函數(shù)極限的定義

第三節(jié)函數(shù)極限的定義2021/5/91一、函數(shù)在有限點(diǎn)處的極限

在上節(jié)中，我們討論了數(shù)列的極限.而我們又知道數(shù)列是一種特殊的函數(shù)——定義在正整數(shù)集上的函數(shù).那么一般函數(shù)的極限又應(yīng)該如何定義呢？這一節(jié)我們將全面引入函數(shù)極限的定義.2021/5/92引例設(shè)函數(shù)盡管函數(shù)在點(diǎn)

處沒(méi)有定義，但當(dāng)無(wú)限趨近于1而不等于1時(shí)，相應(yīng)無(wú)限趨近于2.2021/5/93或定義設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)的某個(gè)空心鄰域中有定義，如果存在常數(shù)

，使得對(duì)于任意給定的正數(shù)

，總存在正數(shù)，對(duì)于滿足的一切

，都有那么常數(shù)

就稱(chēng)作函數(shù)

當(dāng)

時(shí)的極限，記為2021/5/94函數(shù)極限的幾何意義對(duì)于任意，對(duì)滿足的一切，都有總存在正數(shù)，

2021/5/95例函數(shù)注1：函數(shù)在點(diǎn)

處的極限與函數(shù)在這一點(diǎn)是否有定義、或

為多少毫無(wú)關(guān)系，它所反映的是在則有該點(diǎn)附近的變化趨勢(shì).2021/5/96經(jīng)過(guò)不等式的變形，得到關(guān)系注2:函數(shù)

在點(diǎn)

的極限的定義說(shuō)明了如何去證明其中是一個(gè)與

無(wú)關(guān)的常量.再取，則當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)

的極限為的方法：對(duì)于考慮時(shí)，有：2021/5/97此即說(shuō)明2021/5/98例1證明下列極限⑴

證⑴因⑵所以,,取，當(dāng)時(shí)，可使故2021/5/99⑵因欲使即所以不妨取此時(shí)令則當(dāng)時(shí)，有因而2021/5/910例2證明證因所以,,取，當(dāng)，可使所以2021/5/911例3

證明證

因?yàn)槟芙獬霾坏仁?，要?duì)

進(jìn)行適當(dāng)?shù)目刂疲瑸榇讼薅?/p>

的變化范圍為，此時(shí)有所以,,取，當(dāng)時(shí)，可使所以2021/5/912證因例4證明取即所以所以,,取，當(dāng)時(shí)，2021/5/913所以2021/5/914證

因例5設(shè)，證明所以,,取，當(dāng)時(shí)，可使所以2021/5/915左右極限考慮函數(shù):是當(dāng)在該點(diǎn)兩側(cè)趨近于

時(shí)，函數(shù)有一個(gè)確定的變化趨勢(shì).但某種情況下，函數(shù)在兩側(cè)的趨勢(shì)是不同的，這就需要分別加以討論.前面討論的是函數(shù)在某一點(diǎn)

的極限，它反映的2021/5/916該函數(shù)在點(diǎn)

兩側(cè)的變化趨勢(shì)是不同的:當(dāng)

在0的右側(cè)趨近于0時(shí)，當(dāng)

在0的左側(cè)趨近于0時(shí)，這就導(dǎo)出左右極限的概念.2021/5/917那么

稱(chēng)作

在處的左極限，記為左極限定義：若當(dāng)時(shí)，使得那么

稱(chēng)作

在處的右極限，記為右極限定義：若當(dāng)時(shí)，使得或或2021/5/918容易證明：例如：定理極限存在的充分必要條件是在點(diǎn)處的左右極限存在并且相等.即存在均存在，且2021/5/919解因例6說(shuō)明極限不存在.

所以極限不存在.2021/5/920二、函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的極限定義設(shè)函數(shù)在

時(shí)有定義，為常數(shù).①若，，當(dāng)時(shí)，使得則稱(chēng)為函數(shù)

在時(shí)的極限，記為或②若，，當(dāng)時(shí)，使得則稱(chēng)為函數(shù)

在時(shí)的極限，記為或2021/5/921③若，，當(dāng)時(shí)，使得則稱(chēng)為函數(shù)

在時(shí)的極限，記為或2021/5/922例7證明

證

因所以,,取，當(dāng)時(shí)，使得所以2021/5/923例8證明

證

因只要，即所以,,取，當(dāng)時(shí)，使得所以類(lèi)似可證

2021/5/924證

因例9證明

所以,,取，當(dāng)時(shí)，使得所以2021/5/925例10證明

所以,,取，當(dāng)時(shí)，使得證

因當(dāng)時(shí)，則有不等式2021/5/926所以2021/5/927三、極限的性質(zhì)2021/5/928即：在

的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有界.定理1(局部有界性)如果極限存在，證

設(shè)，由定義，對(duì)存在當(dāng)，即有那么在

的某個(gè)空心鄰域內(nèi)，函數(shù)有界.2021/5/929證

設(shè)，由定義，對(duì)存在當(dāng)時(shí)，有從而定理(有界性)如果極限存在，那么存在取，則對(duì)所有的，有使得對(duì)所有的，有2021/5/930定理2(極限的保號(hào)性)如果，則存在點(diǎn)的某個(gè)空心鄰域內(nèi)，使得在該鄰域中有：證

設(shè)，由定義，對(duì)存在當(dāng)時(shí)，有2021/5/931定理2’(保號(hào)性)如果，則存在正整數(shù)當(dāng)時(shí)，有：推論在的某個(gè)空心領(lǐng)域中，有且則注意：如果推論的條件改成（嚴(yán)格大于），則不能推出例如時(shí)但2021/5/932證設(shè)，則當(dāng)時(shí)，定理3(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)則此數(shù)列相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列收斂，且設(shè)存在，又設(shè)是函數(shù)定義域中的一個(gè)任意數(shù)列，且2021/5/933由條件故對(duì)，當(dāng)時(shí)，有