專題19 解直角三角形問題【有答案】

專題19解直角三角形問題一、勾股定理和勾股定理逆定理1.勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2=c2。2．勾股定理逆定理：如果三角形三邊長a,b,c滿足a2＋b2=c2。，那么這個三角形是直角三角形。二、直角三角形的判定及性質(zhì)1.直角三角形的判定(1)有一個角等于90°的三角形是直角三角形；(2)兩銳角互余的三角形是直角三角形；(3)兩條邊的平方和等于另一邊的平方的三角形是直角三角形；(4)有一邊上的中線等于這邊的一半的三角形是直角三角形。2.直角三角形的性質(zhì)(1)直角三角形的兩銳角互余；(2)直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；(3)直角三角形中30°角所對直角邊等于斜邊的一半；(4)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。三、各種銳角三角函數(shù)的定義1．正弦：在△ABC中，∠C=90°把銳角A的對邊與斜邊的比值叫做∠A的正弦，記作sinA＝EQ\f(∠A的對邊,斜邊)。2．余弦：在△ABC中，∠C=90°，把銳角A的鄰邊與斜邊比值的叫做∠A的余弦，記作cosA＝EQ\f(∠A的鄰邊,斜邊)。3．正切：在△ABC中，∠C=90°，把銳角A的對邊與鄰邊的比值叫做∠A的正切，記作tanA＝EQ\f(∠A的對邊,∠A的鄰邊)。四、解直角三角形問題類型1．解直角三角形的概念：在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形。2．解直角三角形的理論依據(jù)：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c（1）三邊之間的關(guān)系：（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°（3）邊角之間的關(guān)系：3.解直角三角形類型總結(jié)表格類型已知條件解法兩邊兩直角邊a、bc=，tanA=，∠B=90°-∠A一直角邊a，斜邊cb=，sinA=，∠B=90°-∠A一邊一銳角一直角邊a，銳角A∠B=90°-∠A，b=a·cotA，c=斜邊c，銳角A∠B=90°-∠A，a=c·sinA，b=c·cosA五、特殊值的三角函數(shù)三角函數(shù)0°30°45°60°90°sinα01cosα10tanα01不存在cotα不存在10六、仰角、俯角、坡度1．仰角：視線在水平線上方的角；2．俯角：視線在水平線下方的角。3．坡度(坡比)：坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。把坡面與水平面的夾角記作(叫做坡角)，那么。七、各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系（1）互余關(guān)系sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)（2）平方關(guān)系（3）倒數(shù)關(guān)系tanAtan(90°—A)=1（4）弦切關(guān)系tanA=八、銳角三角函數(shù)的增減性當(dāng)角度在0°~90°之間變化時，（1）正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）（2）余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?）正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?）余切值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅纠}1】（2020?陜西）如圖，在3×3的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，若BD是△ABC的高，則BD的長為（）A．101313 B．91313【答案】D【解析】根據(jù)勾股定理計算AC的長，利用面積差可得三角形ABC的面積，由三角形的面積公式即可得到結(jié)論．由勾股定理得：AC=2∵S△ABC＝3×3-1∴12∴13?BD=7∴BD=【對點練習(xí)】（2020貴州黔西南）如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D在線段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝，則BD的長度為________．【答案】【解析】首先證明DB=AD=2CD，然后再由條件BC=可得答案．解：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，∴∠DAC＝30°，∴CD＝AD．∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，∴∠BAD＝30°，∴BD＝AD，∴BD＝2CD．∵BC＝，∴CD＋2CD＝，∴CD＝，∴DB＝，【點撥】此題主要考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．【例題2】（2020?涼山州）如圖所示，△ABC的頂點在正方形網(wǎng)格的格點上，則tanA的值為（）A．12 B．22 C．2【答案】A【解析】根據(jù)網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形，由勾股定理可求AD、BD，再根據(jù)三角函數(shù)的意義可求出tanA的值．如圖，連接BD，由網(wǎng)格的特點可得，BD⊥AC，AD=22+22=∴tanA=【對點練習(xí)】（2020?揚州）如圖，由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點A、B、C都在格點上，以AB為直徑的圓經(jīng)過點C、D，則sin∠ADC的值為（）A．21313 B．31313【答案】A【解析】首先根據(jù)圓周角定理可知，∠ADC＝∠ABC，然后在Rt△ACB中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出∠ABC的正弦值．如圖，連接BC．∵∠ADC和∠ABC所對的弧長都是AC，∴根據(jù)圓周角定理知，∠ADC＝∠ABC．在Rt△ACB中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義知，sin∠ABC=AC∵AC＝2，BC＝3，∴AB=A∴sin∠ABC=2∴sin∠ADC=2【例題3】（2020?荊門）如圖，海島B在海島A的北偏東30方向，且與海島A相距20海里，一艘漁船從海島B出發(fā)，以5海里/時的速度沿北偏東75°方向航行，同時一艘快艇從海島A出發(fā)，向正東方向航行．2小時后，快艇到達C處，此時漁船恰好到達快艇正北方向的E處．（1）求∠ABE的度數(shù)；（2）求快艇的速度及C，E之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，3≈【答案】見解析?！痉治觥浚?）過點B作BD⊥AC于點D，作BF⊥CE于點E，由平行線的性質(zhì)得出∠ABD＝∠NAB＝30°，求出∠DBE＝105°，則可得出答案；（2）在Rt△BEF中，解直角三角形求出EF，BF，在Rt△ABD中，解直角三角形求出AD，BD，證明四邊形BDCF為矩形，得出DC，F(xiàn)C，求出CE的長，則可得出答案．【解析】（1）過點B作BD⊥AC于點D，作BF⊥CE于點E，由題意得，∠NAB＝30°，∠GBE＝75°，∵AN∥BD，∴∠ABD＝∠NAB＝30°，而∠DBE＝180°﹣∠GBE＝180°﹣75°＝105°，∴∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝30°+105°＝135°；（2）BE＝5×2＝10（海里），在Rt△BEF中，∠EBF＝90°﹣75°＝15°，∴EF＝BE×sin15°≈10×0.26＝2.6（海里），BF＝BE×cos15°≈10×0.97＝9.7（海里），在Rt△ABD中，AB＝20，∠ABD＝30°，∴AD＝AB×sin30°＝20×1BD＝AB×cos30°＝20×32=∵BD⊥AC，BF⊥CE，CE⊥AC，∴∠BDC＝∠DCF＝∠BFC＝90°，∴四邊形BDCF為矩形，∴DC＝BF﹣9.7，F(xiàn)C＝BD＝17.3，∴AC＝AD+DC＝10+9.7＝19.7，CE＝EF+CF＝2.6+17.3＝19.9，設(shè)快艇的速度為v，則v=19.7答：快艇的速度為9.85海里/小時，C，E之間的距離為19.9海里．【對點練習(xí)】（2019?浙江寧波）如圖，某海防哨所O發(fā)現(xiàn)在它的西北方向，距離哨所400米的A處有一艘船向正東方向航行，航行一段時間后到達哨所北偏東60°方向的B處，則此時這艘船與哨所的距離OB約為多少米．（精確到1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）【答案】456【解析】考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角的問題．此題是一道方向角問題，結(jié)合航海中的實際問題，將解直角三角形的相關(guān)知識有機結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實際生活的思想．通過解直角△OAC求得OC的長度，然后通過解直角△OBC求得OB的長度即可．如圖，設(shè)線段AB交y軸于C，在直角△OAC中，∠ACO＝∠CAO＝45°，則AC＝OC．∵OA＝400米，∴OC＝OA?cos45°＝400×＝200（米）．∵在直角△OBC中，∠COB＝60°，OC＝200米，∴OB＝＝＝400≈456（米）故答案是：456．一、選擇題1．（2020?長沙）從一艘船上測得海岸上高為42米的燈塔頂部的仰角為30°時，船離燈塔的水平距離是（）A．423米 B．143米 C．21米 D．42米【答案】A【解析】在直角三角形中，已知角的對邊求鄰邊，可以用正切函數(shù)來解決．根據(jù)題意可得：船離海岸線的距離為42÷tan30°＝423（米）2．（2020?河北）如圖，從筆直的公路l旁一點P出發(fā)，向西走6km到達l；從P出發(fā)向北走6km也到達l．下列說法錯誤的是（）A．從點P向北偏西45°走3km到達l B．公路l的走向是南偏西45° C．公路l的走向是北偏東45° D．從點P向北走3km后，再向西走3km到達l【答案】A【解析】先作出圖形，根據(jù)勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解．如圖，由題意可得△PAB是腰長6km的等腰直角三角形，則AB＝62km，則PC＝32km，則從點P向北偏西45°走32km到達l，選項A錯誤；則公路l的走向是南偏西45°或北偏東45°，選項B，C正確；則從點P向北走3km后，再向西走3km到達l，選項D正確．3．（2020?聊城）如圖，在4×5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，△ABC的頂點都在這些小正方形的頂點上，那么sin∠ACB的值為（）A．355 B．175 C．【答案】D【解析】如圖，過點A作AH⊥BC于H．利用勾股定理求出AC即可解決問題．在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，∴AC=A∴sin∠ACH=4．（2020?重慶）如圖，在距某居民樓AB樓底B點左側(cè)水平距離60m的C點處有一個山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：0.75，山坡坡底C點到坡頂D點的距離CD＝45m，在坡頂D點處測得居民樓樓頂A點的仰角為28°，居民樓AB與山坡CD的剖面在同一平面內(nèi)，則居民樓AB的高度約為（參考數(shù)據(jù)：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（）A．76.9m B．82.1m C．94.8m D．112.6m【答案】B【解析】構(gòu)造直角三角形，利用坡比的意義和直角三角形的邊角關(guān)系，分別計算出DE、EC、BE、DF、AF，進而求出AB．如圖，由題意得，∠ADF＝28°，CD＝45，BC＝60，在Rt△DEC中，∵山坡CD的坡度i＝1：0.75，∴DEEC設(shè)DE＝4x，則EC＝3x，由勾股定理可得CD＝5x，又CD＝45，即5x＝45，∴x＝9，∴EC＝3x＝27，DE＝4x＝36＝FB，∴BE＝BC+EC＝60+27＝87＝DF，在Rt△ADF中，AF＝tan28°×DF≈0.53×87≈46.11，∴AB＝AF+FB＝46.11+36≈82.15．（2020?廣元）規(guī)定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny，給出以下四個結(jié)論：（1）sin（﹣30°）=-（2）cos2x＝cos2x﹣sin2x；（3）cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny；（4）cos15°=6其中正確的結(jié)論的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】根據(jù)題目中所規(guī)定公式，化簡三角函數(shù)，即可判斷結(jié)論．（1）sin(-30°)=-sin30°=-（2）cos2x＝cos（x+x）＝cosxcosx﹣sinxsinx＝cos2x﹣sin2x，故此結(jié)論正確；（3）cos（x﹣y）＝cos[x+（﹣y）]＝cosxcos（﹣y）﹣sinxsin（﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny，故此結(jié)論正確；（4）cos15°＝cos（45°﹣30°）＝cos45°cos30°+sin45°sin30°=2所以正確的結(jié)論有3個.6.（2020貴州黔西南）如圖，某停車場入口的欄桿AB，從水平位置繞點O旋轉(zhuǎn)到A′B′的位置，已知AO的長為4米．若欄桿的旋轉(zhuǎn)角∠AOA′＝α，則欄桿A端升高的高度為（）A.米 B.4sinα米 C.米 D.4cosα米【答案】B【解析】過點A′作A′C⊥AB于點C，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．解：如答圖，過點A′作A′C⊥AB于點C．在Rt△OCA′，sinα＝，所以A′C＝A′O·sinα．由題意得A′O＝AO＝4，所以A′C＝4sinα，因此本題選B．【點撥】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運用銳角三角函數(shù)的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．二、填空題7．（2020?湘潭）計算：sin45°＝．【答案】22【解析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解答．根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得：sin45°=28．（2020?天水）如圖所示，∠AOB是放置在正方形網(wǎng)格中的一個角，則sin∠AOB的值是．【答案】22【解析】如圖，連接AB．證明△OAB是等腰直角三角形即可解決問題．∵OA＝AB=10，OB＝25∴OB2＝OA2+AB2，∴∠OAB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∴sin∠AOB=9．（2020?深圳）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB=12，BOOD=【答案】332【分析】通過作輔助線，得到△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，△ABC∽△DAN，進而得出對應(yīng)邊成比例，再根據(jù)tan∠ACB=12，BOOD=43，得出對應(yīng)邊之間關(guān)系，設(shè)AB＝a，DN＝b，表示【解析】如圖，過點D作DM∥BC，交CA的延長線于點M，延長BA交DM于點N，∵DM∥BC，∴△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，∴ABBC=ANNM=tan∠又∵∠ABC＝∠DAC＝90°，∴∠BAC+∠NAD＝90°，∵∠BAC+∠BCA＝90°，∴∠NAD＝∠BCA，∴△ABC∽△DAN，∴ABBC設(shè)AB＝a，DN＝b，則BC＝2a，NA＝2b，MN＝4b，由BCDM=OBOD=∴4b+b=32即，b=310∴S△ABD10．（2020?菏澤）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D為AB邊的中點，連接CD，若BC＝4，CD＝3，則cos∠DCB的值為．【答案】23【分析】過點D作DE⊥BC，由平行線平分線段定理可得E是BC的中點，再根據(jù)三角函數(shù)的意義，可求出答案．【解析】過點D作DE⊥BC，垂足為E，∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，∴DE∥AC，又∵點D為AB邊的中點，∴BE＝EC=12在Rt△DCE中，cos∠DCB=11．（2020?泰安）如圖，某校教學(xué)樓后面緊鄰著一個山坡，坡上面是一塊平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB長26m，斜坡AB的坡比為12：5．為了減緩坡面，防止山體滑坡，學(xué)校決定對該斜坡進行改造．經(jīng)地質(zhì)人員勘測，當(dāng)坡角不超過50°時，可確保山體不滑坡．如果改造時保持坡腳A不動，則坡頂B沿BC至少向右移m時，才能確保山體不滑坡．（取tan50°＝1.2）【答案】10．【分析】在BC上取點F，使∠FAE＝50°，作FH⊥AD，根據(jù)坡度的概念求出BE、AE，根據(jù)正切的定義求出AH，結(jié)合圖形計算，得到答案．【解析】在BC上取點F，使∠FAE＝50°，過點F作FH⊥AD于H，∵BF∥EH，BE⊥AD，F(xiàn)H⊥AD，∴四邊形BEHF為矩形，∴BF＝EH，BE＝FH，∵斜坡AB的坡比為12：5，∴BEAE設(shè)BE＝12x，則AE＝5x，由勾股定理得，AE2+BE2＝AB2，即（5x）2+（12x）2＝262，解得，x＝2，∴AE＝10，BE＝24，∴FH＝BE＝24，在Rt△FAH中，tan∠FAH=EH∴AH=EH∴BF＝EH＝AH﹣AE＝10，∴坡頂B沿BC至少向右移10m時，才能確保山體不滑坡.12．（2020?棗莊）人字梯為現(xiàn)代家庭常用的工具（如圖）．若AB，AC的長都為2m，當(dāng)α＝50°時，人字梯頂端離地面的高度AD是m．（結(jié)果精確到0.1m，參考依據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【答案】1.5．【解析】在Rt△ADC中，求出AD即可．∵AB＝AC＝2m，AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴AD＝AC?sin50°＝2×0.77≈1.5（m）三、簡答題13.（2020浙江溫州）如圖，在6×4的方格紙ABCD中，請按要求畫格點線段（端點在格點上），且線段的端點均不與點A，B，C，D重合．（1）在圖1中畫格點線段EF，GH各一條，使點E，F(xiàn)，G，H分別落在邊AB，BC，CD，DA上，且EF＝GH，EF不平行GH；（2）在圖2中畫格點線段MN，PQ各一條，使點M，N，P，Q分別落在邊AB，BC，CD，DA上，且PQ＝MN．[來源:Z*xx*k.Com]【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）根據(jù)方格紙的特點,只要在AB與CD邊上的點不對稱就可以得到不平行,再根據(jù)勾股定理確定長度,畫法不唯一.（2）根據(jù)勾股定理分別算出PQ和MN,使得PQ＝MN點即為所求的點.【解析】（1）由EF=GH=,可得圖形如下圖:（2）如圖所示,,.所以,得到:PQ＝MN.【點撥】本題主要考查了利用格點作圖的知識點,利用勾股定理的知識點結(jié)合求解即可.14．（2020?涼山州）如圖，⊙O的半徑為R，其內(nèi)接銳角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別是a、b、c．（1）求證：asin∠A=b（2）若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝43，利用（1）的結(jié)論求AB的長和sin∠B的值．【答案】見解析。【分析】（1）證明：作直徑BE，連接CE，如圖所示：則∠BCE＝90°，∠E＝∠A，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到sinA＝sinE=BCBE=a2R，求得asinA=2R，同理：b（2）由（1）得：ABsinC=BCsinA，得到AB=43×2232=42，2R=4332=8，過【解析】（1）證明：作直徑BE，連接CE，如圖所示：則∠BCE＝90°，∠E＝∠A，∴sinA＝sinE=BC∴asinA=2同理：bsin∠B=2R，csin∠C∴asin∠A=b（2）解：由（1）得：ABsinC即ABsin45°=4∴AB=43×223過B作BH⊥AC于H，∵∠AHB＝∠BHC＝90°，∴AH＝AB?cos60°＝42×12=22，CH=∴AC＝AH+CH＝2（2+∴sin∠B=AC15．（2020?隨州）如圖，某樓房AB頂部有一根天線BE，為了測量天線的高度，在地面上取同一條直線上的三點C，D，A，在點C處測得天線頂端E的仰角為60°，從點C走到點D，測得CD＝5米，從點D測得天線底端B的仰角為45°，已知A，B，E在同一條垂直于地面的直線上，AB＝25米．（1）求A與C之間的距離；（2）求天線BE的高度．（參考數(shù)據(jù)：3≈【答案】見解析?！痉治觥浚?）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出AD＝AB＝25米，則可求出答案；（2）解直角三角形求出AE＝30?tan60°＝303（米），則可求出BE．【解析】（1）由題意得，在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝25米，∵CD＝5米，∴AC＝AD+CD＝25+5＝30（米），即A與C之間的距離是30米；（2）在Rt△ACE中．∠ACE＝60°，AC＝30米，∴AE＝30?tan60°＝303（米），∵AB＝25米，∴BE＝AE﹣AB＝（303-∵3≈∴BE≈1.73×30﹣25＝27米．即天線BE的高度為27米．16．（2020?臨沂）如圖，要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角α般要滿足60°≤α≤75°，現(xiàn)有一架長5.5m的梯子．（1）使用這架梯子最高可以安全攀上多高的墻（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）？（2）當(dāng)梯子底端距離墻面2.2m時，α等于多少度（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）？此時人是否能夠安全使用這架梯子？（參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，sin23.6°≈0.40，cos66.4°≈0.40，tan21.8°≈0.40．）【答案】見解析?！痉治觥浚?）根據(jù)正弦的定義求出AC，得到答案；（2）根據(jù)余弦的定義求出α，根據(jù)題意判斷即可．【解析】（1）由題意得，當(dāng)α＝75°時，這架梯子可以安全攀上最高的墻，在Rt△ABC中，sinα=AC∴AC＝AB?sinα≈5.5×0.97≈5.3，答：使用這架梯子最高可以安全攀上5.3m的墻；（2）在R