函數(shù)的奇偶性及奇偶函數(shù)的圖象

函數(shù)奇偶性2021/5/91函數(shù)y=f(x)在定義域A內(nèi)任取一個x∈A，且－x∈A1)都有f(－x)=f(x)2)都有f(－x)=－f(x)3)都有f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)則f(x)是偶函數(shù)則f(x)是非奇非偶函數(shù)則f(x)是奇函數(shù)問題：1）奇偶性在什么范圍內(nèi)考慮的？2）在定義域A內(nèi)任取一個x,則－x一定在定義域A內(nèi)嗎？注意：1）奇偶性在整個定義域內(nèi)考慮；2）定義域若不是關(guān)于原點對稱的區(qū)間，則f(x)是非奇非偶函數(shù)；3）考慮函數(shù)奇偶性必需先求出定義域。2021/5/92例1、判斷下列函數(shù)是否有奇偶性：1）f(x)=6x6+3x2+12）f(x)=－x3+x5解：此函數(shù)的定義域為R∵f(－x)=6(－x)6+3(－x)2+1=6x6+3x2+1=f(x)∴f(x)是偶函數(shù)解：此函數(shù)的定義域為R∵f(－x)=－(－x)3+(－x)5

=x3－x5

=－(－x3+x5)=－f(x)∴f(x)是奇函數(shù)3）f(x)=x2+2x+44）f(x)=解：此函數(shù)的定義域為R∵f(－x)=(－x)2+2(－x)+4=x2－2x+4∴f(x)是非奇非偶函數(shù)解：此函數(shù)的定義域為[－2,+∞)∴f(x)是非奇非偶函數(shù)2021/5/93例2：判斷函數(shù)f(x)=的奇偶性解：由題－4－101∴函數(shù)的定義域為[－1,0)∪(0,1]此時f(x)==－f(x)故f(x)是奇函數(shù)2021/5/94判定函數(shù)的奇偶性的步驟：1）先求函數(shù)的定義域；若定義域不是關(guān)于原點對稱的區(qū)間，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)若定義域是關(guān)于原點對稱的區(qū)間，進入第二步；2）計算f(－x)化向f(x)的解析式；若等于f(x)，則函數(shù)是偶函數(shù)若等于－f(x)，則函數(shù)是奇函數(shù)若不等于，則函數(shù)是非奇非偶函數(shù)3）結(jié)論。2021/5/95奇偶函數(shù)的圖象2021/5/96想一想觀察下列函數(shù)的奇偶性，并指出圖象有何特征？xyoy=x2－2xyoy=x3xyoy=x+1圖象奇偶性圖象特征（1）（2）（3）奇函數(shù)關(guān)于原點成中心對稱關(guān)于y軸成軸對稱偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)簡稱關(guān)于原點對稱簡稱關(guān)于y軸對稱不關(guān)于原點及y軸對稱2021/5/97定理：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；反之，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點（y軸）對稱，那么這個函數(shù)是奇（偶）函數(shù)。此定理的作用：簡化函數(shù)圖象的畫法。例3、如圖給出函數(shù)圖象的一部分，用對稱法作出下列函數(shù)的圖象：xyoxyo1）若函數(shù)是奇函數(shù)2）若函數(shù)是偶函數(shù)2021/5/98例4、作出函數(shù)y=x2－|x|－6的圖象解：當x≥0時，y=x2－x－6當x＜0時，y=x2+x－6xyo若利用對稱法作圖：先作出x≥0的圖象再用對稱法作出另一半的圖象；可知函數(shù)是偶函數(shù)2021/5/99例5、已知f(x)是奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)=x2－2x，求當x＜0時，f(x)的解析式，并畫出此函數(shù)f(x)的圖象。xyo解：∵f(x)是奇函數(shù)∴f(－x)=－f(x)即f(x)=－f(－x)任意取x＜0時，則－x>0

∵x>0時f(x)=x2－2x