LQR 單級(jí)倒立擺控制

LQR最優(yōu)控制的應(yīng)用2021/5/91什么是LQR?LQ（linearquadratic）問題——對(duì)于線性系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)問題，如果其性能指標(biāo)是狀態(tài)變量和(或)控制變量的二次型函數(shù)的積分，則這種動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)化問題稱為線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題（即LQ問題），簡(jiǎn)稱為線性二次型最優(yōu)控制問題或線性二次問題。2021/5/92LQR(linearquadraticregulator)即線性二次型調(diào)節(jié)器,其對(duì)象是現(xiàn)代控制理論中以狀態(tài)空間形式給出的線性系統(tǒng),而目標(biāo)函數(shù)為對(duì)象狀態(tài)和控制輸入的二次型函數(shù)。LQR最優(yōu)設(shè)計(jì)是指設(shè)計(jì)出的狀態(tài)反饋控制器K要使二次型目標(biāo)函數(shù)J取最小值,而K由權(quán)矩陣Q與R唯一決定,故此Q、R的選擇尤為重要。2021/5/93LQR理論的特點(diǎn)LQR理論是現(xiàn)代控制理論中發(fā)展最早也最為成熟的一種狀態(tài)空間設(shè)計(jì)法。特別可貴的是,LQR可得到狀態(tài)線性反饋的最優(yōu)控制規(guī)律,易于構(gòu)成閉環(huán)最優(yōu)控制。而且Matlab的應(yīng)用為LQR理論仿真提供了條件,更為我們實(shí)現(xiàn)穩(wěn)、準(zhǔn)、快的控制目標(biāo)提供了方便。2021/5/94LQ問題的幾種特殊情況1、狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題：用不大的控制能量，使系統(tǒng)狀態(tài)X(t)保持在零值附近2、輸出調(diào)節(jié)器問題：用不大的控制能量，使系統(tǒng)輸出Y(t)保持在零值附近3、跟蹤問題：用不大的控制量，使系統(tǒng)輸出Y(t)緊緊跟隨Yr(t)的變化2021/5/95實(shí)例：?jiǎn)渭?jí)倒立擺LQR控制2021/5/96單級(jí)倒立擺LQR控制目的：利用LQR設(shè)計(jì)的控制器對(duì)倒立擺進(jìn)行在線控制，可以使倒立擺達(dá)到穩(wěn)定。在倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定的情況下,對(duì)系統(tǒng)施加干擾(可用手輕觸擺桿使擺桿偏離豎直位置一個(gè)小角度)，小車能迅速調(diào)整，使整個(gè)系統(tǒng)在很短的時(shí)間內(nèi)恢復(fù)平衡。2021/5/97建模

在忽略了空氣阻力，各種摩擦之后，可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)：2021/5/98其中：

M

小車質(zhì)量

m

擺桿質(zhì)量

b

小車摩擦系數(shù)

l

擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長度

I擺桿慣量

F

加在小車上的力

x

小車位置φ

擺桿與垂直向上方向的夾角θ

擺桿與垂直向下方向的夾角2021/5/99

采用牛頓動(dòng)力學(xué)方法可建立單級(jí)倒立擺系統(tǒng)的微分方程如下：倒立擺的平衡是使倒立擺的擺桿垂直于水平方向倒立，所以假設(shè),為足夠小的角度，即可近似處理得:2021/5/910用u來代表被控對(duì)象的輸入力F，線性化后兩個(gè)方程如下:取狀態(tài)變量:2021/5/911

即擺桿的角度和角速度以及小車的位移和速度四個(gè)狀態(tài)變量。則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：2021/5/912將上式寫成向量和矩陣的形式，就成為線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程：這里設(shè)：2021/5/913LQR控制

線性二次型是指系統(tǒng)的狀態(tài)方程是線性的，指標(biāo)函數(shù)是狀態(tài)變量和控制變量的二次型?？紤]線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：找一狀態(tài)反饋控制律：使得二次型性能指標(biāo)最小化：其中，x(t)為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；、為起始時(shí)間與終止時(shí)間；S為終態(tài)約束矩陣；Q(t)為運(yùn)動(dòng)約束矩陣；R(t)為約束控制矩陣。其中Q(t)、R(t)決定了系統(tǒng)誤差與控制能量消耗之間的相對(duì)重要性。2021/5/914

為使J最小，由最小值原理得到最優(yōu)控制為：則式中，矩陣P(t)為微分Riccatti方程的解。對(duì)于最優(yōu)反饋系數(shù)矩陣，使用Matlab中專門的求解工具lqr()來求取。[K,P]=lqr(A,B,Q,R)2021/5/915

用Matlab求解lqr(A,B,Q,R)可以求出最優(yōu)反饋系數(shù)矩陣的值。lqr函數(shù)需要選擇兩個(gè)參數(shù)R和Q，這兩個(gè)參數(shù)是用來平衡輸入量和狀態(tài)量的權(quán)重。其中，代表擺桿角度的權(quán)重，而是小車位置的權(quán)重。這里選擇：通過matlab求得：K=[-82.4246-10.7034-10.0000-11.8512]。2021/5/916系統(tǒng)仿真框圖2021/5/917MATLAB仿真結(jié)果倒立擺擺角（θ）小車位移（x）2021/5/918結(jié)論從圖中可以看出,在給定外界干擾后,小車能迅速調(diào)整,使整個(gè)系統(tǒng)在很短的時(shí)間（5s）內(nèi)恢復(fù)平衡，達(dá)到了較好的控制效果。實(shí)驗(yàn)證明,設(shè)計(jì)的LQR控制器能夠?qū)χ本€一級(jí)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行有效的實(shí)時(shí)