直線與圓的位置關(guān)系（第2課時(shí)）（教學(xué)設(shè)計(jì)）（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）

.5.1直線與圓的位置關(guān)系（第2課時(shí)）（教學(xué)設(shè)計(jì)）課時(shí)教學(xué)內(nèi)容直線與圓的位置關(guān)系的簡單應(yīng)用課時(shí)教學(xué)目標(biāo)1.掌握利用直線與圓位置關(guān)系解決實(shí)際問題的一般方法；2.掌握用坐標(biāo)法研究幾何問題的基本思想及其解題過程；3.激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,并體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：利用直線與圓的方程解決簡單的問題難點(diǎn)：坐標(biāo)法解決平面幾何實(shí)際問題的初步應(yīng)用教學(xué)過程設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，引入課題問題1請(qǐng)同學(xué)們回顧上節(jié)內(nèi)容，我們研究了直線和圓的幾種位置關(guān)系，用了哪些方法進(jìn)行研究，你印象最深刻的是什么？師生活動(dòng)：（1）學(xué)生經(jīng)過思考，作答.（2）教師針對(duì)學(xué)生的不同答案作出適時(shí)評(píng)價(jià)，并重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)代數(shù)法和幾何法的一般過程，以及數(shù)形結(jié)合的妙用.追問你認(rèn)為下來將研究什么內(nèi)容.設(shè)計(jì)意圖：通過回顧上節(jié)內(nèi)容，為本節(jié)的應(yīng)用做準(zhǔn)備，通過追問，引導(dǎo)學(xué)生提出值得研究的問題,接下來研究直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用.環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念思考類比運(yùn)用直線和圓的方程，研究直線與圓的位置關(guān)系的方法，如何利用圓的方程，判斷它們之間的位置關(guān)系？問題2：例3圖2.5-3是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖．圓拱跨度，拱高，建造時(shí)每間隔需要一根支柱支撐，求支柱QUOTEA2P2的高度（精確到）．追問1該問題展示的是一個(gè)實(shí)際問題，如何將它轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考并作答需要將問題中的點(diǎn)，直線和圓用數(shù)學(xué)符號(hào)和語言表示出來，并表示它們之間的關(guān)系，需要先在圖中建立平面直角坐標(biāo)系。環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念追問2如何在該圖形中建立直角坐標(biāo)系？分析：建立如圖2.5-4所示的直角坐標(biāo)系，要得到支柱的高度，只需求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)．點(diǎn)是圓拱所在圓的圓心嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生想一想，作一作，在小組交流的基礎(chǔ)上展示：解：建立如圖2.5-4所示的直角坐標(biāo)系，使線段所在直線為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓心在y軸上．由題意，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，．設(shè)圓心坐標(biāo)是，圓的半徑是，那么圓的方程是．下面確定和的值．因?yàn)?，兩點(diǎn)都在圓上，所以它們的坐標(biāo)，都滿足方程．于是，得到方程組．解得，．所以，圓的方程是．把點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入圓的方程，得．即（的縱坐標(biāo)，平方根取正值）．所以m．答：支柱QUOTEA2P2的高度約為3.86m．環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念思考如果不建立平面直角坐標(biāo)系，你能解決這個(gè)問題嗎？由此比較綜合法和坐標(biāo)法的特點(diǎn)．追問3如果不建立平面直角坐標(biāo)系，你能解決這個(gè)問題嗎？追問4圓的基本量是什么，如何利用基本量建立數(shù)學(xué)關(guān)系？師生活動(dòng)：學(xué)生回顧在圓中圓心和半徑是基本量，在本例中首先得到圓心位置和圓的半徑，如圖過點(diǎn)P2作垂足為，在中，建立等量關(guān)系解得，然后通過解三角形得到.追問5比較兩種方法，你覺得坐標(biāo)法有何優(yōu)勢？設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)由一個(gè)問題和5個(gè)追問構(gòu)成，追問的過程也是解決問題的過程，是用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的過程.最后對(duì)綜合法和坐標(biāo)法進(jìn)行進(jìn)行了比較，綜合法中添加了輔助線，有一定的技巧，而且求解過程中利用了垂徑定理，并多次使用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，過程較復(fù)雜，坐標(biāo)法更具普適性，思維難度也低，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的提升意義深刻.環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化問題3：例4一個(gè)小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為20km的圓形區(qū)域內(nèi)．已知小島中心位于輪船正西40km處，港口位于小島中心正北30km處．如果輪船沿直線返港，那么它是否會(huì)有觸礁危險(xiǎn)？分析：先畫出示意圖，了解小島中心、輪船、港口的方位和距離．如圖2.5-5，根據(jù)題意，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出暗礁所在區(qū)域的邊緣圓的方程，以及輪船返港直線的方程，利用方程判斷直線與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而確定輪船是否有觸礁危險(xiǎn)．解：以小島的中心為原點(diǎn)，東西方向?yàn)閤軸，建立如圖2.5-5所示的直角坐標(biāo)系．為了運(yùn)算的簡便，我們?nèi)?0km為單位長度，則港口所在位置的坐標(biāo)為，輪船所在位置的坐標(biāo)為．這樣，受暗礁影響的圓形區(qū)域的邊緣所對(duì)應(yīng)的圓的方程為QUOTEx2+y2=4輪船航線所在直線的方程為，即．聯(lián)立直線與圓的方程，得消去，得．由，可知方程組無解．所以直線l與圓O相離，輪船沿直線返港不會(huì)有觸礁危險(xiǎn)．追問你還能用其他的方法解決上述問題嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生回顧判定直線和圓的位置關(guān)系的方法，還可以通過比較圓的半徑和圓心到直線的距離來判斷直線的位置關(guān)系。設(shè)計(jì)意圖：通過以上問題的研究，加深學(xué)生對(duì)坐標(biāo)法的理解，進(jìn)一步體會(huì)坐標(biāo)法解決平面幾何問題的一般步驟，便于學(xué)生歸納。問題4通過以上兩個(gè)實(shí)際問題的解答過程，你能將坐標(biāo)法解決幾何問題的步驟程序化嗎？師生活動(dòng)：（1）學(xué)生自主梳理；（2）師生共同總結(jié)：坐標(biāo)法解決平面幾何問題的“三步曲”：用坐標(biāo)法解決幾何問題時(shí)，先用坐標(biāo)和方程表示相應(yīng)的幾何元素：點(diǎn)、直線、圓，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；然后通過代數(shù)運(yùn)算解決代數(shù)問題；最后解釋代數(shù)運(yùn)算結(jié)果的幾何含義，得到幾何問題的結(jié)論．這就是用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的“三步曲”：第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何要素，如點(diǎn)、直線、圓，把平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問題；第三步：把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論．比較坐標(biāo)法與向量法，它們?cè)诮鉀Q幾何問題時(shí)，有什么異同點(diǎn)？設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)實(shí)際問題的解決過程分析，進(jìn)一步體會(huì)坐標(biāo)法是更一般更基本的方法，數(shù)形結(jié)合是根本思想，程序化的步驟充分體現(xiàn)了“研究對(duì)象在變，研究套路不變，思想方法不變”的特征。環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升問題5：請(qǐng)同學(xué)們回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容,并回答下列問題：1.本節(jié)課學(xué)習(xí)的概念有哪些？2.在解決問題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？解決直線與圓的實(shí)際應(yīng)用題的步驟：第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何要素，如點(diǎn)、直線、圓，把平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問題；第三步：把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.環(huán)節(jié)七 目標(biāo)檢測，作業(yè)布置完成教材：教材95頁練習(xí)第1，2題；趙州橋的跨度是37.4m，圓拱高約為7.2m.求這座圓拱橋的拱圓方程.在一個(gè)平面上，機(jī)器人從與點(diǎn)C(5,-3)的距離為9的地方繞點(diǎn)C順時(shí)針而行，在行進(jìn)過程中保持與點(diǎn)C的距離不變.它在行進(jìn)過程中到過點(diǎn)A(-10,0)與B(0,12)的直線的最近距離和最遠(yuǎn)距離分別是多少？某圓拱橋的水面跨度20m，拱高4m?，F(xiàn)有一船，寬10m,水面以上高3m,這條船能否從橋下通過？設(shè)計(jì)意圖：課后鞏固所學(xué).練習(xí)（第95頁）1．趙州橋的跨度是37.4m，圓拱高約為7.2m．求這座圓拱橋的拱圓的方程．1．解析：根據(jù)題意建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．，，則，，．設(shè)所求圓的方程是．于是有，QUOTE解此方程組，得，，．所以這座圓拱橋的拱圓的方程是．2．某圓拱橋的水面跨度20m，拱高4m．現(xiàn)有一船寬10m，水面以上高3m，這條船能否從橋下通過？2．解：依題意，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．有，，，，，設(shè)圓拱橋的拱圓的方程是，于是有，解得，，．所以這座圓拱橋的拱圓的方程是，把點(diǎn)D的橫坐標(biāo)代入上式，得．因?yàn)榇谒嬉陨细?m，，所以該船可以從橋下通過．3．在一個(gè)平面上，機(jī)器人從與點(diǎn)的距離為9的地方繞點(diǎn)順時(shí)針而行，在行進(jìn)過程中保持與點(diǎn)的距離不變．它在行進(jìn)過程中到過點(diǎn)與的直線的最近距離和最遠(yuǎn)距離分別是多少？3．解：機(jī)器人的運(yùn)行軌跡是以點(diǎn)為