數(shù)學(xué)七年級下學(xué)期1.6 平行線的判定

專題1.6平行線的判定（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解平行線的概念，會(huì)用作圖工具畫平行線，了解在同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系；2.掌握平行公理及其推論；3.掌握平行線的判定方法，并能運(yùn)用“平行線的判定方法”，判定兩條直線是否平行.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、判定方法1：同位角相等，兩直線平行.如上圖，幾何語言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）要點(diǎn)二、判定方法2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.如上圖，幾何語言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）要點(diǎn)三、判定方法3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.如上圖，幾何語言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）要點(diǎn)四、判定方法4：垂直于同一直線的兩直線平行幾何語言：∵∴∠4=∠2＝90°∴AB∥CD（垂直于同一直線的兩直線平行）特別說明：平行線的判定是由角相等或互補(bǔ)，得出平行，即由數(shù)推形.【典型例題】類型一、同位角相等，兩直線平行 1．如圖，已知，，試說明．請將過程填寫完整．證明：∵又（_____________）∴_______（______________）∴（______________）又∵∴______________．【答案】對頂角相等；∠2；等量代換；同位角相等兩直線平行；EF【分析】若能得到，再由，則可得結(jié)論，由，可得，從而可證得，因而問題解決．解：∵又（對頂角相等）∴∠2（等量代換）∴（同位角相等兩直線平行）又∵∴EF(平行于同一條直線的兩條直線平行)故答案分別為：對頂角相等；∠2；等量代換；同位角相等兩直線平行；EF【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的判定、平行于同一直線的兩條直線平行這一性質(zhì)．舉一反三：【變式1】如圖，直線a、b被直線c所截，，直線a與直線b平行嗎？為什么？（寫出每一步的理由依據(jù)）【答案】平行，見解析【分析】先根據(jù)對頂角相等得出，再由可得出，由此得出結(jié)論．解：．理由：與是對頂角，（兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的方向延長線）．（對頂角相等），（已知），（等量代換）．（同位角相等，兩直線平行）【點(diǎn)撥】本題考查的是平行線的判定定理，解題的關(guān)鍵是用到的知識點(diǎn)為：同位角相等，兩直線平行．【變式2】如圖，∠1=70°，∠2=70°.說明：AB∥CD．【分析】根據(jù)對頂角相等得到∠1=∠3，推出∠2=∠3，根據(jù)平行線的判定即可推出答案．解：如圖：∵∠1=70°，∴∠3=∠1=70°,又∵∠2=70°，∴∠3=∠2=70°,∴AB∥CD.【點(diǎn)撥】考查對平行線的判定，對頂角的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用平行線的判定進(jìn)行證明是解題的關(guān)鍵．類型二、內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 2．已知，如圖，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分別平分∠ABC與∠ADC，且∠1＝∠3．求證：AB∥DC，請根據(jù)條件進(jìn)行推理，得出結(jié)論，并在括號內(nèi)注明理由．證明：∵BF，DE分別平分∠ABC與∠ADC（已知），∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC（）．∵∠ABC＝∠ADC（），∴∠＝∠（等量代換）．∵∠1＝∠3（），∴∠2＝∠（）．∴AB∥DC（）．【答案】角平分線的定義；已知；1，2；已知；3，等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．【分析】根據(jù)題目中的證明過程，可以寫出相應(yīng)的推理依據(jù)，本題得以解決．證明：∵BF，DE分別平分∠ABC與∠ADC（已知），∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC（角平分線的定義），∵∠ABC＝∠ADC（已知），∴∠1＝∠2（等量代換），∵∠1＝∠3（已知），∴∠2＝∠3（等量代換），∴AB∥DC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．故答案為：角平分線的定義；已知；1，2；已知；3，等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．【點(diǎn)撥】本題考查平行線的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．舉一反三：【變式1】如圖，已知平分，點(diǎn)D在射線上，且．判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】BC∥DE；理由見解析【分析】根據(jù)角平分線的定義和已知條件可得∠CBE=∠BED，再根據(jù)平行線的判定即得結(jié)論．解：BC∥DE；理由如下：∵平分，∴∠ABE=∠CBE，∵，∴∠CBE=∠BED，∴BC∥DE．【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的定義和平行線的判定，屬于基礎(chǔ)題目，熟練掌握基本知識是解題的關(guān)鍵．【變式2】在四邊形中，于點(diǎn)，過點(diǎn)作，分別交，于點(diǎn)，，若，求證：．【分析】本題先利用垂直性質(zhì)求證AG與CF平行，繼而利用平行性質(zhì)以及角的等量代換證明∠DAG與∠AGB相等，最后利用內(nèi)錯(cuò)角相等求證AD與BC平行．證明：∵，，∴，∴，∴．∵，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查平行線的證明，難度較低，通常利用同位角或者內(nèi)錯(cuò)角相等求證平行，反之用平行性質(zhì)求證角等．類型三、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 3．完成下面的證明：如圖，平分，平分，且，求證．

證明：∵平分（已知），∴（）．∵平分（已知），∴________（）．∴（）．∵（已知），∴________（）．∴（）．【答案】角的平分線的定義；；角的平分線的定義；等式性質(zhì)；；等量代換；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì),等式性質(zhì)，等量代換，平行線判定逐個(gè)求解即可．解：平分（已知）∴（角平分線的定義）平分（已知）∴2∠β（角平分線的定義）∴（等式性質(zhì)）（已知）∴180°（等量代換）∴（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．故答案為：角的平分線的定義；；角的平分線的定義；等式性質(zhì)；；等量代換；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．【點(diǎn)撥】本題考查平行線的判定、角平分線的定義，等式性質(zhì)等，熟練掌握平行線的判定是解決本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，，平分，平分，．（1）求證：；（2）與平行嗎？請說明理由．【答案】（1）見解析；（2），理由見解析．【分析】（1）根據(jù)平分的性質(zhì)可得，，等角代換可得∠1＝∠CDF，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行求證結(jié)論；（2）由（1）得AB∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠C＋∠ABC＝180°，可得∠C＋∠ADC＝180°，接根據(jù)平行線的判定定理即可求證結(jié)論．（1）證明：∵BE平分，平分,∴，，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠2＝∠CDF，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠CDF，，∴AB∥CD；（2）AD∥BC，理由如下：∵AB∥CD，∴，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ADC＋∠C＝180°，∴AD∥BC，．【點(diǎn)撥】本題考查平行線的判定及其性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定方法及其性質(zhì)定理．【變式2】完成下面的證明：已知：如圖，平分平分，且．求證：，證明：平分(已知)（）平分(已知)（）（）(已知)（）（）【答案】角平分線的定義；；等式的基本性質(zhì)；180°；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)及平行線的判定解決即可．解：平分(已知)（角平分線的定義）平分(已知)（2∠β）（等式的基本性質(zhì)）(已知)（180°）（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．故答案為：角平分線的定義；；等式的基本性質(zhì)；180°；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)及判定等，熟練掌握角平分線的性質(zhì)及平行線的判定和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．類型四、垂直于同一直線的兩直線平行4．如圖，∠AEF=∠B，∠FEC=∠GHB，HG⊥AB于G，求證：CE⊥AB．【解析】由條件可證明FE∥BC，得到角之間的關(guān)系，從而可證得HG∥CE，可得出結(jié)論．證明：∵∠AEF=∠B，∴EF∥BC，∴∠FEC=∠BCE=∠GHB，∴GH∥CE，∴∠CEB=∠BGH，∵HG⊥AB，∴∠CEB=∠BGH，∴CE⊥AB舉一反三：【變式1】在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們用兩個(gè)大小、形狀都相同的三角板畫平行線、，并說出自己做法的依據(jù)。小琛、小萱、小冉三位同學(xué)的做法如下：

小琛說：“我的做法的依據(jù)是內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”小琛說的是否正確？______（回答正確或錯(cuò)誤）小萱做法的依據(jù)是__________________小冉做法的依據(jù)是__________________．【答案】正確；同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行或（垂直于同一直線的兩條直線平行）【分析】根據(jù)平行線的判定定理：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行去判定即可.解：小琛的說法正確，理由如下小琛的做法的依據(jù)是內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，故正確；小萱做法的依據(jù)是同位角相等兩直線平行；

小冉做法的依據(jù)是內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行（垂直于同一條直線的兩直線平行）；

故答案為：正確；同位角相等兩直線平行或同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行（垂直于同一條直線的兩直線平行）．【點(diǎn)撥】本題考查平行線的判定，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式2】在四邊形ABCD中，CF⊥BD于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AG⊥BD，分別交BD，BC于點(diǎn)E，G，