數學選擇性必修第一冊bsd版6 3

3.2離散型隨機變量的方差成套的課件成套的教案成套的試題盡在高中數學同步資源大全QQ群483122854聯系QQ309000116加入百度網盤群2500G一線老師必備資料一鍵轉存，自動更新，一勞永逸新知初探·課前預習題型探究·課堂解透新知初探·課前預習

Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnE(X－EX)2

2．特征：隨機變量的方差DX和標準差σX都反映了隨機變量的取值偏離于均值的平均程度，方差(標準差)________，則隨機變量偏離于均值的平均程度越?。环粗?，方差(標準差)________，則隨機變量的取值越分散．狀元隨筆隨機變量的方差是常數，而樣本的方差是隨著樣本的不同而變化的，因此樣本的方差是隨機變量．對于簡單隨機樣本，隨著樣本容量的增加，樣本的方差越來越接近于總體的方差．因此，我們常用樣本的方差來估計總體的方差．越小越大[基礎自測]1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)離散型隨機變量的方差越大，隨機變量越穩(wěn)定．(

)(2)若a是常數，則Da＝0.(

)(3)隨機變量的方差即為總體方差，不隨抽樣樣本的不同而不同．(

)(4)標準差與隨機變量本身有相同的單位．(

)×√√√2．有甲、乙兩種水稻，測得每種水稻各10株的分蘗數據，計算出樣本方差分別為DX甲＝11，DX乙＝3.4.由此可以估計(

)A．甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊B．乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊C．甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度相同D．甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度不能比較解析：因為D(X甲)>D(X乙)，所以乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊．故選B.答案：B3．已知X的分布列為則DX等于(

)A．0.7

B．0.61

C．－0.3

D．0X－101P0.50.30.2解析：EX＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，DX＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61.答案：B

題型探究·課堂解透題型一已知分布列求方差(標準差)例1

(1)下表是隨機變量X的分布列，其中a，b，c成等比數列，a＋2c＝3b，且a，b，c互不相等，則DX＝________．X－102Pabc

X－102P

(2)已知X的分布列為

求X的方差及標準差．X010205060P

方法歸納分布列含有參數的，先根據題設條件及分布列的性質求參數，再由均值的定義求均值，最后根據方差(標準差)的定義求解即可．

答案：B

(2)根據以往的經驗，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對工期的影響如下表所示．歷史氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300，700，900的概率分別為0.3，0.7，0.9，則工期延誤天數Y的方差為________．降水量XX<300300≤X<700700≤X<900X≥900工期延誤天數Y02610答案：9.8解析：由題意得，P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.所以隨機變量Y的分布列為故EY＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3，DY＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延誤天數Y的方差為9.8.Y02610P0.30.40.20.1題型二求離散型隨機變量的方差(標準差)例2

已知袋中有20個大小相同的球，其中標數字0的有10個，標數字n(n＝1，2，3，4)的有n個．現從袋中任取一球，隨機變量X表示所取球上標的數字，求X的方差、標準差．

X01234P

狀元隨筆已知標數字n的有n個，即標數字1的有1個、標數字2的有2個，標數字3的有3個，標數字4的有4個，從而可以明確隨機變量X的取值及各個取值對應的概率，進而寫出X的分布列、求出X的均值，即可求得X的方差、標準差．

跟蹤訓練2

有三張形狀、大小、質地完全一致的卡片，在每張卡片上寫上0，1，2，現從中任意抽取一張，將其上數字記作x，然后放回，再抽取一張，其上數字記作y，令X＝x·y.求：(1)X所取各值的概率；(2)隨機變量X的均值與方差．

X0124P題型三均值、方差的綜合應用例3

有甲、乙兩個建材廠，都想投標參加某重點工程，為了對重點工程負責，政府到兩建材廠抽樣檢查，從中各取等量的樣品檢查它們的抗拉強度，抗拉強度的分布列分別如下：ξ110120125130135P0.10.20.40.10.2η100115125130145P0.10.20.40.10.2其中ξ和η分別表示甲、乙建材廠材料的抗拉強度，在使用時要求抗拉強度不低于120，那么哪個建材廠的材料穩(wěn)定性較好？

先計算出Eξ和Eη，比較兩種材料抗拉強度的均值，再計算出Dξ和Dη，比較兩種材料的穩(wěn)定性．解析：由題意可得，Eξ＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，Eη＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，Dξ＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，Dη＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165，由于Eξ＝Eη，而Dξ<Dη，故甲廠的材料穩(wěn)定性較好．方法歸納在衡量隨機變量的實際決策問題中，一般先計算均值，比較隨機變量平均水平的高低，再計算方差，比較隨機變量取值的穩(wěn)定性．跟蹤訓練3

為選拔奧運會射擊選手，對甲、乙兩名射手進行選拔測試．已知甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個相互獨立的隨機變量ξ，η，甲、乙兩名射手在每次射擊中擊中的環(huán)數均大于6環(huán)，且甲射中10，9，8，7環(huán)的概率分別為0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8環(huán)的概率分別為0.3，0.3，0.2.(1)求ξ，η的分布列．(2)求ξ，η的數學期望與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術并從中選拔一人．解析：(1)依題意，0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.因為乙射中10，9，8環(huán)的概率分別為0.3，0.3，0.2，所以乙射中7環(huán)的概率為1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分別為ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)由(1)可得Eξ＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2(環(huán))；Eη＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7(環(huán))；Dξ＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；Dη＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于Eξ>Eη，說明甲平均射中的環(huán)數比乙高；又因為Dξ<Dη，說明甲射中的環(huán)數比乙集中，比較穩(wěn)定．所以，甲比乙的技術好，故應選拔甲射手參加奧運會．[課堂十分鐘]1．已知離散型隨機變量X的概率分布列為則其方差DX＝(

)A.1B．0.6C.2.44D．2.4X135P0.5m0.2解析：∵分布列中出現的所有的概率之和等于1，∴0.5＋m＋0.2＝1解得m＝0.3所以EX＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，所以DX＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.故選C.答案：C2．在某公司的一次投標工作中，中標可以獲利12萬元，沒有中標損失成本費0.5萬元．若中標的概率為0.6，設公司盈利為X萬元，則DX＝(

)A.7B．31.9C.37.5D．42.5

答案：C

X024Pa

答案：D4．若某事件在一次試驗中發(fā)生次數的方差等于0.25，則該事件在一次試驗中發(fā)生的概率為________．解析：設事件在一次試驗中發(fā)生的概率為p，由題意知，事件在一次試驗中發(fā)生的次數X服從兩點分布，即X01P1－pp∴EX＝p.∴DX＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2×p＝p(1－p)＝0.25解得p＝0.5.答案：0.55．甲、乙兩個野生動物保護區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動物的種類和數量也大致相等．兩個保護區(qū)內每個季度發(fā)現違反保護條例的事件次數的分布列分別為：甲保護區(qū)：X0123P0.30.30.20.2乙保護區(qū)：Y012P0.10.50.4試評定這兩個保護區(qū)的管理水平．解析：甲保護區(qū)的違規(guī)次數X的數學期望和方差分別為：EX＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；DX＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0