北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊 專題3.26 《圓》全章復(fù)習(xí)與鞏固（知識講解）

專題3.26《圓》全章復(fù)習(xí)與鞏固（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解圓及其有關(guān)概念，理解弧、弦、圓心角的關(guān)系，探索并了解點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，探索并掌握圓周角與圓心角的關(guān)系、直徑所對的圓周角的特征；

2．了解切線的概念，探索并掌握切線與過切點的半徑之間的位置關(guān)系，能判定一條直線是否為圓的切線，會過圓上一點畫圓的切線；

3．了解三角形的內(nèi)心和外心，探索如何過一點、兩點和不在同一直線上的三點作圓；

4．了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓的內(nèi)接正多邊形的方法；會計算弧長及扇形的面積、圓錐的側(cè)面積及全面積；

5．結(jié)合相關(guān)圖形性質(zhì)的探索和證明，進(jìn)一步培養(yǎng)合情推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的表達(dá)能力；通過這一章的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步培養(yǎng)綜合運用知識的能力，運用學(xué)過的知【要點梳理】要點一、圓的定義、性質(zhì)及與圓有關(guān)的角

1．圓的定義

(1)線段OA繞著它的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的封閉曲線，叫做圓.

(2)圓是到定點的距離等于定長的點的集合.

特別說明：

①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大??；確定一個圓應(yīng)先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；

②圓是一條封閉曲線.2．圓的性質(zhì)

(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心.

在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應(yīng)的其他各組分別相等.

(2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對稱軸.

(3)垂徑定理及推論：

①垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

②平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

③弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧.

④平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦.

⑤平行弦夾的弧相等.

特別說明：

在垂經(jīng)定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧，在這五個條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結(jié)論.（注意：“過圓心、平分弦”作為題設(shè)時，平分的弦不能是直徑）3．兩圓的性質(zhì)

(1)兩個圓是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線.

(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過切點.4．與圓有關(guān)的角

(1)圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角.

圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù).

(2)圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

圓周角的性質(zhì)：

①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半.

②同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.

③90°的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角.

④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.

⑤圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；外角等于它的內(nèi)對角.

特別說明：

(1)圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩邊都和圓相交.

(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.

要點二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系1．判定一個點P是否在⊙O上

設(shè)⊙O的半徑為，OP=，則有

點P在⊙O外；點P在⊙O上；點P在⊙O內(nèi).

特別說明：點和圓的位置關(guān)系和點到圓心的距離的數(shù)量關(guān)系是相對應(yīng)的，即知道位置關(guān)系就可以確定數(shù)量關(guān)系；知道數(shù)量關(guān)系也可以確定位置關(guān)系.2．判定幾個點在同一個圓上的方法

當(dāng)時，在⊙O上.

3．直線和圓的位置關(guān)系

設(shè)⊙O半徑為R，點O到直線的距離為.

(1)直線和⊙O沒有公共點直線和圓相離.

(2)直線和⊙O有唯一公共點直線和⊙O相切.

(3)直線和⊙O有兩個公共點直線和⊙O相交.

4．切線的判定、性質(zhì)

(1)切線的判定：

①經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

②到圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線.

(2)切線的性質(zhì)：

①圓的切線垂直于過切點的半徑.

②經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點.

③經(jīng)過切點作切線的垂線經(jīng)過圓心.

(3)切線長：從圓外一點作圓的切線，這一點和切點之間的線段的長度叫做切線長.

(4)切線長定理：從圓外一點作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.

要點三、三角形的外接圓與內(nèi)切圓、圓內(nèi)接四邊形與外切四邊形

1．三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心

(1)三角形的內(nèi)心：是三角形三條角平分線的交點，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示.

(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點的距離相等，通常用O表示.

(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點，在三角形內(nèi)部；它到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍，通常用G表示.

(4)垂心：是三角形三邊高線的交點.特別說明：

(1)任何一個三角形都有且只有一個內(nèi)切圓，但任意一個圓都有無數(shù)個外切三角形；

(2)解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內(nèi)切圓的半徑).

(3)三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：名稱確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.2．圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形

(1)四個點都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對角.

(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等.

要點四、圓中有關(guān)計算

1．圓中有關(guān)計算

圓的面積公式：，周長.

圓心角為、半徑為R的弧長.

圓心角為，半徑為R，弧長為的扇形的面積.

弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計算.

圓柱的側(cè)面圖是一個矩形，底面半徑為R，母線長為的圓柱的體積為，側(cè)面積為，全面積為.

圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為，高為的圓錐的側(cè)面積為，全面積為，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有.特別說明：

(1)對于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；

(2)在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.

(3)扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點類似，可類比記憶；

(4)扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系：.

【典型例題】類型一、圓的基礎(chǔ)知識1．如圖，是的直徑，點在上，，過點作直線分別交直線和于點、，連結(jié)，，.（1）求的度數(shù)；（2）我們把有一個內(nèi)角等于的等腰三角形稱為黃金三角形.它的腰長與底邊長的比（或者底邊長與腰長的比）等于黃金分割比.①寫出圖中所有的黃金三角形，選一個說明理由.②求弦的長.③在直線或上是否存在點（點、除外），使是黃金三角形？若存在，畫出點，簡要說明畫出點的方法（不要求證明）；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）理由見解析，，存在理由見解析.【分析】（1）根據(jù)等邊對等角找到三角形∠CDB和∠OCD的關(guān)系，列方程求解；（2）①結(jié)合（1）求得各個角的度數(shù)，根據(jù)題意進(jìn)行判斷；②根據(jù)黃金比求值計算；③此題要分別考慮OE為底和腰的情況．（1）∵是的直徑，，∴.則，.設(shè)，則，.又，∴.∴，.∴.（2）①有三個：△DOE，△COE，△COD．∵OE＝DE，∠CDB＝36°，∴△DOE是黃金三角形；∵OC＝OE，∠COE＝180°?∠OCE?∠OEC＝36°．∴△COE是黃金三角形；∵∠COB＝108°，∴∠COD＝72°；又∠OCD＝2x＝72°，∴∠OCD＝∠COD．∴OD＝CD，∴△COD是黃金三角形；②∵是黃金三角形，∴，∵，.∵，.∴.③存在，有三個符合條件的點、、（如圖2所示）.（Ⅰ）以為底的黃金三角形：作的垂直平分線分別交直線、于點、.（Ⅱ）以為腰的黃金三角形：點與點重合.【點撥】此題考查圓的基本性質(zhì)以及黃金分割，知識綜合性較強(qiáng)，能夠熟記黃金比的值，根據(jù)黃金比進(jìn)行計算．注意根據(jù)題目中定義的黃金三角形進(jìn)行分析計算．【變式1】已知：如圖點O是∠EPF的角平分線上的一點，以點O為圓心的圓和∠EPF的兩邊交于點A、B、C、D．求證：∠OBA=∠OCD【答案】見解析.【分析】過點O分別作OM⊥AB，ON⊥CD，則可知OM=ON，且OB=OC，則可證得△OMB≌△ONC，可得出∠OBA=∠OCD．證明：過點O分別作OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分別為M、N

∵∠EPO=∠FPO，

∴OM=ON，

在Rt△OMB和Rt△ONC中，，

∴Rt△OMB≌Rt△ONC（HL），

∴∠OBA=∠OCD．【點撥】本題考查角平分線性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，以及同圓半徑相等的性質(zhì)，正確掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，是的高，為的中點．試說明點在以點為圓心的同一個圓上．【答案】見解析【分析】先連接，，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得，即可證結(jié)論．證明：連接，．分別是的高，為的中點，，∴點在以點為圓心的同一圓上．【點撥】本題主要考查了直角三角形和圓的性質(zhì)，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半這一性質(zhì)是關(guān)鍵．類型二、弧、弦、圓心角、圓周角的關(guān)系及垂徑定理2．如圖，AB是⊙O的直徑，C是的中點，CE⊥AB于E，BD交CE于點F．（1）求證：CF﹦BF；（2）若CD﹦6，AC﹦8，則⊙O的半徑和CE的長．【答案】（1）見解析（2）5，【分析】（1）要證明CF=BF，可以證明∠ECB=∠DBC；AB是⊙O的直徑，則∠ACB=90°，又知CE⊥AB，則∠CEB=90°，根據(jù)同角的余角相等證出∠ECB=∠A，再根據(jù)同圓中，等弧所對的圓周角相等證出∠DBC=∠A，從而證出∠ECB=∠DBC；

（2）在直角三角形ACB中，AB2=AC2+BC2，又知，BC=CD，所以可以求得AB的長，即可求得圓的半徑；再根據(jù)三角形面積求得CE的長．（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠A=90°-∠ABC．

∵CE⊥AB，

∴∠CEB=90°，

∴∠ECB=90°-∠ABC，

∴∠ECB=∠A．又∵C是的中點,∴∴∠DBC=∠A，

∴∠ECB=∠DBC，

∴CF=BF；

（2）解：∵∴BC=CD=6，

∵∠ACB=90°，∴⊙O的半徑為5，【點撥】此題考查了圓周角定理的推論、等腰三角形的判定及性質(zhì)以及求三角形的高．此題綜合性很強(qiáng)，難度適中，掌握同圓中，等弧所對的圓周角相等、直徑所對的圓周角為直角、等腰三角形的判定及性質(zhì)和利用等面積法求直角三角形斜邊上的高是解決此題的關(guān)鍵．【變式1】已知是的直徑，弦與相交，.（Ⅰ）如圖①，若為的中點，求和的大??；（Ⅱ）如圖②，過點作的切線，與的延長線交于點，若，求的大小.【答案】（1）52°，45°；（2）26°分析：（Ⅰ）運用直徑所對的圓周角是直角以及圓周角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)求解即可；（Ⅱ）運用圓周角定理求解即可.詳解：（Ⅰ）∵是的直徑，∴.∴.又∴，∴.由為的中點，得.∴.∴.（Ⅱ）如圖，連接.∵切于點，∴，即.由，又，∴是的外角，∴.∴.又，得.∴.點睛：本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，⊙O的直徑AB=10，弦AC=8，連接BC．（1）尺規(guī)作圖：作弦CD，使CD=BC（點D不與B重合），連接AD；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）所作的圖中，求四邊形ABCD的周長．【答案】（1）見解析；（2）四邊形的周長為.【分析】（1）以C為圓心，CB為半徑畫弧，交⊙O于D，線段CD即為所求．（2）連接BD，OC交于點E，設(shè)OE=x，構(gòu)建方程求出x即可解決問題．解：（1）如圖，線段CD即為所求．（2）連接BD，OC交于點E，設(shè)OE=x．∵是直徑，∴，∴，∵，∴，∴，BE=DE，∵BE2=BC2-EC2=OB2-OE2∴，解得：，∵BO=OA，BE=DE∴為的中位線，∴，∴四邊形的周長為：.【點撥】本題考查了作圖能力、圓周角定理、解直角三角形，熟練掌握是解題的關(guān)鍵.類型三、與圓有關(guān)的位置關(guān)系3．如圖，以Rt△ABC的AC邊為直徑作⊙O交斜邊AB于點E，連接EO并延長交BC的延長線于點D，點F為BC的中點，連接EF和AD．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為2，∠EAC＝60°，求AD的長．【答案】（1）見解析；（2）AD＝．【分析】（1）連接FO，可根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可判斷易證OF∥AB，然后根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可得CE⊥AE，進(jìn)而知OF⊥CE，然后根據(jù)垂徑定理可得∠FEC＝∠FCE，∠OEC＝∠OCE，再通過Rt△ABC可知∠OEC＋∠FEC＝90°，因此可證FE為⊙O的切線；（2）在Rt△OCD中和Rt△ACD中，分別利用勾股定理分別求出CD,AD的長即可．（1）證明：連接CE，如圖所示：∵AC為⊙O的直徑，∴∠AEC＝90°．∴∠BEC＝90°，∵點F為BC的中點，∴EF＝BF＝CF，∴∠FEC＝∠FCE，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∵∠FCE+∠OCE＝∠ACB＝90°，∴∠FEC+∠OEC＝∠OEF＝90°，∴EF是⊙O的切線．（2）解：∵OA＝OE，∠EAC＝60°，∴△AOE是等邊三角形．∴∠AOE＝60°，∴∠COD＝∠AOE＝60°，∵⊙O的半徑為2，∴OA＝OC＝2在Rt△OCD中，∵∠OCD＝90°，∠COD＝60°，∴∠ODC＝30°，∴OD＝2OC＝4，∴CD＝．在Rt△ACD中，∵∠ACD＝90°，AC＝4，CD＝．∴AD＝＝．【點撥】本題主要考查直角三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)以及與圓有關(guān)的位置關(guān)系．【變式1】如圖，已知A、B、C、D、E是⊙O上五點，⊙O的直徑BE=2，∠BCD=120°，A為的中點，延長BA到點P，使BA=AP，連接PE．（1）求線段BD的長；（2）求證：直線PE是⊙O的切線．【答案】（1）3；（2）證明見解析.【解析】分析：（1）連接DB，如圖，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠DEB=60°，再根據(jù)圓周角定理得到∠BDE=90°，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系計算BD的長；（2）連接EA，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠BAE=90°，而A為的中點，則∠ABE=45°，再根據(jù)等腰三角形的判定方法，利用BA=AP得到△BEP為等腰直角三角形，所以∠PEB=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論．詳解：（1）連接DE，如圖，∵∠BCD+∠DEB=180°，∴∠DEB=180°﹣120°=60°，∵BE為直徑，∴∠BDE=90°，在Rt△BDE中，DE=BE=×2=，BD=DE=×=3；（2）證明：連接EA，如圖，∵BE為直徑，∴∠BAE=90°，∵A為的中點，∴∠ABE=45°，∵BA=AP，而EA⊥BA，∴△BEP為等腰直角三角形，∴∠PEB=90°，∴PE⊥BE，∴直線PE是⊙O的切線．點睛：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了圓周角定理．【變式2】如圖，AB是⊙O的直徑，DO⊥AB于點O，連接DA交⊙O于點C，過點C作⊙O的切線交DO于點E，連接BC交DO于點F．（1）求證：CE=EF；（2）連接AF并延長，交⊙O于點G．填空：①當(dāng)∠D的度數(shù)為時，四邊形ECFG為菱形；②當(dāng)∠D的度數(shù)為時，四邊形ECOG為正方形．【答案】（1）證明見解析；（2）①30°；②22.5°.分析：（1）連接OC，如圖，利用切線的性質(zhì)得∠1+∠4=90°，再利用等腰三角形和互余證明∠1=∠2，然后根據(jù)等腰三角形的判定定理得到結(jié)論；（2）①當(dāng)∠D=30°時，∠DAO=60°，證明△CEF和△FEG都為等邊三角形，從而得到EF=FG=GE=CE=CF，則可判斷四邊形ECFG為菱形；②當(dāng)∠D=22.5°時，∠DAO=67.5°，利用三角形內(nèi)角和計算出∠COE=45°，利用對稱得∠EOG=45°，則∠COG=90°，接著證明△OEC≌△OEG得到∠OEG=∠OCE=90°，從而證明四邊形ECOG為矩形，然后進(jìn)一步證明四邊形ECOG為正方形．詳解：（1）證明：連接OC，如圖，.∵CE為切線，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，即∠1+∠4=90°，∵DO⊥AB，∴∠3+∠B=90°，而∠2=∠3，∴∠2+∠B=90°，而OB=OC，∴∠4=∠B，∴∠1=∠2，∴CE=FE；（2）解：①當(dāng)∠D=30°時，∠DAO=60°，而AB為直徑，∴∠ACB=90°，∴∠B=30°，∴∠3=∠2=60°，而CE=FE，∴△CEF為等邊三角形，∴CE=CF=EF，同理可得∠GFE=60°，利用對稱得FG=FC，∵FG=EF，∴△FEG為等邊三角形，∴EG=FG，∴EF=FG=GE=CE，∴四邊形ECFG為菱形；②當(dāng)∠D=22.5°時，∠DAO=67.5°，而OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=67.5°，∴∠AOC=180°-67.5°-67.5°=45°，∴∠AOC=45°，∴∠COE=45°，利用對稱得∠EOG=45°，∴∠COG=90°，易得△OEC≌△OEG，∴∠OEG=∠OCE=90°，∴四邊形ECOG為矩形，而OC=OG，∴四邊形ECOG為正方形．故答案為30°，22.5°．點睛：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了菱形和正方形的判定．類型四、圓中有關(guān)的計算4．已知PA，PB分別切⊙O于A，B，E為劣弧AB上一點，過E點的切線交PA于C，交PB于D．(1)若PA＝6，求△PCD的周長；(2)若∠P＝50°，求∠DOC．【答案】(1)△PCD的周長為12；(2)∠DOC＝65°.【分析】(1))連接OE，由切線長定理可得PA＝PB＝6,AC＝CE，BD＝DE.再由△PCD的周長＝PC＋PD＋CD＝PC＋PD＋CE＋DE＝PC＋PD＋AC＋BD＝PA＋PB即可求得△PCD的周長；（2）根據(jù)已知條件易求∠AOB＝130°；再證明Rt△AOC≌Rt△EOC，由全等三角形的性質(zhì)可得∠AOC＝∠COE.同理可求得∠DOE＝∠BOD，由此可得∠DOC＝∠AOB＝65°.(1)連接OE，∵PA，PB與⊙O相切，∴PA＝PB＝6.同理可得：AC＝CE，BD＝DE.∴△PCD的周長＝PC＋PD＋CD＝PC＋PD＋CE＋DE＝PC＋PD＋AC＋BD＝PA＋PB＝12.(2)∵PA，PB與⊙O相切，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠P＝50°，∴∠AOB＝360°－90°－90°－50°＝130°.在Rt△AOC和Rt△EOC中，∴Rt△AOC≌Rt△EOC(HL)．∴∠AOC＝∠COE.同理：∠DOE＝∠BOD，∴∠DOC＝∠AOB＝65°.【點撥】本題考查了切線的性質(zhì)定理及切線長定理，熟練運用切線的性質(zhì)定理及切線長定理是解決問題的關(guān)鍵.．【變式1】如圖內(nèi)接于，，CD是的直徑，點P是CD延長線上一點，且．求證：PA是的切線；若，求的直徑．【答案】（1）詳見解析；（2）的直徑為．【分析】連接OA，根據(jù)圓周角定理求出，再根據(jù)同圓的半徑相等從而可得，繼而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出，繼而由，可得出，從而得出結(jié)論；利用含的直角三角形的性質(zhì)求出，可得出，再由，可得出的直徑．連接OA，如圖，，，又，，又，，，，是的切線．在中，，，又，，，．的直徑為．【點撥】本題考查了切線的判定、圓周角定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定定理、圓周角定理及含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式2】如圖，是⊙的直徑，點和點是⊙上的兩點，連接，，，過點作射線交的延長線于點，使．（1）求證：是⊙的切線；（2）若，求陰影部分的面積．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）連接，過作于，由直角三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)得到，再根據(jù)直角的定義即可證明∠CAO=90°，即可證明；（2）由及圓的性質(zhì)可得是等邊三角形，再利用割補(bǔ)法即可求出陰影部分的面積.（1）證明：連接，過作于，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴是⊙的切線；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴，在中，，∴，∴陰影部分的面積．【點撥】此題主要考查圓的切線與扇形面積的求解，解題的關(guān)鍵是熟知圓的性質(zhì)及判定定理.類型五、圓的綜合運用5．如圖，D是△ABC外接圓上的動點，且B，D位于AC的兩側(cè)，DE⊥AB，垂足為E，DE的延長線交此圓于點F，BG⊥AD，垂足為G，BG交DE于點H，DC，F(xiàn)B的延長線交于點P，且PC=PB，（1）求證：BG∥CD；（2）設(shè)△ABC外接圓的圓心為O，若AB=DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．【答案】（1）證明見解析；（2）20°或40°．【分析】（1）根據(jù)等邊對等角得：∠PCB=∠PBC，由四點共圓的性質(zhì)得：∠BAD+∠BCD=180°，從而得：∠BFD=∠PCB=∠PBC，根據(jù)平行線的判定得：BC∥DF，可得∠ABC=90°，AC是⊙O的直徑，從而得：∠ADC=∠AGB=90°，根據(jù)同位角相等可得結(jié)論；（2）先證明四邊形BCDH是平行四邊形，得BC=DH，根據(jù)特殊的三角函數(shù)值得：∠ACB=60°，∠BAC=30°，所以DH=AC，分兩種情況：①當(dāng)點O在DE的左側(cè)時，如圖2，作輔助線，構(gòu)建直角三角形，由同弧所對的圓周角相等和互余的性質(zhì)得：∠AMD=∠ABD，則∠ADM=∠BDE，并由DH=OD，可得結(jié)論；②當(dāng)點O在DE的右側(cè)時，如圖3，同理作輔助線，同理有∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，得結(jié)論．（1）證明：如圖1，∵PC=PB，∴∠PCB=∠PBC，∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BCD+∠PCB=180°，∴∠BAD=∠PCB，∵∠BAD=∠BFD，∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，∴BC∥DF，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ABC=90°，∴AC是⊙O的直徑，∴∠ADC=90°，∵BG⊥AD，∴∠AGB=90°，∴∠ADC=∠AGB，∴BG∥CD；（2）由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，∴四邊形BCDH是平行四邊形，∴BC=DH，在Rt△ABC中，∵AB=DH，∴tan∠ACB=，∴∠ACB=60°，∠BAC=30°，∴∠ADB=60°，BC=AC，∴DH=AC，①當(dāng)點O在DE的左側(cè)時，如圖2，作直徑DM，連接AM、OH，則∠DAM=90°，∴∠AMD+∠ADM=90°∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠BDE+∠ABD=90°，∵∠AMD=∠ABD，∴∠ADM=∠BDE，∵DH=AC，∴DH=OD，∴∠DOH=∠OHD=80°，∴∠ODH=20°∵∠AOB=60°，∴∠ADM+∠BDE=40°，∴∠BDE=∠ADM=20°，②當(dāng)點O在DE的右側(cè)時，如圖3，作直徑DN，連接BN，由①得：∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°，綜上所述，∠BDE的度數(shù)為20°或40°．【點撥】本題考查圓的有關(guān)性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，解直角三角形等知識，考查了運算能力、推理能力，并考查了分類思想．【變式1】如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點C的直線交AB的延長線于點D，AE⊥DC，垂足為E，F(xiàn)是AE與⊙O的交點，AC平分∠BAE（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AE=6，∠D=30°，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）陰影部分的面積為．【分析】（1）連接OC，先證明∠OAC=∠OCA，進(jìn)而得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，進(jìn)而證明DE是⊙O的切線；（2）分別求出△OCD的面積和扇形OBC的面積，利用S陰影=S△COD﹣S扇形OBC即可得到答案．解：（1）連接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAE，∴∠OAC=∠CAE，∴∠OCA=∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD=∠E，∵AE⊥DE，∴∠E=90°，∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD，∵點C在圓O上，OC為圓O的半徑，∴CD是圓O的切線；（2）在Rt△AED中，∵∠D=30°，AE=6，∴AD=2AE=12，在Rt△OCD中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8，∴CD=∴S△OCD==8，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴∠DOC=60°，∴S扇形OBC=×π×OC2=，∵S陰影=S△COD﹣S扇形OBC∴S陰影=8﹣，∴陰影部分的面積為8﹣．【變式2】如圖，點為中點，分別