一級(jí)倒立擺系統(tǒng)最優(yōu)控制

摘要倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)典型的快速、多變量、非線性、不穩(wěn)定系統(tǒng)，許多抽象的控制理論概念都可以通過(guò)倒立擺實(shí)驗(yàn)直觀的表現(xiàn)出來(lái)。因此，倒立擺系統(tǒng)經(jīng)常被用來(lái)檢驗(yàn)控制策略的實(shí)際效果。應(yīng)用上，倒立擺廣泛應(yīng)用于航空航天控制、機(jī)器人，雜項(xiàng)頂桿表演等領(lǐng)域，研究倒立擺的精確控制對(duì)工業(yè)復(fù)雜對(duì)象的控制也有著重要的工程應(yīng)用價(jià)值。本文以固高公司生產(chǎn)的GIP-100-L型一階倒立擺系統(tǒng)為研究對(duì)象，對(duì)直線一級(jí)倒立擺模型進(jìn)行了建模，控制算法的仿真比照，并得出了相應(yīng)的結(jié)論。文中介紹了倒立擺的分類、特性、控制目標(biāo)、控制方法等以及倒立擺控制研究的開(kāi)展及其現(xiàn)狀。利用牛頓力學(xué)方法推到了直線以及倒立擺的動(dòng)力學(xué)模型，求出其傳遞函數(shù)及其狀態(tài)空間方程。在建立了系統(tǒng)模型的根底下，本文還研究了倒立擺系統(tǒng)的線性二次型最優(yōu)控制問(wèn)題，并且使用了MATLAB軟件進(jìn)行仿真，通過(guò)改變LQR模塊及狀態(tài)空間模塊中的參數(shù)，在仿真中取得了不同的控制效果，最終得到了最好的控制效果。關(guān)鍵字：一級(jí)倒立擺線性系統(tǒng)、數(shù)學(xué)建模、最優(yōu)控制、LQR、仿真目錄TOC\o"1-2"\h\u10031一階倒立擺的概述1204461.1倒立擺的起源與國(guó)內(nèi)外開(kāi)展現(xiàn)狀133681.2倒立擺系統(tǒng)的組成1149881.3倒立擺的分類：1274471.4倒立擺的控制方法：244442．一階倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立336952.1概述3166132.2數(shù)學(xué)模型的建立49972.4實(shí)際參數(shù)代入：5259633．定量、定性分析系統(tǒng)的性能7215543.1對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析7217673.2對(duì)系統(tǒng)的能空性和能觀測(cè)性進(jìn)行分析：855034．線性二次型最優(yōu)控制設(shè)計(jì)9194234.1線性二次最優(yōu)控制簡(jiǎn)介9162174.2直線一級(jí)倒立擺LQR控制算法10264394.3最優(yōu)控制MATLAB仿真1821976總結(jié)2120236參考文獻(xiàn)221一階倒立擺的概述1.1倒立擺的起源與國(guó)內(nèi)外開(kāi)展現(xiàn)狀倒立擺的最初研究開(kāi)始于二十世紀(jì)五十年代，麻省理工學(xué)院的控制理論專家根據(jù)火箭助推器原理設(shè)計(jì)出來(lái)一級(jí)倒立擺實(shí)驗(yàn)設(shè)備。倒立擺作為一個(gè)典型的不穩(wěn)定，嚴(yán)重非線性例證被正式提出于二十世紀(jì)六十年代后期。國(guó)內(nèi)，在倒立擺系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)先后出現(xiàn)了多種控制算法。用狀態(tài)空間法設(shè)計(jì)的比例微分控制器來(lái)實(shí)現(xiàn)單機(jī)倒立擺的穩(wěn)定控制；利用最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器實(shí)現(xiàn)雙電機(jī)三集倒立擺實(shí)物控制；用變結(jié)構(gòu)方法實(shí)現(xiàn)倒立擺的控制。用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自學(xué)習(xí)模糊控制器的輸入輸出的比照，引起其他學(xué)者的關(guān)注，之后不斷出現(xiàn)實(shí)時(shí)學(xué)習(xí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法來(lái)控制倒立擺。圖1一級(jí)倒立擺1.2倒立擺系統(tǒng)的組成倒立擺系統(tǒng)由計(jì)算機(jī)，運(yùn)動(dòng)控制卡，伺服機(jī)構(gòu)，傳感器和倒立擺本體五局部構(gòu)成。1.3倒立擺的分類：1，根據(jù)擺桿數(shù)目的不同，可以把倒立擺分為一級(jí)，二級(jí)和三級(jí)倒立擺等2，根據(jù)擺桿間連接形式不同，可以把倒立擺系統(tǒng)分為并聯(lián)式倒立擺和串聯(lián)式倒立擺；3根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌道的不同，可以把倒立擺系統(tǒng)分為傾斜軌道倒立擺和水平軌道倒立擺；4根據(jù)控制電機(jī)的不同，可以把倒立擺分為多電機(jī)倒立擺和單電機(jī)倒立擺5根據(jù)擺桿與小車(chē)的連接方式不同，可以把倒立擺分為剛性擺和柔性擺6根據(jù)運(yùn)動(dòng)方式不同，可以把倒立擺分為平面倒立擺，直線倒立擺和旋轉(zhuǎn)倒立擺。1.4倒立擺的控制方法：1〕PID控制：該方法出現(xiàn)的最早，首先是對(duì)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行力學(xué)分析，并在牛頓定律根底上得到運(yùn)動(dòng)方程，然后在平衡點(diǎn)附近對(duì)其進(jìn)行線性化求出傳遞函數(shù)，最后在要求系統(tǒng)的特征方程應(yīng)有全部左半平面的根的條件下，設(shè)計(jì)閉環(huán)系統(tǒng)控制器。2〕狀態(tài)反應(yīng)控制：極點(diǎn)配置法是在動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性都滿足的條件下，將多變量閉環(huán)倒立擺系統(tǒng)極點(diǎn)配置在期望的位置上，來(lái)設(shè)計(jì)狀態(tài)反應(yīng)控制器3〕線性二次型最優(yōu)控制〔LQR〕LQR最優(yōu)控制是通過(guò)尋找最正確狀態(tài)反應(yīng)控制規(guī)律使期望的性能指標(biāo)到達(dá)最小。2．一階倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立2.1概述倒立擺系統(tǒng)其本身是自不穩(wěn)定系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)建模存在一些問(wèn)題和困難，在忽略掉一些次要的因素后，倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)典型的運(yùn)動(dòng)的剛體系統(tǒng)，可以再慣性坐標(biāo)系中運(yùn)用經(jīng)典力學(xué)對(duì)它進(jìn)行分析，來(lái)建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程。在忽略掉了空氣阻力和各種摩擦力之后，可以講一階倒立擺系統(tǒng)抽象成小車(chē)和均勻桿組成的系統(tǒng)，一階倒立擺系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖如下：圖2一階倒立擺系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖定義的參數(shù)為：小車(chē)質(zhì)量擺桿質(zhì)量小車(chē)摩擦系數(shù)擺桿慣量u加在小車(chē)上的力小車(chē)位置擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度擺桿與垂直向下方向的夾角〔擺桿初始位置為豎直向下〕得到小車(chē)和擺桿的受力圖：圖3小車(chē)和擺桿的受力圖2.2數(shù)學(xué)模型的建立根據(jù)牛頓第二定律對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析可以得出式〔1〕求導(dǎo)可得式〔2〕整理可得式〔3〕又對(duì)系統(tǒng)的力矩進(jìn)行分析，由力矩平衡可得式〔4〕求導(dǎo)整理可得式〔5〕因?yàn)榉匠虨榉蔷€性方程，需做線性化處理。由于控制的目的是保持倒擺直立，因此在施加適宜u的條件下，可認(rèn)為、均接近零，此、，且可忽略和項(xiàng)，于是可得式〔6〕聯(lián)立方程并化簡(jiǎn)有式〔7〕式〔8〕令式〔9〕選取小車(chē)的位移及速度、倒擺的角位置及其角速度作為狀態(tài)變量，為輸出變量病考慮恒等式，可列出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為2.4實(shí)際參數(shù)代入：GIP-100-L型一階倒立擺系統(tǒng)，系統(tǒng)內(nèi)部各相關(guān)參數(shù)為：小車(chē)質(zhì)量0.5Kg；擺桿質(zhì)量0.2Kg；小車(chē)摩擦系數(shù)0.1N/m/sec；擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度0.3m；擺桿慣量0.006kg*m*m；采樣時(shí)間0.005秒；G=9.8N/m。將上述參數(shù)代入得實(shí)際模型：3．定量、定性分析系統(tǒng)的性能3.1對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析根據(jù)零極點(diǎn)在復(fù)平面的分布情況可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，假設(shè)系統(tǒng)的零極點(diǎn)在右辦平面存在，那么系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。在MATLAB中運(yùn)行以下程序：A=[0100;0-0.18182.67270;0001;0-0.454531.18180];B=[01.818204.5455]';C=[1000;0010];D=[00]';[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D)impulse(A,B,C,D)z=-4.94980.00004.94980.0000p=0-5.6041-0.14285.5651k=1.81824.5455圖四、系統(tǒng)位移的角度脈沖響應(yīng)由圖可得，系統(tǒng)在單位脈沖的輸入作用下，小車(chē)的位移和擺桿的角度都是發(fā)散的，同時(shí)，由以上程序的零極點(diǎn)得極點(diǎn)有一個(gè)大于零，因此系統(tǒng)不穩(wěn)定。3.2對(duì)系統(tǒng)的能空性和能觀測(cè)性進(jìn)行分析：A=[0100;0-0.18182.67270;0001;0-0.454531.18180];B=[01.818204.5455]';C=[1000;0010];D=0;Qc=ctrb(A,B);Qo=obsv(A,C);rank(Qc)rank(Qo)ans=4ans=4因此系統(tǒng)為完全能觀測(cè)和完全能控的。4線性二次型最優(yōu)控制設(shè)計(jì)4.1線性二次最優(yōu)控制簡(jiǎn)介最優(yōu)控制理論是現(xiàn)代控制理論中的重要內(nèi)容，近幾十年的研究與應(yīng)用使最優(yōu)控制理論成為現(xiàn)代控制中的一大分支。由于計(jì)算機(jī)的開(kāi)展已使過(guò)去認(rèn)為不能實(shí)現(xiàn)的計(jì)算成為很容易的事情，所以最優(yōu)控制的思想和方法已在工程技術(shù)實(shí)踐中得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。應(yīng)用最優(yōu)控制理論和方法可以在嚴(yán)密的數(shù)學(xué)根底上找出滿足一定性能優(yōu)化要求的系統(tǒng)最優(yōu)控制規(guī)律。現(xiàn)代控制理論最突出的特點(diǎn)是將控制對(duì)象用狀態(tài)時(shí)間表達(dá)式的形式表示出來(lái)，這樣便于對(duì)多輸入多輸出系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)。最優(yōu)控制主要是通過(guò)對(duì)性能指標(biāo)的優(yōu)化尋找可以使目標(biāo)極小的控制器。如果系統(tǒng)是線性的，性能泛函是狀態(tài)變量或控制量的二次型函數(shù)的積分，那么這樣的最優(yōu)控制問(wèn)題稱為線性二次型最優(yōu)控制問(wèn)題。線性二次型最優(yōu)控制算法是現(xiàn)代控制理論中的一種重要的、根本的方法。線性二次型性能指標(biāo)易于分析。處理和計(jì)算，而且通過(guò)線性二次型最優(yōu)設(shè)計(jì)方法得到的系統(tǒng)控制方法，具有較好的魯棒性與動(dòng)態(tài)特性以及能夠獲得線性反應(yīng)結(jié)構(gòu)等優(yōu)點(diǎn)，因此在實(shí)際的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中得到了廣泛的應(yīng)用。LQR算法的目的是在一定性能指標(biāo)下，使系統(tǒng)的控制效果最正確，即利用最少的控制能量來(lái)到達(dá)最小的狀態(tài)誤差。被控系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：式〔10〕尋找一個(gè)狀態(tài)反應(yīng)控制率，使得如下指標(biāo)到達(dá)最小值式〔11〕式中Q和R分別是X和u的加權(quán)矩陣，用來(lái)平衡狀態(tài)向量和輸入向量的權(quán)重，確定了誤差和能量損耗的相對(duì)重要性；Q為半正定陣，R為正定陣。假設(shè)控制向量是無(wú)約束的，根據(jù)最優(yōu)控制理論，可以得到最優(yōu)控制率為：式〔12〕式中，K為最優(yōu)反應(yīng)增益矩陣，P為常數(shù)正定矩陣，且P必須滿足黎卡提代數(shù)方程：式〔13〕因此，系統(tǒng)的設(shè)計(jì)歸結(jié)于對(duì)黎卡提方程的求解，獲得P，進(jìn)而求出最有反應(yīng)增益矩陣K。4.2直線一級(jí)倒立擺LQR控制算法Q,R分別用來(lái)對(duì)狀態(tài)向量x，控制向量u引起的性能度量的相對(duì)重要性進(jìn)行加權(quán)。在實(shí)際運(yùn)算中我們運(yùn)用Matlab控制系統(tǒng)工具箱中的“l(fā)qr〞函數(shù)直接進(jìn)行運(yùn)算。利用lqr函數(shù)，我們需要提供兩個(gè)權(quán)值矩陣：Q、R。通常我們?nèi)=1，而對(duì)于Q我們只能通過(guò)不斷的湊取來(lái)得到。Q的第一次取值Q=diag([1,0,1,0])源代碼如下：A=[0100;0-0.18182.67270;0001;0-0.454531.18180];B=[01.818204.5455]';C=[1000;0010];D=0;Q=diag([1,0,1,0]);R=[1];[K,P,e]=lqr(A,B,Q,R)Ac=A-B*K;Bc=B;Cc=C;Dc=D;T=0:0.02:6;U=ones(size(T));[Y,X]=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T);plot(T,Y(:,1),'.-',T,Y(:,2));xlabel('Time(sec)');ylabel('Response');grid;legend('cart','pendulum')K=-1.0000-1.656718.68523.4594P=1.55671.2067-3.4594-0.70271.20671.4554-4.6826-0.9466-3.4594-4.682631.63155.9838-0.7027-0.94665.98381.1397e=-0.8494+0.8323i-0.8494-0.8323i-5.5978+0.4070i-5.5978-0.4070i圖5LQR選擇試湊因?yàn)榇舜稳≈嫡{(diào)節(jié)時(shí)間為3.5秒過(guò)久，不滿足性能要求。因此不滿意，再次對(duì)Q取值：Q=diag([100,0,100,0])源代碼如下：A=[0100;0-0.18182.67270;0001;0-0.454531.18180];B=[01.818204.5455]';C=[1000;0010];D=0;Q=diag([100,0,100,0]);R=[1];[K,P,e]=lqr(A,B,Q,R)Ac=A-B*K;Bc=B;Cc=C;Dc=D;T=0:0.02:6;U=ones(size(T));[Y,X]=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T);plot(T,Y(:,1),'.-',T,Y(:,2));xlabel('Time(sec)');ylabel('Response');grid;legend('cart','pendulum')K=-10.0000-8.028437.65647.0198P=79.284131.4249-70.1978-14.769931.424917.6819-40.8858-8.8390-70.1978-40.8858129.561724.6386-14.7699-8.839024.63865.0799e=-6.5028+3.6216i-6.5028-3.6216i-2.2437+1.7339i-2.2437-1.7339i圖6LQR選擇試湊此次取值θ滿足要求，x的調(diào)節(jié)時(shí)間還是過(guò)久，而且系統(tǒng)的穩(wěn)定性能也不滿足性能要求。因此需要再次取值。

Q=diag([1000,0,100,0])源代碼如下A=[0100;0-0.18182.67270;0001;0-0.454531.18180];B=[01.818204.5455]';C=[1000;0010];D=0;Q=diag([1000,0,100,0]);R=[1];[K,P,e]=lqr(A,B,Q,R)Ac=A-B*K;Bc=B;Cc=C;Dc=D;T=0:0.02:6;U=ones(size(T));[Y,X]=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T);plot(T,Y(:,1),'.-',T,Y(:,2));xlabel('Time(sec)');ylabel('Response');grid;legend('cart','pendulum')K=-31.6228-19.244363.648812.3949P=605.3955183.2469-391.9623-80.2557183.246970.8708-157.0365-32.5820-391.9623-157.0365384.590576.8172-80.2557-32.582076.817215.7597e=-6.5861+5.2115i-6.5861-5.2115i-4.1804+1.5795i-4.1804-1.5795i圖7LQR選取試湊因?yàn)槲灰苮的穩(wěn)態(tài)誤差超過(guò)了要求，需要增大控制位移x的權(quán)重，再次對(duì)Q取值Q=diag([5000,0,100,0])源代碼如下A=[0100;0-0.18182.67270;0001;0-0.454531.18180];B=[01.818204.5455]';C=[1000;0010];D=0;Q=diag([5000,0,100,0]);R=[1];[K,P,e]=lqr(A,B,Q,R)Ac=A-B*K;Bc=B;Cc=C;Dc=D;T=0:0.02:6;U=ones(size(T));[Y,X]=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T);plot(T,Y(:,1),'.-',T,Y(:,2));xlabel('Time(sec)');ylabel('Response');grid;legend('cart','pendulum')K=-70.7107-37.8344105.529520.9238P=1.0e+003*2.66820.7119-1.4795-0.30030.71190.2289-0.4892-0.0999-1.4795-0.48921.08580.2189-0.3003-0.09990.21890.0446e=-8.4910+7.9283i-8.4910-7.9283i-4.7592+0.8309i-4.7592-0.8309i圖8LQR選取試湊此次對(duì)Q的取值滿足系統(tǒng)的性能要求，由此可取Q=diag([5000,0,100,0])4.3最優(yōu)控制MATLAB仿真MATLAB軟件是目前國(guó)際上最流行、應(yīng)用最廣泛的科學(xué)與工程計(jì)算軟件，具有高級(jí)的數(shù)學(xué)分析和運(yùn)算能力，可以如上編寫(xiě)MATLAB程序計(jì)算倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)反應(yīng)增益K。同時(shí)還具有強(qiáng)大的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的分析和仿真能力。以下是用MATLAB軟件中SIMULINK工具箱設(shè)計(jì)仿真一級(jí)倒立擺系統(tǒng)。應(yīng)用MATLAB中的SIMULINK設(shè)計(jì)一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的放在仿真模型如下圖：