙消費(fèi)，即為州內(nèi)每人購(gòu)買(mǎi)的香煙包數(shù)。內(nèi)生解釋變量：包含所有稅收的每包香煙的實(shí)際平均價(jià)格。工具變量：由一般銷(xiāo)售稅征收的香煙稅收。這個(gè)工具變量設(shè)定是否合理？

工具變量的相關(guān)性：由于高銷(xiāo)售稅增加了總的銷(xiāo)售價(jià)格，因此每包香煙的銷(xiāo)售稅滿(mǎn)足工具變量相關(guān)性的條件。工具變量的外生性：若銷(xiāo)售稅是外生的，則必須與需求方程中的誤差無(wú)關(guān)；即銷(xiāo)售稅必然只是通過(guò)價(jià)格間接影響香煙的需求。這看上去是合理的：主要是因?yàn)椴煌葸x擇了不同的銷(xiāo)售額、收入、財(cái)產(chǎn)和其他公共財(cái)政事業(yè)的混合稅收，所以不同州的一般銷(xiāo)售稅是不同的。其中關(guān)于公共財(cái)政的選擇受到政治考量的驅(qū)使而不是受香煙需求有關(guān)的因素影響。結(jié)論：這種工具變量的設(shè)置方法是合理的。因此我們利用兩階段最小二乘法(TSLS)：第一階段結(jié)果：第二階段結(jié)果：66香煙需求（續(xù)）

67STATA實(shí)例:香煙需求，第一階段68第二階段69結(jié)合到一個(gè)命令中一般IV回歸模型一般IV回歸模型因變量Yi。外生解釋變量Wi。內(nèi)生解釋變量Xi。我們引入的工具變量Zi。更為詳細(xì)的說(shuō)明引入工具變量的個(gè)數(shù)假設(shè)我們有n個(gè)內(nèi)生解釋變量，引入了m個(gè)工具變量，n和m的關(guān)系是什么？n=m恰好識(shí)別n<m過(guò)度識(shí)別n>m不可識(shí)別只有恰好識(shí)別和過(guò)度識(shí)別才能用IV方法估計(jì)。一般IV模型的TSLS對(duì)一般的IV回歸模型，我們需要修改工具變量的相關(guān)性和外生性條件。相關(guān)性條件：1.當(dāng)包含一個(gè)內(nèi)生變量但有多個(gè)工具變量時(shí)，工具變量相關(guān)性的條件為給定W時(shí)至少有一個(gè)Z對(duì)預(yù)測(cè)X是有用的（相關(guān)的）。2.當(dāng)包含多個(gè)內(nèi)生變量時(shí)，不但要排除完全多重共線(xiàn)性問(wèn)題，而且工具變量必須提供關(guān)于這些變量外生性變動(dòng)的足夠信息，以分離出它們各自對(duì)Y的效應(yīng)。外生性條件：工具變量外生性條件的一般敘述為每個(gè)工具變量必須與誤差項(xiàng)ui不相關(guān)。一般IV模型中的工具變量相關(guān)性和外生性IV回歸假設(shè)和TSLS估計(jì)量的抽樣分布基于TSLS估計(jì)量的推斷在香煙需求中的應(yīng)用在上一節(jié)中，我們基于1995年美國(guó)48個(gè)州的年消費(fèi)數(shù)據(jù)利用包含一個(gè)回歸變量(每包香煙的實(shí)際價(jià)格對(duì)數(shù))和一個(gè)工具變量(每包香煙的實(shí)際銷(xiāo)售稅)的TSLS估計(jì)了香煙的需求彈性。但這個(gè)估計(jì)并非沒(méi)有問(wèn)題的。收入會(huì)影響需求，它是總體回歸誤差的一部分。若州銷(xiāo)售稅與州的收入有關(guān)，則它與香煙需求方程誤差項(xiàng)中的某個(gè)變量相關(guān)。這違反了工具變量外生性的條件。會(huì)導(dǎo)致IV估計(jì)量是非一致的。因此我們需要在回歸中加入收入這一變量。除了工具變量SaleTaxi外，我們?cè)黾右粋€(gè)新的工具變量香煙專(zhuān)項(xiàng)稅CigTaxi，香煙專(zhuān)項(xiàng)稅提高了消費(fèi)者支付的香煙價(jià)格，因此可證明它滿(mǎn)足工具變量相關(guān)性的條件。同時(shí)它與州香煙需求方程中的誤差項(xiàng)不相關(guān)，因此它是外生工具變量。有了這個(gè)工具變量后我們就有了每包香煙的實(shí)際銷(xiāo)售稅和每包香煙的實(shí)際州專(zhuān)項(xiàng)稅兩個(gè)工具變量。因此需求彈性是過(guò)度識(shí)別的，即工具變量的個(gè)數(shù)(m=2)大于包含的內(nèi)生變量個(gè)數(shù)(k=1)?，F(xiàn)在我們就可以利用TSLS估計(jì)需求彈性了，其中第一階段回歸中的回歸變量為包含的外生變帚ln(Inci)和兩個(gè)工具變量。結(jié)果，使得標(biāo)準(zhǔn)誤差變小。85實(shí)例:香煙的需求86實(shí)例：香煙需求，一個(gè)工具

87實(shí)例:香煙需求,兩個(gè)工具88工具變量有效性檢驗(yàn)1.相關(guān)性：為什么弱工具變量是個(gè)問(wèn)題如果工具變量是弱的，那么即使當(dāng)樣本容量較大時(shí)用正態(tài)分布近似TSLS估計(jì)量的抽樣分布效果仍然很差。因此即便是在大樣本下仍然缺乏常用統(tǒng)計(jì)推斷方法的理論依據(jù)。事實(shí)上，如果工具變量較弱，則TSLS估計(jì)量嚴(yán)重偏離OLS估計(jì)量的方向。弱工具變量會(huì)使得分母變得很小，甚至為0，導(dǎo)致結(jié)果嚴(yán)重偏離。直觀上看，由于"z"中僅包含很少與"x"有關(guān)的信息，利用這部分信息進(jìn)行的工具變量法估計(jì)就不準(zhǔn)確，即使樣本容量很大也很難收斂到真實(shí)的參數(shù)值。這種工具變量稱(chēng)為弱工具變量，將使??

?_"IV"的小樣本性質(zhì)變得很差，且基于大樣本理論的統(tǒng)計(jì)推斷失效此外，用TSLS估計(jì)量1.96標(biāo)準(zhǔn)誤差構(gòu)造的95%置信區(qū)問(wèn)包含系數(shù)真值的次數(shù)遠(yuǎn)小于95%，簡(jiǎn)言之，若工具變量較弱則TSLS不再是可靠的了。F檢驗(yàn)(只有一個(gè)內(nèi)生解釋變量)當(dāng)只有一個(gè)內(nèi)生解釋變量時(shí)檢驗(yàn)弱工具變量的一種方法是利用F統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)TSLS第一階段回歸中工具變量系數(shù)都為零的假設(shè)。第一階段F統(tǒng)計(jì)量，度量了工具變量中包含的信息：包含的信息越多，則F統(tǒng)計(jì)量的期望值越大。經(jīng)驗(yàn)法則是如果第一階段F統(tǒng)計(jì)量應(yīng)該超過(guò)10。即檢驗(yàn)Z1、Z2、…、Zm的聯(lián)合顯著性。testZ1=Z2=…=Zm=0計(jì)算F值然后和10比較。偏R2檢驗(yàn)(只有一個(gè)內(nèi)生解釋變量)Minimumeigenvaluestatistic(最小特征值統(tǒng)計(jì)量)經(jīng)驗(yàn)上此數(shù)應(yīng)該大于10。這個(gè)方法類(lèi)似于與書(shū)上的“第一階段F統(tǒng)計(jì)量”（但允許有多個(gè)內(nèi)生變量）。如果存在弱工具變量該怎么辦？1.如果有很多工具變量，有少數(shù)強(qiáng)工具變量和許多弱工具變量，可以忽略最弱的工具變量而選用相關(guān)性最強(qiáng)的工具變量子集。2.但如果系數(shù)是恰好識(shí)別的，則你不能略去弱工具變量。即使系數(shù)是過(guò)度識(shí)別的，但你可能沒(méi)有足夠的強(qiáng)工具變量用于識(shí)別，因此略去一些弱工具變量也沒(méi)有什么幫助。在這種情況下，有兩個(gè)選擇：第一個(gè)選擇是尋找其他較強(qiáng)的工具變量。(難度較大)第二個(gè)選擇是利用弱工具變量繼續(xù)進(jìn)行實(shí)證分析，但采用的方法不再是TSLS。而是對(duì)弱工具變量不太敏感的有限信息極大似然法(LIML)。在大樣本下，LIML與2SLS是漸近等價(jià)的，但在存在弱工具變量的情況下，LIML的小樣本性質(zhì)可能優(yōu)于2SLS。按：從更根本上說(shuō)，應(yīng)該跳出IV框架，尋找IV方法本身的替代工具，這就是DID和RegressionDiscontinuity的作用——有可能正式其由來(lái)。參教育報(bào)酬率的文獻(xiàn)，Angrist&Kruger(1991);Oreopoulos(2006,AER)2.外生性：過(guò)度識(shí)別約束檢驗(yàn)剛才我們提到：只有恰好識(shí)別和過(guò)度識(shí)別才能用IV方法估計(jì)。恰好識(shí)別：工具變量個(gè)數(shù)=內(nèi)生變量個(gè)數(shù)過(guò)度識(shí)別：工具變量個(gè)數(shù)>內(nèi)生變量個(gè)數(shù)一個(gè)很重要的命題是：只有過(guò)度識(shí)別情況下才能檢驗(yàn)工具變量的外生性，而恰好識(shí)別情況下無(wú)法檢驗(yàn)。過(guò)度識(shí)別條件下，可以檢驗(yàn)外生性又稱(chēng)Sargan統(tǒng)計(jì)量在恰好識(shí)別情況下，假設(shè)考慮只包含一個(gè)內(nèi)生變量(k=1)的情況。此時(shí)如果有兩個(gè)工具變量，可以計(jì)算出兩個(gè)TSLS估計(jì)量，其中每個(gè)工具變量對(duì)應(yīng)一個(gè)估計(jì)量，然后可以將兩者進(jìn)行比較看看它們是否接近。但如果你只有一個(gè)工具變量，則只能計(jì)算出一個(gè)TSLS估計(jì)量，這樣就無(wú)法進(jìn)行比較了。更直觀地看，如果系數(shù)是恰好識(shí)別的，此時(shí)m=k，那么過(guò)度識(shí)別檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量J恰好為零。解釋變量?jī)?nèi)生性檢驗(yàn)究竟該用OLS還是IV還有一個(gè)重要問(wèn)題沒(méi)有考慮：我們只是假設(shè)解釋變量中具有內(nèi)生性。那么解釋變量是否真的存在內(nèi)生性？假設(shè)能夠找到方程外的工具變量。1。如果所有解釋變量都是外生變量，則OLS比IV更有效。在這種情況下使用IV，雖然估計(jì)量仍然是一致的，會(huì)增大估計(jì)量的方差。2。如果存在內(nèi)生解釋變量，則OLS是不一致的，而IV是一致的。檢驗(yàn)方法：豪斯曼檢驗(yàn)豪斯曼檢驗(yàn)（Hausmanspecificationtest）H0：所有解釋變量均為外生變量。H1：至少有一個(gè)解釋變量為內(nèi)生變量。

quietlyreglw80s80expr80tenure80iqeststoreolsquietlyivregress2slslw80expr80tenure80(s80iq=medkwwmrtage)eststoreivhausmanivols在香煙需求中的應(yīng)用在香煙的案例中我們?cè)黾恿藘蓚€(gè)工具變量：銷(xiāo)售稅與香煙專(zhuān)項(xiàng)稅。我們現(xiàn)在判定這兩個(gè)工具變量的外生性。我們發(fā)現(xiàn)：香煙專(zhuān)項(xiàng)稅可能不具有外生性，例如，種植煙草的州的吸煙率要高于大多數(shù)其他州的吸煙率。而這個(gè)因素與稅收相關(guān)，原因是如果煙草種植和香煙生產(chǎn)是這個(gè)州的重要產(chǎn)業(yè)，那么這些企業(yè)會(huì)努力讓香煙專(zhuān)項(xiàng)稅維持在低水平上，所以，這個(gè)州是否種植煙草和生產(chǎn)香煙，它可能與香煙專(zhuān)項(xiàng)稅相關(guān)。1.由于這是一份面板數(shù)據(jù)，所以我們可以利用離差的形式消除這種不隨時(shí)間變化的內(nèi)生變量的影響。2.兩個(gè)不同年份間的時(shí)間跨度會(huì)影響彈性估計(jì)的解釋。這是因?yàn)橄銦熓悄茏屓松习a的，所以只有在較長(zhǎng)的時(shí)間范圍，價(jià)格的改變才會(huì)改變吸煙者的習(xí)慣。即對(duì)于香煙來(lái)說(shuō)，短期內(nèi)的需求可能沒(méi)有彈性，但長(zhǎng)期內(nèi)可能富有彈性。3.因此，我們把時(shí)間差定為10年。被解釋變量?jī)?nèi)生解釋變量外生解釋變量工具變量1工具變量2尋找工具變量的方法：幾個(gè)實(shí)例獲得工具變量的方法使用工具變量法的前提是存在有效的工具變量。因此，如果尋找工具變量在實(shí)踐中十分重要。由于工具變量的兩個(gè)要求（“相關(guān)性”與“外生性”）常常是自相矛盾的，即與內(nèi)生解釋變量相關(guān)的變量常常與被解釋變量的擾動(dòng)項(xiàng)也相關(guān)。故在實(shí)踐上尋找合適的工具變量常常比較困難，有時(shí)需要一定的創(chuàng)造性與想象力。第一種方法是利用經(jīng)濟(jì)理論提出工具變量。例如,PhilipWright對(duì)農(nóng)業(yè)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的了解促使他找尋使供給曲線(xiàn)移動(dòng)但需求曲線(xiàn)不動(dòng)的工具變量，于是他找到了天氣。第二種構(gòu)造工具變量的方法是找出實(shí)際上是由導(dǎo)致內(nèi)生回歸變量移動(dòng)的隨機(jī)現(xiàn)象引起的內(nèi)生回歸變量X變化的某個(gè)外生因素。例如，在上面的假想例子中，地震造成的損害使某些學(xué)區(qū)的平均班級(jí)規(guī)校增大了，顯然班級(jí)規(guī)模的這種變動(dòng)與影響學(xué)生成績(jī)的潛在遺漏變量不相關(guān)。在實(shí)際操作中：尋找工具變量的步驟大致可以分為兩步，（i）列出與內(nèi)生解釋變量（X）相關(guān)的盡可能多的變量的清單（這一步較容易）；（ii）從這一清單中剔除與擾動(dòng)項(xiàng)相關(guān)的變量（這一步較難）。幾個(gè)實(shí)例例1。把罪犯關(guān)進(jìn)監(jiān)獄會(huì)減少犯罪嗎？要考察的問(wèn)題：入獄人口增加1%引起的犯罪率的變化。估計(jì)這個(gè)效應(yīng)的一種方法是利用美國(guó)的州的年度數(shù)據(jù)建立犯罪率對(duì)監(jiān)禁率的回歸。此外，該回歸中應(yīng)該包含一些衡量經(jīng)濟(jì)環(huán)境的控制變量，人口統(tǒng)計(jì)變量等等。遺漏變量偏差問(wèn)題：雙向因果偏差：一方面，被監(jiān)禁的人增多使犯罪率下降；但另一方面，犯罪率上升會(huì)有更多的人被監(jiān)禁。因此，我們必須選擇工具變量，這個(gè)工具變量必須與監(jiān)禁率相關(guān)(它必須是相關(guān)的)，同時(shí)也必須與感興趣犯罪率方程中的誤差項(xiàng)無(wú)關(guān)(它必須是外生的)。Levitt(1996)尋找了以下工具變量：監(jiān)獄容量，即減少監(jiān)獄過(guò)分擁擠的訴訟。1。監(jiān)獄過(guò)度擁擠訴訟減慢了數(shù)據(jù)中囚犯監(jiān)禁的發(fā)展速度，這表明這個(gè)工具變量是相關(guān)的。2。監(jiān)獄過(guò)度擁擠訴訟是由監(jiān)獄條件而不是由犯罪率或其決定因素導(dǎo)致的程度，我們得出這個(gè)工具變量是外生的。例2。縮小班級(jí)規(guī)模能提高測(cè)試成績(jī)嗎?第二篇我們看到了，小班的學(xué)校往往比較富有，并且他們的學(xué)生也能獲得更多的校內(nèi)和校外學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，所以當(dāng)時(shí)我們控制了各種度量學(xué)生富裕狀況和英語(yǔ)學(xué)習(xí)能力等的變量，利用多元回歸解決了遺漏變量偏差的威脅。遺漏變量偏差：但還有可能遺漏掉其他無(wú)法獲得的變量，如校外的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)等。因此我們需要找到一個(gè)工具變量，這個(gè)變量與班級(jí)規(guī)模相關(guān)(相關(guān)性)，但與組成誤差項(xiàng)的因素(如父母對(duì)學(xué)習(xí)的興趣、課外的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)、教師的質(zhì)量和學(xué)校設(shè)施)等不相關(guān)(外生性)。Hoxby(2000)找到的工具變量：出生日期導(dǎo)致的潛在入學(xué)人數(shù)距離其長(zhǎng)期趨勢(shì)的偏差1。這一變量與班級(jí)規(guī)模相關(guān)。2。這一變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)不相關(guān)。例3。對(duì)心臟病的積極治療能延長(zhǎng)壽命嗎？模型的設(shè)置：被解釋變量是患者期望壽命，解釋變量包括二元治療變量(患者是否接受了心導(dǎo)管術(shù))和其他影響死亡率的控制變量(年齡、體重、其他健康狀況指標(biāo)等等)。變量?jī)?nèi)生性問(wèn)題：所有決定接受治療的人都是被認(rèn)為治療有效的人，如果他們的決定部分取決于數(shù)據(jù)集中沒(méi)有包含的但與健康結(jié)果有關(guān)的不可觀測(cè)因素，則治療決定與回歸誤差項(xiàng)相關(guān)。McClellan，McNeil和Newhouse(1994)找到的工具變量：地理位置。大部分醫(yī)院都不是專(zhuān)攻心導(dǎo)管術(shù)的。因此許多患者到?jīng)]有提供這種治療的“普通”醫(yī)院的距離比到心導(dǎo)管術(shù)醫(yī)院的距離近。所以可以把患者的家到最近的心導(dǎo)管術(shù)醫(yī)院的距離和到最近的任何類(lèi)型醫(yī)院的距離之差作為工具變量，若距離最近的醫(yī)院為心導(dǎo)管術(shù)醫(yī)院，則距離之差為零，否則取正。如果這個(gè)相對(duì)距離影響到患者接受這種治療的概率則它是相關(guān)的。同時(shí)它在患者間是隨機(jī)分配的，因此它是外生的。例4：警力與犯罪率。一般認(rèn)為，警察人數(shù)越多，執(zhí)法力度越大，則犯罪率應(yīng)該越低。為了度