九年級培優(yōu)平行四邊形輔導(dǎo)專題訓練附答案

如圖①：將矩形紙片ABCD折疊，使點D與點B重合，點C落在點處，折痕為EF，若小明將三角形紙片ABC（AB＞AC）沿過點A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展開紙片（如圖②);再次折疊該三角形紙片，使點A和點D重合，折痕為EF，展平紙片后得到ΔAEF（如圖③).小明認為ΔAEF是等腰三角形，你同意嗎？請說明理重合，展開紙片，此時恰好有MP＝MN＝PQ（如圖④),求人MNF的大小.【答案】（1）125°;（2）同意；（3）60°【解析】試題分析1）根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余求得人AEB=70°,根據(jù)折疊重合的角相等，得人BEF=人DEF=55°,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到人EFC=125°,再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到所以AE=AF，即ΔAEF為等腰三角形.（2）保證點A始終在直線MN上，正方形ABCD繞點A旋轉(zhuǎn)θ（0<θ＜90°),過點B作的數(shù)量關(guān)系？請說明理由.②如圖3，當點O、B兩點分別在直線MN兩側(cè)時，此時①中結(jié)論是否依然成立呢？若成立，請直接寫出結(jié)論；若不成立，請寫出變化后的結(jié)論并證明.③當正方形ABCD繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖4的位置時，線段AF、【答案】（1）AB=2OE2）①AF+BF=2OE,證明見解析;②AF﹣BF=2OE證明見解析;③BF【解析】試題分析1）利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可得出結(jié)論；（2）①過點B作BH⊥OE于H，可得四邊形BHEF是矩形，根據(jù)矩形的對EF=BH，BF=HE，根據(jù)正方形的對角線相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°,再根據(jù)同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角邊”證明ΔAOE和ΔOBH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OH=AE，OE=BH，再根據(jù)AF-EF=AE，整理即可得證；可得EF=BH，BF=HE，根據(jù)正方形的對角線相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°,再根據(jù)同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角邊”證明ΔAOE和ΔOBH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OH=AE，OE=BH，再根據(jù)AF-EF=AE，整理即可得證；③同②的方法可證.12∴AB=2OE，（2）①AF+BF=2OE：四邊形ABCD為正方形：AF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OE.②AF﹣BF=2OE：四邊形ABCD是正方形：AF﹣BF=AE+EF﹣HE=OH﹣HE+OE=OE+OE=2OE③BF﹣AF=2OE，∴∠AOE+∠AOG=90°.∵AE﹣EF=AF，EF=OG=OE，AE=BG=AF+EF=OE+AF，∴BF﹣AF=BG+GFAE﹣EF）=AE+OE﹣AE+EF=OE+OE=2OE，（2）如圖2，當b＞2a時，點M在運動的過程中，是否存在∠BMC=90°,若存在，請給與（3）如圖3，當b＜2a時2）中的結(jié)（2）存在，理由見解析;（3）不成立．理由如下見解析.【解析】是矩形，即可求得∠AMB=∠DMC=45°,則可求得∠BMC=90°;（2）由∠BMC=90°,易證得ΔABM∽△DMC，設(shè)AM=x，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比2﹣bx+a2=0，由b＞2a，a＞0，b＞0，即可判定Δ>0，即可確定方程有兩個不相等的實數(shù)根，且兩根均大于零，符合題意；（3）由（2當b＜2a，a＞0，b＞0，判定方程x2﹣bx+a案.：（）：：AB=AM=MD=DC=a，：AMAB2﹣bx+a2=0，:Δ=b2﹣4a2＞0，：方程有兩個不相等的實數(shù)根，且兩根均大于零，符合題意，（3）不成立.﹣bx+a2=0，:Δ=b2﹣4a2＜0，：當b＜2a時，不存在人BMC=90°,即（2）中的結(jié)論不成立.作平行四邊形ABFD，連接AF.(2)①將CED繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，當點E在線段BC上時，如圖②,連接AE，請判斷程中，當平行四邊形ABFD為菱形時，直接寫出線段AE的長度.；（【解析】【分析】EKF≌EDA再證明AEF是等腰直角三角形即可；②分兩種情形a、如圖③中，當AD=AC時，四邊形ABFD是菱形.b、如圖④中當AD=AC時，四邊形ABFD是菱形.分別求解即可.【詳解】:AB=DF，AB=AC，:AC=DF，:AE=EF，::AF=2AE.故答案為AF=2AE.::ZDKE=ZABC=45，:ZEKF=180-ZDKE=135，EK=ED，:ZEKF=ZADE，ZDKC=ZC，:DK=DC，DF=AB=AC，:KF=AD，在EKF和EDA中，|lKF=AD:EKF≌EDA，:EF=EA，ZKEF=ZAED，:ZFEA=ZBED=90，::AF=2AE.②如圖③中，當AD=AC時，四邊形ABFD是菱形，設(shè)AE交CD于H，易知如圖④中當AD=AC時，四邊形ABFD是菱形，易知【點睛】本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，尋找全等的條件是解題的難點，屬于中考?？碱}型.AD，BC于E，F(xiàn)兩點，連結(jié)BE，DF.（2）當∠DOE等于多少度時，四邊形BFDE為菱形？請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）當∠DOE=90°時，四邊形BFED為菱形，理由見解析.【解析】：（（2）首先利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EBFD是平行四邊形，進而利用垂直平分線的性質(zhì)得出BE=ED，即可得出答案.：（）：在ΔEOD和ΔFOB中,：：，：，：，：考點：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定.（3）當ΔACE為直角三角形時，求邊BC的長.2--x2)2）人AEC=105°;（3）邊BC的長為【解析】試題分析1）過A作AH工BC于H，得到四邊形ADCH為矩形．在ΔBAH中，由勾股定理即可得出結(jié)論.則則可得到結(jié)論.解ΔABH即可得到結(jié)論.②當人CAE=90°時，易知ΔCDA…ΔBCA，由相似三角形對應(yīng)邊成比例即可得到結(jié)論.試題解析：解1）過A作AH工BC于H．由人D=人BCD=90°,得四邊形ADCH為矩形.2，：人AEC=70°+35°=105°.22點睛：本題是四邊形綜合題．考查了梯形中位線，相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握梯形中常見的輔助線作法.7．(1)如圖①,在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點O作直線EF工BD，交(2)把(1)中菱形BFDE進行分離研究，如圖②,點G、I分別在BF、BE邊上，且BG=BI，連(3)把(1)中矩形ABCD進行特殊化探究，如圖③,當矩形ABCD滿足AB=AD時，點E是對角出線段AG、GE、EC三者之間滿足的數(shù)量【解析】【分析】（2）IH＝3FH．只要證明ΔIJF是等邊三角形即可.2＝AG2+CE2．如圖3中，將ΔADG繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到ΔDCM，先證【詳解】在ΔDOE和ΔBOF中，|〈OD＝OB，：四邊形EBFD是菱形.在ΔDHJ和ΔGHF中，〈DH＝GH，:ΔMEJ是等邊三角形，在ΔBIF和ΔMJI中，|：IH工JF，:ΔJIF是等邊三角形，，：2＝AG2+CE2.理由：如圖3中，將ΔADG繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到ΔDCM，在ΔDEM和ΔDEG中，〈經(jīng)EDG＝經(jīng)EDM，|lDG＝DM【點睛】考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，學會轉(zhuǎn)化的思想思考問題.8．圖1、圖2是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點叫做格點.（2）在圖2中以格點為頂點畫一個正方形ABCD，使正方形ABCD面積等于（1）中等腰直角三角形MON面積的4倍，并將正方形ABCD分割成以格點為頂點的四個全等的直角三角【答案】（1）作圖參見解析；（2）作圖參見解析.【解析】（2）根據(jù)勾股定理畫出圖形即可.（2）等腰直角三角形MON面積是5，因此正方形面積是20，如圖2所示；于是根據(jù)勾股（2）若AE＝BD，求∠EDF的度數(shù).【答案】（1）四邊形BCGD是矩形，理由；（【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和折疊性質(zhì)以及矩形的判定解答即可；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)解答即可.【詳解】：AD工BD，：AD工BD，AEPDBEBP【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力，題目綜合性比較強，有一定的難度（2）正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，得到正方形OE′F′G′，如圖（3）在（2）的條件下，正方形OE′F′G′的邊OG′與正方形ABCD的邊相交于點N，如圖3，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°<α＜180°),若ΔAON是等腰三角形，請直接寫出α的值.【答案】（1）證明見解析2）證明見解析3）α的值是22.5°或45°或112.5°或135°【解析】【分析】1（1）由四邊形OEFG是正方形，得到ME=-GE，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到212人AOD=人COD=90°,由四邊形OEFG是正方形，得到OG′=OE′，人E′OG′=90°,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（3）分類討論，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【詳解】：：112：CD=GE，：將正方形OEFG繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，得到正方形OE′F′G′，在ΔAG′O與ΔODE′中，：AG′工DE′；∴α=90°-45°=45°;∴∠ANO=∠AON=67.5°,∴α=∠ANO+90°=112.5°;∴α=90°+45°=135°,Ⅲ、當AN=AO時，旋轉(zhuǎn)角a=∠ANO+90°=67.5+90=157【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)的綜合運用，有一定的綜合性，分類討論當ΔAON是等腰三角形時，求α的度數(shù)是本題的難點.），（2）當點P運動到如圖2所示位置時，請有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論不必證明.【答案】（1）OE＝OF．理由見解析2）補全圖形如圖所示見解析，OE＝OF仍然成【解析】【分析】12（3）根據(jù)點P在射線OA上運動，需要分兩種情況進行討論：當點P在線段OA上時，當點P在線段OA延長線上時，分別根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及線段的和差關(guān)系進行推導(dǎo)計算即可.【詳解】|||2（3）CF=OE+AE或CF=OE-AE.②如圖3，當點P在線段OA延長線上時.【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定以及等邊三角形的性質(zhì)和判定，解決問題的關(guān)鍵是構(gòu)建全等三角形和證明三角形全等，利用矩形的對角線互相平分得全等的邊相等的條件，根據(jù)線段的和差關(guān)系使問題得以解決.CGCE接寫出x的取值范圍.【答案】（15，-2）ΔEBG是直角三角形，理由詳見解析3）-4）S=-x2﹣—x+48（0≤x≤—).【解析】【分析】（1）①利用面積法求出CE，再利用勾股定理求出EF即可；②利用直角三角形斜邊中線（2）根據(jù)直角三角形的判定方法：如果一個三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，則這個三角形是直角三角形即可判斷；（4）利用相似多邊形的性質(zhì)構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式即可；【詳解】ADAD2+AB2ΔBCD212=-.：DE=BE，12CMENCEEF4，：：BH=FH=CH，：EH=HG=HF=HC，：BH=EH=HG，:ΔEBG是直角三角形.，：CGBC63.CEDC84CGCD3-CECB4SCECE2：矩形CEFG=2=─矩形ABCD矩形ABCD：CE2=（--x）2+）2矩形ABCD：S矩形CEFG=--42+2].：矩形CEFG的面積S=-x2--x+48（【點睛】本題考查相似三角形綜合題、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的判定和性質(zhì)、相似多邊形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形或直角三角形解決問題，屬于中考壓軸題.），（2）當點E落在線段DC的延長線上時，在備用圖上畫出符合要求的大致圖形，并判斷上述（1）中的結(jié)論是否仍然成立（只需寫出結(jié)論，不需要證明）；能，試說明理由.2【解析】求出BO的長即可.（2）根據(jù)條件即可畫出符合要求的圖形，同理可得（1）中的結(jié)論仍然成立.出符合要求的AP的長.：PB=PE.：BO=PF.2，：222（2）當點E落在線段DC的延長線上時，符合要求的圖形如圖3所示.22若ΔPEC為等腰三角形，則EP=EC.∴∠PEC=90°,與∠PEC＞90°矛盾，∴∠CPE=∠CEP=22.5°.∴∠APB=180°﹣90°﹣22.5°=67.5°.∴∠ABP=67.5°,∴∠ABP=∠APB.∴AP=AB=1.點睛：本題主要考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、勾股定理、四邊形的內(nèi)角和定理、三角形的內(nèi)角和定理及外角性質(zhì)等知識，有一定的綜合性，而通過添加輔助線證明三角形全等是解決本題的關(guān)鍵.14．已知△ABC，以AC為邊在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD.若變化，說明變化的規(guī)律.【答案】（1）120°;（2）①25；②25【解析】：（解1AE=AB，AD=AC，AC=AD（2）①如圖2，以AB為邊在ΔABC外作正三角形ABE，連接CE.：EC=BD.：EC=BD=6，：EC2=EB2+B