專題21圖形的旋轉(zhuǎn)（共50題）-2021年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編【有答案】【全國通用】（第01期）

2021年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編【全國通用】（第01期）專題21圖形的旋轉(zhuǎn)（共50題）一、單選題1．（2021·湖南永州市·中考真題）如圖，在平面內(nèi)將五角星繞其中心旋轉(zhuǎn)后所得到的圖案是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出陰影部分三角形的位置即可得答案．【詳解】∵將五角星繞其中心旋轉(zhuǎn)，∴圖中陰影部分的三角形應(yīng)豎直向下，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)前后，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，前后兩個(gè)圖形全等；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2021·四川廣安市·中考真題）如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，若且于點(diǎn)，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，由直角三角形的性質(zhì)可得∠DAC=20°，即可求解．【詳解】解：∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)55°得△ADE，∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，∵AD⊥BC，∴∠DAC=20°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=75°．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．3．（2021·江蘇蘇州市·中考真題）如圖，在方格紙中，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到，則下列四個(gè)圖形中正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°逐項(xiàng)分析即可．【詳解】A、是由關(guān)于過B點(diǎn)與OB垂直的直線對稱得到，故A選項(xiàng)不符合題意；B、是由繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到，故B選項(xiàng)符合題意；C、與對應(yīng)點(diǎn)發(fā)生了變化，故C選項(xiàng)不符合題意；D、是由繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到，故D選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換．解題的關(guān)鍵是弄清旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．4．（2021·天津中考真題）如圖，在中，，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)A，B的對應(yīng)點(diǎn)分別為D，E，連接．當(dāng)點(diǎn)A，D，E在同一條直線上時(shí)，下列結(jié)論一定正確的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由旋轉(zhuǎn)可知，即可求出，由于，則可判斷，即A選項(xiàng)錯(cuò)誤；由旋轉(zhuǎn)可知，由于，即推出，即B選項(xiàng)錯(cuò)誤；由三角形三邊關(guān)系可知，即可推出，即C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由旋轉(zhuǎn)可知，再由，即可證明為等邊三角形，即推出．即可求出，即證明，即D選項(xiàng)正確；【詳解】由旋轉(zhuǎn)可知，∵點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，∴，∵，∴，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；由旋轉(zhuǎn)可知，∵為鈍角，∴，∴，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；∵，∴，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；由旋轉(zhuǎn)可知，∵，∴為等邊三角形，∴．∴，∴，故D選項(xiàng)正確，符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，等邊三角形的判定和性質(zhì)以及平行線的判定．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．5．（2021·湖南邵陽市·中考真題）如圖，在中，，．將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，連接．則線段的長為（）

A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，，再由勾股定理即可求出線段的長．【詳解】解：∵旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理求出直角三角形邊長，解題關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出是等腰直角三角形．6．（2021·四川達(dá)州市·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，等邊如圖放置，點(diǎn)的坐標(biāo)為，每一次將繞著點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，同時(shí)每邊擴(kuò)大為原來的2倍，第一次旋轉(zhuǎn)后得到，第二次旋轉(zhuǎn)后得到，…，依次類推，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意，點(diǎn)A每6次繞原點(diǎn)循環(huán)一周，利用每邊擴(kuò)大為原來的2倍即可解決問題．【詳解】解：由題意，點(diǎn)A每6次繞原點(diǎn)循環(huán)一周，，點(diǎn)在第四象限，，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化旋轉(zhuǎn)，規(guī)律型問題，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．7．（2021·浙江衢州市·中考真題）如圖．將菱形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形，．當(dāng)AC平分時(shí)，與滿足的數(shù)量關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AB=AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAC=∠BCA=，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠CAC′=∠BAB′=，根據(jù)AC平分可得∠B′AC=∠CAC=，即可得出，可得答案．【詳解】∵四邊形ABCD是菱形，，∴AB=AC，∴∠BAC=∠BCA==，∵將菱形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形，∴∠CAC′=∠BAB′=，∵AC平分，∴∠B′AC=∠CAC=，∴∠BAC=∠B′AC+∠BAB′=2=，∴，故選；C．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)并正確找出旋轉(zhuǎn)角是解題關(guān)鍵．8．（2021·山東聊城市·中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)為A（0，2），B（﹣1，0），將△ABO繞點(diǎn)O按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A1B1O，若AB⊥OB1，則點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（）

A．（） B．（） C．（） D．（）【答案】A【分析】先求出AB，OA1，再作輔助線構(gòu)造相似三角形，如圖所示，得到對應(yīng)邊成比例，求出OC和A1C，即可求解．【詳解】解:如圖所示，∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（0，2），B（﹣1，0），∴OB=1，OA=2，∴，∵∠AOB=90°，∴∠A1OB1=90°，∴OA1⊥OB1，又∵AB⊥OB1，∴OA1∥AB，∴∠1=∠2，過A1點(diǎn)作A1C⊥x軸，∴∠A1CO=∠AOB，∴，∴，∵OA1=OA=2，∴，∴，，∴，故選：A．

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是理解并掌握相關(guān)概念，能通過作輔助線構(gòu)造相似三角形等，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想方法等．9．（2021·河南中考真題）如圖，的頂點(diǎn)，，點(diǎn)在軸的正半軸上，延長交軸于點(diǎn)．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在上時(shí)，的延長線恰好經(jīng)過點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接,由題意可證明，利用相似三角形線段成比例即可求得OC的長，即得點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】如圖，連接，因?yàn)檩S，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，所以，,

故答案為B．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，找到是解題的關(guān)鍵．10．（2021·黑龍江大慶市·中考真題）如圖，是線段上除端點(diǎn)外的一點(diǎn)，將繞正方形的頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到．連接交于點(diǎn)．下列結(jié)論正確的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到△EAF是等腰直角三角形，然后根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，以及平行線分線段成比例定理即可作出判斷．【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：∠EAF=90°，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：∠EAF=90°，EA=AF，則△EAF是等腰直角三角形，∴EF=AE，即AE：EF=1：，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；若C選項(xiàng)正確，則，即，∵∠AEF=∠HEA=45°，∴△EAF△EHA，∴∠EAH∠EFA，而∠EFA=45°，∠EAH45°，∴∠EAH∠EFA，∴假設(shè)不成立，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵四邊形ABCD是正方形，∴CD∥AB，即BH∥CF，AD=BC，∴EB：BC=EH：HF，即EB：AD=EH：HF，故D選項(xiàng)正確；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，正確運(yùn)用反證法是解題的關(guān)鍵．11．（2021·湖北黃石市·中考真題）如圖，的三個(gè)頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，其中點(diǎn)的坐標(biāo)是，現(xiàn)將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】在網(wǎng)格中繪制出CA旋轉(zhuǎn)后的圖形，得到點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)點(diǎn)．【詳解】如圖，繪制出CA繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的圖形，由圖可得：點(diǎn)C對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2，3)．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)，需要注意題干中要求順時(shí)針旋轉(zhuǎn)還是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．12．（2021·山東泰安市·中考真題）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)（含B、C兩點(diǎn)），連接，以點(diǎn)A為中心，將線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到，連接，則線段的最小值為（）A． B． C． D．3【答案】A【分析】根據(jù)題中條件確定出點(diǎn)的軌跡是線段，則線段的最小值就轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)到點(diǎn)的軌跡線段的距離問題．【詳解】解：與固定夾角是，，點(diǎn)的軌跡是線段，的軌跡也是一條線段．兩點(diǎn)確定一條直線，取點(diǎn)分別與重合時(shí)，所對應(yīng)兩個(gè)點(diǎn)Q，來確定點(diǎn)的軌跡，得到如下標(biāo)注信息后的圖形：求的最小值，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的軌跡線段的距離問題，,在中，,,，將逆時(shí)針繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)后得到，為等邊三角形，,為的中點(diǎn)，根據(jù)三線合一知，,過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn),在中，對應(yīng)的邊等于斜邊的一半，，的最小值為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題中，兩點(diǎn)間距離的最小值問題，解題的關(guān)鍵是：需要確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡，才能方便找到解決問題的突破口．13．（2021·山東東營市·中考真題）如圖，是邊長為1的等邊三角形，D、E為線段AC上兩動(dòng)點(diǎn)，且，過點(diǎn)D、E分別作AB、BC的平行線相交于點(diǎn)F，分別交BC、AB于點(diǎn)H、G．現(xiàn)有以下結(jié)論：①；②當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，；③；④當(dāng)時(shí)，四邊形BHFG為菱形，其中正確結(jié)論為（）A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④【答案】B【分析】過A作AI⊥BC垂足為I，然后計(jì)算△ABC的面積即可判定①；先畫出圖形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)即可判定②；如圖將△BCD繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABN，求證NE=DE；再延長EA到P使AP=CD=AN，證得∠P=60°，NP=AP=CD，然后討論即可判定③；如圖1，當(dāng)AE=CD時(shí)，根據(jù)題意求得CH=CD、AG=CH，再證明四邊形BHFG為平行四邊形，最后再說明是否為菱形．【詳解】解：如圖1,過A作AI⊥BC垂足為I∵是邊長為1的等邊三角形∴∠BAC=∠ABC=∠C=60°，CI=∴AI=∴S△ABC=,故①正確；如圖2，當(dāng)D與C重合時(shí)∵∠DBE=30°，是等邊三角形∴∠DBE=∠ABE=30°∴DE=AE=∵GE//BD∴∴BG=∵GF//BD,BG//DF∴HF=BG=,故②正確；如圖3，將△BCD繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABN∴∠1=∠2，∠5=∠6=60°，AN=CD,BD=BN∵∠3=30°∴∠2+∠4=∠1+∠4=30°∴∠NBE=∠3=30°又∵BD=BN，BE=BE∴△NBE≌△DBE（SAS）∴NE=DE延長EA到P使AP=CD=AN∵∠NAP=180°-60°-60°=60°∴△ANP為等邊三角形∴∠P=60°，NP=AP=CD如果AE+CD=DE成立，則PE=NE,需∠NEP=90°，但∠NEP不一定為90°，故③不成立；如圖1，當(dāng)AE=CD時(shí)，∵GE//BC∴∠AGE=∠ABC=60°，∠GEA=∠C=60°∴∠AGE=∠AEG=60°，∴AG=AE同理：CH=CD∴AG=CH∵BG//FH,GF//BH∴四邊形BHFG是平行四邊形∵BG=BH∴四邊形BHFG為菱形，故④正確．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)以及菱形的判定等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵．二、填空題14．（2021·貴州銅仁市·中考真題）如圖，將邊長為1的正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，則陰影部分的面積是______________；

【答案】【分析】交于點(diǎn)，連接；根據(jù)全等三角形性質(zhì)，通過證明，得；結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得；根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算，得，結(jié)合正方形和三角形面積關(guān)系計(jì)算，即可得到答案．【詳解】解：如圖，交于點(diǎn)，連接

根據(jù)題意，得：，∵∴∴∵正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到∴，∴∴∴∴∴∴陰影部分的面積故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形、全等三角形、旋轉(zhuǎn)、三角函數(shù)的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形、全等三角形、旋轉(zhuǎn)、三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．15．（2021·湖北鄂州市·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_____________．

【答案】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，易證明，求出OE、BE的長即可求出B的坐標(biāo)．【詳解】解：如圖所示，點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸垂線，垂足為D，過點(diǎn)B作x軸垂線，垂足為E，

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴CD=2，AD=3，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，AC=BC，∵，∴，∵，∴，∴，∴AD=CE=3，CD=BE=2，∴OE=2，BE=2，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)變換和三角形全等的判定與性質(zhì)，證明是解題關(guān)鍵．16．（2021·湖南中考真題）如圖，中，，將繞A點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到，連接，，則與的面積之比等于_______．【答案】【分析】先根據(jù)正切三角函數(shù)的定義可得，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)相似三角形的判定可得，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：在中，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，在和中，，，，即與的面積之比等于，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正切三角函數(shù)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．17．（2021·江蘇蘇州市·中考真題）如圖，射線、互相垂直，，點(diǎn)位于射線的上方，且在線段的垂直平分線上，連接，．將線段繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到對應(yīng)線段，若點(diǎn)恰好落在射線上，則點(diǎn)到射線的距離______．

【答案】【分析】添加輔助線，連接，過點(diǎn)作交ON與點(diǎn)P．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到，在和中，，根據(jù)三角函數(shù)和已知線段的長度求出點(diǎn)到射線的距離．【詳解】如圖所示，連接，過點(diǎn)作交ON與點(diǎn)P．

∵線段繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到對應(yīng)線段∴，∴即∵點(diǎn)在線段的垂直平分線上∴，∵∴∴∴【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角函數(shù)．對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連的線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．18．（2021·廣西玉林市·中考真題）如圖、在正六邊形中，連接線，，，，，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)為，與交于點(diǎn)，分別延長，于點(diǎn)，設(shè)．有以下結(jié)論：①；②；③的重心、內(nèi)心及外心均是點(diǎn)；④四邊形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與四邊形重合．則所有正確結(jié)論的序號是______．

【答案】①②③【分析】由題意易得，，則有，進(jìn)而可得，則有四邊形是矩形，然后可得，為等邊三角形，最后可得答案．【詳解】解：∵六邊形是正六邊形，∴，，∴在△DEF中，，∴，同理可得，∴四邊形是矩形，同理可證四邊形是矩形，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴（ASA），∴，∴四邊形是菱形，∴，∴∠NAM=60°，∴△NAM是等邊三角形，∴AM=MN，∵AB=3，∴，∴，∵∠MAB=30°，∠ACG=90°，∴∠G=60°，∴△ADG是等邊三角形，∵AC與BD交于點(diǎn)M，∴由等邊三角形的性質(zhì)及重心、內(nèi)心、外心可得：的重心、內(nèi)心及外心均是點(diǎn)，連接OF，如圖所示：

易得∠FOA=60°，∴四邊形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與四邊形重合，∴綜上所述：正確結(jié)論的序號是①②③；故答案為①②③．【點(diǎn)睛】本題主要考查正多邊形的性質(zhì)、矩形及菱形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定、三角形的重心、內(nèi)心、外心及三角函數(shù)，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)、矩形及菱形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定、三角形的重心、內(nèi)心、外心及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．19．（2021·上海中考真題）定義：在平面內(nèi)，一個(gè)點(diǎn)到圖形的距離是這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)圖上所有點(diǎn)的最短距離，在平面內(nèi)有一個(gè)正方形，邊長為2，中心為O，在正方形外有一點(diǎn)，當(dāng)正方形繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，則點(diǎn)P到正方形的最短距離d的取值范圍為__________．

【答案】【分析】先確定正方形的中心O與各邊的所有點(diǎn)的連線中的最大值與最小值，然后結(jié)合旋轉(zhuǎn)的條件即可求解．【詳解】解：如圖1，設(shè)的中點(diǎn)為E，連接OA，OE，則AE=OE=1，∠AEO=90°，．∴點(diǎn)O與正方形邊上的所有點(diǎn)的連線中，最小，等于1，最大，等于．∵，∴點(diǎn)P與正方形邊上的所有點(diǎn)的連線中，如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)E落在上時(shí)，最大值PE=PO-EO=2-1=1；如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)A落在上時(shí)，最小值．∴當(dāng)正方形ABCD繞中心O旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)P到正方形的距離d的取值范圍是．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了新定義、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，準(zhǔn)確理解新定義的含義和熟知正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2021·江蘇南京市·中考真題）如圖，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，使點(diǎn)落在上，與交于點(diǎn)E，若，則的長為________．【答案】【分析】過點(diǎn)C作CM//交于點(diǎn)M，證明求得，根據(jù)AAS證明可求出CM=1，再由CM//證明△，由相似三角形的性質(zhì)查得結(jié)論．【詳解】解：過點(diǎn)C作CM//交于點(diǎn)M，∵平行四邊形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到平行四邊形∴，，∴，∴∴∵∴∴∴∠∵∴∵∴∠∵，∴∴∠∴∠在和中，∴∴∵∴△∴∴∴故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解答本題的關(guān)鍵．21．（2021·新疆中考真題）如圖，已知正方形ABCD邊長為1，E為AB邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)D為中心，將按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得，連接EF，分別交BD，CD于點(diǎn)M，N．若，則__________．【答案】【分析】過點(diǎn)E作EP⊥BD于P，將∠EDM構(gòu)造在直角三角形DEP中，設(shè)法求出EP和DE的長，然后用三角函數(shù)的定義即可解決．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥DC，∠A=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=DA=1，．∵△DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DCF，∴CF=AE，DF=DE，∠EDF=∠ADC=90°．設(shè)AE=CF=2x，DN=5x，則BE=1-2x，CN=1-5x，BF=1+2x．∵AB∥DC，∴．

∴．∴．整理得，．解得，，（不合題意，舍去）．∴．∴．過點(diǎn)E作EP⊥BD于點(diǎn)P，如圖所示，

設(shè)DP=y，則．∵，∴．解得，．∴．∴在Rt△DEP中，．即．

故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)、方程的數(shù)學(xué)思想等知識點(diǎn)，熟知各類圖形的性質(zhì)與判定是解題的基礎(chǔ)，構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．22．（2021·湖北隨州市·中考真題）如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（）得到，并使點(diǎn)落在邊上，則點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為______．（結(jié)果保留）【答案】．【分析】利用勾股定理求出AB=2，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到旋轉(zhuǎn)角為∠=60°，再由弧長計(jì)算公式，計(jì)算出結(jié)果．【詳解】解：∵，，，∴AB=2AC，設(shè)AC=x，則AB=2x，由勾股定理得：，解得：x=1，則：AC=1，AB=2，∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（）得到，且點(diǎn)落在邊上，∴旋轉(zhuǎn)角為60°，∴∠=60°，∴點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和弧長的計(jì)算公式，解題關(guān)鍵在于找到旋轉(zhuǎn)角，根據(jù)弧長公式進(jìn)行計(jì)算．23．（2021·湖南懷化市·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，將先向右平移3個(gè)單位長度得到，再繞順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，則的坐標(biāo)是____________．【答案】（2，2）．【分析】直接利用平移的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對應(yīng)點(diǎn)位置，然后作圖，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：如圖示：，為所求，根據(jù)圖像可知，的坐標(biāo)是（2，2），故答案是：（2，2）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平移作圖和旋轉(zhuǎn)作圖，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．24．（2021·浙江溫州市·中考真題）如圖，與的邊相切，切點(diǎn)為．將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)落在上，邊交線段于點(diǎn)．若，則______度．【答案】85【分析】連結(jié)OO′，先證△BOO′為等邊三角形，求出∠AOB=∠OBO′=60°，由與的邊相切，可求∠CBO==30°，利用三角形內(nèi)角和公式即可求解．【詳解】解：連結(jié)OO′，∵將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，∴BO′=BO=OO′，∴△BOO′為等邊三角形，∴∠OBO′=60°，∵與的邊相切，∴∠OBA=∠O′BA′=90°，∴∠CBO=90°-∠OBO′=90°-60°=30°，∵∠A′=25°∴∠A′O′B=90°-∠A′=90°-25°=65°∴∠AOB=∠A′O′B=65°，∴∠OCB=180°-∠COB-∠OBC=180°-65°-30°=85°．故答案為85．【點(diǎn)睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，切線性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，掌握圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，切線性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)是解題關(guān)鍵．25．（2021·四川廣安市·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，軸，垂足為，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在直線上，再將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)也落在直線上，以此進(jìn)行下去……若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為______．【答案】【分析】計(jì)算出△AOB的各邊，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，求出OB1，B1B3，...，得出規(guī)律，求出OB21，再根據(jù)一次函數(shù)圖像上的點(diǎn)求出點(diǎn)B21的縱坐標(biāo)即可．【詳解】解：∵AB⊥y軸，點(diǎn)B（0，3），∴OB=3，則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為3，代入，得：，得：x=-4，即A（-4，3），∴OB=3，AB=4，OA==5，由旋轉(zhuǎn)可知：OB=O1B1=O2B1=O2B2=…=3，OA=O1A=O2A1=…=5，AB=AB1=A1B1=A2B2=…=4，∴OB1=OA+AB1=4+5=9，B1B3=3+4+5=12，∴OB21=OB1+B1B21=9+（21-1）÷2×12=129，設(shè)B21（a，），則OB21=，解得：或（舍），則，即點(diǎn)B21的縱坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，旋轉(zhuǎn)以及直角三角形的性質(zhì)，求出△OAB的各邊，計(jì)算出OB21的長度是解題的關(guān)鍵．26．（2021·青海中考真題）如圖所示的圖案由三個(gè)葉片組成，繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)120°后可以和自身重合，若每個(gè)葉片的面積為4cm2，∠AOB=120°，則圖中陰影部分的面積為__________．【答案】4cm2【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和圖形的特點(diǎn)解答．【詳解】每個(gè)葉片的面積為4cm2，因而圖形的面積是12cm2．∵圖案繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)120°后可以和自身重合，∠AOB為120°，∴圖形中陰影部分的面積是圖形的面積的，因而圖中陰影部分的面積之和為4cm2．故答案為4cm2．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)與重合，理解旋轉(zhuǎn)對稱圖形的定義是解決本題的關(guān)鍵．注：旋轉(zhuǎn)對稱圖形的概念：把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角．27．（2021·山東棗莊市·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△A′B′C′由△ABC繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_______．【答案】P（1，-1）．【詳解】試題分析：連接AA′、CC′，作線段AA′的垂直平分線MN，作線段CC′的垂直平分線EF，直線MN和直線EF的交點(diǎn)為P，點(diǎn)P就是旋轉(zhuǎn)中心．∵直線MN為：x=1，設(shè)直線CC′為y=kx+b，由題意：，∴，∴直線CC′為y=x+，∵直線EF⊥CC′，經(jīng)過CC′中點(diǎn)（，），∴直線EF為y=﹣3x+2，由得，∴P（1，﹣1）．考點(diǎn)：坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)三、解答題28．（2021·四川成都市·中考真題）在中，，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，其中點(diǎn)A，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在的延長線上時(shí)，求的長；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在的延長線上時(shí)，連接，交于點(diǎn)M，求的長；（3）如圖3，連接，直線交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接．在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，最小值為1【分析】（1）根據(jù)題意利用勾股定理可求出AC長為4．再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，最后由等腰三角形的性質(zhì)即可求出的長．（2）作交于點(diǎn)D，作交于點(diǎn)E．由旋轉(zhuǎn)可得，．再由平行線的性質(zhì)可知，即可推出，從而間接求出，．由三角形面積公式可求出．再利用勾股定理即可求出，進(jìn)而求出．最后利用平行線分線段成比例即可求出的長．（3）作且交延長線于點(diǎn)P，連接．由題意易證明，，，即得出．再由平行線性質(zhì)可知，即得出，即可證明，由此即易證，得出，即點(diǎn)D為中點(diǎn)．從而證明DE為的中位線，即．即要使DE最小，最小即可．根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)最小，且最小值即為，由此即可求出DE的最小值．【詳解】（1）在中，．根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，即為等腰三角形．∵，即，∴，∴．（2）如圖，作交于點(diǎn)D，作交于點(diǎn)E．由旋轉(zhuǎn)可得，．∵，∴，∴，∴，．∵，即，∴．在中，，∴．∴．∵，∴，即，∴．（3）如圖，作且交延長線于點(diǎn)P，連接．∵，∴，∵，即，又∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴．∴在和中，∴，∴，即點(diǎn)D為中點(diǎn)．∵點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，∴DE為的中位線，∴，即要使DE最小，最小即可．根據(jù)圖可知，即當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)最小，且最小值為．∴此時(shí)，即DE最小值為1．【點(diǎn)睛】本題為旋轉(zhuǎn)綜合題．考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，全等三角形的判定和性質(zhì)，中位線的判定和性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系，綜合性強(qiáng)，為困難題．正確的作出輔助線為難點(diǎn)也是解題關(guān)鍵．29．（2021·廣西貴港市·中考真題）已知在ABC中，O為BC邊的中點(diǎn)，連接AO，將AOC繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角為鈍角），得到EOF，連接AE，CF．（1）如圖1，當(dāng)∠BAC＝90°且AB＝AC時(shí)，則AE與CF滿足的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，當(dāng)∠BAC＝90°且AB≠AC時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；（3）如圖3，延長AO到點(diǎn)D，使OD＝OA，連接DE，當(dāng)AO＝CF＝5，BC＝6時(shí)，求DE的長．【答案】（1）；（2）成立，證明見解析；（3）【分析】（1）結(jié)論．證明，可得結(jié)論．（2）結(jié)論成立．證明方法類似（1）．（3）首先證明，再利用相似三角形的性質(zhì)求出，利用勾股定理求出即可．【詳解】解：（1）結(jié)論：．理由：如圖1中，，，，，，，，，，，．（2）結(jié)論成立．理由：如圖2中，，，，，，，，，．（3）如圖3中，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．30．（2021·黑龍江鶴崗市·中考真題）如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是一個(gè)單位長度，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為．

（1）畫出關(guān)于x軸對稱的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）畫出繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留）．【答案】（1）見解析，；（2）見解析，；（3）【分析】（1）分別作出點(diǎn)A、B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，然后依次連接即可，最后通過圖象可得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別作出點(diǎn)A、B繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°的點(diǎn)，然后依次連接，最后根據(jù)圖象可得點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）由（2）可先根據(jù)勾股定理求出OA的長，然后根據(jù)弧長計(jì)算公式進(jìn)行求解．【詳解】解：（1）如圖所示：即為所求，∴由圖象可得；（2）如圖所示：即為所求，∴由圖象可得；（3）由（2）的圖象可得：點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路徑為圓弧，∵，∴點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為．【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、坐標(biāo)與軸對稱及弧長計(jì)算公式，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、坐標(biāo)與軸對稱及弧長計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．31．（2021·內(nèi)蒙古通遼市·中考真題）已知和都是等腰直角三角形，．（1）如圖1，連接，，求證：；（2）將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)M恰好在邊上時(shí)，求證：；②當(dāng)點(diǎn)A，M，N在同一條直線上時(shí)，若，，請直接寫出線段的長．

【答案】(1)見解析；(2)①見解析；②或【分析】(1)證明△AMO≌△BNO即可；(2)①連接BN，證明△AMO≌△BNO，得到∠A=∠OBN=45°，進(jìn)而得到∠MBN=90°，且△OMN為等腰直角三角形，再在△BNM中使用勾股定理即可證明；②分兩種情況分別畫出圖形即可求解．【詳解】解：(1)∵和都是等腰直角三角形，∴，又，,∴，∴，∴；(2)①連接BN，如下圖所示：∴，，且，∴，∴，，∴，且為等腰直角三角形，∴，在中，由勾股定理可知：，且∴；②分類討論：情況一：如下圖2所示，設(shè)AO與NB交于點(diǎn)C，過O點(diǎn)作OH⊥AM于H點(diǎn)，,為等腰直角三角形，∴,在中，,∴；情況二：如下圖3所示，過O點(diǎn)作OH⊥AM于H點(diǎn)，,為等腰直角三角形，∴,在中，,∴；故或．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．32．（2021·遼寧本溪市·中考真題）在?中，，平分，交對角線于點(diǎn)G，交射線于點(diǎn)E，將線段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，連接，請直接寫出線段和線段的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)B作于點(diǎn)，連接，請寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）當(dāng)時(shí)，連接，若，請直接寫出與面積的比值．【答案】（1）；（2）,理由見解析；（3）【分析】（1）延長，交于點(diǎn)，根據(jù)已知條件證明即可；（2）連接，過F作交的延長線于點(diǎn)，由，得，在由三邊關(guān)系利用勾股定理可得；（3）證明，得值，與的面積分別與的面積成比例，可得與面積的比值．【詳解】（1）如圖,延長，交于點(diǎn)，由題意，將線段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，四邊形是平行四邊形四邊形是平行四邊形平分四邊形是菱形是等邊三角形,，，四邊形是平行四邊形=在和中．（2）連接，過F作交的延長線于點(diǎn)四邊形是矩形，，，，平分四邊形是矩形在和中設(shè)則在中即整理得：．（3）如圖由（1）可知平分四邊形是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形相似，勾股定理，銳角三角函數(shù)，相似比的概念，平行四邊形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，知識點(diǎn)比較多，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．33．（2021·黑龍江齊齊哈爾市·中考真題）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式．通過活動(dòng)可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動(dòng)手動(dòng)腦能力，拓展思推空間，豐富數(shù)學(xué)體驗(yàn)．讓我們一起動(dòng)手來折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會活動(dòng)帶給我們的樂趣．折一折：將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB、AD都落在對角線AC上，展開得折痕AE、AF，連接EF，如圖1．

（1）_________，寫出圖中兩個(gè)等腰三角形：_________（不需要添加字母）；轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊BC、CD于點(diǎn)P、Q，連接PQ，如圖2．（2）線段BP、PQ、DQ之間的數(shù)量關(guān)系為_________；（3）連接正方形對角線BD，若圖2中的的邊AP、AQ分別交對角線BD于點(diǎn)M、點(diǎn)N．如圖3，則________；剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對角線BD剪開，如圖4．（4）求證：．【答案】（1）45，，；（2）；（3）；（4）見解析【分析】（1）由翻折的性質(zhì)可知：，，根據(jù)正方形的性質(zhì)：,，則，為等腰三角形；（2）如圖：將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，證明全等，即可得出結(jié)論；（3）證明即可得出結(jié)論；（4）根據(jù)半角模型，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，可得，通過得出，為直角三角形，結(jié)合勾股定理即可得出結(jié)論．【詳解】（1）由翻折的性質(zhì)可知：為正方形，為等腰三角形（2）如圖：將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，由（1）中結(jié)論可得為正方形，在和中（3）為正方形對角線，，（4）如圖：將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，由（2）中的結(jié)論可證根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，在中有【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，以及相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，能夠綜合運(yùn)用這些性質(zhì)是解題關(guān)鍵．34．（2021·湖北宜昌市·中考真題）如圖，在矩形中，是邊上一點(diǎn)，，，垂足為．將四邊形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到四邊形．所在的直線分別交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．所在的直線分別交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．

（1）如圖1，求證：四邊形是正方形；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)．①求證：；②若，，求線段的長；（3）如圖3，若交于點(diǎn)，，求的值．【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②；（3）【分析】（1）先利用三個(gè)角是直角的四邊形是矩形證明，再根據(jù)證得結(jié)論；（2）①證明即可得到結(jié)論；②方法一：設(shè)正方形邊長為，根據(jù)，求出，利用勾股定理得到，求出a，得到，，根據(jù)∽△CKG，求出KG，再根據(jù)，求出答案；方法二：過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)，求出，由，，再利用勾股定理求得結(jié)果；（3）方法一：延長與的延長線交于點(diǎn)，證明，求出，設(shè)，，則，證明，求得，由，求出，利用，求出，即可得到答案；方法二，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．設(shè)，則，，求得，證明，求出，再證明，求出答案；方法三：設(shè)與交于點(diǎn)，設(shè)，則，，證明，得到，根據(jù)，求出答案．【詳解】（1）在矩形中，，∵，則，∴四邊形是矩形．∵，∴矩形是正方形．（2）①如圖1，∵，∴，，∴，又∵，，∴，∴．

②方法一：設(shè)正方形邊長為，∵PG∥，∴，∴，∴，∴在中，，∴，∴．∴，，∵，∴∽△CKG，∴,∴,∵，∴△B’CK≌△E’KD，∴DK=KC，又∵∠DKP=∠GKC，∠P=∠G，∴，∴PG=KG，∴；方法二：如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由，可得：，由方法一，可知，∴，由方法一，可知為中點(diǎn)，從而，，從而由勾股定理得．

（3）方法一：如圖3，延長與的延長線交于點(diǎn)，由題意可知，，，∴，，∴，設(shè)，，則，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴．∵，∴．

方法二，如圖4，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．由題意可知，，，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，，∴，，則，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，∴．

方法三：如圖5，設(shè)與交于點(diǎn)，設(shè)，則，，由題意可知，，，，∴，∴，由方法（2）可知，，所以，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．

【點(diǎn)睛】此題考查正方形的判定定理及性質(zhì)定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，綜合掌握各知識點(diǎn)并熟練應(yīng)用解決問題是解題的關(guān)鍵．35．（2021·湖南婁底市·中考真題）如圖①，是等腰的斜邊上的兩動(dòng)點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）求證：；（3）如圖②，作，垂足為H，設(shè)，不妨設(shè)，請利用（2）的結(jié)論證明：當(dāng)時(shí)，成立．【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解；（3）證明見詳解．【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，由CD⊥BC，可求∠DCA=∠ABE即可；（2）由△ABE≌△ACD，可得∠FAD=∠EAF，可證△AEF≌△ADF（SAS），可得EF=DF，在Rt△CDF中，根據(jù)勾股定理，即可；（3）將△ABE逆時(shí)針繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°到△ACD，由△ABC為等腰直角三角形，可求∠DCF=90°，由，在Rt△ABC中由勾股定理，由AH⊥BC，可求BH=CH=AH=，可表示EF=tanα+tanβ,BE=1-tanα,CF=1-tanβ，可證△AEF≌△ADF（SAS），得到EF=DF，由可得，整理即得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵CD⊥BC，∴∠DCB=90°，∴∠DCA=90°-∠ACB=90°-45°=45°=∠ABE，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），（2）證明∵△ABE≌△ACD，∴∠BAE=∠CAD，AE=AD，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠FAC=90°-∠EAF=90°-45°=45°，∴∠FAD=∠FAC+∠CAD=∠FAC+∠BAE=45°=∠EAF，在△AEF和△ADF中，，∴△AEF≌△ADF（SAS），∴EF=DF，在Rt△CDF中，根據(jù)勾股定理，，即；（3）證明：將△ABE逆時(shí)針繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°到△ACD，連結(jié)FD，∴∠BAE=∠CAD，BE=CD，AE=AD，∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=∠B=∠ACD=45°，∠DCF=∠DCA+∠ACF=45°+45°=90°，∵，∴AC=，在Rt△ABC中由勾股定理∵AH⊥BC，∴BH=CH=AH=，∴EF=EH+FH=AHtanα+AHtanβ=tanα+tanβ,BE=BH-EH=1-tanα,CF=CH-HF=1-tanβ，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠CAF=90°-∠EAF=45°，∴∠DAF=∠DAC+∠CAF=∠BAE+∠CAF=45°=∠EAF，在△AEF和△ADF中，，∴△AEF≌△ADF（SAS），∴EF=DF，在Rt△CDF中，即，∴，整理得，即，∴，∴，∴．

【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形旋轉(zhuǎn)變換，勾股定理，銳角三角函數(shù)及其公式推導(dǎo)，掌握上述知識、靈活應(yīng)用全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．36．（2021·江蘇鹽城市·中考真題）學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)之后，小明知道，將點(diǎn)繞著某定點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，能得到一個(gè)新的點(diǎn)．經(jīng)過進(jìn)一步探究，小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)上述點(diǎn)在某函數(shù)圖像上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng)，并且點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡能形成一個(gè)新的圖形．試根據(jù)下列各題中所給的定點(diǎn)的坐標(biāo)和角度的大小來解決相關(guān)問題．

（初步感知）如圖1，設(shè)，，點(diǎn)是一次函數(shù)圖像上的動(dòng)點(diǎn)，已知該一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)．（1）點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為________；（2）若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡經(jīng)過點(diǎn)，求原一次函數(shù)的表達(dá)式．（深入感悟）（3）如圖2，設(shè)，，點(diǎn)反比例函數(shù)的圖像上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作二、四象限角平分線的垂線，垂足為，求的面積．（靈活運(yùn)用）（4）如圖3，設(shè)A，，點(diǎn)是二次函數(shù)圖像上的動(dòng)點(diǎn)，已知點(diǎn)、，試探究的面積是否有最小值？若有，求出該最小值；若沒有，請說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）存在最小值，【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義得，觀察點(diǎn)和在同一直線上即可直接得出結(jié)果．（2）根據(jù)題意得出的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出原一次函數(shù)表達(dá)式即可．（3）先根據(jù)計(jì)算出交點(diǎn)坐標(biāo)，再分類討論①當(dāng)時(shí)，先證明再計(jì)算面積．②當(dāng)-時(shí)，證，再計(jì)算即可．（4）先證明為等邊三角形，再證明，根據(jù)在中，，寫出，從而得出的函數(shù)表達(dá)式，當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)取最小值，得出，由計(jì)算得出的面積最小值．【詳解】（1）由題意可得:∴的坐標(biāo)為故答案為：；（2）∵，由題意得坐標(biāo)為∵，在原一次函數(shù)上，∴設(shè)原一次函數(shù)解析式為則∴∴原一次函數(shù)表達(dá)式為；（3）設(shè)雙曲線與二、四象限平分線交于點(diǎn)，則解得①當(dāng)時(shí)作軸于∵∴∵∴∴在和中∴即；②當(dāng)-時(shí)作于軸于點(diǎn)∵∴∴∴∴在和中∴∴；（4）連接，，將，繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，，作軸于∵，∴∴∴為等邊三角形，此時(shí)與重合，即連接，∵∴∴在和中∴∴，∴作軸于在中，∴∴，即，此時(shí)的函數(shù)表達(dá)式為：設(shè)過且與平行的直線解析式為∵∴當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)取最小值則即∴當(dāng)時(shí)，得∴設(shè)與軸交于點(diǎn)∵∴【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)、全等三角形的判定和性質(zhì)、一次函數(shù)的解析式、反比例函數(shù)的幾何意義、兩函數(shù)的交點(diǎn)問題，函數(shù)的最小值的問題，靈活進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換是關(guān)鍵．37．（2021·江蘇常州市·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，對于A、兩點(diǎn)，若在y軸上存在點(diǎn)T，使得，且，則稱A、兩點(diǎn)互相關(guān)聯(lián)，把其中一個(gè)點(diǎn)叫做另一個(gè)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．已知點(diǎn)、，點(diǎn)在一次函數(shù)的圖像上．（1）①如圖，在點(diǎn)、、中，點(diǎn)M的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是_______（填“B”、“C”或“D”）；②若在線段上存在點(diǎn)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是_______；（2）若在線段上存在點(diǎn)Q的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）分別以點(diǎn)、Q為圓心，1為半徑作、．若對上的任意一點(diǎn)G，在上總存在點(diǎn)，使得G、兩點(diǎn)互相關(guān)聯(lián)，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

【答案】（1）①B；②；（2）或；（3）或．【分析】由材料可知關(guān)聯(lián)點(diǎn)的實(shí)質(zhì)就是將點(diǎn)A繞y軸上點(diǎn)T順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度的得到點(diǎn)．故先找到旋轉(zhuǎn)90°坐標(biāo)變化規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律解答即可，（1）①根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律列方程求解點(diǎn)T坐標(biāo)，有解則是關(guān)聯(lián)點(diǎn)；無解則不是；②關(guān)聯(lián)點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于0，根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律列方程求解即可；（2）根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律得出關(guān)聯(lián)點(diǎn)，列不等式求解即可；（3）根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的變化規(guī)律可知圓心是互相關(guān)聯(lián)點(diǎn)，由點(diǎn)E坐標(biāo)求出點(diǎn)Q坐標(biāo)即可．【詳解】解：在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，點(diǎn)，關(guān)聯(lián)點(diǎn)，將點(diǎn)A、點(diǎn)、點(diǎn)T向下平移個(gè)單位，點(diǎn)T對應(yīng)點(diǎn)與原點(diǎn)重合，此時(shí)點(diǎn)A、點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)、，∵繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90度的坐標(biāo)變化規(guī)律為：點(diǎn)（x，y）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（y，-x）；逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（-y，x），∴繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90度的坐標(biāo)對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為或，即順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，解得：，即關(guān)聯(lián)點(diǎn)，或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，，解得：，即關(guān)聯(lián)點(diǎn)，即：在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，點(diǎn)，關(guān)聯(lián)點(diǎn)坐標(biāo)為或，（1）①由關(guān)聯(lián)點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律可知，點(diǎn)關(guān)于在y軸上點(diǎn)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)坐標(biāo)為：或，若點(diǎn)是關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則或，解得：，即y軸上點(diǎn)或，故點(diǎn)是關(guān)聯(lián)點(diǎn)；若點(diǎn)是關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則或，無解，故點(diǎn)不是關(guān)聯(lián)點(diǎn)；若點(diǎn)是關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則或，無解，故點(diǎn)不是關(guān)聯(lián)點(diǎn)；故答案為：B；②由關(guān)聯(lián)點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律可知，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的坐標(biāo)為或，若，解得：，此時(shí)即點(diǎn)，不在線段上；若，解得：，此時(shí)即點(diǎn)，在線段上；綜上所述：若在線段上存在點(diǎn)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則點(diǎn)故答案為：；（2）設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)是關(guān)于點(diǎn)關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為或，又因?yàn)辄c(diǎn)在一次函數(shù)的圖像上，即：，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)、，當(dāng)∴，∴，∴，或，∴，當(dāng)；綜上所述：當(dāng)或時(shí)，在線段上存在點(diǎn)Q的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．（3）對上的任意一點(diǎn)G，在上總存在點(diǎn)，使得G、兩點(diǎn)互相關(guān)聯(lián)，故點(diǎn)E與點(diǎn)Q也是關(guān)于同一點(diǎn)的關(guān)聯(lián)，設(shè)該點(diǎn)，則設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)是關(guān)于點(diǎn)關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為或，又因?yàn)樵谝淮魏瘮?shù)的圖像上，即：，∵點(diǎn)，若，解得：，即點(diǎn)，若，解得：，即點(diǎn)，綜上所述：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)變換和一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的特征，解題關(guān)鍵是總結(jié)出繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°的點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律，再由規(guī)律列出方程或不等式求解．38．（2021·黑龍江中考真題）如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是一個(gè)單位長度，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，的三個(gè)頂點(diǎn)分別為．

（1）畫出關(guān)于軸對稱的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）畫出繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留）．【答案】（1）圖見詳解，；（2）圖見詳解，；（3）所經(jīng)過的路徑長為．【分析】（1）分別作出點(diǎn)A、B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，然后依次連接即可，最后通過圖象可得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別作出點(diǎn)A、B繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°的點(diǎn)，然后依次連接，最后根據(jù)圖象可得點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）由（2）可先根據(jù)勾股定理求出OB的長，然后根據(jù)弧長計(jì)算公式進(jìn)行求解．【詳解】解：（1）如圖所示：

∴由圖象可得；（2）如圖所示：

∴由圖象可得；（3）由（2）的圖象可得：點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路徑為圓弧，∵，∴點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為．【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、坐標(biāo)與軸對稱及弧長計(jì)算公式，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、坐標(biāo)與軸對稱及弧長計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．39．（2021·黑龍江綏化市·中考真題）如圖所示，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1個(gè)單位長度，把小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，矩形的4個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，連接對角線．

（1）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以原點(diǎn)為位似中心，把縮小，作出它的位似圖形，并且使所作的位似圖形與的相似比等于；（2）將以為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，作出，并求出線段旋轉(zhuǎn)過程中所形成扇形的周長．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；弧長是【分析】（1）根據(jù)位似圖形的定義作圖即可；（定義：如果兩個(gè)圖形不僅相似，而且對應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，這兩個(gè)圖形叫做位似圖形，交點(diǎn)叫做位似中心；）（2）根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的方法：將頂點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線旋轉(zhuǎn)即可得旋轉(zhuǎn)后的圖形；OB旋轉(zhuǎn)后扇形的半徑為OB長度，在坐標(biāo)網(wǎng)格中，根據(jù)直角三角形勾股定理可得OB長度，然后代入扇形弧長公式,同時(shí)加上扇形兩半徑即可求出答案．【詳解】（1）位似圖形如圖所示

（2）作出旋轉(zhuǎn)后圖形，，周長是．【點(diǎn)睛】題目主要考察位似圖形的畫法、旋轉(zhuǎn)圖形畫法、勾股定理及弧長公式的計(jì)算，難點(diǎn)是對定義的理解及對公式的運(yùn)用．40．（2021·江蘇宿遷市·中考真題）已知正方形ABCD與正方形AEFG，正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周．(1)如圖①，連接BG、CF，求的值；(2)當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至圖②位置時(shí)，連接CF、BE，分別去CF、BE的中點(diǎn)M、N，連接MN、試探究：MN與BE的關(guān)系，并說明理由；(3)連接BE、BF，分別取BE、BF的中點(diǎn)N、Q，連接QN，AE=6，請直接寫出線段QN掃過的面積．

【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)聯(lián)想到連接，證明即可求解；（2）由M、N分別是CF、BE的中點(diǎn)，聯(lián)想到中位線，故想到連接BM并延長使BM=MH，連接FH、EH，則可證即可得到，再由四邊形內(nèi)角和為可得，則可證明，即是等腰直角三角形，最后利用中位線的性質(zhì)即可求解；（3）Q、N兩點(diǎn)因旋轉(zhuǎn)位置發(fā)生改變，所以Q、N兩點(diǎn)的軌跡是圓，又Q、N兩點(diǎn)分別是BF、BE中點(diǎn)，所以想到取AB的中點(diǎn)O，結(jié)合三角形中位線和圓環(huán)面積的求解即可解答．【詳解】解：（1）連接四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形分別平分即且都是等腰直角三角形

（2）連接BM并延長使BM=MH，連接FH、EH是CF的中點(diǎn)又在四邊形BEFC中又即即又四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形三角形BEH是等腰直角三角形M、N分別是BH、BE的中點(diǎn)

（3）取AB的中點(diǎn)O，連接OQ、ON，連接AF在中，O、Q分別是AB、BF的中點(diǎn)同理可得所以QN掃過的面積是以O(shè)為圓心，和為半徑的圓環(huán)的面積．

【點(diǎn)睛】本題考察旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形相似、三角形全等、正方形的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)與應(yīng)用和動(dòng)點(diǎn)問題，屬于幾何綜合題，難度較大．解題的關(guān)鍵是通過相關(guān)圖形的性質(zhì)做出輔助線．41．（2021·湖南中考真題）如圖1，在等腰直角三角形中，．點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，．

（1）證明：；（2）如圖2，連接，，交于點(diǎn)．①證明：在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，總有；②若，當(dāng)?shù)拈L度為多少時(shí)，為等腰三角形？【答案】（1）見詳解；（2）①見詳解；②當(dāng)?shù)拈L度為2或時(shí)，為等腰三角形【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AH=AG，∠HAG=90°，從而得∠BAH=∠CAG，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（2）①由，得AH=AG，再證明，進(jìn)而即可得到結(jié)論；②為等腰三角形，分3種情況：（a）當(dāng)∠QAG=∠QGA=45°時(shí)，（b）當(dāng)∠GAQ=∠GQA=67.5°時(shí)，（c）當(dāng)∠AQG=∠AGQ=45°時(shí)，分別畫出圖形求解，即可．【詳解】解：（1）∵線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，∴AH=AG，∠HAG=90°，∵在等腰直角三角形中，，AB=AC，∴∠BAH=90°-∠CAH=∠CAG，∴；（2）①∵在等腰直角三角形中，AB=AC，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，∴AE=AF，是等腰直角三角形，∵AH=AG，∠BAH=∠CAG，∴，∴∠AEH=∠AFG=45°，∴∠HFG=∠AFG+∠AFE=45°+45°=90°，即：；②∵，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，∴AE=AF=2，∵∠AGH=45°，為等腰三角形，分3種情況：（a）當(dāng)∠QAG=∠QGA=45°時(shí)，如圖，則∠HAF=90°-45°=45°，∴AH平分∠EAF，∴點(diǎn)H是EF的中點(diǎn)，∴EH=；（b）當(dāng)∠GAQ=∠GQA=（180°-45°）÷2=67.5°時(shí)，如圖，則∠EAH=∠GAQ=67.5°，∴∠EHA=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠EHA=∠EAH，∴EH=EA=2；（c）當(dāng)∠AQG=∠AGQ=45°時(shí)，點(diǎn)H與點(diǎn)F重合，不符合題意，舍去，綜上所述：當(dāng)?shù)拈L度為2或時(shí)，為等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定定理，根據(jù)題意畫出圖形，進(jìn)行分類討論，是解題的關(guān)鍵．42．（2021·湖南岳陽市·中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，且交線段于點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)．

（1）如圖1，若，則線段與的數(shù)量關(guān)系是________，________；（2）如圖2，在（1）的條件下，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，．①試判斷四邊形的形狀，并說明理由；②求證：；（3）如圖3，若，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，，請直接寫出的值（用含的式子表示）．【答案】（1）；；（2）①正方形，理由見解析；②見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)“斜中半”定理可得，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，從而得出，再結(jié)合題意推出，從而根據(jù)正切函數(shù)的定義求出即可；（2）①通過證明，并綜合條件，推出四邊形是正方形；②首先根據(jù)推出，然后證明得到，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)題意可首先證明四邊形是菱形，然后證明出，即可推出結(jié)論，再作，通過解直角三角形，求出的長度，從而得出結(jié)論．【詳解】（1）∵點(diǎn)為中斜邊的中點(diǎn)，∴，∵線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，∴，∵中，，，∴，∵，∴，∴在中，，故答案為：；；（2）①正方形，理由如下：∵，平分，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴四邊形為矩形，又∵，∴四邊形為正方形；②顯然，在正方形中，，∴，又∵，∴，由（1）得：則為等邊三角形，∴，∵，∴，∴，，又∵，∴，∴，∵，∴在與中，∴，∴，∴；（3）同（2）中①理，，∴，，∵，∴，∴，，∴，，∴四邊形為菱形，∵為等邊三角形，∴，菱形的邊長也為2，由題意，，，∵，∴，即：，∴，∵在菱形中，，∴，∴，如圖，作，∵，∴，，∵，∴，，在中，，∴，∴，在中，，∴，∵，∴．

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)等，綜合性較強(qiáng)，掌握基本圖形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用相似三角形以及銳角三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．43．（2021·湖南衡陽市·中考真題）如圖，點(diǎn)E為正方形外一點(diǎn)，，將繞A點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到的延長線交于H點(diǎn)．（1）試判定四邊形的形狀，并說明理由；（2）已知，求的長．【答案】（1）正方形，理由見解析；（2）17【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠AEB＝∠AFD＝90°，AE＝AF，∠DAF＝∠EAB，由正方形的判定可證四邊形BE'FE是正方形；（2）連接，利用勾股定理可求，再利用勾股定理可求DH的長．【詳解】解：（1）四邊形是正方形，理由如下：根據(jù)旋轉(zhuǎn)：∵四邊形是正方形∴∠DAB=90°

∴∠FAE＝∠DAB=90°∴∴四邊形是矩形，又∵∴矩形是正方形．（2）連接

∵，在中，∵四邊形是正方形∴在中，，又，∴．故答案是17．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．44．（2021·四川達(dá)州市·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，．（1）將以為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的；（2）將平移后得到，若點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的面積【答案】（1）見解析；（2）11【分析】（1）延長至,使得；延長至,使得；延長至,使得；再連接即得旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的；（2）根據(jù)平移的規(guī)律求出，再連接點(diǎn)，得，將三角形分割乘兩個(gè)三角形的面積之和，求出公共邊的長即可求解．【詳解】解：（1）延長至,使得；延長至,使得；延長至,使得；再連接即得旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的，如下圖所示：（2）由題意，，，平移后得到，其中，根據(jù)平移的規(guī)律知，平移過程是向下和向右分別移動(dòng)兩個(gè)單位可得：，再連接點(diǎn)，得，其中交軸于點(diǎn),如上圖所示：由得出直線的方程如下：直線：當(dāng)時(shí)，，，,故．【點(diǎn)睛】本題考查了圖象的旋轉(zhuǎn)和平移，求三角形面積，解題的關(guān)鍵是：掌握圖象旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)，求不規(guī)則三角形面積可以分割為兩個(gè)規(guī)則的三角形面積之和．45．（2021·北京中考真題）如圖，在中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，以點(diǎn)為中心，將線段順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．（1）比較與的大??；用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）過點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1），，理由見詳解；（2），理由見詳解．【分析】（1）由題意及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得，，然后可證，進(jìn)而問題可求解；（2）過點(diǎn)E作EH⊥AB，垂足為點(diǎn)Q，交AB于點(diǎn)H，由（1）可得，，易證，進(jìn)而可得，然后可得，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求證．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∵，∴，∴，∵點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，∴，∵，∴；（2）證明：，理由如下：過點(diǎn)E作EH⊥AB，垂足為點(diǎn)Q，交AB于點(diǎn)H，如圖所示：∴，由（1）可得，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定及等腰三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定及等腰三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．46．（2021·北京中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，對于點(diǎn)和線段，給出如下定義：若將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以得到的弦（分別是的對應(yīng)點(diǎn)），則稱線段是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”．（1）如圖，點(diǎn)的橫?縱坐標(biāo)都是整數(shù)．在線段中，的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”是______________；（2）是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)，其中．若是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，求的值；（3）在中，．若是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出的最小值和最大值，以及相應(yīng)的長．【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)．【分析】（1）以點(diǎn)A為圓心，分別以為半徑畫圓，進(jìn)而觀察是否與有交點(diǎn)即可；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得是等邊三角形，且是的弦，進(jìn)而畫出圖象，則根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解；（3）由是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，則可知都在上，且，然后由題意可根據(jù)圖象來進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）由題意得：通過觀察圖象可得：線段能繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°得到的“關(guān)聯(lián)線段”，都不能繞點(diǎn)A進(jìn)行旋轉(zhuǎn)得到；故答案為；（2）由題意可得：當(dāng)是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”時(shí)，則有是等邊三角形，且邊長也為1，當(dāng)點(diǎn)A在y軸的正半軸上時(shí)，如圖所示：設(shè)與y軸的交點(diǎn)為D，連接，易得軸，∴，∴，，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)A在y軸的正半軸上時(shí)，如圖所示：同理可得此時(shí)的，∴；（3）由是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，則可知都在上，且，則有當(dāng)以為圓心，1為半徑作圓，然后以點(diǎn)A為圓心，2為半徑作圓，即可得到點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖所示：由運(yùn)動(dòng)軌跡可得當(dāng)點(diǎn)A也在上時(shí)為最小，最小值為1，此時(shí)為的直徑，∴，∴，∴；由以上情況可知當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，OA的值為最大，最大值為2，如圖所示：連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)P，∴，設(shè)，則有，∴由勾股定理可得：，即，解得：，∴，∴，在中，，∴；綜上所述：當(dāng)時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)．【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的綜合、圓的基本性質(zhì)、三角函數(shù)及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)、三角函數(shù)及等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．47．（2021·四川資陽市·中考真題）已知，在中，．（1）如圖1，已知點(diǎn)D在邊上，，連結(jié)．試探究與的關(guān)系；（2）如圖2，已知點(diǎn)D在下方，，連結(jié)．若，，，交于點(diǎn)F，求的長；（3）如圖3，已知點(diǎn)D在下方，連結(jié)、、．若，，，，求的值．【答案】（1），理由見詳解；（2）；（3）【分析】（1）由題意易得，則易證，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可求解；（2）過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，由題意易得，，然后可得，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可得，設(shè)，則