2024屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第三章三角函數(shù)解三角形第八講解三角形應(yīng)用舉例課件

第八講解三角形應(yīng)用舉例課標(biāo)要求考情分析能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題1.本節(jié)復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)聯(lián)系生活實(shí)例，體會(huì)建模，掌握運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問題的基本方法.2.加強(qiáng)解三角形及解三角形的實(shí)際應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力，這也是近幾年高考的熱點(diǎn)之一術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與 俯角在目標(biāo)視線與水平視線所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角測(cè)量中的有關(guān)術(shù)語術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針方向到目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角.方位角θ的范圍是0°≤θ<360°

(續(xù)表)術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)α例：(1)北偏東α：(2)南偏西α：(續(xù)表)【名師點(diǎn)睛】易混淆方位角與方向角的概念

(1)方位角是指北方向線按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角，而方向角是正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角.(2)“方位角”與“方向角”的范圍：方位角大小的范圍是[0°，360°)，方向角大小的范圍是[0°，90°).考點(diǎn)一距離問題

[例1](2021年寧德市質(zhì)檢)海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被譽(yù)為“地球給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上已知最深的海洋藍(lán)洞.若要測(cè)量如圖3-8-1所示的海洋藍(lán)洞的口徑(即A，B兩點(diǎn)間的距離)，現(xiàn)取兩點(diǎn)C，D，測(cè)得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，圖3-8-1則圖中海洋藍(lán)洞的口徑為________.

解析：由已知得，在△ACD中，∠DCA＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，【題后反思】求距離問題的兩個(gè)注意事項(xiàng)

(1)選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知，則直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解.(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理.

【變式訓(xùn)練】

(2022年福州市模擬)為測(cè)量兩塔塔尖之間的距離，某數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)小組構(gòu)建了如圖3-8-2所示的幾何模型.若MA⊥平面ABC，圖3-8-2又△MNC中，∠MCN＝150°，答案：B

考點(diǎn)二測(cè)量高度問題

[例2](2023年西安市期中)如圖3-8-3，甲、乙兩名學(xué)生決定利用解三角形的相關(guān)知識(shí)估算一下友誼大廈的高度.甲同學(xué)在點(diǎn)A處測(cè)得友誼大廈頂端C的仰角是63.435°，隨后，他沿著某一方向直行140m后到達(dá)點(diǎn)B，測(cè)得友誼大廈頂端C的仰角為45°，乙同學(xué)站在友誼大廈底端的點(diǎn)D，測(cè)量發(fā)現(xiàn)甲同學(xué)在移動(dòng)的過程中，∠ADB恰好為60°，若甲、乙兩名同學(xué)始終在同一水平面上，則友誼大廈的高度大約是(參考數(shù)據(jù)：tan63.435°≈2)(

)圖3-8-3A.270mC.290m

B.280mD.300m解析：如圖3-8-4所示，設(shè)友誼大廈的高度為h，

圖3-8-4答案：B【反思感悟】

(1)在處理有關(guān)高度問題時(shí)，要理解仰角、俯角(它們是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它們是在水平面上所成的角)是關(guān)鍵. (2)在實(shí)際問題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯(cuò).(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.

【變式訓(xùn)練】

(2023年鎮(zhèn)江市期中)云臺(tái)閣，位于云臺(tái)山北峰，屬于鎮(zhèn)江西津渡景區(qū)，其建筑形式具有宋、元古建筑特征.如圖3-8-5，小明同學(xué)為測(cè)量云臺(tái)閣的高度，在云臺(tái)閣的正東方向找到一座建筑物AB，高為12m，在它們的地面上的點(diǎn)M(B，M，D三點(diǎn)共線)測(cè)得樓頂A，云臺(tái)閣頂部C的仰角分別為15°和60°，在樓頂A處測(cè)得云臺(tái)閣頂部C的仰角為30°，則小明估算云臺(tái)閣的高度為(

)圖3-8-5A.42mB.45mC.51mD.57m答案：D考點(diǎn)三測(cè)量角度問題

[例3]在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，相距12nmile的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10nmile的速度沿南偏東75°方向前進(jìn)，若紅方偵察艇以每小時(shí)14nmile的速度，沿北偏東45°＋α方向攔截藍(lán)方的小艇，若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角α的正弦值.解：如圖3-8-6，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過x小時(shí)后在C處追上藍(lán)方的小艇，圖3-8-6則AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根據(jù)余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240x

cos120°，解得x＝2.故AC＝28nmile，BC＝20nmile.【反思感悟】

(1)測(cè)量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實(shí)際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解. (2)方向角是相對(duì)于某點(diǎn)而言的，因此在確定方向角時(shí)，必須先弄清楚是哪一個(gè)點(diǎn)的方向角.

【變式訓(xùn)練】

如圖3-8-7，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m，50m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角∠CAD等于()圖3-8-7A.30°B.45°C.60°D.75°答案：B⊙解三角形中的綜合問題【反思感悟