復(fù)變函數(shù)與積分變換課件

引言

在十六世紀(jì)中葉，G.Cardano(1501-1576)在研究一元二次方程時(shí)引進(jìn)了復(fù)數(shù)。他發(fā)現(xiàn)這個(gè)方程沒(méi)有根，并把這個(gè)方程的兩個(gè)根形式地表為。在當(dāng)時(shí)，包括他自己在內(nèi)，誰(shuí)也弄不清這樣表示有什麼好處。事實(shí)上，復(fù)數(shù)被Cardano引入后，在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)不被人們所理睬，并被認(rèn)為是沒(méi)有意義的，不能接受的“虛數(shù)”。直到十七與十八世紀(jì)，隨著微積分的產(chǎn)生與發(fā)展，情況才有好轉(zhuǎn)。特別是由于L.Euler的研究結(jié)果，復(fù)數(shù)終于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler公式揭示了復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)之間的關(guān)系。然而一直到C.Wessel(挪威.1745-1818)和R.Argand(法國(guó).1768-1822）將復(fù)數(shù)用平面向量或點(diǎn)來(lái)表示，以及K.F.Gauss(德國(guó)1777-1855)與W.R.Hamilton(愛(ài)爾蘭1805-1865)定義復(fù)數(shù)為一對(duì)有序?qū)崝?shù)后，才消除人們對(duì)復(fù)數(shù)真實(shí)性的長(zhǎng)久疑慮，“復(fù)變函數(shù)”這一數(shù)學(xué)分支到此才順利地得到建立和發(fā)展。

復(fù)變函數(shù)的理論和方法在數(shù)學(xué)，自然科學(xué)和工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，是解決諸如流體力學(xué)，電磁學(xué)，熱學(xué)彈性理論中平面問(wèn)題的有力工具。

復(fù)變函數(shù)中的許多概念，理論和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)領(lǐng)域的推廣和發(fā)展。第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)§1.1復(fù)數(shù)及其表示法

一對(duì)有序?qū)崝?shù)（）構(gòu)成一個(gè)復(fù)數(shù)，記為.

自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)就是復(fù)變函數(shù),它是本課程的研究對(duì)象.由于在中學(xué)階段已經(jīng)學(xué)過(guò)復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的運(yùn)算,本章將在原有的基礎(chǔ)上作簡(jiǎn)要的復(fù)習(xí)和補(bǔ)充;然后再介紹復(fù)平面上的區(qū)域以及復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念,為進(jìn)一步研究解析函數(shù)理論和方法奠定必要的基礎(chǔ).x,y分別稱(chēng)為Z的實(shí)部和虛部,記作x=Re(Z),y=Im(Z),.稱(chēng)為Z的共軛復(fù)數(shù)。與實(shí)數(shù)不同,一般說(shuō)來(lái),任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小.兩個(gè)復(fù)數(shù)相等他們的實(shí)部和虛部都相等特別地，1.代數(shù)形式

:復(fù)數(shù)的表示法1)點(diǎn)表示yz(x,y)xx0yr復(fù)平面實(shí)軸虛軸2)向量表示----復(fù)數(shù)z的輻角(argument)

記作Argz=q.任何一個(gè)復(fù)數(shù)z0有無(wú)窮多個(gè)幅角,將滿(mǎn)足-p<q0

p的q0稱(chēng)為Argz的主值,記作q0=argz.則Argz=q0+2kp=argz+2kp(k為任意整數(shù))0xyxyqz=x+iy|z|=r----復(fù)數(shù)z的模當(dāng)z=0時(shí),|z|=0,而幅角不確定.argz可由下列關(guān)系確定:說(shuō)明：當(dāng)z在第二象限時(shí)，2.指數(shù)形式與三角形式利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系:x=rcosq,y=rsinq,可以將z表示成三角表示式: 利用歐拉公式eiq=cosq+isinq得指數(shù)表示式:例1將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式.[解]1)z在第三象限,因此因此2)顯然,r=|z|=1,又因此練習(xí)：寫(xiě)出的輻角和它的指數(shù)形式。解：§1.2復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算設(shè)z1+z2=z2+z1;z1z2=z2z1;z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3)z1(z2z3)=(z1z2)z3;z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.復(fù)數(shù)運(yùn)算滿(mǎn)足交換律,結(jié)合律和分配律:1.

四則運(yùn)算加減法與平行四邊形法則的幾何意義:乘、除法的幾何意義:,,,定理1

兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積,兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的幅角等于它們幅角的和.

等式Arg(z1z2)=Argz1+Argz2, 的意思是等式的兩邊都是無(wú)限集合,兩邊的集合相等,即每給定等式左邊的一個(gè)數(shù),就有等式右邊的一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng),反之亦然.

幾何上z1z2相當(dāng)于將z2的模擴(kuò)大|z1|倍并旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度Argz1.01例2：設(shè)求：解：若取則若取則;按照乘積的定義,當(dāng)z10時(shí),有定理2兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商,兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的幅角之差.2.

乘方與開(kāi)方運(yùn)算1）乘方DeMoivre公式：2）開(kāi)方:若滿(mǎn)足，則稱(chēng)w為z的n次方根，記為

于是推得從而幾何解釋?zhuān)簔1/n的n個(gè)值就是以原點(diǎn)為中心,r1/n為半徑的圓的內(nèi)接正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)。例2求[解]

因?yàn)樗约此膫€(gè)根是內(nèi)接于中心在原點(diǎn)半徑為21/8的圓的正方形的四個(gè)頂點(diǎn).1+iw0w1w2w3Oxy§1.3復(fù)數(shù)形式的代數(shù)方程與平面幾何圖形

很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來(lái)表示;也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來(lái)確定它所表示的平面圖形.例3將通過(guò)兩點(diǎn)z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的直線(xiàn)用復(fù)數(shù)形式的方程來(lái)表示.

[解]

通過(guò)點(diǎn)(x1,y1)與(x2,y2)的直線(xiàn)可用參數(shù)方程表示為

因此,它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為z=z1+t(z2-z1).(-<t<+)

由此得知由z1到z2的直線(xiàn)段的參數(shù)方程可以寫(xiě)成

z=z1+t(z2-z1).(0

t1)取得知線(xiàn)段的中點(diǎn)為

例4求下列方程所表示的曲線(xiàn):解：設(shè)z=x+iy

,

方程變?yōu)?iOxy

幾何上,該方程表示到點(diǎn)2i和-2的距離相等的點(diǎn)的軌跡,所以方程表示的曲線(xiàn)就是連接點(diǎn)2i和-2的線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn),方程為y=-x,也可用代數(shù)的方法求出。Oxy-22iy=-x設(shè)z=x+iy

,那末可得所求曲線(xiàn)的方程為y=-3.Oyxy=-3§1.4復(fù)數(shù)域的幾何模型---復(fù)球面0Nx1x2x3oz(x,y)xyP(x1,x2,x3)x1x2x3N(0,0,2r)除了復(fù)數(shù)的平面表示方法外,還可以用球面上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù).

對(duì)復(fù)平面內(nèi)任一點(diǎn)z,用直線(xiàn)將z與N相連,與球面相交于P點(diǎn),則球面上除N點(diǎn)外的所有點(diǎn)和復(fù)平面上的所有點(diǎn)有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,

而N點(diǎn)本身可代表無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),記作.

這樣的球面稱(chēng)作復(fù)球面.擴(kuò)充復(fù)數(shù)域---引進(jìn)一個(gè)“新”的數(shù)∞:擴(kuò)充復(fù)平面---引進(jìn)一個(gè)“理想點(diǎn)”:無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)

∞.約定:

§1.4區(qū)域1.區(qū)域的概念

平面上以z0為中心,d(任意的正數(shù))為半徑的圓:|z-z0|<d內(nèi)部的點(diǎn)的集合稱(chēng)為z0的鄰域,而稱(chēng)由不等式0<|z-z0|<d所確定的點(diǎn)集為z0的去心鄰域.包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)自身在內(nèi)且滿(mǎn)足|z|>M的所有點(diǎn)的集合,其中實(shí)數(shù)M>0,稱(chēng)為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域.

即它是圓|z|=M的外部且包含無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)本身.不包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)本身的僅滿(mǎn)足|z|>M的所有點(diǎn)稱(chēng)為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域,也記作M<|z|<.0M|z|>M

設(shè)G為一平面點(diǎn)集,z0為G中任意一點(diǎn).如果存在z0的一個(gè)鄰域,該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于G,則稱(chēng)z0為G的內(nèi)點(diǎn).

如果G內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn),則稱(chēng)G為開(kāi)集

平面點(diǎn)集D稱(chēng)為一個(gè)區(qū)域,如果它滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件:

1)D是一個(gè)開(kāi)集;

2)D是連通的。就是說(shuō)D中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于D

的一條折線(xiàn)連接起來(lái).

設(shè)D為復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域,如果點(diǎn)P不屬于D,但在P的任意小的鄰域內(nèi)總包含有D中的點(diǎn),這樣的點(diǎn)P稱(chēng)為D的邊界點(diǎn).D的所有邊界點(diǎn)組成D的邊界.區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線(xiàn)和一些孤立的點(diǎn)所組成的.

區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域或閉域,記作

D.

如果一個(gè)區(qū)域可以被包含在一個(gè)以原點(diǎn)為中心的圓里面,即存在正數(shù)M,使區(qū)域D的每個(gè)點(diǎn)z都滿(mǎn)足|z|<M,則稱(chēng)D為有界的,否則稱(chēng)為無(wú)界的.2.單連通域與多連通域

平面曲線(xiàn)在數(shù)學(xué)上,經(jīng)常用參數(shù)方程來(lái)表示各種平面曲線(xiàn).如果x(t)和y(t)是兩個(gè)連續(xù)的實(shí)變函數(shù),則方程組

x=x(t),y=y(t),(a

t

b)

代表一條平面曲線(xiàn),稱(chēng)為連續(xù)曲線(xiàn).如果令

z(t)=x(t)+iy(t)

則此曲線(xiàn)可用一個(gè)方程

z=z(t) (a

t

b)

來(lái)代表.這就是平面曲線(xiàn)的復(fù)數(shù)表示式.

設(shè)C:z=z(t)(a

t

b)為一條連續(xù)曲線(xiàn),z(a)與z(b)分別為C的起點(diǎn)與終點(diǎn).對(duì)于滿(mǎn)足a<t1<b,a

t2

b的t1與t2,當(dāng)t1

t2而有z(t1)=z(t2)時(shí),點(diǎn)z(t1)稱(chēng)為曲線(xiàn)C的重點(diǎn).沒(méi)有重點(diǎn)的連續(xù)曲線(xiàn)C,稱(chēng)為簡(jiǎn)單曲線(xiàn)或若爾當(dāng)(Jardan)曲線(xiàn).如果簡(jiǎn)單曲線(xiàn)C的起點(diǎn)與終點(diǎn)閉合,即z(a)=z(b),則曲線(xiàn)C稱(chēng)為簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn).z(a)=z(b)簡(jiǎn)單,閉z(a)z(b)簡(jiǎn)單,不閉z(a)=z(b)不簡(jiǎn)單,閉不簡(jiǎn)單,不閉z(a)z(b)

任意一條簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)C把整個(gè)復(fù)平面唯一地分成三個(gè)互不相交的點(diǎn)集,其中除去C外,一個(gè)是有界區(qū)域,稱(chēng)為C的內(nèi)部,另一個(gè)是無(wú)界區(qū)域,稱(chēng)為C的外部,C為它們的公共邊界.簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)的這一性質(zhì),其幾何直觀(guān)意義是很清楚的.內(nèi)部外部C定義復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域B,如果在其中任作一條簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn),而曲線(xiàn)的內(nèi)部總屬于B,就稱(chēng)為單連通域,一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域,就稱(chēng)為多連通域.單連通域多連通域§1.5復(fù)變函數(shù)1.復(fù)變函數(shù)的定義定義設(shè)D是復(fù)平面中的一個(gè)點(diǎn)集,稱(chēng)為復(fù)變函數(shù).其確定了自變量為x和y的兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)u,v.例如,考察函數(shù)w=z2.令z=x+iy,w=u+iv,則

u+iv=(x+iy)2=x2-y2+i2xy,

因而函數(shù)w=z2

對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元函數(shù):

u=x2-y2,v=2xy

在以后的討論中,D常常是一個(gè)平面區(qū)域,稱(chēng)之為定義域,并且,如無(wú)特別聲明,所討論的函數(shù)均為單值函數(shù).2.映射的概念

函數(shù)w=f(z)在幾何上可以看做是把z平面上的一個(gè)點(diǎn)集D(定義集合)變到w平面上的一個(gè)點(diǎn)集G(函數(shù)值集合)的映射(或變換).如果D中的點(diǎn)z被映射w=f(z)映射成G中的點(diǎn)w,則w稱(chēng)為z的象(映象),而z稱(chēng)為w的原象.xuDGZzwW=f(z)vyW設(shè)函數(shù)w=z=x–iy;u=x,v=-yxyOuvOABCz1z2A'B'C'w1w2設(shè)函數(shù)w=z2

=

(x+iy)2=x2-y2+i2xy,

有u=x2-y2,v=2xyxyOuvOz1z2w2z3w3w1

函數(shù)w=z2

對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù):u=x2-y2,v=2xy

把z平面上的兩族雙曲線(xiàn)x2-y2=c1,2xy=c2分別映射成w平面上的兩族平行直線(xiàn)u=c1,v=c2.101-1-1-10-8-6-4-2x2468v=101y-10-8-6-4-2u=02468uv1010-10-10

如果函數(shù)(映射)w=f(z)與它的反函數(shù)(逆映射)z=j(w)都是單值的,則稱(chēng)函數(shù)(映射)w=f(z)是一一的.此時(shí),我們也稱(chēng)集合D與集合G是一一對(duì)應(yīng)的.舉例：曲線(xiàn)在映射下的像

例題1

例題2例題3例題4

§1.6復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性1.函數(shù)的極限

定義設(shè)函數(shù)w=f(z)定義在z0的去心鄰域0<|z-z0|<r內(nèi),如果有一確定的數(shù)A存在,對(duì)于任意給定的e>0,相應(yīng)地必有一正數(shù)d(e)(0<d

),使得當(dāng)0<|z-z0|<d時(shí)有|f(z)-A|<e,則稱(chēng)A為f(z)當(dāng)z趨向于z0時(shí)的極限,記作或記作當(dāng)z

z0時(shí),f(z)A.幾何意義:

xyOz0dzOuvAef(z)等價(jià)定義：

設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u0+iv0,z0=x0+iy0,則運(yùn)算性質(zhì)：當(dāng)z0時(shí)的極限不存在例1

證明函數(shù)[證]

令z=x+iy,則由此得讓z沿直線(xiàn)y=kx

趨于零,我們有故極限不存在.2.函數(shù)的連續(xù)性

定義

則說(shuō)f(z)在z0處連續(xù).如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處連續(xù),我們說(shuō)f(z)在D內(nèi)連續(xù).函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z0=x0+iy0處連續(xù)的充要條件是u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)處連續(xù).性質(zhì)：(1)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算仍然連續(xù)；(2)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍然連續(xù)；(3)連續(xù)函數(shù)的模也連續(xù)；(4)有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)必有界，且其模在D上取到最大值與最小值;(5)有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)必一致連續(xù).例題1

討論的連續(xù)性。x00容易證明：可導(dǎo)可微；可導(dǎo)連續(xù)。如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo),就說(shuō)f(z)在Ｄ內(nèi)可導(dǎo).

例1

求f(z)=z2

的導(dǎo)數(shù)。[解]因?yàn)樗?/p>

f'(z)=2z.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)具有與實(shí)函數(shù)同樣的求導(dǎo)法則。（即f(z)=z2

在復(fù)平面處處可導(dǎo)。）例2問(wèn)f(z)=x+2yi是否可導(dǎo)?[解]

這里所以f(z)=x+2yi

的導(dǎo)數(shù)不存在.（即f(z)=x+2yi

在整個(gè)復(fù)平面處處不可導(dǎo).）例3討論的可導(dǎo)性。解：所以在復(fù)平面上除原點(diǎn)外處處不可導(dǎo)。2.解析函數(shù)的概念函數(shù)在一點(diǎn)解析在該點(diǎn)可導(dǎo)。反之不一定成立。在區(qū)域內(nèi)：例如f(z)=z2

在整個(gè)復(fù)平面上解析；僅在原點(diǎn)可導(dǎo)，故在整個(gè)復(fù)平面上不解析；f(z)=x+2yi在整個(gè)復(fù)平面上不解析。定義否則稱(chēng)為奇點(diǎn)。例4討論函數(shù)f(z)=1/z的解析性.解：故f(z)=1/z除

z=0外處處解析；z=0是它的一個(gè)奇點(diǎn)。解析函數(shù)的性質(zhì)：(1)

兩個(gè)解析函數(shù)的和、差、積、商仍為解析函數(shù)；(2)

兩個(gè)解析函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為解析函數(shù)；(3)

一個(gè)解析函數(shù)不可能僅在一個(gè)點(diǎn)或一條曲線(xiàn)上解析；所有解析點(diǎn)的集合必為開(kāi)集。問(wèn)題：對(duì)函數(shù)

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，如何判別其解析（可導(dǎo)）性？換句話(huà)說(shuō)：設(shè)函數(shù)于是u(x,y)

與v(x,y)

在該點(diǎn)可微,并且滿(mǎn)足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。設(shè)u(x,y)

與v(x,y)

在點(diǎn)(x,y)可微,于是（

x,

y0時(shí),ek0,(k=1,2,3,4)）并且滿(mǎn)足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。即函數(shù)f(z)在點(diǎn)z=x+iy處可導(dǎo).由z的任意性可知：定理1

函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定義域D內(nèi)解析的充要條件是u(x,y)與v(x,y)在D內(nèi)可微,并滿(mǎn)足Cauchy-Riemann方程.定理2函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定義在區(qū)域D內(nèi)一點(diǎn)z=x+iy可導(dǎo)的充分必要條件是:u(x,y)與v(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微,在該點(diǎn)滿(mǎn)足Cauchy-Riemann方程。推論：例題1

解：例題2

判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo),在何處解析:解：

得u=x,v=-y,所以在復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo),處處不解析；2)由w=zRe(z)=x2+ixy,得u=x2,v=xy,

所以當(dāng)且僅當(dāng)x=y=0時(shí),因而函數(shù)僅在z=0可導(dǎo),但在復(fù)平面內(nèi)任何地方都不解析.是區(qū)域內(nèi)的正交曲線(xiàn)族。

(正交：兩曲線(xiàn)在交點(diǎn)處的切線(xiàn)垂直

)例題3

證：得證。

解析函數(shù)退化為常數(shù)的幾個(gè)充分條件：(a)

函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析且導(dǎo)數(shù)恒為零；(b)

解析函數(shù)的實(shí)部、虛部、?；蜉椊侵杏幸粋€(gè)恒為常數(shù)；(c)

解析函數(shù)的共軛在區(qū)域內(nèi)解析。例如兩族分別以直線(xiàn)y=

x和坐標(biāo)軸為漸近線(xiàn)的等軸雙曲線(xiàn)x2-y2=c1,2xy=c2互相正交。1-1-1-10-8-6-4-2x2468v=101y-10-8-6-4-2u=02468uv1010-10-10§2.2解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)的關(guān)系定義1

(稱(chēng)為調(diào)和方程或Laplace方程)定理1：

證明：

且u,v有任意階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

同樣可得

注：逆定理顯然不成立，即

對(duì)區(qū)域D內(nèi)的任意兩個(gè)調(diào)和函數(shù)u,v,不一定是解析函數(shù)

.定義2

若u與v是區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)且滿(mǎn)足C-R程，

則稱(chēng)v為u的共軛調(diào)和函數(shù)

.定理2：

在區(qū)域D內(nèi)解析

v為u的共軛調(diào)和函數(shù)

.解析函數(shù)的虛部為實(shí)部的共軛調(diào)和數(shù)例如：是解析函數(shù)，不是解析函數(shù)。已知共軛調(diào)和函數(shù)中的一個(gè)，可利用C-R方程求得另一個(gè)，從而構(gòu)成一個(gè)解析函數(shù)。例題1已知一調(diào)和函數(shù)求一解析函數(shù)解：由C-R方程于是（法一）從而即為所求解析函數(shù)。（法二）(0,0)(x,y)(x,0)（法三）§2.3初等函數(shù)3.1指數(shù)函數(shù)

定義：

性質(zhì)：

3.2三角函數(shù)定義：性質(zhì)：(1)Euler公式仍然成立：(2)全平面解析函數(shù)，(3)各種三角恒等式仍然成立(半角公式除外)(4)sinz為奇函數(shù)，cosz為偶函數(shù)例如(7)定義其他的三角函數(shù)：3.3雙曲函數(shù)定義：

（1）全平面解析函數(shù)：（2）以2pi為基本周期的周期函數(shù)：（3）chz為偶函數(shù),shz為奇函數(shù)。（4）與三角函數(shù)的關(guān)系：例題1解方程解：3.4對(duì)數(shù)函數(shù)定義：記：

多值性-------主值支例如：性質(zhì)：(2)Lnz為無(wú)窮多值函數(shù)，每?jī)蓚€(gè)值相差2πi的整數(shù)倍，(4)除去原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸,lnz在復(fù)平面內(nèi)處處解析：

今后我們應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)Lnz時(shí),指的都是它在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)的某一單值分支.

問(wèn)題：3.5冪函數(shù)定義：----單值函數(shù)----n值函數(shù)----n值函數(shù)----無(wú)窮多值函數(shù)在除原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸復(fù)平面內(nèi)主值支及各分支解析，且復(fù)積分存在的一個(gè)充分條件：復(fù)積分的性質(zhì)：1線(xiàn)性性：

例題1

（2）C：左半平面以原點(diǎn)為中心逆時(shí)針?lè)较虻膯挝话雸A周。解（1）

（2）參數(shù)方程為可見(jiàn)積分與路徑有關(guān)。例題2

解：

例如例題3

證明：

例如練習(xí)例題4

解：可見(jiàn)，積分與路徑無(wú)關(guān)僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)?！?.2柯西積分定理定理1（Cauchy）

如果函數(shù)f(z)在單連通域D內(nèi)處處解析,則它在D內(nèi)任何一條封閉曲線(xiàn)C的積分為零:

注1：定理中的曲線(xiàn)C可以不是簡(jiǎn)單曲線(xiàn).此定理成立的條件之一是曲線(xiàn)C要屬于區(qū)域D。

注2：如果曲線(xiàn)C是D的邊界,函數(shù)f(z)在D內(nèi)與C上解析,即在閉區(qū)域D+C上解析,甚至f(z)在D內(nèi)解析,在閉區(qū)域D+C上連續(xù),則f(z)在邊界上的積分仍然有推論：如果函數(shù)f(z)在單連通域D內(nèi)處處解析,C屬于D，與路徑無(wú)關(guān)僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。于是是解析函數(shù)。解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)特別地例如：注：以上討論中D為單連通域。這里D為復(fù)連通域。可將柯西積分定理推廣到多連通域的情況定理2

假設(shè)C及C1為任意兩條簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn),C1在C內(nèi)部,設(shè)函數(shù)f(z)在C及C1所圍的二連域D內(nèi)解析,在邊界上連續(xù)，則證明：取這說(shuō)明解析函數(shù)沿簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)積分不因閉曲線(xiàn)在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值。------閉路變形原理推論（復(fù)合閉路定理）：(互不包含且互不相交)，

所圍成的多連通區(qū)域，

例題1C如圖所示：解：

存在f(z)的解析單連通域D包含曲線(xiàn)C，故積分與路徑無(wú)關(guān)，僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。從而例題2C為包含0與1的任何正向簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)。解：

（由閉路變形原理）§3.3柯西積分公式若

f(z)在D內(nèi)解析，則分析：.定理(柯西積分公式)如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處解析,C為D內(nèi)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn),它的內(nèi)部完全含于D,z0為C內(nèi)的任一點(diǎn),則---解析函數(shù)可用復(fù)積分表示。[證]由于f(z)在z0連續(xù),任給e>0,存在d(e)>0,當(dāng)|z-z0|<d

時(shí),|f(z)-f(z0)|<e.設(shè)以z0為中心,R為半徑的圓周K:|z-z0|=R全部在C的內(nèi)部,且R<d.DCKzz0R根據(jù)閉路變形原理,該積分的值與R無(wú)關(guān),所以只有在對(duì)所有的R積分為值為零才有可能。推論1如果C是圓周z=z0+Reiq,則柯西積分公式成為------一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.推論2設(shè)f(z)在二連域D內(nèi)解析，在邊界上連續(xù)，則例題1

解：

§3.4解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)

一個(gè)解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù),而且有各高階導(dǎo)數(shù),它的值也可用函數(shù)在邊界上的值通過(guò)積分來(lái)表示.這一點(diǎn)和實(shí)變函數(shù)完全不同.一個(gè)實(shí)變函數(shù)在某一區(qū)間上可導(dǎo),它的導(dǎo)數(shù)在這區(qū)間上是否連續(xù)也不一定,更不要說(shuō)它有高階導(dǎo)數(shù)存在了.定理

解析函數(shù)f(z)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù),它的n階導(dǎo)數(shù)為:

其中C為在函數(shù)f(z)的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞z0的任何一條正向簡(jiǎn)單曲線(xiàn),而且它的內(nèi)部全含于D.[證]設(shè)z0為D內(nèi)任意一點(diǎn),先證n=1的情形,即

因此就是要證按柯西積分公式有因此現(xiàn)要證當(dāng)Dz0時(shí)I0,而f(z)在C上連續(xù),則有界,設(shè)界為M,則在C上有|f(z)|

M.d為z0到C上各點(diǎn)的最短距離,則取|Dz|適當(dāng)?shù)匦∈蛊錆M(mǎn)足|Dz|<d/2,因此L是C的長(zhǎng)度這就證得了當(dāng)Dz0時(shí),I0.Dz0dC這就證得了再利用同樣的方法去求極限:依此類(lèi)推,用數(shù)學(xué)歸納法可以證明:高階導(dǎo)數(shù)公式的作用,不在于通過(guò)積分來(lái)求導(dǎo),而在于通過(guò)求導(dǎo)來(lái)求積分.例1求下列積分的值,其中C為正向圓周:|z|=r>1.[解]1)函數(shù)在C內(nèi)的z=1處不解析,但cospz在C內(nèi)卻是處處解析的.Cauchy不等式：

證明：注1：解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)模的估計(jì)與區(qū)域的大小有關(guān)；注2：

Liouville定理：全平面的有界解析函數(shù)必為常數(shù)。證明：對(duì)復(fù)平面上任一點(diǎn)z，941.復(fù)數(shù)列的極限設(shè){an}(n=1,2,...)為一復(fù)數(shù)列,其中an=an+ibn,又設(shè)a=a+ib為一確定的復(fù)數(shù).如果任意給定e>0,相應(yīng)地能找到一個(gè)正數(shù)N(e),使|an-a|<e在n>N時(shí)成立,則a稱(chēng)為復(fù)數(shù)列{an}當(dāng)n

時(shí)的極限,記作此時(shí)也稱(chēng)復(fù)數(shù)列{an}收斂于a.95定理一

復(fù)數(shù)列{an}(n=1,2,...)收斂于a的充要條件是[證]如果,則對(duì)于任意給定的e>0,就能找到一個(gè)正數(shù)N,當(dāng)n>N時(shí),96反之,如果972.級(jí)數(shù)概念設(shè){an}={an+ibn}(n=1,2,...)為一復(fù)數(shù)列,表達(dá)式稱(chēng)為無(wú)窮級(jí)數(shù),其最前面n項(xiàng)的和

sn=a1+a2+...+an稱(chēng)為級(jí)數(shù)的部分和.如果部分和數(shù)列{sn}收斂,98定理二

級(jí)數(shù)收斂的充要條件是級(jí)數(shù)

和都收斂

[證]因sn=a1+a2+...+an=(a1+a2+...+an)

+i(b1+b2+...+bn)=sn+itn,

其中sn=a1+a2+...+an,tn=b1+b2+...+bn分別為

和的部分和,由定理一,{sn}有極限存在的充要條件是{sn}和{tn}的極限存在,即級(jí)數(shù)和都收斂.99定理二將復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂問(wèn)題.100定理三[證]101102103另外,因?yàn)榈母黜?xiàng)都是非負(fù)的實(shí)數(shù),所以它的收斂也可用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判定法來(lái)判定.例1下列數(shù)列是否收斂?如果收斂,求出其極限.104[解]1)因1052)由于an=ncosin=nchn,因此,當(dāng)n

時(shí),an.所以an發(fā)散.

例2下列級(jí)數(shù)是否收斂?是否絕對(duì)收斂?[解]1)

因發(fā)散;收斂,

故原級(jí)數(shù)發(fā)散.1062)因,由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法知

收斂,故原級(jí)數(shù)收斂,且為絕對(duì)收斂.3)因收斂;也收斂,

故原級(jí)數(shù)收斂.但因

為條件收斂,所以原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂.107§2冪級(jí)數(shù)1081.冪級(jí)數(shù)的概念設(shè){fn(z)}(n=1,2,...)為一復(fù)變函數(shù)序列,其中各項(xiàng)在區(qū)域D內(nèi)有定義.表達(dá)式稱(chēng)為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).最前面n項(xiàng)的和

sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)稱(chēng)為這級(jí)數(shù)的部分和.109存在,則稱(chēng)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(4.2.1)在z0收斂,而s(z0)稱(chēng)為它的和.如果級(jí)數(shù)在D內(nèi)處處收斂,則它的和一定是z的一個(gè)函數(shù)s(z):

s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...如果對(duì)于D內(nèi)的某一點(diǎn)z0,極限s(z)稱(chēng)為級(jí)數(shù)的和函數(shù)110這種級(jí)數(shù)稱(chēng)為冪級(jí)數(shù).如果令z-a=z,則(4.2.2)成為,這是(4.2.3)的形式,為了方便,今后常就(4.2.3)討論當(dāng)fn(z)=cn-1(z-a)n-1或fn(z)=cn-1zn-1時(shí),就得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的特殊情形:111定理一(阿貝爾Abel定理)z0xyO112[證]1131141152.收斂圓和收斂半徑利用阿貝爾定理,可以定出冪級(jí)數(shù)的收斂范圍,對(duì)一個(gè)冪級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō),它的收斂情況不外乎三種:

i)對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都是收斂的.這時(shí),根據(jù)阿貝爾定理可知級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對(duì)收斂.

ii)對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除z=0外都是發(fā)散的.這時(shí),級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散.

iii)既存在使級(jí)數(shù)收斂的正實(shí)數(shù),也存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù).設(shè)z=a(正實(shí)數(shù))時(shí),級(jí)數(shù)收斂,z=b(正實(shí)數(shù))時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.116顯然a<b,將收斂域染成紅色,發(fā)散域?yàn)樗{(lán)色.RCROabCaCbxy117當(dāng)a由小逐漸變大時(shí),Ca必定逐漸接近一個(gè)以原點(diǎn)為中心,R為半徑的圓周CR.在CR的內(nèi)部都是紅色,外部都是藍(lán)色.這個(gè)紅藍(lán)兩色的分界圓周CR稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂圓.在收斂圓的外部,級(jí)數(shù)發(fā)散.收斂圓的內(nèi)部,級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.收斂圓的半徑R稱(chēng)為收斂半徑.所以?xún)缂?jí)數(shù)(4.2.3)的收斂范圍是以原點(diǎn)為中心的圓域.對(duì)冪級(jí)數(shù)(4.2.2)來(lái)說(shuō),收斂范圍是以z=a為中心的圓域.在收斂圓上是否收斂,則不一定.118例1求冪級(jí)數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).[解]級(jí)數(shù)實(shí)際上是等比級(jí)數(shù),部分和為1191203.收斂半徑的求法121122123124125例2求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑1261271281294.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)象實(shí)變冪級(jí)數(shù)一樣,復(fù)變冪級(jí)數(shù)也能進(jìn)行有理運(yùn)算.設(shè)在以原點(diǎn)為中心,r1,r2中較小的一個(gè)為半徑的圓內(nèi),這兩個(gè)冪級(jí)數(shù)可以象多項(xiàng)式那樣進(jìn)行相加,相減,相乘,所得到的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)分別就是f(z)與g(z)的和,差與積.130131更為重要的是代換(復(fù)合)運(yùn)算這個(gè)代換運(yùn)算,在把函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)時(shí),有著廣泛的應(yīng)用.132133Oxyab當(dāng)|z-a|<|b-a|=R時(shí)級(jí)數(shù)收斂134按柯西積分公式,有且z0Kzrz由解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式,上式可寫(xiě)成在K內(nèi)成立,即f(z)可在K內(nèi)用冪級(jí)數(shù)表達(dá).q與積分變量z無(wú)關(guān),且0

q<1.z0KzrzK含于D,f(z)在D內(nèi)解析,在K上連續(xù),在K上有界,因此在K上存在正實(shí)數(shù)M使|f(z)|

M.因此,下面的公式在K內(nèi)成立:稱(chēng)為f(z)在z0的泰勒展開(kāi)式,它右端的級(jí)數(shù)稱(chēng)為f(z)在z0處的泰勒級(jí)數(shù).

圓周K的半徑可以任意增大,只要K在D內(nèi).所以,如果z0到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離為d,則f(z)在z0的泰勒展開(kāi)式在圓域|z-z0|<d內(nèi)成立.定理(泰勒展開(kāi)定理)設(shè)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,z0為D內(nèi)的一點(diǎn),d為z0到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離,則當(dāng)|z-z0|<d時(shí),

注：如果f(z)在z0解析,則使f(z)在z0的泰勒展開(kāi)式成立的圓域的半徑R等于從z0到f(z)的距z0最近一個(gè)奇點(diǎn)a的距離,即R=|a-z0|.yz0ax

任何解析函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的結(jié)果就是泰勒級(jí)數(shù),因而是唯一的.

利用泰勒展開(kāi)式,我們可以直接通過(guò)計(jì)算系數(shù):把f(z)在z0展開(kāi)成冪級(jí)數(shù),這被稱(chēng)作直接展開(kāi)法例如,求ez在z=0處的泰勒展開(kāi)式,由于(ez)(n)=ez,(ez)(n)|z=0=1(n=0,1,2,...)，故有因?yàn)閑z在復(fù)平面內(nèi)處處解析,上式在復(fù)平面內(nèi)處處成立,收斂半徑為+.同樣,可求得sinz與cosz在z=0的泰勒展開(kāi)式:除直接法外,也可以借助一些已知函數(shù)的展開(kāi)式,利用冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和分析性質(zhì),以唯一性為依據(jù)來(lái)得出一個(gè)函數(shù)的泰勒展開(kāi)式,此方法稱(chēng)為間接展開(kāi)法.例如sinz在z=0的泰勒展開(kāi)式也可以用間接展開(kāi)法得出:[解]由于函數(shù)有一奇點(diǎn)z=-1,而在|z|<1內(nèi)處處解析,所以可在|z|<1內(nèi)展開(kāi)成z的冪級(jí)數(shù).因?yàn)?/p>

例1

把函數(shù)展開(kāi)成z的冪級(jí)數(shù).例2求對(duì)數(shù)函數(shù)的主值ln(1+z)在z=0處的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式.[解]ln(1+z)在從-1向左沿負(fù)實(shí)軸剪開(kāi)的平面內(nèi)是解析的,

-1是它的奇點(diǎn),所以可在|z|<1展開(kāi)為z的冪級(jí)數(shù).-1OR=1xy推論1：

注：推論2：

推論3:冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上至少有一個(gè)奇點(diǎn).(即使冪級(jí)數(shù)在其收斂圓周上處處收斂)例如：推論4：例如：而如果把函數(shù)中的x換成z,在復(fù)平面內(nèi)來(lái)看函數(shù)1-z2+z4-…它有兩個(gè)奇點(diǎn)

i,而這兩個(gè)奇點(diǎn)都在此函數(shù)的展開(kāi)式的收斂圓周上,所以這個(gè)級(jí)數(shù)的收斂半徑只能等于1.因此,即使我們只關(guān)心z的實(shí)數(shù)值,但復(fù)平面上的奇點(diǎn)形成了限制.

在實(shí)變函數(shù)中有些不易理解的問(wèn)題,一到復(fù)變函數(shù)中就成為顯然的事情,例如在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),展開(kāi)式的成立必須受|x|<1的限制,這一點(diǎn)往往使人難以理解,因?yàn)樯鲜阶蠖说暮瘮?shù)對(duì)任何實(shí)數(shù)都是確定的而且是可導(dǎo)的.§4洛朗級(jí)數(shù)

一個(gè)以z0為中心的圓域內(nèi)解析的函數(shù)f(z),可以在該圓域內(nèi)展開(kāi)成z-z0的冪級(jí)數(shù).如果f(z)在z0處不解析,則在z0的鄰域內(nèi)就不能用z-z0的冪級(jí)數(shù)來(lái)表示.但是這種情況在實(shí)際問(wèn)題中卻經(jīng)常遇到.因此,在本節(jié)中將討論在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示法.討論下列形式的級(jí)數(shù):可將其分為兩部分考慮:只有正冪項(xiàng)和負(fù)冪項(xiàng)都收斂才認(rèn)為原級(jí)數(shù)收斂于它們的和.正冪項(xiàng)是一冪級(jí)數(shù),設(shè)其收斂半徑為R2：這是z的冪級(jí)數(shù),設(shè)收斂半徑為R：對(duì)負(fù)冪項(xiàng),如果令z=(z-z0)-1,就得到：則當(dāng)|z-z0|>R1時(shí),即|z|<R,因此,只有在R1<|z-z0|<R2的圓環(huán)域,原級(jí)數(shù)才收斂.z0R1R2例如級(jí)數(shù)在收斂圓環(huán)域內(nèi)也具有.例如,可以證明,上述級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)其和函數(shù)是解析的,而且可以逐項(xiàng)求積和逐項(xiàng)求導(dǎo).冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的許多性質(zhì),級(jí)數(shù)現(xiàn)在反問(wèn),在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能夠展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)?先看下例.其次,在圓環(huán)域:0<|z-1|<1內(nèi)也可以展開(kāi)為z-1的冪級(jí)數(shù):1Oxy定理

設(shè)f(z)在圓環(huán)域R1<|z-z0|<R2內(nèi)解析,則C為在圓環(huán)域內(nèi)繞z0的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn).[證]設(shè)z為圓環(huán)域內(nèi)的任一點(diǎn),

在圓環(huán)域內(nèi)作以z0為中心的正向圓周K1與K2,K2的半徑R大于K1的半徑r,且使z在K1與K2之間.R1R2zrK1zRK2zz0由柯西積分公式得R1R2zrK1zRK2zz0因此有如果在圓環(huán)域內(nèi)取繞z0的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)C,則根據(jù)閉路變形原理,這兩個(gè)式子可用一個(gè)式子來(lái)表示:Cz0R1R2稱(chēng)為函數(shù)f(z)在以z0為中心的圓環(huán)域:R1<|z-z0|<R2內(nèi)的洛朗(Laurent)展開(kāi)式,它右端的級(jí)數(shù)稱(chēng)為f(z)在此圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù).

一個(gè)在某圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開(kāi)為含有正,負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的,這個(gè)級(jí)數(shù)就是f(z)的洛朗級(jí)數(shù).

根據(jù)由正負(fù)整次冪項(xiàng)組成的級(jí)數(shù)的唯一性,一般可以用代數(shù)運(yùn)算,代換,求導(dǎo)和積分等方法去展開(kāi),以求得洛朗級(jí)數(shù)的展開(kāi)式.解：函數(shù)f(z)

在圓環(huán)域i)0<|z|<1;ii)1<|z|<2;iii)2<|z|<+

內(nèi)是處處解析的,應(yīng)把f(z)在這些區(qū)域內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù).xyO1xyO12xyO2先把f(z)用部分分式表示:ii)在1<|z|<2內(nèi)：iii)在2<|z|<+

內(nèi):例2把函數(shù)[解]因有函數(shù)可以在以z0為中心的(由奇點(diǎn)隔開(kāi)的)不同圓環(huán)域內(nèi)解析,因而在各個(gè)不同的圓環(huán)域中有不同的洛朗展開(kāi)式(包括泰勒展開(kāi)式作為它的特例).我們不要把這種情形與洛朗展開(kāi)式的唯一性相混淆.所謂洛朗展開(kāi)式的唯一性,是指函數(shù)在某一個(gè)給定的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開(kāi)式是唯一的.例如在z=i

和z=-i處展開(kāi)函數(shù)為洛朗級(jí)數(shù)。在復(fù)平面內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn):z=0與z=-i,分別在以i為中心的圓周:|z-i|=1與|z-i|=2上.因此,f(z)在以i為中心的圓環(huán)域(包括圓域)內(nèi)的展開(kāi)式有三個(gè):1)在|z-i|<1中的泰勒展開(kāi)式;

2)在1<|z-i|<2中的洛朗展開(kāi)式;

3)在2<|z-i|<+

中的洛朗展開(kāi)式;在復(fù)平面內(nèi)有一個(gè)奇點(diǎn):z=0在以-i為中心的圓周:|z+i|=1上.因此,f(z)在以-i為中心的圓環(huán)域內(nèi)的展開(kāi)式有二個(gè):1)在0<|z+i|<1中的洛朗展開(kāi)式;

2)在1<|z+i|<+

中的洛朗展開(kāi)式。O-ii特別的，當(dāng)洛朗級(jí)數(shù)的系數(shù)公式（即可利用Laurent系數(shù)計(jì)算積分）

其中C為圓環(huán)域R1<|z-z0|<R2內(nèi)的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn),

f(z)在此圓環(huán)域內(nèi)解析.例３解：

將函數(shù)f(z)在它的孤立奇點(diǎn)z0的去心鄰域0<|z-z0|<d內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù).根據(jù)展開(kāi)式的不同情況對(duì)孤立奇點(diǎn)作分類(lèi).可去奇點(diǎn)

如果在洛朗級(jí)數(shù)中不含z-z0的負(fù)冪項(xiàng),則孤立奇點(diǎn)z0稱(chēng)為f(z)的可去奇點(diǎn).這時(shí),f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+....0<|z-z0|<d,則在圓域|z-z0|<d內(nèi)就有f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...,

從而函數(shù)f(z)在z0就成為解析的了.所以z0稱(chēng)為可去奇點(diǎn).2.極點(diǎn)

如果在洛朗級(jí)數(shù)中只有有限多個(gè)z-z0的負(fù)冪項(xiàng),

且其中關(guān)于(z-z0)-1的最高冪為(z-z0)-m,即

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...(m1,c-m0),則孤立奇點(diǎn)z0稱(chēng)為函數(shù)f(z)的m級(jí)極點(diǎn).上式也可寫(xiě)成

其中g(shù)(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+...,在|z-z0|<d內(nèi)是解析的函數(shù),且g(z0)0.

反過(guò)來(lái),當(dāng)任何一個(gè)函數(shù)f(z)能表示為(*)的形式,且g(z0)0時(shí),則z0是f(z)的m級(jí)極點(diǎn).如果z0為f(z)的極點(diǎn),由(*)式,就有3.本性奇點(diǎn)

如果在洛朗級(jí)數(shù)中含有無(wú)窮多z-z0的負(fù)冪項(xiàng),則孤立奇點(diǎn)z0稱(chēng)為f(z)的本性奇點(diǎn).綜上所述:我們可以利用上述極限的不同情形來(lái)判別孤立奇點(diǎn)的類(lèi)型.4.函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系

不恒等于零的解析函數(shù)f(z)如果能表示成

f(z)=(z-z0)mj(z),其中j(z)在z0解析且j(z0)0,m為某一正整數(shù),則z0稱(chēng)為f(z)的m級(jí)零點(diǎn).例如當(dāng)f(z)=z(z-1)3時(shí),z=0與z=1是它的一級(jí)與三級(jí)零點(diǎn).根據(jù)這個(gè)定義,我們可以得到以下結(jié)論:

如f(z)在z0解析,則z0是f(z)的m級(jí)零點(diǎn)的充要條件是

f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)0.

這是因?yàn)?如果f(z)在z0解析,就必能在z0的鄰域展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù):f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cm(z-z0)m+…，

易證z0是f(z)的m級(jí)零點(diǎn)的充要條件是前m項(xiàng)系數(shù)

c0=c1=...=cm-1=0,cm0,

這等價(jià)于

f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)0。例如z=1是f(z)=z3-1的零點(diǎn),由于

f'(1)=3z2|z=1=30,從而知z=1是f(z)的一級(jí)零點(diǎn).由于f(z)=(z-z0)mj(z)中的j(z)在z0解析,且j(z0)0,因而它在z0的鄰域內(nèi)不為零.這是因?yàn)閖(z)在z0解析,必在z0連續(xù),所以給定所以f(z)=(z-z0)mj(z)在z0的去心鄰域內(nèi)不為零,即不恒為零的解析函數(shù)的零點(diǎn)是孤立的.定理

如果z0是f(z)的m級(jí)極點(diǎn),則z0就是的m級(jí)零點(diǎn),

反過(guò)來(lái)也成立.這個(gè)定理為判斷函數(shù)的極點(diǎn)提供了一個(gè)較為簡(jiǎn)單的方法.例2例3對(duì)討論函數(shù)在處的性態(tài)。5.函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)

如果函數(shù)f(z)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)z=

的去心鄰域R<|z|<內(nèi)解析,稱(chēng)點(diǎn)

為f(z)的孤立奇點(diǎn).作變換

把擴(kuò)充z平面上

的去心鄰域R<|z|<+映射成擴(kuò)充w平面上原點(diǎn)的去心鄰域：又.這樣,我們可把在去心鄰域R<|z|<+

對(duì)f(z)的研究變?yōu)樵趦?nèi)對(duì)j(w)的研究.顯然j(w)在內(nèi)解析,所以w=0是孤立奇點(diǎn).f(z)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)z=

的奇點(diǎn)類(lèi)型等價(jià)于j(w)在w=0的奇點(diǎn)類(lèi)型。即z=

是f(z)的可去奇點(diǎn),極點(diǎn)或本性奇點(diǎn),完全看極限是否存在(有限值),為無(wú)窮大或即不存在又不是無(wú)窮大來(lái)決定.例題1例題2例題3

§2留數(shù)留數(shù)的定義及留數(shù)定理

如果函數(shù)f(z)在z0的鄰域D內(nèi)解析,那末根據(jù)柯西積分定理

但是,如果z0為f(z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn),則沿在z0的某個(gè)去心鄰域0<|z-z0|<R內(nèi)包含z0的任意一條正向簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)C的積分一般就不等于零.因此f(z)=...+c-n(z-z0)-n+...+c-1(z-z0)-1

+c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...0<|z-z0|<R兩端沿C逐項(xiàng)積分:稱(chēng)C-1為f(z)在z0的留數(shù),記作Res[f(z),z0],即定理一(留數(shù)定理)

設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)z1,z2,...,zn外處處解析.C是D內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn),則Dz1z2z3znC1C2C3CnC[證]把在C內(nèi)的孤立奇點(diǎn)zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)Ck圍繞起來(lái),則根據(jù)復(fù)合閉路定理有注意定理中的條件要滿(mǎn)足。例如不能應(yīng)用留數(shù)定理。

求函數(shù)在孤立奇點(diǎn)z0處的留數(shù)即求它在洛朗級(jí)數(shù)中

(z-z0)-1項(xiàng)的系數(shù)c-1即可.但如果知道奇點(diǎn)的類(lèi)型,對(duì)求留數(shù)可能更有利.

如果z0是f(z)的可去奇點(diǎn),則Res[f(z),z0]=0.如果z0是本性奇點(diǎn),則只好將其按洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi).如果z0是極點(diǎn),則有一些對(duì)求c-1有用的規(guī)則.2.留數(shù)的計(jì)算規(guī)則

規(guī)則1

如果z0為f(z)的一級(jí)極點(diǎn),則規(guī)則2

如果z0為f(z)的m級(jí)極點(diǎn),則事實(shí)上,由于

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...,

(z-z0)mf(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+...+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+...,令兩端z

z0,右端的極限是(m-1)!c-1,兩端除以(m-1)!就是Res[f(z),z0],即得規(guī)則2,當(dāng)m=1時(shí)就是規(guī)則1。即得規(guī)則3。由規(guī)則1,得我們也可以用規(guī)則3來(lái)求留數(shù):這比用規(guī)則1要簡(jiǎn)單些.例5解：所以原式=例4解：z=0為一級(jí)極點(diǎn)。3.在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)

設(shè)函數(shù)f(z)在圓環(huán)域R<|z|<

內(nèi)解析,C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點(diǎn)的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn),則積分的值與C無(wú)關(guān),稱(chēng)其為f(z)在

點(diǎn)的留數(shù),記作f(z)在圓環(huán)域R<|z|<

內(nèi)解析：

理解為圓環(huán)域內(nèi)繞的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)。

這就是說(shuō),f(z)在

點(diǎn)的留數(shù)等于它在

點(diǎn)的去心鄰域R<|z|<+內(nèi)洛朗展開(kāi)式中z-1的系數(shù)變號(hào).定理二

如果f(z)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn),那末f(z)在所有各奇點(diǎn)(包括

點(diǎn))的留數(shù)總和必等于零.證：除

點(diǎn)外,設(shè)f(z)的有限個(gè)奇點(diǎn)為zk(k=1,2,...,n).且C為一條繞原點(diǎn)的并將zk(k=1,2,...,n)包含在它內(nèi)部的正向簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn),則根據(jù)留數(shù)定理與在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)定義,有所以規(guī)則4成立.定理二與規(guī)則IV為我們提供了計(jì)算函數(shù)沿閉曲線(xiàn)積分的又一種方法,在很多情況下,它比利用上一段中的方法更簡(jiǎn)便.例61.形如的積分,其中R(cosq,sinq)為cosq與sinq的有理函數(shù).令z=eiq,則dz=ieiqdq,而其中f(z)是z的有理函數(shù),且在單位圓周|z|=1上分母不為零,根據(jù)留數(shù)定理有

其中zk(k=1,2,...,n)為單位圓|z|=1內(nèi)的f(z)的孤立奇點(diǎn).例1計(jì)算的值.[解]由于0<p<1,被積函數(shù)的分母在0

q2p內(nèi)不為零,因而積分是有意義的.由于cos2q=(e2iq+e-2iq)/2=(z2+z-2)/2,因此

在被積函數(shù)的三個(gè)極點(diǎn)z=0,p,1/p中只有前兩個(gè)在圓周|z|=1內(nèi),其中z=0為二級(jí)極點(diǎn),z=p為一級(jí)極點(diǎn).例2計(jì)算的值.解：令例3解：取積分路線(xiàn)如圖所示,其中CR是以原點(diǎn)為中心,R為半徑的在上半平面的半圓周.取R適當(dāng)大,使R(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)zk都包在這積分路線(xiàn)內(nèi).z1z2z3yCR-RROx不失一般性,設(shè)為一已約分式.此等式不因CR的半徑R不斷增大而有所改變.例4例5解：3.形如的積分

當(dāng)R(x)是x的有理函數(shù)而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次,且R(x)在實(shí)數(shù)軸上沒(méi)有奇點(diǎn)時(shí),積分是存在的.

象2中處理的一樣,由于m-n1,故對(duì)充分大的|z|有因此,在半徑R充分大的CR上,有z1z2z3yCR-RROxyqOpy=sinq1也可寫(xiě)為例6計(jì)算的值.[解]這里m=2,n=1,m-n=1.R(z)在實(shí)軸上無(wú)孤立奇點(diǎn),因而所求的積分是存在的.在上半平面內(nèi)有一級(jí)極點(diǎn)ai,例4計(jì)算積分的值.[解]

因?yàn)槭桥己瘮?shù),所以

為了使積分路線(xiàn)不通過(guò)原點(diǎn),取如下圖所示的路線(xiàn).由柯西積分定理,有CrCRyxO-rrR-R令x=-t,則有因此,要算出所求積分的值,只需求出極限下面將證明由于所以j(z)在z=0處解析,且j(0)=i,當(dāng)|z|充分小時(shí)可使|j(z)|2,而由于在r充分小時(shí),例題

211z平面內(nèi)的任一條有向曲線(xiàn)C可用z=z(t),a

t

b

表示,它的正向取為t增大時(shí)點(diǎn)z移動(dòng)的方向,z(t)為一條連續(xù)函數(shù).

如果z'(t0)0,a<t0<b,則表示z'(t)的向量(把起點(diǎn)放取在z0.以下不一一說(shuō)明)與C相切于點(diǎn)z0=z(t0).z(t0)z(a)z(b)z'(t0)§1保形映射的概念212

事實(shí)上,如果通過(guò)C上兩點(diǎn)P0與P的割線(xiàn)P0P的正向?qū)?yīng)于t增大的方向,則這個(gè)方向與表示的方向相同.Oxyz(t0)P0Pz(t0+Dt)C(z)當(dāng)點(diǎn)P沿C無(wú)限趨向于點(diǎn)P0,割線(xiàn)P0P的極限位置就是C上P0處的切線(xiàn).因此,表示的向量與C相切于點(diǎn)z0=z(t0),且方向與C的正向一致.z'(t0)213我們有Argz'(t0)就是z0處C的切線(xiàn)正向與x軸正向間的夾角;相交于一點(diǎn)的兩條曲線(xiàn)C1與C2正向之間的夾角就是它們交點(diǎn)處切線(xiàn)正向間夾角Ox(z)z02141.解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)

解析,z0為D內(nèi)的一點(diǎn),且f‘(z0)0.又設(shè)C為z平面內(nèi)通過(guò)點(diǎn)z0的一條有向光滑曲線(xiàn):z=z(t),a

t

b,且z0=z(t0),z'(t0)0,a<t0<b.映射w=