第11講 直角三角形全等的判定“斜邊、直角邊”（5種題型）（原卷版）

第11講直角三角形全等的判定“斜邊、直角邊”（5種題型）【知識梳理】一．直角三角形全等的判定——“HL”1、斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作為“HL”公理就是直角三角形獨(dú)有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時應(yīng)該抓住“直角”這個隱含的已知條件．二、判定方法的選擇1.選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見下表：已知條件可選擇的判定方法一邊一角對應(yīng)相等SASAASASA兩角對應(yīng)相等ASAAAS兩邊對應(yīng)相等SASSSS2.如何選擇三角形證全等（1）可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個可能全等的三角形中，可以證這兩個三角形全等；（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個三角形全等；（3）由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個三角形全等，然后證它們?nèi)龋唬?）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.【考點(diǎn)剖析】題型一．用“HL”直接證明直角三角形全等例1.如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，則能直接判斷Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（）A．HL B．ASA C．SAS D．SSS【變式1】．如圖，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需補(bǔ)充條件，就可以根據(jù)“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF．【變式2】（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，四邊形中，，連接對角線，且，點(diǎn)在邊上，連接，過點(diǎn)作，垂足為，若．

(1)求證：；(2)求證：．題型二．用“HL”間接證明直角三角形全等例2．（2022秋?大豐區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，且BD＝CD．試說明BE＝CF．【變式1】（2023春·福建三明·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，是的中點(diǎn)，，，垂足分別是、、且．求證：．

【變式2】根據(jù)題意，先在圖中作出輔助線，再完成下列填空：如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DE所在直線是BC的垂直平分線，點(diǎn)E為垂足，過點(diǎn)D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延長線于N，求證：BM＝CN．證明：連接DB，DC∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AN∴DM＝①（②）∵DE是BC的垂直平分線∴DB＝③（④）在⑤和⑥中∴⑦≌⑧（⑨）∴BM＝CN（⑩）題型三.靈活選用方法證明全等例3．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，、是邊上的點(diǎn)．請從以下三個條件：①；②；③中，選擇一個合適的作為已知條件，使得．

(1)你添加的條件是______（填序號）；(2)添加了條件后，請證明．【變式1】（2022秋·廣西南寧·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上．找出圖中的全等三角形，并選一對證明它們?nèi)龋咀兪?】（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，，垂足為，垂足為．求證：(1)；(2)．題型四．全等三角形綜合應(yīng)用例4.如圖，已知正方形邊長為，動點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，沿著射線的方向運(yùn)動，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿著射線的方向運(yùn)動，連結(jié)，（1）若動點(diǎn)M和P都以每秒的速度運(yùn)動，問t為何值時和全等？（2）若動點(diǎn)P的速度是每秒，動點(diǎn)M的速度是每秒問t為何值時和全等？【變式】在中，，，點(diǎn)D為直線BC上的一個動點(diǎn)（不與B、C重合），連結(jié)AD，將線段AD繞點(diǎn)D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，使點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E，連結(jié)EC．（1）如果點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動，如圖1：求證：（2）如果點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動，請寫出AC與CE的位置關(guān)系．通過觀察、交流，小明形成了以下的解題思路：過點(diǎn)E作交直線BC于F，如圖2所示，通過證明，可推證等腰直角三角形，從而得出AC與CE的位置關(guān)系，請你寫出證明過程．（3）如果點(diǎn)D在線段CB的延長線上運(yùn)動，利用圖3畫圖分析，（2）中的結(jié)論是否仍然成若成立，請證明；若不成立，請說明理由．題型五：尺規(guī)作圖—作直角三角形例5.尺規(guī)作圖題已知：如圖，線段，，直角．求作：，使，，．（注：不寫作法，保留作圖痕跡）

【變式】作圖題（1）如圖，已知線段m，n．求作△ABC，請?jiān)谟颐娴目瞻滋幾鳌鰽BC，作∠ACB=90°，AC=m，AB=n（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）婷婷將（1）中自己畫的△ABC剪下來，放在同桌悅悅所畫的△ABC上，發(fā)現(xiàn)兩三角形完全重合，這一過程驗(yàn)證了三角形全等的哪一種判定定理：（直接寫出答案，不寫過程）．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）在課堂上，陳老師發(fā)給每人一張印有（如圖1）的卡片，然后要求同學(xué)們畫一個，使得．小趙和小劉同學(xué)先畫出了之后，后續(xù)畫圖的主要過程分別如圖所示．

對這兩種畫法的描述中正確的是（

）A．小趙同學(xué)作圖判定的依據(jù)是B．小趙同學(xué)第二步作圖時，用圓規(guī)截取的長度是線段的長C．小劉同學(xué)作圖判定的依據(jù)是D．小劉同學(xué)第一步作圖時，用圓規(guī)截取的長度是線段的長2．（2023春·廣東云浮·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)在上，且，則圖中共有全等三角形（

）

A．2對 B．3對 C．4對 D．5對3．（2023春·廣東佛山·八年級校考期中）如圖，在和中，，，則證明全等于的方法是（

）

A． B． C． D．4．（2023春·廣東茂名·八年級?？计谥校┫铝袟l件，不能判定兩個直角三角形全等的是（）A．兩個銳角對應(yīng)相等 B．斜邊和一直角邊分別對應(yīng)相等C．兩條直角邊分別對應(yīng)相等 D．一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線對應(yīng)相等5．（2023·湖南永州·統(tǒng)考三模）判定三角形全等的方法有（

）①；②；③；④；⑤A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤6．（2022春·七年級單元測試）下列說法中，不正確的個數(shù)有（

）①有一條直角邊和斜邊上的高對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等；②有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等；③有兩邊和第三邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等；④斜邊和斜邊上的中線對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等．A．個 B．個 C．個 D．個7．（2023春·山東泰安·七年級東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，于點(diǎn)，若，則等于（

）

A． B． C． D．8．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）在中，，是上的一點(diǎn)，且，過作交于，如果，則等于（

）A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm9．（2022秋·安徽六安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，則的長是（

）A．2 B．5 C．7 D．910．（2022秋·河北秦皇島·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，已知，求證：．分析問題可知：需添加如圖所示輔助線AD，進(jìn)而證明．下列證明過程中：①取的中點(diǎn)D，連接，證明的依據(jù)是；②作的角平分線，證明的依據(jù)是；③過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，證明的依據(jù)是．其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空題11．（2023秋·八年級課時練習(xí)）如圖，已知，要使用“”證明，應(yīng)添加條件：_______________；要使用“”證明，應(yīng)添加條件：_______________________．12．（2022春·七年級單元測試）如圖，已知，若用判定，只需添加的一個條件是____________．13．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，在中，，P、Q兩點(diǎn)分別在和過點(diǎn)A且垂直于的射線上運(yùn)動，要使和全等，則______．14．（2023秋·八年級單元測試）如圖，，請你再添加一個條件，使，你添加的條件是_______．15．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，于點(diǎn)D，于點(diǎn)，且．若要根據(jù)證明，則還應(yīng)添加的條件是______．16．（2023春·山西臨汾·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，垂足為D，E為外一點(diǎn)，連接，且，．若，則的長為_______．

17．（2023春·甘肅酒泉·八年級校聯(lián)考期中）如圖，點(diǎn)D，A，E在直線l上，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，且．若，則________．18．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)在上，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，．若，則________________．三、解答題19．（2021秋·廣東河源·八年級?？计谀┏咭?guī)作圖：如圖，作一個直角三角形ABC，使其兩條直角邊分別等于已知線段m，n．（保留作圖痕跡，不寫作法）20．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，四邊形中，，，，，與相交于點(diǎn)F．(1)求證：(2)判斷線段與的位置關(guān)系，并說明理由．21．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，、、、四點(diǎn)共線，，，，求證：．

22．（2022秋·八年級單元測試）有一塊等腰三角形木板，其中（如圖），王師傅準(zhǔn)備把它分成全等的兩部分，小明和小剛分別設(shè)計了兩種方案：（1）小明：確定BC的中點(diǎn)D，連結(jié)（如圖1）．（2）小剛：