數(shù)學(xué)七年級(jí)下學(xué)期第07講 三元一次方程組的解法及應(yīng)用

第07講三元一次方程組的解法及應(yīng)用（核心考點(diǎn)講與練）一．解三元一次方程組（1）三元一次方程組的定義：方程組含有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組．（2）解三元一次方程組的一般步驟：①首先利用代入法或加減法，把方程組中一個(gè)方程與另兩個(gè)方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組．②然后解這個(gè)二元一次方程組，求出這兩個(gè)未知數(shù)的值．③再把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組中的一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，得到一個(gè)關(guān)于第三個(gè)未知數(shù)的一元一次方程．④解這個(gè)一元一次方程，求出第三個(gè)未知數(shù)的值．⑤最后將求得的三個(gè)未知數(shù)的值用“{”合寫在一起即可．二．三元一次方程組的應(yīng)用在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，若未知量較多，要考慮設(shè)三個(gè)未知數(shù)，但同時(shí)應(yīng)注意，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就要找到幾個(gè)等量關(guān)系列幾個(gè)方程．（1）把求等式中常數(shù)的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為解三元一次方程組，為以后待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式奠定基礎(chǔ)．（2）通過(guò)設(shè)二元與三元的對(duì)比，體驗(yàn)三元一次方程組在解決多個(gè)未知數(shù)問(wèn)題中的優(yōu)越性一．解三元一次方程組（共2小題）1．（2021春?西湖區(qū)校級(jí)期中）實(shí)數(shù)x，y，z滿足2x+y﹣3z＝5，x+2y+z＝﹣4，請(qǐng)用x的代數(shù)式表示z，即z＝．【分析】根據(jù)已知方程消去y，表示出z即可．【解答】解：2x+y﹣3z＝5①，x+2y+z＝﹣4②，①×2﹣②得：3x﹣7z＝14，整理得：z＝．故答案為：z＝．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解三元一次方程組，以及列代數(shù)式，根據(jù)題中等式消去y是本題的突破點(diǎn)．2．（2008春?杭州期末）解三元一次方程組：．【分析】因?yàn)槿齻€(gè)方程中z的系數(shù)相同或互為相反數(shù)，應(yīng)用加減法來(lái)解．【解答】解：①+②得5x+2y＝16④，③+②得3x+4y＝18⑤，得方程組，解得，代入③得，2+3+z＝6，∴z＝1．∴方程組的解為．【點(diǎn)評(píng)】解三元一次方程組要注意以下幾點(diǎn)：方程組有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程的未知項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組，叫三元一次方程組．通過(guò)解方程組，了解把“三元”轉(zhuǎn)化為“二元”、把“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”的消元的思想方法，從而進(jìn)一步理解把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”和把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題的思想方法．解三元一次方程組的關(guān)鍵是消元．解題之前先觀察方程組中的方程的系數(shù)特點(diǎn)，認(rèn)準(zhǔn)易消的未知數(shù)，消去未知數(shù)，組成元該未知數(shù)的二元一次方程組．二．三元一次方程組的應(yīng)用（共6小題）3．（2021?鹿城區(qū)校級(jí)二模）已知，都是關(guān)于x，y的方程y＝﹣3x+c的一個(gè)解，則下列對(duì)于a，b的關(guān)系判斷正確的是（）A．a(chǎn)﹣b＝3 B．a(chǎn)﹣b＝﹣3． C．a(chǎn)+b＝3 D．a(chǎn)+b＝﹣3【分析】將兩對(duì)解代入方程得到，①﹣②即可求得a﹣b＝3．【解答】解：將，代入方程y＝﹣3x+c，得，①﹣②得：a﹣b＝3．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．4．（2021春?慈溪市期末）學(xué)校設(shè)置了有關(guān)藝術(shù)類的甲、乙、丙三個(gè)拓展性課程項(xiàng)目，規(guī)定甲、乙兩項(xiàng)不能兼報(bào)，學(xué)生選報(bào)后作了統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)報(bào)甲項(xiàng)目的人數(shù)與報(bào)乙項(xiàng)目的人數(shù)之和為報(bào)丙項(xiàng)目人數(shù)的；同時(shí)兼報(bào)甲、丙兩項(xiàng)目的人數(shù)占報(bào)甲項(xiàng)目的人數(shù)的，同時(shí)兼報(bào)乙、丙兩項(xiàng)目的人數(shù)占報(bào)乙項(xiàng)目的人數(shù)的；兼報(bào)甲、丙兩項(xiàng)目的人數(shù)與兼報(bào)乙、丙兩項(xiàng)目的人數(shù)之和是報(bào)丙項(xiàng)目人數(shù)的．則報(bào)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目的人數(shù)之比為1：2．【分析】設(shè)報(bào)甲項(xiàng)目的有x人，報(bào)乙項(xiàng)目的有y人，報(bào)丙項(xiàng)目的有z人，根據(jù)“報(bào)甲項(xiàng)目的人數(shù)與報(bào)乙項(xiàng)目的人數(shù)之和為報(bào)丙項(xiàng)目人數(shù)的；同時(shí)兼報(bào)甲、丙兩項(xiàng)目的人數(shù)占報(bào)甲項(xiàng)目的人數(shù)的，同時(shí)兼報(bào)乙、丙兩項(xiàng)目的人數(shù)占報(bào)乙項(xiàng)目的人數(shù)的；兼報(bào)甲、丙兩項(xiàng)目的人數(shù)與兼報(bào)乙、丙兩項(xiàng)目的人數(shù)之和是報(bào)丙項(xiàng)目人數(shù)的”，即可得出關(guān)于x，y，z的三元一次方程組，由方程①可得z＝x+y③，將③代入②化簡(jiǎn)后可得出x＝y(tǒng)，進(jìn)而可得出x：y＝1：2．【解答】解：設(shè)報(bào)甲項(xiàng)目的有x人，報(bào)乙項(xiàng)目的有y人，報(bào)丙項(xiàng)目的有z人，依題意得：，由①得：z＝x+y③，將③代入②得：x+y＝×（x+y），化簡(jiǎn)得：x＝y(tǒng)，∴x：y＝1：2．故答案為：1：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出三元一次方程組是解題的關(guān)鍵．5．（2021春?奉化區(qū)校級(jí)期末）為防控新冠疫情，做好個(gè)人防護(hù)，小君去藥店購(gòu)買口罩．若買6個(gè)平面口罩和4個(gè)KN95口罩，則她所帶的錢還剩下10元；若買4個(gè)平面口罩和6個(gè)KN95口罩，則她所帶的錢還缺8元．若只買10個(gè)KN95口罩，則她所帶的錢還缺44元．【分析】設(shè)平面口罩的單價(jià)為x元，KN95口罩的單價(jià)為y元，小君帶的錢數(shù)為a元，根據(jù)“若買6個(gè)平面口罩和4個(gè)KN95口罩，則她所帶的錢還剩下10元；若買4個(gè)平面口罩和6個(gè)KN95口罩，則她所帶的錢還缺8元”，即可得出關(guān)于x，y，a的三元一次方程組，利用（6×②﹣4×①）÷2可得出10y＝a+44，移項(xiàng)后即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)平面口罩的單價(jià)為x元，KN95口罩的單價(jià)為y元，小君帶的錢數(shù)為a元，依題意，得：，（6×②﹣4×①）÷2，得：10y＝a+44，∴10y﹣a＝44．故答案為：44．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出三元一次方程組是解題的關(guān)鍵．6．（2021春?東陽(yáng)市期末）已知買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購(gòu)買10支鉛筆、10塊橡皮與10本日記本共需（）元．A．16 B．60 C．30 D．66【分析】設(shè)鉛筆單價(jià)為x元，橡皮的單價(jià)為y元，日記本的單價(jià)為z元，由題意：買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元，列出方程組，求出x+y+z＝6，即可求解．【解答】解：設(shè)鉛筆單價(jià)為x元，橡皮的單價(jià)為y元，日記本的單價(jià)為z元，由題意得：，由①×2﹣②得：x+y+z＝6，∴10x+10y+10z＝10×6＝60，即購(gòu)買10支鉛筆、10塊橡皮與10本日記本共需60元，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三元一次方程組的應(yīng)用以及“整體思想”等知識(shí)；熟練掌握“整體思想”，找出等量關(guān)系列出方程組是解題的關(guān)鍵．7．“三寧”公司擴(kuò)建，某項(xiàng)工程招標(biāo)時(shí)，工程領(lǐng)導(dǎo)小組接到了甲、乙、丙三個(gè)工程隊(duì)的投標(biāo)書(shū)，甲、乙工程隊(duì)合作施工兩天需付工程款6萬(wàn)元，乙、丙工程隊(duì)合作施工三天需付工程款6.6萬(wàn)元，甲、丙工程隊(duì)合作施工4天需付工程款12.8萬(wàn)元．工程領(lǐng)導(dǎo)小組根據(jù)甲、乙、丙三隊(duì)的投標(biāo)書(shū)測(cè)算，得到以下四種方案：方案①：由甲工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程，剛好按規(guī)定日期完成；方案②：由乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程，所需天數(shù)是規(guī)定日期的兩倍；方案③：由丙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程，要比規(guī)定日期多9天；方案④：先由甲、乙、丙三工程隊(duì)合作做3天，再由乙、丙兩工程隊(duì)合作做3天，最后由丙工程隊(duì)單獨(dú)做，也正好如期完成；（1）每天付給甲、乙、丙工程隊(duì)的工程款分別為多少萬(wàn)元？（2）規(guī)定的日期是多少天？（3）在不耽誤工期的前提下，你覺(jué)得哪種方案最省錢？請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）設(shè)每天付給甲、乙、丙工程隊(duì)的工程款分別為x萬(wàn)元、y萬(wàn)元、z萬(wàn)元，根據(jù)“甲、乙工程隊(duì)合作施工兩天需付工程款6萬(wàn)元，乙、丙工程隊(duì)合作施工三天需付工程款6.6萬(wàn)元，甲、丙工程隊(duì)合作施工4天需付工程款12.8萬(wàn)元”列出方程組，求解即可；（2）設(shè)規(guī)定的日期是a天，根據(jù)甲、乙、丙三工程隊(duì)合作做3天完成的工作量+乙、丙兩工程隊(duì)合作做3天完成的工作量+由丙工程隊(duì)單獨(dú)做（a﹣6）天完成的工作量＝1列出方程，求解即可；（3）根據(jù)已知算出各種方案的價(jià)錢之后，再根據(jù)題意進(jìn)行選擇．【解答】解：（1）設(shè)每天付給甲、乙、丙工程隊(duì)的工程款分別為x萬(wàn)元、y萬(wàn)元、z萬(wàn)元，根據(jù)題意，得，解得．答：每天付給甲、乙、丙工程隊(duì)的工程款分別為2萬(wàn)元、1萬(wàn)元、1.2萬(wàn)元；（2）設(shè)規(guī)定的日期是a天，根據(jù)題意，得3（++）+3（+）+（a﹣6）＝1，解得a＝18．經(jīng)檢驗(yàn)，a＝18是原方程的解，也符合題意．答：規(guī)定的日期是18天；（3）∵方案②與方案③都耽誤工期，∴施工方案是①與④．方案①需要的工程款為：2×18＝36（萬(wàn)元），方案④需要的工程款為：3（2+1+1.2）+3（1+1.2）+1.2×12＝12.6+6.6+14.4＝33.6（萬(wàn)元），∴在不耽誤工期的前提下，方案④最省錢．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三元一次方程組的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．在既有工程任務(wù)，又有工程費(fèi)用的情況下．先考慮完成工程任務(wù)，再考慮工程費(fèi)用．8．媽媽給小敏100元錢買花裝飾圣誕樹(shù)．花店的花成束出售，規(guī)格與價(jià)格如下：為了使買到的花最多，請(qǐng)你給小敏提建議：每種規(guī)格的花買幾束．規(guī)格ABC每束花朵數(shù)203550價(jià)格（元/束）469【分析】設(shè)買A，B，C三種花分別為a，b，c束，然后根據(jù)題意列出代數(shù)式4a+6b+9c＝100，再根據(jù)4a，6b，100的奇偶性來(lái)判斷c的奇偶性；最后，對(duì)各種花束的花朵數(shù)進(jìn)行比較并作出判斷與選擇．【解答】解：設(shè)買A，B，C三種花分別為a，b，c束，則4a+6b+9c＝100．因?yàn)?a，6b，100都是偶數(shù)，所以c是偶數(shù)，各種花束的花朵數(shù)進(jìn)行比較：（1）用12元錢可買A種花3束，共60朵；可買B種花2束，共70朵．因此買A種花3束不妨改買B種花，可見(jiàn)買A種花不能多于2束，a≤2；（2）用18元錢可買B種花3束，共105朵；可買C種花2束，共100朵．同理，c＜2，但c是偶數(shù)，所以c＝0；根據(jù)以上分析，得4a+6b＝100，化簡(jiǎn)得2a+3b＝50．若a＝1，則b＝16；若a＝2，則b不是整數(shù)．這個(gè)方程符合條件的解只有1個(gè)．答：買A種花1束、B種花16束，這時(shí)花朵最多，達(dá)580朵．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了關(guān)于一元二次方程的一道應(yīng)用題，在解答一元二次方程時(shí)，要根據(jù)實(shí)際情況來(lái)確定方程的整數(shù)解．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練一．選擇題（共4小題）1．（2019春?西湖區(qū)校級(jí)月考）方程組的解x、y的值互為相反數(shù)，則k的值為（）A．0 B．2 C．4 D．6【分析】解關(guān)于x、y的方程組，x，y即可用k表示出來(lái)，再根據(jù)x、y的值互為相反數(shù)，即可得到關(guān)于k的方程，從而求得k的值．【解答】解：解方程組得：根據(jù)題意得：（2k﹣6）+（4﹣k）＝0解得：k＝2故選：B．【點(diǎn)評(píng)】正確解關(guān)于x，y的不等式組是解決本題的關(guān)鍵．2．（2019春?椒江區(qū)期末）如果方程組的解x、y的值相同，則m的值是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】由題意將方程組中的兩個(gè)方程相減，求出y值，再代入求出y值，再根據(jù)x＝y(tǒng)求出m的值．【解答】解：由已知方程組的兩個(gè)方程相減得，y＝﹣，x＝4+，∵方程組的解x、y的值相同，∴﹣＝4+，解得，m＝﹣1．故選：B．解法2、∵方程組的解x、y的值相同，∴聯(lián)立得，，解得，，將x＝2，y＝2代入x﹣（m﹣1）y＝6，解得，m＝﹣1，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考二元一次方程組的解法，一般先消元求出x，再代入其中一個(gè)方程求出y值，比較簡(jiǎn)單．3．（2017秋?福田區(qū)校級(jí)期末）若4x﹣3y﹣6z＝0，x+2y﹣7z＝0（xyz≠0），則的值等于（）A． B． C．﹣15 D．﹣13【分析】先由解得，再代入即可．【解答】解：由解得，代入＝＝﹣13，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題的實(shí)質(zhì)是考查三元一次方程組的解法通過(guò)解方程組，了解把“三元”轉(zhuǎn)化為“二元”、把“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”的消元的思想方法，從而進(jìn)一步理解把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”和把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題的思想方法．解三元一次方程組的關(guān)鍵是消元．解題之前先觀察方程組中的方程的系數(shù)特點(diǎn)，認(rèn)準(zhǔn)易消的未知數(shù)，消去未知數(shù)，組成元該未知數(shù)的二元一次方程組．4．（2019春?金華期中）三個(gè)二元一次方程3x﹣y＝7，2x+3y＝1，y＝kx﹣9有公共解，則k的值是（）A．3 B． C．﹣2 D．4【分析】利用方程3x﹣y＝7和2x+3y＝1組成方程組，求出x、y，再代入y＝kx﹣9求出k值．【解答】解：，把①式兩邊乘3，得9x﹣3y＝21③，②+①得11x＝22，得x＝2，把x＝2代入①得6﹣y＝7，解得y＝﹣1，將代入y＝kx﹣9得2k﹣9＝﹣1，解得k＝4．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次方程組和三元一次方程組的解法，有加減法和代入法兩種，一般選用加減法解二元一次方程組較簡(jiǎn)單．二．填空題（共3小題）5．（2020?晉江市模擬）已知方程組，則x：y：z＝2：3：1．【分析】先解方程組，用含z的代數(shù)式表示x、y，再求x：y：z．【解答】解：，①+②，得2x﹣4z＝0，∴x＝2z．①﹣②，得2y﹣6z＝0，∴y＝3z．∴x：y：z＝2z：3z：z＝2：3：1．故答案為：2：3：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三元一次方程組，掌握二元一次方程組的解法是解決本題的關(guān)鍵．6．（2020春?奉化區(qū)期中）已知，則x+y﹣z＝7．【分析】把z看做已知數(shù)表示出方程組的解，代入原式計(jì)算即可求出值．【解答】解：，①×2﹣②得：9y＝3﹣18z，解得：y＝﹣2z，把y＝代入①得：x＝3z+，則x+y﹣z＝3z++﹣2z﹣z＝7．故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解三元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．7．（2020秋?鹿城區(qū)校級(jí)月考）如圖，甲、乙、丙均為正方形，甲與乙的面積之和是丙面積的，甲內(nèi)陰影部分的面積占甲面積的，乙內(nèi)陰影部分面積占乙面積的，丙內(nèi)陰影部分的面積占丙面積的，則甲、乙兩個(gè)正方形面積的比為2：1．【分析】設(shè)甲的面積為x，乙的面積為y，丙的面積為z，根據(jù)“甲與乙的面積之和是丙面積的，甲內(nèi)陰影部分的面積占甲面積的，乙內(nèi)陰影部分面積占乙面積的，丙內(nèi)陰影部分的面積占丙面積的”，即可得出關(guān)于x，y，z的三元一次方程組，解之可得出x＝y(tǒng)，進(jìn)而可求出甲、乙兩個(gè)正方形面積的比．【解答】解：設(shè)甲的面積為x，乙的面積為y，丙的面積為z，依題意得：，由②可得：z＝x+2y③，將③代入①中得：x+y＝x+y，∴x＝y(tǒng)，∴x：y＝2：1．故答案為：2：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出三元一次方程組是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共1小題）8．已知正實(shí)數(shù)a、b、c滿足方程組，求a+b+c的值【分析】先把三個(gè)方程相加，得到[（a+b+c）+9][（a+b+c）﹣8]＝0，再由a，b，c都是正實(shí)數(shù)，從而得出答案．【解答】解：三式相加，得：（a+b+c）+（a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca）＝72，∴（a+b+c）2+（a+b+c）﹣72＝0，∴[（a+b+c）+9][（a+b+c）﹣8]＝0，∵a，b，c都是正實(shí)數(shù)，∴a+b+c+9＞0，∴a+b+c＝8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三元一次方程組的解法．解題的關(guān)鍵是弄清題意和所給的條件，然后解題就容易了．題組B能力提升練一．選擇題（共4小題）1．（2018秋?雁塔區(qū)校級(jí)期末）若3x+5y+6z＝5，4x+2y+z＝2，則x+y+z的值等于（）A．0 B．1 C．2 D．不能求出【分析】?jī)煞匠痰膬蛇叿謩e相加，即可得出7x+7y+7z＝7，再兩邊除以7即可．【解答】解：由題意得：①+②得：7x+7y+7z＝7，即x+y+z＝1，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解三元一次方程組，能夠選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼馐墙獯祟}的關(guān)鍵．2．（2018?蒼南縣校級(jí)自主招生）已知y＝x3+ax2+bx+c，當(dāng)x＝5時(shí)，y＝50；x＝6時(shí)，y＝60；x＝7時(shí)，y＝70．則當(dāng)x＝4時(shí)，y的值為（）A．30 B．34 C．40 D．44【分析】將x、y的值分別代入y＝x3+ax2+bx+c，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、b、c的方程，求出a、b、c的值，再把x＝4代入，求出y的值．【解答】解：把x＝5，y＝50；x＝6，y＝60；x＝7，y＝70代入y＝x3+ax2+bx+c，得，解得；代入y＝x3+ax2+bx+c得：y＝x3﹣18x2+117x﹣210，把x＝4代入y＝x3﹣18x2+117x﹣210得：y＝43﹣18×42+117×4﹣210＝64﹣288+468﹣210＝34，解法二：y﹣10x＝x3+ax2+bx+c＝0有三個(gè)根5，6，7，∴y＝（x﹣5）（x﹣6）（x﹣7）+10x．∴當(dāng)x＝4時(shí)，y＝34．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題通過(guò)建立關(guān)于a，b，c的三元一次方程組，求得a、b、c的值后而求解．3．（2012?樂(lè)平市校級(jí)自主招生）一只船有一個(gè)漏洞，水以均勻速度進(jìn)入船內(nèi)．發(fā)現(xiàn)漏洞時(shí)，船內(nèi)已經(jīng)進(jìn)入了一些水，如果以12個(gè)人淘水，3h可以淘完，如果以5個(gè)人淘水，10h才能淘完．現(xiàn)在要想在2h內(nèi)淘完，需要（）人．A．17 B．18 C．20 D．21【分析】設(shè)水流入的速度為y，原來(lái)有水z，一人的淘水速度為x，需要w人，根據(jù)流入的水+原來(lái)的水＝人淘出的水，列出方程組求解．【解答】解：設(shè)水流入的速度為y，原來(lái)有水z，一人的淘水速度為x，需要w人，根據(jù)題意得：，（2）﹣（1）得：y＝2x，代入（1）得：z＝30x，把z＝30x，y＝2x代入（3）得：w＝17（人）．所以要想在2小時(shí)內(nèi)淘完，需要17人．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題通過(guò)列出方程組求解，關(guān)鍵是找到等量關(guān)系為：流入的水+原來(lái)的水＝人淘出的水．4．（2011?浙江校級(jí)自主招生）已知整數(shù)x，y，z滿足x≤y＜z，且，那么x2+y2+z2的值等于（）A．2 B．14 C．2或14 D．14或17【分析】根據(jù)絕對(duì)值的定義和已知條件，得出|x+y|，|x﹣y|式子的范圍，把已知訪化簡(jiǎn)，從而確定x，y，z的范圍即可求解．【解答】解：∵x≤y＜z，∴|x﹣y|＝y(tǒng)﹣x，|y﹣z|＝z﹣y，|z﹣x|＝z﹣x，因而第二個(gè)方程可以化簡(jiǎn)為：2z﹣2x＝2，即z＝x+1，∵x，y，z是整數(shù)，根據(jù)條件，則兩式相加得到：﹣3≤x≤3，兩式相減得到：﹣1≤y≤1，同理：，得到﹣1≤z≤1，根據(jù)x，y，z是整數(shù)討論可得：x＝y(tǒng)＝﹣1，z＝0，∴x2+y2+z2＝（﹣1）2+（﹣1）2+0＝2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值的定義和三元一次方程組的解法，確定x，y，z的范圍是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題）5．（2019春?如皋市期中）已知x+2y﹣3z＝0，2x+3y+5z＝0，則＝．【分析】將x、y寫成用z表示的代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：由題意得：，①×2﹣②得y＝11z，代入①得x＝﹣19z，原式＝＝＝．故本題答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題需將三元一次方程組中的一個(gè)未知數(shù)當(dāng)做已知數(shù)來(lái)處理，轉(zhuǎn)化為二元一次方程組來(lái)解．6．（2013?開(kāi)福區(qū)校級(jí)自主招生）三個(gè)實(shí)數(shù)按從小到大排列為x1，x2，x3，把其中每?jī)蓚€(gè)數(shù)作和得到三個(gè)數(shù)分別是14，17，33，則x2＝15．【分析】首先根據(jù)x1，x2，x3這三個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系列出方程組，再解該方程組即可得到結(jié)果．【解答】解：根據(jù)題意得三式相加得x1+x2+x3＝32④④﹣②得，x2＝15．故答案為15【點(diǎn)評(píng)】本題考查三元一次方程組的應(yīng)用．解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程組，解方程組并不難．7．（2011?黃州區(qū)校級(jí)自主招生）有甲、乙、丙3種商品，某人若購(gòu)甲3件、乙7件、丙1件共需24元；若購(gòu)甲4件、乙10件、丙1件共需33元，則此人購(gòu)甲、乙、丙各一件共需6元．【分析】設(shè)甲、乙、丙3種商品的單價(jià)分別是x元、y元、z元．由題意列方程組得：，然后求得x+y+z的值．【解答】解：設(shè)甲、乙、丙3種商品的單價(jià)分別是x元、y元、z元．由題意列方程組得由①×3﹣②×2得x+y+z＝6故答案為6．【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)系數(shù)特點(diǎn)，通過(guò)加減，得到一個(gè)整體，然后整體求解．8．（2007?寧波自主招生）設(shè)：a、b、c均為非零實(shí)數(shù)，并且ab＝2（a+b），bc＝3（b+c），ca＝4（c+a），則＝．【分析】求出+、+、+，求出++的值，求出abc后代入求出即可．【解答】解：∵ab＝2（a+b），bc＝3（b+c），ca＝4（c+a），∴＝，∴+＝，①同理+＝②，+＝，③相加的：++＝，④④﹣②得：a＝，④﹣①：c＝24，④﹣③：b＝，∴＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)解三元一次方程組的理解和掌握，能巧妙地運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蟪鯽bc的值是解此題的關(guān)鍵．9．（2006?溫州自主招生）已知是一個(gè)三位數(shù)，且，則＝432．【分析】根據(jù)題意，左右對(duì)照，得到三元一次方程組，然后解答即可．【解答】解：根據(jù)題意得：，解得，則＝432．故本題答案為：432．【點(diǎn)評(píng)】本題通過(guò)建立三元一次方程組，利用加減消元法求解，10．（2006?寧波校級(jí)自主招生）某人想買A、B、C三件物品，若買13件A物品、5件B物品、9件C物品，則需9.25元；若買2件A物品、4件B物品、3件C物品，則需3.2元．試問(wèn)若買A物品、B物品、C物品各2件，則需2.1元．【分析】設(shè)A物品、B物品、C物品的單價(jià)分別為x、y、z元．列方程組得：，然后求得2x+2y+2z的值．【解答】解：設(shè)A物品、B物品、C物品的單價(jià)分別為x、y、z元，列方程組得：，②×3得3（2x+4y+3z）＝9.6，∴y﹣x＝0.05③將③代入②消y得2x+z＝1④得2x+2y+2z＝2.1故本題答案為：2.1．【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)系數(shù)特點(diǎn)，通過(guò)加減，得到一個(gè)整體，然后整體求解．三．解答題（共8小題）11．（2017春?東陽(yáng)市期末）解方程組：（1）（2）．【分析】（1）根據(jù)解二元一次方程組的方法可以解答本題；（2）根據(jù)解三元一次方程組的方法可以解答本題．【解答】解：將①代入②，得3（3+2y）﹣8y＝13，解得，y＝﹣2，將y＝﹣2代入①，得x＝﹣1∴原方程組的解是：；（2），①+②，得2x+3y＝18④③﹣①，得2x﹣2y＝﹣2⑤④﹣⑤，得5y＝20，解得，y＝4，將y＝4代入④，得x＝3，將x＝3，y＝4代入①，得z＝5∴原方程組的解是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解二元一次方程組和三元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確解方程組的方法，消元，最終化為解一元一次方程．12．（2008春?杭州期末）解三元一次方程組：．【分析】因?yàn)槿齻€(gè)方程中z的系數(shù)相同或互為相反數(shù)，應(yīng)用加減法來(lái)解．【解答】解：①+②得5x+2y＝16④，③+②得3x+4y＝18⑤，得方程組，解得，代入③得，2+3+z＝6，∴z＝1．∴方程組的解為．【點(diǎn)評(píng)】解三元一次方程組要注意以下幾點(diǎn)：方程組有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程的未知項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組，叫三元一次方程組．通過(guò)解方程組，了解把“三元”轉(zhuǎn)化為“二元”、把“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”的消元的思想方法，從而進(jìn)一步理解把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”和把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題的思想方法．解三元一次方程組的關(guān)鍵是消元．解題之前先觀察方程組中的方程的系數(shù)特點(diǎn)，認(rèn)準(zhǔn)易消的未知數(shù)，消去未知數(shù)，組成元該未知數(shù)的二元一次方程組．13．工廠的質(zhì)量檢驗(yàn)車間積壓了部分產(chǎn)品待檢，與此同時(shí)，流水線傳送帶按一定的速度送來(lái)待檢產(chǎn)品．如果打開(kāi)一部質(zhì)量檢驗(yàn)機(jī)，需要半個(gè)小時(shí)方可將待檢產(chǎn)品全部通過(guò)質(zhì)量檢驗(yàn)；同時(shí)打開(kāi)兩部質(zhì)量檢驗(yàn)機(jī)，只需十分鐘便可將待檢產(chǎn)品全部通過(guò)質(zhì)量檢驗(yàn)．現(xiàn)因生產(chǎn)需要在五分鐘內(nèi)將待檢產(chǎn)品全部通過(guò)質(zhì)量檢驗(yàn)，問(wèn)此時(shí)至少要同時(shí)打開(kāi)幾部質(zhì)量檢驗(yàn)機(jī)？【分析】首先應(yīng)搞清檢測(cè)及在檢測(cè)的同時(shí)，傳送帶還繼續(xù)傳送物體，假設(shè)出檢測(cè)車間積壓了z件產(chǎn)品待檢，每分鐘送來(lái)待檢產(chǎn)品x件，在五分鐘內(nèi)將待檢產(chǎn)品全部通過(guò)質(zhì)量檢驗(yàn)，至少要同時(shí)打開(kāi)y部質(zhì)量檢驗(yàn)機(jī)，這樣列出有關(guān)檢測(cè)機(jī)個(gè)數(shù)的方程，進(jìn)而得出答案．【解答】解：假設(shè)車間積壓了z件產(chǎn)品待檢，每分鐘送來(lái)待檢產(chǎn)品x件，在五分鐘內(nèi)將待檢產(chǎn)品全部通過(guò)質(zhì)量檢驗(yàn)，至少要同時(shí)打開(kāi)y部質(zhì)量檢驗(yàn)機(jī)，由題意得：，①，＝2，②，＝y(tǒng)；③；由①②解得：x＝0.5，z＝15，代入③得：y＝3.5，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題結(jié)果不能是小數(shù)，所以應(yīng)該為4臺(tái)質(zhì)量檢測(cè)機(jī)．答：至少要同時(shí)打開(kāi)4部質(zhì)量檢驗(yàn)機(jī)．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二元一次方程的應(yīng)用，搞清題目中的變量與恒量是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．14．如下，□、△、〇分別代表一個(gè)數(shù)字，且滿足以下三個(gè)等式：□+□+△+〇＝17□+△+△+〇＝14□+△+〇+〇＝13，則□、△、〇分別代表什么數(shù)字？并說(shuō)明理由．【分析】先設(shè)□＝x，△＝y(tǒng)，〇＝z，根據(jù)題意列出方程2x+y+z＝17①，x+2y+z＝14②，x+y+2z＝13③，然后用加減消元法和代入法解方程即可．【解答】解：設(shè)□＝x，△＝y(tǒng)，〇＝z，由題意得：，由①﹣③得：x﹣y＝3，由②﹣③得：y＝1+z，∴x＝4+z，把x、y的值代入①得：z＝2，∴x＝6，y＝3．即□代表6、△代表3、〇代表2．【點(diǎn)評(píng)】本題的實(shí)質(zhì)是考查三元一次方程組的解法．解題的關(guān)鍵是消元，把“三元”轉(zhuǎn)化為“二元”、把“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”的消元的思想方法，從而進(jìn)一步理解把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”和把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題的思想方法．15．若3x+2y+4z＝4，x﹣y+z＝2，求x+4y+2z的值．【分析】由x﹣y+z＝2得，2x﹣2y+2z＝4…①，又3x+2y+4z＝4…②，所以，由②﹣①得，x+4y+2z＝0，即可得出；【解答】解：由x﹣y+z＝2得，2x﹣2y+2z＝4，∴，∴由②﹣①得，x+4y+2z＝0，所以，x+4y+2z的值為0．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解三元一次方程組，根據(jù)題意，可將已知條件做適當(dāng)變形，相加或相減即可得出；而沒(méi)必要求出x、y、z的值．16．（2020?浙江自主招生）有A、B、C、D、E5位同學(xué)依次站在某圓周上，每人手上分別拿有小旗16、8、12、4、15面，現(xiàn)要使每人手中的小旗數(shù)相等．要求相鄰的同學(xué)之間相互調(diào)整（不相鄰的不作相互調(diào)整），設(shè)A給B有x1面（x1＞0時(shí)即為A給B有x1面；x1＜0時(shí)即為B給A有x1面．以下同），B給C有x2面：C給D有x3面，D給E有x4面，E給A有x5面，問(wèn)x1、x2、x3、x4、x5分別為多少時(shí)才能使調(diào)動(dòng)的小旗總數(shù)|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|最??？【分析】根據(jù)題意列出方程組，把一個(gè)未知數(shù)當(dāng)作已知，表示出其余的未知數(shù)，根據(jù)題意取其絕對(duì)值，畫出數(shù)軸，找出各對(duì)應(yīng)點(diǎn)，求出其最小值．【解答】解：由于共有小旗面數(shù)為16+8+12+4+15＝55面，要使每人手中的小旗面數(shù)相等，每人均為11面．由題意：，變形得：，∴|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|＝|x2+3|+|x2|+|x2+1|+|x2﹣6|+|x2﹣2|＝|x2+3|+|x2+1|+|x2|+|x2﹣2|+|x2﹣6|，設(shè)實(shí)數(shù)x2在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P，實(shí)數(shù)﹣3，﹣1，0，2，6在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為P1，P2，P3，P4，P5，∴|x1|+|x2|+|x3|+x4|+|x5|＝|PP1|+|PP2|+|PP3|+|PP4|+|PP5|，當(dāng)且僅當(dāng)P在線段P1P5上時(shí)|PP1|+|PP5|有最小值9，當(dāng)且僅當(dāng)P在線段P2P4上時(shí)|PP2|+|PP4|有最小值3，當(dāng)且僅當(dāng)P與點(diǎn)P3重合時(shí)|PP3|有最小值0，即當(dāng)且僅當(dāng)P與點(diǎn)P3重合（x2