陜西省寶雞市千陽縣中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中 數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年千陽縣中學(xué)第一學(xué)期高二期中考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.圓的圓心到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由圓的一般方程求出其圓心坐標(biāo)，然后由點到直線的距離公式即可求得.【詳解】解：圓圓心坐標(biāo)為.點到直線的距離.故選：A.2.空間向量，平面的一個法向量，則直線與平面所成角為（）A. B. C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】直線與平面所成的角的正弦值，通過直線與平面的數(shù)量積求解即可得出.【詳解】解：直線與平面所成的角的正弦值：.則直線與平面所成角為：.故選：A.3.已知圓，過點（1，2）的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為（）A.1 B.2C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】當(dāng)直線和圓心與點的連線垂直時，所求的弦長最短，即可得出結(jié)論.【詳解】圓化為，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)，當(dāng)過點的直線和直線垂直時，圓心到過點的直線的距離最大，所求的弦長最短，此時根據(jù)弦長公式得最小值為.故選：B.【點睛】本題考查圓的簡單幾何性質(zhì)，以及幾何法求弦長，屬于基礎(chǔ)題.4.如圖，是的重心，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運算的定義及重心的性質(zhì)可得，利用表示可得結(jié)論.【詳解】是的重心，，，，，，，，．故選：D．5.已知圓C過圓與圓的公共點．若圓，的公共弦恰好是圓C的直徑，則圓C的面積為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求解圓，的公共弦方程，再計算圓中的公共弦長即可得圓C的直徑，進(jìn)而求得面積即可【詳解】由題，圓，的公共弦為和的兩式相減，化簡可得，又到的距離，故公共弦長為，故圓C的半徑為，故圓C的面積為故選：B6.在直三棱柱中，，，，M是的中點，以C為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，若，則異面直線與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)，求得，再利用向量法求解即可.【詳解】解：設(shè)，則，，因為，所以，解得，故，，則，所以異面直線與夾角的余弦值為.故選：A.7.將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四個結(jié)論：①AC⊥BD；②△ACD是等邊三角形；③AB與平面BCD所成的角為60°；④AB與CD所成的角為60°．其中錯誤的結(jié)論是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】C【解析】【分析】取BD的中點E，則AE⊥BD，CE⊥BD．根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)可判斷①的真假；求出AC長后，可以判斷②的真假；求出AB與平面BCD所成的角可判斷③的真假；建立空間坐標(biāo)系，利用向量法，求出AB與CD所成的角，可以判斷④的真假；進(jìn)而得到答案．【詳解】解：取BD的中點E，則AE⊥BD，CE⊥BD．∴BD⊥面AEC．∴BD⊥AC，故①正確．設(shè)正方形邊長為a，則AD＝DC＝a，AEa＝EC．∴AC＝a．∴△ACD為等邊三角形，故②正確．∠ABD為AB與面BCD所成的角為45°，故③不正確．以E為坐標(biāo)原點，EC、ED、EA分別為x，y，z軸建立直角坐標(biāo)系，則A（0，0，a），B（0，a，0），D（0，a，0），C（a，0，0）．（0，a，a），（a，a，0）．cos，∴，60°，故④正確．故選：C．8.已知定點，點P為圓上的動點，點Q為直線上的動點.當(dāng)取最小值時，設(shè)的面積為S，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】圓上的點到直線上的點的距離最小時為圓心到直線的距離減去半徑，由此確定，兩點的位置，然后求出點到直線的距離作為底邊上的高，求出三角形面積即可.【詳解】圓的圓心為原點，半徑為2，過原點且與直線垂直的直線方程為，則點到直線的距離為.又因為原點到直線的距離為，所以的最小值為，則，故選：D二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.9.下列命題中是假命題的為（）A.若向量，則與，共面B.若與，共面，則C.若，則四點共面D.若四點共面，則【答案】BD【解析】【分析】由平面向量基本定理對四個選項逐一判斷即可.【詳解】對于A：由平面向量基本定理得與，共面，A是真命題；對于B：若，共線，不共線時，不能用，表示出來，B是假命題；對于C：若，則三個向量共面，又點為三個向量的公共起點，所以四點共面，C是真命題；對于D：若共線，點不在此直線上，則不成立，D是假命題.故選：BD.10.在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為.若直線上存在一點，使過所作的圓的兩條切線相互垂直，則實數(shù)的取可以是A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】先得到的軌跡方程為圓，與直線有交點，得到的范圍，得到答案.【詳解】所作的圓的兩條切線相互垂直，所以，圓點，兩切點構(gòu)成正方形即在直線上，圓心距計算得到故答案選AB【點睛】本題考查了圓的切線問題，通過切線垂直得到的軌跡方程是解題的關(guān)鍵.11.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在平面直角坐標(biāo)系中，，點P滿足.設(shè)點P的軌跡為C，下列結(jié)論正確的是（）A.C的方程為B.在x軸上存在異于的兩定點，使得C.當(dāng)三點不共線時，射線是的平分線D.在C上存在點M，使得【答案】BC【解析】【分析】設(shè)點，根據(jù)求出的軌跡方程可判斷A；假設(shè)在x軸上存在異于的兩定點使得，設(shè)，根據(jù)、點P的軌跡方程求出可判斷B；由利用余弦定理可判斷C；設(shè)，由、點M在C上解得無實數(shù)解可判斷D.【詳解】設(shè)點，則，化簡整理得，即，故A錯誤；假設(shè)在x軸上存在異于的兩定點，使得.設(shè)，則，化簡整理得，由點P的軌跡方程為得，解得或，因為點異于點，所以，所以假設(shè)成立，故B正確；由于，只需證明，即證，化簡整理得，又，則，則，故C正確；設(shè)，由得，整理得①，又點M在C上，故滿足②，聯(lián)立①②，解得無實數(shù)解，故D錯誤.故選：BC.12.已知正方體的棱長為1，點、分別是、的中點，在正方體內(nèi)部且滿足，則下列說法正確的是（）A.點到直線的距離是 B.點到平面的距離為C.平面與平面間距離為 D.點到直線的距離為【答案】BC【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系后利用向量法求點到面，面與面的距離.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，.設(shè)，則，.故到直線的距離，故A錯誤.，平面的一個法向量，則點到平面的距離，故B正確.，，.設(shè)平面的法向量為，則，所以令，得，，所以.所以點到平面的距離.，所以，又因平面，平面，所以平面，同理平面，所以平面平面，所以平面與平面間的距離等于點到平面的距離，所以平面與平面間的距離為，故C正確.因為，所以，又，則，所以點到的距離，故D錯.故選：BC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知菱形中，，沿對角線折疊之后，使得平面平面，則二面角的余弦值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)二面角余弦值的空間向量求解方法進(jìn)行計算即可.【詳解】設(shè)菱形的邊長為1，取的中點，連接，，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，．設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，同理，平面的一個法向量為，所以，設(shè)二面角為，由圖可知二面角為銳角，即，所以，所以二面角的余弦值為．故答案為：14.在空間直角坐標(biāo)系中，定義：平面的一般方程為，點到平面的距離，則在底面邊長與高都為2的正四棱錐中，底面中心O到側(cè)面的距離等于________．【答案】【解析】【分析】以底面中心為原點建立空間直角坐標(biāo)系，求出點的坐標(biāo)，求出側(cè)面的方程，最后利用所給公式計算即可．【詳解】如圖，以底面中心為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則，，1，，，1，，，0，，設(shè)平面的方程為，將坐標(biāo)代入計算得解得，，，，即，．故答案為：【點睛】本題主要考查點、線、面間的距離計算、空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用、空間直角坐標(biāo)系中點到平面的距離等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．15.圓與圓的公共弦的長為________．【答案】【解析】【分析】由兩圓相減得公共弦的方程為，再選定其中一個圓與公共弦的方程，利用弦長公式求得公共弦長為．【詳解】圓與圓相減得：，圓，所以圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，所以公共弦長，故填：．【點睛】本題考查兩圓的位置關(guān)系、弦長公式的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想與運算求解能力．16.如圖，已知A(4，0)，B(0，4)，從點P(2，0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點，則光線所經(jīng)過的路程是_________．【答案】2【解析】【分析】求出關(guān)于直線和的對稱點，由兩個對稱點間距離得結(jié)論．【詳解】設(shè)點P關(guān)于直線AB的對稱點為，直線方程為，因此．解得，即，關(guān)于y軸的對稱點為C(－2，0)，則光線所經(jīng)過的路程PMN的長為CD＝2．故答案為：．四、解答題：本題共6小題，70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.如圖正方形ABCD的邊長為，四邊形BDEF是平行四邊形，BD與AC交于點G，O為GC的中點，F(xiàn)O＝，且FO⊥平面ABCD.(1)求證：AE∥平面BCF；(2)求證：CF⊥平面AEF.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】【分析】(1)取BC中點H，連接OH，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求得平面BCF的法向量為，由，即可得到AE∥平面BCF.(2)由，，且AEAF＝A，解得CF平面AEF.【詳解】(1)取BC中點H，連接OH，則OH∥BD，又四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD，∴OH⊥AC，∴以O(shè)為原點，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A(3，0，0)，E(1，－2，)，C(－1，0，0)，D(1，－2，0)，F(xiàn)(0，0，)，B(1，2，0).＝(－2，－2，0)，＝(1，0，)，＝(－1，－2,)．設(shè)平面BCF的法向量為＝(x，y，z)，則.取z＝1，得＝(－，，1)．又四邊形BDEF為平行四邊形，∴＝＝(－1，－2，)，∴＝＋＝＋＝(－2，－2，0)＋(－1，－2，)＝(－3，－4，)，∴·＝3－4＋＝0，∴，又AE平面BCF，∴AE∥平面BCF(2)＝(－3，0，)，∴·＝－3＋3＝0，·＝－3＋3＝0，∴，，又AEAF＝A，∴CF平面AEF.【點睛】本題主要考查了空間向量在立體幾何線面位置關(guān)系的判定中的應(yīng)用，其中解答中建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，合理利用平面法向量的性質(zhì)和空間向量的共面定理是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.18.過點作圓的兩條切線，切點分別為A，B；（1）求直線AB的方程；（2）若M為圓上的一點，求面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出以為直徑的圓的方程，結(jié)合已知圓的方程，將兩圓方程相減可求得兩圓公共弦所在直線方程；（2）求出圓上的點M到直線AB的距離的最大值，求出，利用三角形面積公式求得答案.【小問1詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，則的中點坐標(biāo)為，，以為圓心，為直徑的圓的方程為，由，得①，由，得②，①②得：．直線的方程為；【小問2詳解】圓心到直線的距離為故圓上的點M到直線的距離的最大值為，而,故面積最大值為.19.如圖，過圓外一點向圓引切線.（1）求過點P圓的切線方程；（2）若切點為，，求過切點，的直線方程.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）設(shè)出直線方程，利用直線和圓相切的性質(zhì)可求切線方程；（2）求出切點坐標(biāo)可得方程或者利用兩圓的公共弦求出答案.【小問1詳解】設(shè)過點P的圓的切線方程為，的圓心為，半徑為；則，解得或，故切線方程為或.【小問2詳解】解法1：將切線方程與圓的方程聯(lián)立成方程組，由可得，由可得，即和，故過切點，的直線方程為，整理得.解法2：因為O，，P，四點共圓，所以，在以O(shè)P為直徑的圓上，圓心為，半徑為，即方程為與已知圓相減，得過切點，的直線方程為.20.將棱長為1的正方體截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示，點在棱上．（1）當(dāng)為棱的中點時，求到平面的距離；（2）當(dāng)在棱上移動時，求直線與平面所成的角的正弦值的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量求解，（2）設(shè)出點坐標(biāo)，由空間向量表示出后轉(zhuǎn)化為函數(shù)求解【小問1詳解】以點為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，．可得，，．設(shè)平面的法向量為，因為，所以所以令，得，所以為平面的一個法向量，點到平面的距離．【小問2詳解】因為點在邊上，故可設(shè)，得，所以．所以．令，可得，．設(shè)，則，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，，．所以的取值范圍是．21.已知半徑為5的動圓的圓心在直線：上.（1）若動圓過點，求圓的方程.（2）是否存在正實數(shù)，使得動圓中滿足與圓：相外切的圓有且僅有一個？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）或；（2）存在，.【解析】【分析