專題1.7 勾股定理章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）（北師大版）（解析版）

專題1.7勾股定理章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由勾股定理求兩條線段的平方和（差）】 1【題型2勾股定理在網(wǎng)格問題中的運(yùn)用】 7【題型3勾股定理在折疊問題中的運(yùn)用】 13【題型4以弦圖為背景的計(jì)算】 23【題型5勾股定理的證明方法】 27【題型6勾股定理與全等綜合】 35【題型7由勾股定理確定在幾何體中的最短距離】 42【題型8由勾股定理構(gòu)造圖形解決實(shí)際問題】 48【題型1由勾股定理求兩條線段的平方和（差）】【例1】（2023春·陜西咸陽·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，射線AM⊥AN于點(diǎn)A、點(diǎn)C、B在AM、AN上，D為線段AC的中點(diǎn)，且DE⊥BC于點(diǎn)E．（1）若BC=10，直接寫出AC（2）若AC=8，△ABC的周長(zhǎng)為24，求△ABC的面積；（3）若AB=6，C點(diǎn)在射線AM上移動(dòng)，問此過程中，BE【答案】（1）100；（2）24；（3）是定值，值是36【分析】（1）根據(jù)AC⊥AB，由勾股定理即可得解；（2）由△ABC周長(zhǎng)及其三邊符合勾股定理，列式，聯(lián)立方程即可得AB和BC的長(zhǎng)，代入三角形面積公式計(jì)算即可；（3）根據(jù)DE⊥BC，得Rt△BDE和Rt【詳解】解：（1）AC（2）因?yàn)锳M⊥AN，所以△ABC是直角三角形．因?yàn)锳C=8，△ABC的周長(zhǎng)為24，所以AB=16-BC，所以16-BC2+82=B所以S△ABC（3）在Rt△BDE中，BE2=BD所以BE因?yàn)镈為線段AC的中點(diǎn)，所以AD=DC，所以BE在Rt△ABD中，B所以BE故在點(diǎn)C移動(dòng)的過程中，BE2-E【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟悉勾股定理的使用條件是解決本題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·福建·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D，M為AD上任一點(diǎn)，則MC2-M【答案】45【分析】在Rt△ABD和Rt△ADC中，分別表示出BD2和CD2，在Rt△BDM【詳解】解：∵AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ABD和RtBD2=A在Rt△BDM和RtMMC∴MC=AC=45．故答案為：45．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，若AB=3，CD=2，則AD2【答案】13【分析】在Rt△AOB和Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得BO2+AO2=AB2=32【詳解】解：∵BD⊥AC，∴∠在Rt△AOB和Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得，BO2+A∴BO∵AD2=D∴AD故答案為：13．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用，從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型是解題關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春·福建莆田·八年級(jí)校聯(lián)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A4,4，B

(1)如圖1，判斷△AOB的形狀并說明理由；(2)如圖2，M，N分別是y軸負(fù)半軸和x軸正半軸上的點(diǎn)，且AM⊥AN，探究線段OM，ON，OA之間的數(shù)量關(guān)系并證明；(3)如圖3，延長(zhǎng)BA交y軸于點(diǎn)C，M，N分別是x軸負(fù)半軸和y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)，連接AN交x軸于D，且∠AMO+∠ANO=45°，探究BD2，DM【答案】(1)△AOB是等腰三角形，證明見解析(2)ON=OM+2(3)OM【分析】（1）過點(diǎn)A作AH⊥OB，垂足為H，根據(jù)等腰直角三角形的判定可得答案；（2）過點(diǎn)A作AB⊥OA，交x軸于點(diǎn)B，證明△AOM≌△ABNASA，由全等三角形的性質(zhì)得出OM=BN，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出OB=2（3）過A作AG⊥AN交y軸于G，連接GM，先證△AOM≌△ABNASA，得出OM=BN，再證△MGA≌△MDASAS，得出MG=DM，由勾股定理即可得到【詳解】（1）解：△AOB為等腰直角三角形，理由如下：過點(diǎn)A作AH⊥OB，垂足為H，

∵點(diǎn)A4,4，B8,0∴OH=4，∴HB=4=AH=OH，∴∠AOB=∠OAH=45°=∠ABH=∠HAB，∴∠OAB=90°，OA=AB，∴△AOB為等腰直角三角形；（2）ON=OM+2OA．理由：過點(diǎn)A作AB⊥AO，交x軸于點(diǎn)B

由（1）可知△AOB是等腰直角三角形，∴∠ABO=∠AOB=45°，∠OAB=90°，∴∠AOM=∠ABN=135°，∵AM⊥AN，∴∠MAN=90°，∴∠OAM=∠BAN，在△AOM和△ABN中，∠AOM=∠ABNOA=AB∠OAM=∠BAN∴△AOM≌△ABNASA，∴OM=BN，∴ON=BN+OB=OM+OB，而△AOB是等腰直角三角形，可得OB=2OA∴ON=OM+2（3）OM2+BD2=DM2，理由如下：過A作AG⊥AN

∵△OAB是等腰直角三角形，∴∠ABO=∠AOB=45°，∠OAB=90°，OA=AB，∴∠AOG=45°=∠ABO，∵AG⊥AN，∴∠OAG=∠DAB，在△AGO和△DAB中，∠AOG=∠ABDOA=AB∠OAG=∠BAD∴△GAO≌△DABASA，∴OG=BD，AG=AD，而Rt△GOM中，OM∴OM2∵∠AOG=90°-45°=45°=∠ANO+∠OAD，∠ANO+∠AMO=45°，∴∠AMO=∠OAD，∵∠AMO+∠MAO=∠AOB=45°，∴∠OAD+∠MAO=45°，即∠MAN=45°∴∠MAD=∠GAM=45°，在△MGA和△MDA中，MA=MA∠GAM=∠MADGA=DA∴△MGA≌△MDASAS，∴MG=MD，∴OM【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查全等三角形判定性質(zhì)、等腰直角三角形性質(zhì)及勾股定理等知識(shí)，坐標(biāo)與圖形，解題的關(guān)鍵是利用等腰直角三角形性質(zhì)證明三角形全等．【題型2勾股定理在網(wǎng)格問題中的運(yùn)用】【例2】（2023春·浙江·八年級(jí)期末）在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格圖形中．每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).以頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的正方形ABCD的邊為斜邊，向外作四個(gè)全等的直角三角形，使四個(gè)直角頂點(diǎn)E,F,G,H都是格點(diǎn)，且四邊形EFGH為正方形，我們把這樣的圖形稱為格點(diǎn)弦圖．例如，在圖1所示的格點(diǎn)弦圖中，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為26，此時(shí)正方形EFGH的面積為52．問：當(dāng)格點(diǎn)弦圖中的正方形ABCD的邊長(zhǎng)為26時(shí)，正方形EFGH的面積的所有可能值是(不包括52)．【答案】36或50【分析】設(shè)四個(gè)全等的直角三角形的直角邊邊長(zhǎng)分別為a，b．利用分類討論的思想，在格點(diǎn)上找出各點(diǎn)位置，即找出邊的位置，即可求出面積．【詳解】設(shè)四個(gè)全等的直角三角形的直角邊邊長(zhǎng)分別為a，b．則正方形EFGH的邊長(zhǎng)為a+b，即S正方形EFGH∴在網(wǎng)格中找出a和b的線段，且線段的端點(diǎn)都在格點(diǎn)上即可．分情況討論：①a=5，b=1此時(shí)S正方形②a=13，此時(shí)S正方形③a=22此時(shí)S正方形題干中不包括52，故S正方形EFGH的值為36或故答案為：36或50．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理．利用分類討論的思想是解答本題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期中）問題背景：在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長(zhǎng)分別為5，10，13，求這個(gè)三角形的面積．小輝同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC（即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖①所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積．（1）請(qǐng)你將△ABC的面積直接填寫在橫線上：；思維拓展：（2）我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法．若△ABC三邊的長(zhǎng)分別為5a，22a，17a（a＞0），請(qǐng)利用圖②的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a）畫出相應(yīng)的△ABC，并求出它的面積．探索創(chuàng)新：（3）若△ABC三邊的長(zhǎng)分別為m2+16n2,9m2+4n2【答案】（1）72；（2）畫圖見解析，3a2；（【分析】（1）利用割補(bǔ)法求解可得；（2）在網(wǎng)格中利用勾股定理分別作出邊長(zhǎng)為5a、22a（3）在網(wǎng)格中構(gòu)建邊長(zhǎng)為6m和6n的矩形，同理作出邊長(zhǎng)為m2+16n2、【詳解】解：（1）ΔABC的面積為3×3-1故答案為：72（2）如圖，AB=22a，BC=5由圖可得：SΔABC故答案為：3a（3）構(gòu)造ΔABC所示，AB=(2m)AC=mBC=(3m)∴SΔABC【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了勾股定理及作圖的知識(shí)，解答本題關(guān)鍵是仔細(xì)理解問題背景，熟練掌握勾股定理，關(guān)鍵是結(jié)合網(wǎng)格用矩形及容易求得面積的直角三角形表示出所求三角形的面積進(jìn)行解答．【變式2-2】（2023春·湖北武漢·八年級(jí)?？计谥校┰?0×10網(wǎng)格中，點(diǎn)A和直線l的位置如圖所示：

（1）將點(diǎn)A向右平移6個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)B，在網(wǎng)格中標(biāo)出點(diǎn)B；（2）在（1）的條件下，在直線l上確定一點(diǎn)P，使PA＋PB的值最小，保留畫圖痕跡，并直接寫出PA＋PB的最小值：______；（3）結(jié)合（2）的畫圖過程并思考，直接寫出x2+32【答案】（1）見解析；（2）62；（3）【分析】（1）根據(jù)題意標(biāo)出點(diǎn)B即可；（2）作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交直線l于P，則此時(shí)PA＋PB的值最小，根據(jù)勾股定理求出結(jié)論即可；（3）將條件中的數(shù)表示為直角三角形的直角邊，畫對(duì)應(yīng)圖形，作軸對(duì)稱圖形，求出最小值即可．【詳解】解：（1）如圖所示：

（2）如圖所示，PA＋PB的最小值＝62故答案為：62（3）如圖，AP=x2+

∴PA＋PB的最小值即為：A'B=7∴x2+32＋故答案為：72【點(diǎn)睛】本題考查了作圖——平移變換，勾股定理，軸對(duì)稱——最短路線問題，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的10×10網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．五邊形ABCDE的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示，按步驟完成下列問題：（1）五邊形ABCDE的周長(zhǎng)為．（2）在AB上找點(diǎn)F，使E，C兩點(diǎn)關(guān)于直線DF對(duì)稱；（3）設(shè)DF交CE于點(diǎn)G，連接AG，直接寫出四邊形AEDG的面積；（4）在直線DF上找點(diǎn)H，使∠AHB＝135°．【答案】（1）20+10;（2）見解析；（3）10；（4【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出五邊形ABCDE各邊的長(zhǎng)，相加即可；（2）連接EC，作DF⊥EC交AB于點(diǎn)F即可；（3）分成兩個(gè)三角形求面積即可；（4）利用等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）由題意，AB=BC=CD=32+42∴五邊形ABCDE的周長(zhǎng)=20+10，故答案為：20+10（2）如圖，連接EC，作DF⊥EC交AB于點(diǎn)F，點(diǎn)F即為所求作．∵DE=CD=5，DF⊥EC，∴CE=GE，∴點(diǎn)D，G是CE垂直平分線上的點(diǎn)，∴DF是CE的垂直平分線，∴E，C兩點(diǎn)關(guān)于直線DF對(duì)稱；（3）∵EG=22+∴AG∴△AEG是直角三角形；∴S四邊形（4）如圖，過點(diǎn)A作AH⊥DF于H，連接BH，則點(diǎn)H即為所求作．∵BK=KH=22+∴BK∴△BHK是等腰直角三角形．∴∠BHK=45°．∴∠AHB=135°．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-軸對(duì)稱變換，勾股定理，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．【題型3勾股定理在折疊問題中的運(yùn)用】【例3】（2023春·河南鄭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，點(diǎn)P是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，把△ABP沿直線BP折疊，使得點(diǎn)A落在圖中點(diǎn)A′處，當(dāng)△AA′C是直角三角形時(shí)，則線段CP的長(zhǎng)是．【答案】4或3【分析】分類討論分別當(dāng)∠AA′C=90°時(shí)，當(dāng)∠ACA′=90°時(shí)，根據(jù)折疊的性質(zhì)函數(shù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖1，當(dāng)∠AA′C=90°時(shí)，∵以直線BP為軸把△ABP折疊，使得點(diǎn)A落在圖中點(diǎn)A′處，∴AP=A′P，∴∠PAA′=∠AA′P，∵∠ACA′+∠PAA′=∠CA′P+∠AA′P=90°，∴∠PCA′=∠PA′C，∴PC=PA′，∴PC=12AC=4如圖2，當(dāng)∠ACA′=90°時(shí)，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=8，BC=6．∴AB=10，∵以直線BP為軸把△ABP折疊，使得點(diǎn)A落在圖中點(diǎn)A′處，∴A′B=AB=10，PA=PA′，∴A′C=4，設(shè)PC=x，∴AP=8-x，∵A′C2+PC2=PA′2，∴42+x2=（8-x）2，解得：x=3，∴PC=3，綜上所述：當(dāng)△AA′C是直角三角形時(shí)，則線段CP的長(zhǎng)是4或3，故答案為：4或3．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問題）直角三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023春·浙江寧波·八年級(jí)校考期中）定義：若a，b，c是△ABC的三邊，且a2+b2＝2c2，則稱△ABC為“方倍三角形”．（1）對(duì)于①等邊三角形②直角三角形，下列說法一定正確的是．A．①一定是“方倍三角形”B．②一定是“方倍三角形”C．①②都一定是“方倍三角形”D．①②都一定不是“方倍三角形”（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜邊AB＝3，則該三角形的面積為；（3）如圖，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P為AC邊上一點(diǎn)，將△ABP沿直線BP進(jìn)行折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，連接CD，AD．若△ABD為“方倍三角形”，且AP＝2，求△PDC的面積．【答案】（1）A；（2）22；（3）3－【分析】（1）根據(jù)“方倍三角形”定義可得，等邊三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”進(jìn)而可以判斷；（2）設(shè)Rt△ABC其余兩條邊為a，b，滿足a2＋b2＝3，根據(jù)“方倍三角形”定義，還滿足：a2＋3＝2b2，即可得a和b的值，進(jìn)而可得直角三角形的面積；（3）根據(jù)題意可得△ABP≌△DBP，根據(jù)“方倍三角形”定義可得△ABD為等邊三角形，從而證明△APD為等腰直角三角形，可得AP＝DP＝2，延長(zhǎng)BP交AD于點(diǎn)E，根據(jù)勾股定理求出BE的長(zhǎng)，根據(jù)△PBC為等腰直角三角形，可得PC＝2PB＝6-2，進(jìn)而可以求△【詳解】解：（1）對(duì)于①等邊三角形，三邊相等，設(shè)邊長(zhǎng)為a，則a2＋a2＝2a2，根據(jù)“方倍三角形”定義可知：等邊三角形一定是“方倍三角形”；對(duì)于②直角三角形，三邊滿足關(guān)系式：a2＋b2＝c2，根據(jù)“方倍三角形”定義可知：直角三角形不一定是“方倍三角形”；故答案為：A；（2）設(shè)Rt△ABC其余兩條邊為a，b，則滿足a2＋b2＝3，根據(jù)“方倍三角形”定義，還滿足：a2＋3＝2b2，聯(lián)立解得a=1b=2則Rt△ABC的面積為：22故答案為：22（3）由題意可知：△ABP≌△DBP，∴BA＝BD，∠ABP＝∠DBP，根據(jù)“方倍三角形”定義可知：BA2+BD2＝2AD2＝2BA2，∴AD＝AB＝BD，∴△ABD為等邊三角形，∠BAD＝60°，∴∠ABP＝∠DBP＝30°，∴∠PBC＝90°，∵∠CPB＝45°，∴∠APB＝180°﹣45°＝135°，∴∠DPC＝90°，∵∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，∴∠BAC＝15°，∴∠CAD＝45°，∴△APD為等腰直角三角形，∴AP＝DP＝2，∴AD＝2，延長(zhǎng)BP交AD于點(diǎn)E，如圖，∵∠ABP＝∠PBD，∴BE⊥AD，PE＝12AD＝AE＝1∴BE＝AB∴PB＝BE﹣PE＝3﹣1，∵∠CPB＝∠PCB＝45°，∴△PBC為等腰直角三角形，∴PC＝2PB＝6-∴S△PDC＝12×PC?PD＝12×（6-2）×【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換、等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的性質(zhì)．【變式3-2】（2023春·浙江·八年級(jí)期末）如圖1，在△ABC，AB＝AC＝10，BC＝12．(1)求BC邊上的高線長(zhǎng)．(2)點(diǎn)E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D在邊AB上，且AD＝4，連結(jié)DE．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)E是BC中點(diǎn)時(shí)，求△BDE的面積．②如圖3，沿DE將△BDE折疊得到△FDE，當(dāng)DF與△ABC其中一邊垂直時(shí)，求BE的長(zhǎng)．【答案】(1)8(2)①14.4；②307或2或【分析】（1）如圖，過A作AT⊥BC于T,再求解BT=CT=6,再利用勾股定理求解高線長(zhǎng)即可；（2）①如圖，連接AE,利用等腰三角形的三線合一證明AE⊥BC,BE=CE=6,求解AE=8,可得S△ABE=12AE·BE=24,證明S△BDES△ADE=64=32,從而可得答案；②分三種情況討論：當(dāng)【詳解】（1）解：如圖，過A作AT⊥BC于T,∵AB＝AC＝10，BC＝12，∴BT=CT=6,AT=10所以BC邊上的高線長(zhǎng)為8.（2）解：①如圖，連接AE,∵AB=AC=10,BC=12,E為BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC,BE=CE=6,由（1）得：AE=8,∴S∵AD=4,則BD=10-4=6,∴S∴S②當(dāng)DF⊥AB時(shí)，由對(duì)折可得：∠BDE=∠FDE=45°,過A作AT⊥BC于T,連接DT,過D作DK⊥BC于K,過E作EN⊥AB于N,由①得：S∴12×6×DK=14.4,∵EN⊥BD,∠BDE=45°,設(shè)DN=x,則EN=DN=x,由12∴BE=5∴BN=(54x)∴34x=6-x,∴BE=5當(dāng)DF⊥BC于K時(shí)，則DK=4.8,∴BK=6過E作EN⊥BD于N,由對(duì)折可得∠BDE=∠FDE,∴EN=EK,∴S∴BE∴BE=5當(dāng)DF⊥AC時(shí)，如圖，則∠FTM=90°,由對(duì)折可得∠B=∠F,而AB=AC=10,則∠B=∠C,∴∠C=∠F,而∠FMT=∠CME,∴∠MEC=∠MTE=90°,結(jié)合對(duì)折可得：∠DEK=∠DEF=45°,過D作DK⊥BC于K,同理可得：DK=EK=4.8,∴BK=6∴BE=3.6+4.8=8.4,綜上：當(dāng)DF與△ABC其中一邊垂直時(shí)，BE的長(zhǎng)為307或2或8.4【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，軸對(duì)稱的性質(zhì)，清晰的分類討論，等面積法是應(yīng)用等都是解本題的關(guān)鍵.【變式3-3】（2023春·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：若a，b，c是△ABC的三邊，且a2+b2=2c2，則稱(1)對(duì)于①等邊三角形②直角三角形，下列說法一定正確的是___．A.①一定是“方倍三角形”

B.②一定是“方倍三角形”C.①②都一定是“方倍三角形”

D.①②都一定不是“方倍三角形”(2)若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜邊AB=3，則該三角形的面積為___(3)如圖，△ABC中，∠ABC=120°，∠ACB=45°，P為AC邊上一點(diǎn)，將△ABP沿直線BP進(jìn)行折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)D處，連結(jié)CD，AD，若△ABD為“方倍三角形”，且AP＝【答案】(1)A(2)2(3)3【分析】(1)直接利用“方倍三角形”的定義對(duì)等邊三角形和直角三角形分別判斷即可；(2)根據(jù)勾股定理和“方倍三角形”的定義求得直角三角形的三邊長(zhǎng)，即可求得直角三角形的面積；(3)根據(jù)題意可得△ABP≌△DBP，根據(jù)“方倍三角形”定義可得△ABD為等邊三角形，從而證明△APD為等腰直角三角形，可得AP＝DP＝2，延長(zhǎng)BP交AD于點(diǎn)E，根據(jù)勾股定理求出BE的長(zhǎng)，根據(jù)△PBC為等腰直角三角形，即可求得結(jié)論．【詳解】（1）對(duì)于①等邊三角形，三邊相等，設(shè)邊長(zhǎng)為a，則a2根據(jù)“方倍三角形”定義可知：等邊三角形一定是“方倍三角形”；對(duì)于②直角三角形，三邊滿足關(guān)系式：a2根據(jù)“方倍三角形”定義可知：直角三角形不一定是“方倍三角形”；故選：A故答案為：A；（2）設(shè)Rt△ABC其余兩條邊為a，b，則滿足a2根據(jù)“方倍三角形”定義，還滿足：a2聯(lián)立解得a=1b=則Rt△ABC的面積為：22故答案為：22（3）由題意可知：△ABP?△DBP，∴BA=BD,∠ABP=∠DBP，根據(jù)“方倍三角形”定義可知：BA∴AD=AB=BD，∴△ABD為等邊三角形，∠BAD=60∴∠ABP=∠DBP=30∴∠PBC=90∵∠CPB=45∴∠APB=180∴∠DPC=90∵∠ABC=120∴∠BAC=15∴∠CAD=45∴△APD為等腰直角三角形，∴AP=DP=2∴AD=2．延長(zhǎng)BP交AD于點(diǎn)E，如圖，∵∠ABP=∠PBD，∴BE⊥AD，PE=1∴BE=A∴PB=BE-PE=3∵∠CPB=∠PCB=45∴△PBC為等腰直角三角形，∴PC=BC=3【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換、等邊三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的性質(zhì)．【題型4以弦圖為背景的計(jì)算】【例4】（2023春·浙江嘉興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在認(rèn)識(shí)了勾股定理的趙爽弦圖后，一位同學(xué)嘗試將5個(gè)全等的小正方形嵌入長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)部，其中點(diǎn)M，N，P，Q分別在長(zhǎng)方形的邊AB，BC，CD和AD上，若AB=7，BC=8，則小正方形的邊長(zhǎng)為（

）A．5 B．6 C．7 D．2【答案】A【分析】根據(jù)趙爽弦圖，將小正方形分成4個(gè)全等的直角三角形，和一個(gè)最小的正方形，設(shè)直角三角形的短直角邊長(zhǎng)為a，長(zhǎng)直角邊為b，則正方形的水平寬度與垂直高度為2b-b-a=b+a，根據(jù)平移的性質(zhì)，分別表示出【詳解】解：如圖所示，根據(jù)趙爽弦圖，將小正方形分成4個(gè)全等的直角三角形，和一個(gè)最小的正方形，設(shè)直角三角形的短直角邊長(zhǎng)為a，長(zhǎng)直角邊為b，則正方形的水平寬度與垂直高度為b+a，依題意，2解得：a=1∴小正方形的邊長(zhǎng)為：a2故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，掌握弦圖的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023春·安徽合肥·八年級(jí)合肥市第四十二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，它是由弦圖變化得到的，是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成的，將圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別記為S1、S2、（1）若S1=25，S3=1（2）若S1+S2【答案】138【分析】（1）首先結(jié)合題意求得正方形ABCD的邊長(zhǎng)AB=5，正方形MNKT的邊長(zhǎng)TM=1，由全等的直角三角的性質(zhì)可得AE=FM=BF=ET，AF=ME，設(shè)AE=FM=BF=ET=x，則AF=5-x，EM=x+1，然后可求得AE=2，AF=3，在Rt△AEF中，由勾股定理可得E（2）設(shè)每一個(gè)直角三角形面積為m，則S1=S2+4m，【詳解】解：（1）當(dāng)S1=25，正方形ABCD的邊長(zhǎng)AB=25=5，正方形MNKT的邊長(zhǎng)根據(jù)題意，該圖形由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，由全等的直角三角的性質(zhì)可得AE=FM=BF=ET，AF=ME，設(shè)AE=FM=BF=ET=x，則AF=AB-BF=5-x，EM=ET+TM=x+1，∴5-x=x+1，解得x=2，∴AE=2，AF=5-2=3，∴在Rt△AEF中，E∴正方形EFGH的面積S2故答案為：13；（2）設(shè)每一個(gè)直角三角形面積為m，∴則S1=S∵S1∴S2解得S2故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的面積、勾股定理等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是隨著正方形的邊長(zhǎng)的變化表示面積．【變式4-2】（2023春·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成的．已知BE:AE=3:1，正方形ABCD的面積為80．連接ACAC，交BE于點(diǎn)P，交DG于點(diǎn)Q，連接FQ．則圖中陰影部分的面積之和為．【答案】16【分析】設(shè)AE=x，BE=3x，根據(jù)正方形的面積公式和勾股定理可求得x2=8，再根據(jù)題意和三角形的面積公式可推導(dǎo)出S△FGQ【詳解】解：由題意，∠AEP=∠CGQ=∠CFP=90°，AE=CG=BF，BE=CF，∴AE∥CF，BE∥∴∠EAP=∠GCQ，∴△AEP≌△CGQASA∴EP=GQ，S△AEP∵BE:AE=3:1，∴設(shè)AE=x，則AE=CG=BF=x，BE=CF=3x，∴EF=GF=CF-CG=2x，∴S△FGQ∴陰影部分的面積之和為S====2x∵正方形ABCD的面積為80，∴AE2+B∴x2∴陰影部分的面積之和為16．故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、梯形的面積、三角形的面積，解答的關(guān)鍵是理解題意，找尋圖形中線段間的關(guān)系，然后利用勾股定理和梯形的面積公式以及轉(zhuǎn)化的思想方法求解．【變式4-3】（2023春·四川巴中·八年級(jí)統(tǒng)考期末）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖是由弦圖變化得到的，它由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S【答案】15【分析】由八個(gè)直角三角形全等，四邊形ABCD，EFGH，MNPQ為正方形，得出CG=NG，CF=DG=NF，再根據(jù)三個(gè)正方形的面積公式列式相加：S1+S【詳解】解：∵八個(gè)直角三角形全等，四邊形ABCD，EFGH，MNPQ為正方形，∴CG=NG，CF=DG=NF，∴S=C=GFS2S=N∴S1∴GF∴S2故答案為：15．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理和正方形、全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出3GF【題型5勾股定理的證明方法】【例5】（2023春·廣西百色·八年級(jí)統(tǒng)考期末）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因?yàn)閼?yīng)用廣泛而使人入迷．(1)證明勾股定理取4個(gè)與Rt△ABC（圖1）全等的三角形，其中∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，把它們拼成邊長(zhǎng)為a+b的正方形DEFG

(2)應(yīng)用勾股定理

①應(yīng)用場(chǎng)景1：在數(shù)軸上畫出表示無理數(shù)的點(diǎn)．如圖3，在數(shù)軸上找出表示1的點(diǎn)D和表示4的點(diǎn)A，過點(diǎn)A作直線l垂直于DA，在l上取點(diǎn)B，使AB=2，以點(diǎn)D為圓心，DB為半徑作弧，則弧與數(shù)軸的交點(diǎn)C表示的數(shù)是______．②應(yīng)用場(chǎng)景2：解決實(shí)際問題．如圖4，某公園有一秋千，秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度BE=0.5m，將它往前推至C處時(shí)，水平距離CD=2m，踏板離地的垂直高度CF=1.5m【答案】(1)驗(yàn)證見解析(2)①1±13；②繩索AC的長(zhǎng)為【分析】（1）用含a、b的式子用兩種方法表示正方形的面積，然后整理即可證明結(jié)論；（2）①根據(jù)勾股定理求出DB，根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸解答即可．②設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為xm，根據(jù)題意可得AD=x-1m【詳解】（1）解：證明勾股定理：

由題意得，S正方形DEFG=a+bS∴a2∴a2（2）解：①在Rt△DBA∵DB=D∴DC=13∴點(diǎn)C表示的數(shù)是13+1故答案為：13+1②∵CF=1.5m，BE=0.5∴DB=1m設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為xm，根據(jù)題意可得AD=利用勾股定理可得22解得：x=2.5．答：繩索AC的長(zhǎng)為2.5m【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方以及數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023春·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算圖1的面積，把圖1看作一個(gè)大正方形，它的面積是a+b2，如果把圖1看作是由2個(gè)長(zhǎng)方形和2個(gè)小正方形組成的，它的面積為a2+2ab+(1)如圖2，正方形ABCD是由四個(gè)邊長(zhǎng)分別是a，b的長(zhǎng)方形和中間一個(gè)小正方形組成的，用不同的方法對(duì)圖2的面積進(jìn)行計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)的等式是______（用a，b表示）(2)已知：兩數(shù)x，y滿足x+y=14，xy=24，求x-y的值．(3)如圖3，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是c，它由四個(gè)直角邊長(zhǎng)分別是a，b的直角三角形和中間一個(gè)小正方形組成的，對(duì)圖3的面積進(jìn)行計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)的等式是______．（用a，b，c表示，結(jié)果化到最簡(jiǎn)）【答案】(1)a+b(2)±10(3)a【分析】（1）根據(jù)正方形ABCD的面積=(a+b)2，正方形ABCD的面積(a-b)2（2）根據(jù)（1）中等式，整體代入計(jì)算；（3）根據(jù)正方形ABCD的面積=c2，正方形ABCD的面積(a-b)2【詳解】（1）解：如圖2，正方形ABCD的面積=(a+b)正方形ABCD的面積(a-b)2∴(a+b)（2）∵(x+y)2=(x-y)2∴14即(x-y)2∴x-y的值為±10．（3）如圖3，正方形ABCD的面積=c正方形ABCD的面積(a-b)2∴c即a2【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景，解決問題的關(guān)鍵是運(yùn)用面積法得出完全平方公式：(a+b)2【變式5-2】（2023春·山西運(yùn)城·八年級(jí)統(tǒng)考期中）綜合與實(shí)踐【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個(gè)全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的面積有兩種求法，一種是等于c2，另一種是等于四個(gè)直角三角形與一個(gè)小正方形的面積之和，即12ab×4+b-a2，從而得到等式c2=【方法運(yùn)用】千百年來，人們對(duì)勾股定理的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．向常春在2010年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法：把兩個(gè)全等的直角三角形△ABC和△DEA如圖2放置，其三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，∠BAC=∠DEA=90°，顯然BC⊥AD．(1)請(qǐng)用a，b，c分別表示出四邊形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，證明勾股定理a2(2)【方法遷移】請(qǐng)利用“雙求法”解決下面的問題：如圖3，小正方形邊長(zhǎng)為1，連接小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，可得△ABC，則AB邊上的高為______．(3)如圖4，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AB=4，AC=5，BC=6，設(shè)BD=x，求x的值．【答案】(1)見解析(2)6(3)x=【分析】（1）表示出三個(gè)圖形的面積進(jìn)行加減計(jì)算可證a2（2）計(jì)算出△ABC的面積，再根據(jù)三角形的面積公式即可求得AB邊上的高；（3）運(yùn)用勾股定理在Rt△ABD和Rt△ADC中求出AD【詳解】（1）證明：∵S四邊形ABCD=12S∴1∴1∴a（2）S△ABCAB=2∵S∵h(yuǎn)=即AB邊上的高是6（3）解：在Rt△ABDA∵BD+CD=BC=6，∴CD=BC-BD=6-x在Rt△ACDA∴16-x∴x=【點(diǎn)睛】此題主要考查了梯形，證明勾股定理，勾股定理的應(yīng)用，證明勾股定理常用的方法是利用面積證明，是解本題的關(guān)鍵．構(gòu)造出直角三角形DEF是解本題的難點(diǎn)．【變式5-3】（2023春·全國·八年級(jí)期中）如圖（1），是兩個(gè)全等的直角三角形（直角邊分別為a，b，斜邊為c）（1）用這樣的兩個(gè)三角形構(gòu)造成如圖（2）的圖形，利用這個(gè)圖形，證明：a2+b2＝c2；（2）用這樣的兩個(gè)三角形構(gòu)造圖3的圖形，你能利用這個(gè)圖形證明出題（1）的結(jié)論嗎？如果能，請(qǐng)寫出證明過程；（3）當(dāng)a＝3，b＝4時(shí)，將其中一個(gè)直角三角形放入平面直角坐標(biāo)系中，使直角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，兩直角邊a，b分別與x軸、y軸重合（如圖4中Rt△AOB的位置）．點(diǎn)C為線段OA上一點(diǎn)，將△ABC沿著直線BC翻折，點(diǎn)A恰好落在x軸上的D處．①請(qǐng)寫出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；②若△CMD為等腰三角形，點(diǎn)M在x軸上，請(qǐng)直接寫出符合條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】（1）見解析；（2）能，見解析；（3）①C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)為C（0，32），D（2，0）；②符合條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（716，0）、（92，0）；、（﹣2，0）、（﹣1【分析】（1）根據(jù)梯形的面積的兩種表示方法即可證明；（2）根據(jù)四邊形ABCD的面積的兩種表示方法即可證明；（3）①根據(jù)翻折的性質(zhì)和勾股定理即可求解；②根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分四種情況求解即可．【詳解】解：（1）∵S梯形ABCD=2×S梯形ABCD=1∴2×∴2ab+∴c（2）連接BD，如圖：S四邊形ABCD=12S四邊形ABCD=12∴12∴c（3）①設(shè)OC=a，則AC=4-a，又AB=5，根據(jù)翻折可知：BD=AB=5，CD=AC=4-a，OD=BD-OB=5-3=2．在RtΔ(4-a)2解得a=3∴C(0,32)答：C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)為C(0,32)②如圖：當(dāng)點(diǎn)M在x軸正半軸上時(shí)，CM=DM，設(shè)CM=DM=x，則x2=(2-x)∴2-x=7∴M(716，CD=MD，=4-32=∴M(92，當(dāng)點(diǎn)M在x軸負(fù)半軸上時(shí)，CM=CD，∵OM=OD=2，∴M(-2,0)；DC=DM，=4-3∴OM=5∴M(-12，∴符合條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo)為：(716，0)、(92，0)、(-2,0)、【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，是三角形的綜合題，解決本題的關(guān)鍵是分情況討論思想的運(yùn)用．【題型6勾股定理與全等綜合】【例6】（2023春·安徽滁州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AB=AC，AD為底邊BC上的高線，E是AC上一點(diǎn)，連接BE交AD于點(diǎn)F，且∠CBE=45°．

(1)求證：AB(2)如圖1，若AB=6.5，BC=5，求AF的長(zhǎng)；(3)如圖2，若AF=BC，以BF，EF和AE為邊，能圍成直角三角形嗎？請(qǐng)判斷，并說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)AF的長(zhǎng)為3.5(3)以BF，EF和AE為邊，能圍成直角三角形，理由見解析【分析】（1）在△ABC中，由AB=AC，AD⊥BC，可得BD=CD，由勾股定理得AB2-A（2）由（1）可知BD=CD=12BC=2.5，由勾股定理得，AD=AB2-BD2=6，在（3）如圖，在BF上取一點(diǎn)H，使BH=EF，連接CF，CH，由∠CBE=45°，AD⊥BC，可得∠BFD=45°，∠AFE=∠BFD=45°，證明△CHB≌△AEFSAS，則AE=CH，∠AEF=∠CHB，由∠CEF+∠AEF=180°=∠CHF+∠CHB，可得∠CEF=∠CHF，CE=CH，由BD=CD，F(xiàn)D⊥BC，可得CF=BF，∠CFD=∠BFD=45°，則∠CFB=∠CFD+∠BFD=90°，即CF⊥EH，由CE=CH，可得EF=FH，由勾股定理，得CF2+FH2=CH2【詳解】（1）證明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，由勾股定理得AB∴AB（2）解：由（1）可知BD=CD=1在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD=∵在Rt△BDF中，∠CBE=45°∴△BDF是等腰直角三角形，∴DF=BD=2.5，∴AF=AD-DF=6-2.5=3.5，∴AF的長(zhǎng)為3.5；（3）解：能圍成直角三角形，理由如下：如圖，在BF上取一點(diǎn)H，使BH=EF，連接CF，CH，

∵∠CBE=45°，AD⊥BC，∴∠BFD=45°，∴∠AFE=∠BFD=45°，∵BH=FE，∠CBH=∠AFE=45°，BC=AF，∴△CHB≌△AEFSAS∴AE=CH，∠AEF=∠CHB，∵∠CEF+∠AEF=180°=∠CHF+∠CHB，∴∠CEF=∠CHF，∴CE=CH，∵BD=CD，F(xiàn)D⊥BC，∴CF=BF，∠CFD=∠BFD=45°，∴∠CFB=∠CFD+∠BFD=90°，即CF⊥EH，又∵CE=CH，∴EF=FH，在Rt△CFH中，由勾股定理，得C∴BF∴以BF，EF和AE為邊，能圍成直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．【變式6-1】（2023春·江西宜春·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，把一張矩形紙片沿對(duì)角線BD折疊，若BC=9，CD=3，那么AF的長(zhǎng)為．【答案】4【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得△ABF≌△EDF(AAS)，設(shè)EF=AF=x，則BF=BE-EF=9-x，在【詳解】解：矩形紙片沿對(duì)角線BD折疊，∴CD=ED=AB=3，BC=AD=BE=9，∠A=∠E=90°，且∠AFB=∠EFD，∴△ABF≌△EDF(AAS∴EF=AF，BF=DF，設(shè)EF=AF=x，則BF=BE-EF=9-x，在Rt△ABF中，B∴(9-x)2=3∴AF=4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的折疊，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023春·湖北襄陽·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，AG=CH=8，BG=DH=6，連接GH，則線段GH的長(zhǎng)為（

）

A．538 B．22 C．14【答案】B【分析】延長(zhǎng)BG交CH于點(diǎn)E，根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△ABG?△CDHSSS，求出∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6，再證明△ABG?△BCEASA，求出GE=2，HE=2，由勾股定理可得【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)BG交CH于點(diǎn)E，

∵AB=CD=10，BG=DH=6，AG=CH=8，∴AG2+B∴△ABG和△DCH是直角三角形，在△ABG和△CDH中，AB=CDAG=CH∴△ABG?△CDHSSS∴∠1=∠5，∠2=∠6，∠AGB=∠CHD=90°，∴∠1+∠2=90°，∠5+∠6=90°，∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°，∴∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6，在△ABG和△BCE中，∠1=∠3AB=BC∴△ABG?△BCEASA∴BE=AG=8，CE=BG=6，∠BEC=∠AGB=90°，∴GE=BE-BG=8-6=2，同理可得HE=2，在Rt△GHE中，GH=故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及其逆定理的綜合運(yùn)用，通過證明三角形全等得出GE=2，HE=2是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·遼寧沈陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=62，D是射線CB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF⊥AD（AF始終在AD上方），且AF=AD，連接(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，判斷BF與DC的關(guān)系，并說明理由．

(2)如圖2，若點(diǎn)D、E為線段BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠DAE=45°，連接EF，DC=3，求

(3)若在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，BD=3，則AF=___．(4)如圖3，若M為AB中點(diǎn)，連接MF，在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)BD=__時(shí)，MF的長(zhǎng)最??？最小值是___．

【答案】(1)垂直且相等，理由見解析(2)5(3)313或(4)9，3【分析】（1）證明△FAB≌△DAC，由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）證明△FAE≌△DAE，由全等三角形的性質(zhì)及勾股定理即可得出答案；（3）分兩種情況畫出圖形，由勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；（4）當(dāng)MF⊥BF時(shí)，線段MF最短，證出△BFM為等腰直角三角形，可求出MF、【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，∵AD=AF，∠BAF=90°-∠BAD=∠DAC，AB=AC，∴△FAB≌△DACSAS∴BF=DC，∴∠FBC=90°，∴BF⊥DC；（2）解：AE=AE，∠EAF=90°-∠DAE=45°=∠EAD，∴△FAE≌△DAESAS∴ED=EF，∵∠BAC=90°，∴BC=12，∴BD=BC-CD=9，由（1）可知∠C=∠ABF=∠ABC=45°，CD=BF=3，∴∠FBE=90°，設(shè)DE=EF=x，∵BF∴3∴x=5，∴ED=5；（3）解：如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，BD=3，設(shè)AG為BC邊上的高，G為垂足，，在等腰Rt△ABC中，G為BC的中點(diǎn)，AB=AC=6∴BC=A∴AG=BG=12BC=6∴AF=AD=A如圖2，點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線時(shí)，同理可得AG=BG=6，，∴DG=BD+BG=3+6=9，∴AD=A故答案為：35或3（4）解：點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)軌跡是過點(diǎn)B，且垂直于BC的射線，根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)，當(dāng)MF⊥BF時(shí)，線段MF最短，如圖3，，∵BC⊥BF，∠ABC=45°，∠FBD=90°，∴△BFM為等腰直角三角形，∴MF=BF=2由（1）知：BF=CD=3，∴BD=BC-DC=12-3=9，此時(shí)MF=3，故答案為：9，3．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型7由勾股定理確定在幾何體中的最短距離】【例7】（2023春·山西大同·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在墻角處放著一個(gè)長(zhǎng)方體木柜（木柜與墻面和地面均沒有縫腺），一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角C1處．若AB=3，BC=4，CC1A．74 B．310 C．89 D．【答案】A【分析】求出螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段A1B1到C1，以及螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段【詳解】解：螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段A1B1爬過的路徑的長(zhǎng)是l1螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段BB1到爬過的路徑的長(zhǎng)是l2l1>l故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了長(zhǎng)方體展開圖的對(duì)角線長(zhǎng)度求法，這種題型經(jīng)常在中考中出現(xiàn)，也是易錯(cuò)題型，希望能引起同學(xué)們的注意．【變式7-1】（2023春·安徽合肥·八年級(jí)合肥壽春中學(xué)?？计谥校┤鐖D，一個(gè)圓柱形食品盒，它的高為10cm，底面圓的周長(zhǎng)為(1)點(diǎn)A位于盒外底面的邊緣，如果在A處有一只螞蟻，它想吃到盒外表面對(duì)側(cè)中點(diǎn)B處的食物，則螞蟻需要爬行的最短路程是cm；(2)將左圖改為一個(gè)無蓋的圓柱形食品盒，點(diǎn)C距離下底面3cm，此時(shí)螞蟻從C處出發(fā)，爬到盒內(nèi)表面對(duì)側(cè)中點(diǎn)B處(如右圖)，則螞蟻爬行的最短路程是cm【答案】28120【分析】（1）把圓柱側(cè)面展開，在Rt△ADB（2）將圓柱側(cè)面展開，得到矩形PQTA，作點(diǎn)B關(guān)于PQ的對(duì)稱點(diǎn)B'，構(gòu)造Rt△CDB【詳解】(1)如圖，把圓柱側(cè)面展開，在Rt△ADB∵AD=16cm∴AB=AD2故答案為：281．(2)如圖所示，點(diǎn)B與點(diǎn)B'關(guān)于PQ對(duì)稱，可得CD=16cm，則最短路程為CB'故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理求線段最短距離，軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023春·全國·八年級(jí)期中）愛動(dòng)腦筋的小明某天在家玩遙控游戲時(shí)遇到下面的問題：已知，如圖一個(gè)棱長(zhǎng)為8cm無蓋的正方體鐵盒，小明通過遙控器操控一只帶有磁性的甲蟲玩具，他先把甲蟲放在正方體盒子外壁A處，然后遙控甲蟲從A處出發(fā)沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到邊CD上后再在邊CD上爬行3cm，最后在沿內(nèi)壁面正方形ABCD上爬行，最終到達(dá)內(nèi)壁BC的中點(diǎn)M，甲蟲所走的最短路程是cm【答案】16【分析】將正方形ABCD沿著CD翻折得到正方形A'B'CD，過點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)部作MM'⊥BC，使MM'=3cm，連接QM，過M'作M'N⊥A'B'于點(diǎn)N，此時(shí)AP+PQ+QM=A'P+PQ+PM'=A'M'+PQ【詳解】如圖，將正方形ABCD沿著CD翻折得到正方形A'B'CD，過點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)部作MM'⊥BC，使MM'=3cm，連接QM，過M'作M'N⊥A'B'于點(diǎn)N，則四邊形MM'NB'是矩形，四邊形PQMM'∴M'N'=MB'，PM'=QM，B'N=MM'，∠A'NM'=90°，此時(shí)AP+PQ+QM=A'P+PQ+PM'=A'M'+PQ最小，∵點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，∴CM=12∴M'N=MB'=12cm，A'N=A'B'-B'N=5cm，在Rt△A'M'N中，A'M'=A'N∴A'M'+PQ=16cm，故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查最短路徑問題，考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理，軸對(duì)稱性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是將立體圖形中的最短距離轉(zhuǎn)換為平面圖形的兩點(diǎn)之間線段長(zhǎng)度進(jìn)行計(jì)算．【變式7-3】（2023春·廣東佛山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）初中幾何的學(xué)習(xí)始于空間的“實(shí)物和具體模型”，聚焦平面的“幾何圖形的特征和運(yùn)用”，形成了空間幾何問題要轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的解題策略．問題提出：如圖所示是放在桌面上的一個(gè)圓柱體，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)B，如何求最短路程呢？(1)問題分析：螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)B，可以有幾條路徑？在圖中畫出來；(2)問題探究：①若圓柱體的底面圓的周長(zhǎng)為18cm，高為12cm，螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)②若圓柱體的底面圓的周長(zhǎng)為24cm，高為4cm，螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)③若圓柱體的底面圓的半徑為r，高為h，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)B，求最短路程．【答案】(1)3條，圖形見解析(2)①15cm；②410cm【分析】（1）共有3條路徑，第一條先沿圓柱體的高爬行，再從上底面邊緣爬行；第二條先沿圓柱體的高爬行，再從上底面直徑爬行；第三條沿圓柱體側(cè)面爬行，即可；（2）①連接AB，利用兩點(diǎn)之間，線段最短，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，求出AB的長(zhǎng)，即可求解；②利用兩點(diǎn)之間，線段最短，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，求出AB的長(zhǎng)，即可求解；③利用兩點(diǎn)之間，線段最短，在Rt△ABC【詳解】（1）解：共有3條路徑，如下圖：（2）解：①如圖，連接AB，根據(jù)題意得：AC=12×18=9∴AB=A即螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)B，最短路程為15cm②如圖，連接AB，根據(jù)題意得：AC=12×24=12∴AB=A即螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)B，最短路程為410③如圖，連接AB，根據(jù)題意得：AC=12×2πr=πr∴AB=A即螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)B，最短路程為π2【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【題型8由勾股定理構(gòu)造圖形解決實(shí)際問題】【例8】（2023春·吉林白城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，A、B兩塊試驗(yàn)田相距200m，C為水源地，AC＝160m，BC＝120m，為了方便灌溉，現(xiàn)有兩種方案修筑水渠．甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到A、B；乙方案；過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為H，先從水源地C修筑一條水渠到AB所在直線上的H處，再從H分別向A、B進(jìn)行修筑．（1）請(qǐng)判斷△ABC的形狀（要求寫出推理過程）；（2）兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請(qǐng)通過計(jì)算說明．【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由見解析；（2）（2）甲方案所修的水渠較短；理由見解析【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；（2）由△ABC的面積求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）△ABC是直角三角形；理由如下：∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；（2）甲方案所修的水渠較短；理由如下：∵△ABC是直角三角形，∴△ABC的面積＝12AB?CH＝12AC?BC∴CH＝AC?BCAB=160×120∵AC+BC＝160+120＝280（m），CH+AH+BH=CH+AB＝96+200＝296（m），∴