華科大數(shù)理方程課件-具有非齊次邊界條件的問題(2014)

12.5具有非齊次邊界條件的問題本節(jié)我們討論帶有非齊次邊界條件的定解問題的求解方法。處理這類問題的基本原則是：無論方程是齊次的還是非齊次的，選取一個(gè)輔助函數(shù)的方法。（也可稱為輔助函數(shù)法）我們以下面的問題為例，說明選取函數(shù)代換通過函數(shù)代換使得對(duì)于新的未知函數(shù)而言，邊界條件為齊次的。2考察定解問題：(80)(81)(79)通過作一函數(shù)變換將邊界條件化為齊次的，為此令(82)并選取輔助函數(shù)使新的未知函數(shù)滿足齊次邊界條件，即(83)由(80)(82)容易看出，要使(83)成立，只要(84)3(80)(81)(79)(82)(84)其實(shí)滿足(84)中兩個(gè)條件的函數(shù)是很多的，為了以后計(jì)算方便起見，通常取為的一次式，即設(shè)由條件(84)確定得4(80)(81)(79)(82)于是可得因此，令(85)則問題(79)-(81)可化成的定解問題5(80)(81)(79)(86)(85)將問題(86)的解代入即得原定解問題問題(79)-(81)的解。6(79)(4)(3)(2)(1)若邊界條件不全是第一類，也可采用類似方法把非齊次邊界條件化成齊次的。我們就下列幾種非齊次邊界條件的情況，分別給出相應(yīng)輔助函數(shù)的表達(dá)式：以上4種輔助函數(shù)的情形對(duì)熱傳導(dǎo)方程同樣適用。7求解下列問題：(87)例1(88)解選取輔助函數(shù)令則問題(87)化成固有函數(shù)法8(89)(88)應(yīng)用固有函數(shù)法求問題(88)的解。為此，設(shè)利用2.4.2節(jié)中推得公式(64)可知再利用2.4.2節(jié)中推得公式(62)可知9再將代入(90)即得把(90)代入(89)可得因此，原問題(87)的解為10特別值得注意的是，對(duì)于給定的定解問題，例如：如果方程中的自由項(xiàng)和邊界條件中的都與自變量無關(guān)，在這種情形下，我們可選取輔助函數(shù)通過函數(shù)代換使方程與邊界條件同時(shí)化成齊次的。11求解下列問題：例2`解設(shè)問題的解為(92`)將(92`)代入問題(91`)中的方程，即得為了將此方程化成齊次的，自然選取滿足(91`)12求解下列問題：例2`解(92`)再把(92`)代入問題(91`)中的定解條件，得為了將的邊界條件為齊次，則滿足(91`)13(94`)(93`)(92`)這樣由代換問題(91`)化為下面兩個(gè)問題：和(91`)14問題(93`)是一個(gè)常微分方程的邊值問題，其解為將求得的代入問題(94`)(93`)(94`)15(94`)問題(93`)是一個(gè)常微分方程的邊值問題，其解為將求得的代入問題(94`)(93`)其級(jí)數(shù)解形式為(94`)其中系數(shù)由初始條件確定。即比較上式兩邊系數(shù)可得17于是，問題(94`)的解為因此，原問題(91`)的解為(94`)18內(nèi)容小結(jié)1.對(duì)一維波動(dòng)方程和熱傳導(dǎo)方程的定解問題而言：當(dāng)方程和邊界條件均為齊次時(shí)，●不管初值條件如何，可直接應(yīng)用分離變量法求解；當(dāng)邊界條件為齊次、●方程與初始條件為非齊次時(shí)，原定解問題分解成兩個(gè)，其一是方程為齊次的并具有原初始條件的定解問題，這個(gè)問題應(yīng)用分離變量法求解；其二是方程為非齊次的并具有零初始條件的定解問題，該問題應(yīng)用固有函數(shù)法求解；19內(nèi)容小結(jié)1.對(duì)一維波動(dòng)方程和熱傳導(dǎo)方程的定解問題而言：當(dāng)邊界條件為非齊次時(shí)，●則必須引進(jìn)輔助函數(shù)把邊界條件化為齊次的，然后再按照以前的方法求解。分離變量法、固有函數(shù)法、作輔助函數(shù)法方程和邊界條件齊次方程非齊次，定解條件齊次邊界條件非齊次202.對(duì)于二維拉普拉斯方程的邊值問題而言：應(yīng)根據(jù)求解區(qū)域的形狀適當(dāng)?shù)倪x取坐標(biāo)系，使得●在此坐標(biāo)系中邊界條件的表達(dá)式最為簡(jiǎn)單，便于求解。內(nèi)容小結(jié)對(duì)圓域、圓環(huán)域、扇形域等采用極坐標(biāo)例如，●對(duì)于像矩形帶形一類的區(qū)域采用直角坐標(biāo)系應(yīng)當(dāng)指出，只有當(dāng)求解區(qū)域很規(guī)則時(shí)，才可以應(yīng)用分離變量法求解拉普拉斯方程的邊值問題。213.對(duì)于二維泊松方程的邊值問題而言：內(nèi)容小結(jié)(P)(P1)思路1將問題(P)的解看成兩部分，令和分別滿足223.對(duì)于二維泊松方程的邊值問題而言：內(nèi)容小結(jié)(P)(P1)(P2)和固有函數(shù)法分離變量法(或試探法)23