高中數(shù)學(xué)人教A版必修4學(xué)案2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示模夾角Word版含解析

2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角考試標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)要點(diǎn)學(xué)考要求高考要求數(shù)量積的坐標(biāo)表示cc兩個(gè)向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算bb平面向量模的坐標(biāo)運(yùn)算bb知識(shí)導(dǎo)圖學(xué)法指導(dǎo)1.學(xué)習(xí)了本節(jié)后，我們?cè)谟孟蛄刻幚砥矫鎴D形問題時(shí)就有了兩種方法，通過一題兩解，體會(huì)基底法和坐標(biāo)法的優(yōu)劣及選擇依據(jù)．2．通過數(shù)形結(jié)合，對(duì)向量平行與垂直條件的坐標(biāo)表示的類比，培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想的記憶方法.1.兩向量的數(shù)量積與兩向量垂直的坐標(biāo)表示設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.數(shù)量積兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和，即a·b＝x1x2＋y1y2兩個(gè)向量垂直a⊥b?x1x2＋y1y2＝0eq\x(狀元隨筆)對(duì)數(shù)量積的坐標(biāo)表示的理解(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和；(2)引入坐標(biāo)運(yùn)算后，使得平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和兩個(gè)向量的坐標(biāo)運(yùn)算聯(lián)系起來，從而使得向量的工具性作用更強(qiáng)；(3)平面向量的坐標(biāo)可以把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)幾何問題的求解，數(shù)形結(jié)合的思想在數(shù)量積的應(yīng)用中將體現(xiàn)更多．2．三個(gè)重要公式向量模公式：設(shè)a＝(x1，y1)，則|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))兩點(diǎn)間距離公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)向量的夾角公式：設(shè)兩非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))eq\x(狀元隨筆)對(duì)向量模長(zhǎng)公式的理解(1)模長(zhǎng)公式是數(shù)量積的坐標(biāo)表示eq\o(a,\s\up10(→))·eq\o(b,\s\up10(→))＝x1x2＋y1y2的一種特例，當(dāng)eq\o(a,\s\up10(→))＝eq\o(b,\s\up10(→))時(shí)，則可得|eq\o(a,\s\up10(→))|2＝xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)；(2)若點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up10(→))＝(x2－x1，y2－y1)，所以|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)，即|eq\o(AB,\s\up10(→))|的實(shí)質(zhì)是A，B兩點(diǎn)間的距離或線段AB的長(zhǎng)度，這也是模的幾何意義．[小試身手]1．判斷下列命題是否正確.(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩個(gè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，滿足x1y2－x2y1＝0，則向量a，b的夾角為0°.()(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和．()(3)若兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)和小于零，則兩個(gè)向量的夾角一定為鈍角．()答案：(1)×(2)√(3)×2．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，則a·b的值是()A．23B．7C．－23D．－7解析：由數(shù)量積的計(jì)算公式得，a·b＝(－3,4)·(5,2)＝－3×5＋4×2＝－7.答案：D3．已知a＝(－2,1)，b＝(x，－2)，且a⊥b，則x的值為()A．－1B．0C．1D．2解析：由題意，a·b＝(－2,1)·(x，－2)＝－2x－2＝0，解得x＝－1.答案：A4．已知a＝(1，eq\r(3))，b＝(－2,0)，則|a＋b|＝________.解析：因?yàn)閍＋b＝(－1,eq\r(3))，所以|a＋b|＝eq\r(－12＋\r(3)2)＝2.答案：2類型一數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算例1(1)設(shè)向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3,4)，向量c＝(3,2)，則向量(a＋2b)·c＝()A．(－15,12)B．0C．－3D．－11(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，x)，且a·b＝－1，則x的值等于()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(3,2)D．－eq\f(3,2)【解析】(1)依題意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，所以(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－5×3＋6×2＝－3.(2)因?yàn)閍＝(1,2)，b＝(2，x)，所以a·b＝(1,2)·(2，x)＝1×2＋2x＝－1，解得x＝－eq\f(3,2).【答案】(1)C(2)D(1)先求出eq\o(a,\s\up10(→))＋2eq\o(b,\s\up10(→))，然后利用平面向量的數(shù)量積求出(eq\o(a,\s\up10(→))＋2eq\o(b,\s\up10(→)))·eq\o(c,\s\up10(→)).(2)利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算求出eq\o(a,\s\up10(→))·eq\o(b,\s\up10(→))，由eq\o(a,\s\up10(→))·eq\o(b,\s\up10(→))＝－1得出關(guān)于x的方程求解．方法歸納數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算的兩個(gè)途徑一是先將各向量用坐標(biāo)表示，直接進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算；二是先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將原式展開，再依據(jù)已知計(jì)算．跟蹤訓(xùn)練1已知a＝(2，－1)，b＝(3,2)，若存在向量c，滿足a·c＝2，b·c＝5，則向量c＝________.解析：設(shè)c＝(x，y)，因?yàn)閍·c＝2，b·c＝5，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝2，,3x＋2y＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(9,7)，,y＝\f(4,7)，))所以c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,7)，\f(4,7))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,7)，\f(4,7)))設(shè)eq\o(c,\s\up10(→))＝(x，y)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，列出關(guān)于x，y的方程求解．類型二平面向量的模例2(1)設(shè)x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a∥b，則|a＋b|＝()A.eq\r(5)B.eq\f(\r(5),2)C．2eq\r(5)D．5(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，則|a＋b|＝________，|a－b|＝________.【解析】(1)因?yàn)閍＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a∥b，所以－2x－1×1＝0，解得x＝－eq\f(1,2).所以a＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))＋(1，－2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))，|a＋b|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋－12)＝eq\f(\r(5),2).(2)由題意，知a＋b＝(－2,4)，a－b＝(4,0)，所以|a＋b|＝eq\r(－22＋42)＝2eq\r(5)，|a－b|＝4.【答案】(1)B(2)2eq\r(5)4(1)兩向量eq\o(a,\s\up10(→))＝(x1，y1)，eq\o(b,\s\up10(→))＝(x2，y2)共線的坐標(biāo)表示：x1y2－x2y1＝0.(2)已知eq\o(a,\s\up10(→))＝(x，y)，則|eq\o(a,\s\up10(→))|＝eq\r(x2＋y2).方法歸納求向量的模的兩種基本策略(1)字母表示下的運(yùn)算利用|a|2＝a2，將向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量與向量的數(shù)量積的問題．(2)坐標(biāo)表示下的運(yùn)算若a＝(x，y)，則a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝eq\r(x2＋y2).跟蹤訓(xùn)練2(1)設(shè)平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，則|3a＋bA.eq\r(5)B.eq\r(6)C.eq\r(17)D.eq\r(26)(2)已知|a|＝10，b＝(1,2)，且a·b＝10，則a的坐標(biāo)為______．【解析】(1)因?yàn)閍∥b，所以1·y－2×(－2)＝0，解得y＝－4，從而3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝eq\r(5).(2)設(shè)a的坐標(biāo)為(x，y)，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝10，,\r(x2＋y2)＝10，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝10，,x2＋y2＝100，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－6，,y＝8，))所以a＝(10,0)或a＝(－6,8)．【答案】(1)A(2)(10,0)或(－6,8)(1)由eq\o(a,\s\up10(→))∥eq\o(b,\s\up10(→))求y，再求3eq\o(a,\s\up10(→))＋eq\o(b,\s\up10(→))的坐標(biāo)，利用公式求模．(2)設(shè)eq\o(a,\s\up10(→))(x，y)，由已知列方程組，求x，y.類型三平面向量的夾角(垂直)例3(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝eq\r(5)，若(c－b)·a＝eq\f(15,2)，則a與c的夾角為()A.30°B．60°C．120°D．150°(2)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，－3)，若λa－2b與a垂直，則實(shí)數(shù)λ等于________．【解析】(1)由a·b＝－10，得(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝eq\f(15,2)，∴c·a＝－eq\f(5,2).設(shè)a與c的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a·c,|a||c|)＝eq\f(－\f(5,2),\r(5)×\r(5))＝－eq\f(1,2).又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.(2)方法一λa－2b＝(λ，λ)－2(2，－3)＝(λ－4，λ＋6)．∵(λa－2b)⊥a，∴(λa－2b)·a＝0，∴(λ－4)＋(λ＋6)＝0，∴λ＝－1.方法二∵(λa－2b)⊥a，∴(λa－2b)·a＝0，即λa2＝2a·b∴λ(1＋1)＝2(1,1)·(2，－3)，即2λ＝－2，∴λ＝－1.【答案】(1)C(2)－1(1)先求eq\o(a,\s\up10(→))·eq\o(b,\s\up10(→))，再由已知求eq\o(c,\s\up10(→))·eq\o(a,\s\up10(→))最后利用cosθ＝eq\f(\o(a,\s\up10(→))·\o(c,\s\up10(→)),|\o(a,\s\up10(→))||\o(c,\s\up10(→))|)，求夾角．(2)已知向量垂直求參數(shù)，由相應(yīng)向量的數(shù)量積為零建立關(guān)于參數(shù)的方程，求解即可．方法歸納利用數(shù)量積求兩向量夾角的步驟數(shù)量積:利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式求出這兩個(gè)向量的數(shù)量積.模:利用|a|＝計(jì)算出這兩個(gè)向量的模.余弦值:由公式cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))直接求出cosθ的值.角:在0≤θ≤π內(nèi)，由cosθ的值求角θ.跟蹤訓(xùn)練3已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.(1)求b與c；(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n解析：(1)因?yàn)閍∥b，所以3x＝4×9，所以x＝12.因?yàn)閍⊥c，所以3×4＋4y＝0，所以y＝－3，所以b＝(9,12)，c＝(4，－3)．(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n＝a＋c設(shè)m、n的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(－3×7＋－4×1,\r(－32＋－42)×\r(72＋12))＝eq\f(－25,25\r(2))＝－eq\f(\r(2),2).因?yàn)棣取蔥0，π]，所以θ＝eq\f(3π,4)，即m，n的夾角為eq\f(3π,4).(1)由eq\o(a,\s\up10(→))∥eq\o(b,\s\up10(→))求x，由eq\o(a,\s\up10(→))⊥eq\o(c,\s\up10(→))求y.(2)利用cosθ＝eq\f(\o(m,\s\up10(→))·\o(n,\s\up10(→)),|\o(m,\s\up10(→))||\o(n,\s\up10(→))|)，求夾角．[基礎(chǔ)鞏固](25分鐘，60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，則實(shí)數(shù)m的值為()A．－eq\f(3,2)B.eq\f(3,2)C．2D．6解析：依題意得6－m＝0，m＝6，選D.答案：D2．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，則(2a＋b)·aA．－1B．0C．1D．2解析：a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a答案：C3．已知a，b為平面向量，且a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，則a，bA.eq\f(8,65)B．－eq\f(8,65)C.eq\f(16,65)D．－eq\f(16,65)解析：∵a＝(4,3)，∴2a＝(8,6)．又2a＋∴b＝(－5,12)，∴a·b＝－20＋36＝16.又|a|＝5，|b|＝13，∴cos〈a，b〉＝eq\f(16,5×13)＝eq\f(16,65).答案：C4．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,1)，c＝(k,4)，且(a－b)⊥c，則k＝()A．－6B．－1C．1D．6解析：∵a＝(－1,2)，b＝(3,1)，∴a－b＝(－4,1)，∵(a－b)⊥c，∴－4k＋4＝0，解得k＝1.答案：C5．設(shè)向量a＝(x,1)，b＝(1，－eq\r(3))，且a⊥b，則向量a－eq\r(3)b與b的夾角為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)解析：向量a＝(x,1)，b＝(1，－eq\r(3))，且a⊥b，則a·b＝x－eq\r(3)＝0，得x＝eq\r(3)，∴a－eq\r(3)b＝(eq\r(3)，1)－eq\r(3)(1，－eq\r(3))＝(0,4)，(a－eq\r(3)b)·b＝0×1＋4×(－eq\r(3))＝－4eq\r(3)，|a－eq\r(3)b|＝4，|b|＝2，設(shè)向量a－eq\r(3)b與b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a－\r(3)b·b,|a－\r(3)b|·|b|)＝eq\f(－4\r(3),4×2)＝－eq\f(\r(3),2)，∵0≤θ≤π，∴θ＝eq\f(5π,6).答案：D二、填空題(每小題5分，共15分)6．a(chǎn)＝(－4,3)，b＝(1,2)，則2|a|2－3a·b解析：因?yàn)閍＝(－4,3)，所以2|a|2＝2×(eq\r(－42＋32))2＝50.a·b＝－4×1＋3×2＝2.所以2|a|2－3a·b＝50－3×答案：447．設(shè)向量a＝(1,0)，b＝(－1，m)．若a⊥(ma－b)，則m＝________.解析：由題意得，ma－b＝(m＋1，－m)，根據(jù)向量垂直的充要條件可得1×(m＋1)＋0×(－m)＝0，所以m＝－1.答案：－18．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m＝________.解析：c＝(m＋4,2m＋2)，|a|＝eq\r(5)，|b|＝2eq\r(5)，設(shè)c，a的夾角為α，c，b的夾角為θ，又因?yàn)閏osα＝eq\f(c·a,|c||a|)，cosθ＝eq\f(c·b,|c||b|)，由題意知eq\f(c·a,|a|)＝eq\f(c·b,|b|)，即eq\f(5m＋8,\r(5))＝eq\f(8m＋20,2\r(5)).解得m＝2.答案：2三、解答題(每小題10分，共20分)9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.解析：(1)若a⊥b，則a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，則1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.當(dāng)x＝0時(shí)，a＝(1,0)，b＝(3,0)，|a－b|＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝2.當(dāng)x＝－2時(shí)，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，|a－b|＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝2eq\r(5).10．已知向量a，b，c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中a＝(1，－1)．(1)若|c|＝3eq\r(2)，且c∥a，求向量c的坐標(biāo)；(2)若b是單位向量，且a⊥(a－2b)，求a與b的夾角θ.解析：(1)設(shè)c＝(x，y)，由|c|＝3eq\r(2)，c∥a可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＋x＝0，,x2＋y2＝18，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝3，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－3，))故c＝(－3,3)或c＝(3，－3)．(2)因?yàn)閨a|＝eq\r(2)，且a⊥(a－2b)，所以a·(a－2b)＝0，即a2－2a·b＝0，∴a·b＝1，故cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(\r(2),2)，∵θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(π,4).[能力提升](20分鐘，40分)11．已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則eq\o(PA,\s\up10(→))·(eq\o(PB,\s\up10(→))＋eq\o(PC,\s\up10(→)))的最小值是()A．－2B．－eq\f(3,2)C．－eq\f(4,3)D．－1解析：以AB所在直線為x軸，AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則A(－1,0)，B(1,0)，C(0，eq\r(3))，設(shè)P(x，y)，取BC的中點(diǎn)D，則Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))).eq\o(PA,\s\up10(→))·(eq\o(PB,\s\up10(→))＋eq\o(PC,\s\up10(→)))＝2eq\o(PA,\s\up10(→))·eq\o(PD,\s\up10(→))＝2(－1－x，－y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x，\f(\r(3),2)－y))＝2[(x＋1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＋y·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),2)))]＝2[eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,4)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),4)))2－eq\f(3,4)].因此，當(dāng)x＝－eq\f(1,4)，y＝eq\f(\r(3),4)時(shí)，eq\o(PA,\s\up10(→))·(eq\o(PB,\s\up10(→))＋eq\o(PC,\s\up10(→)))取得最小值，為2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＝－eq\f(3,2)，故選B.答案：B12．已知a＝(4，－3)，b＝(2,1)，若a＋tb與b的夾角為45°，則實(shí)數(shù)t＝________.解析：因?yàn)閍＝(4，－3)，b＝(2,1)，所以a＋tb＝(2t＋4，t－3)，所以(a＋tb)·b＝5t＋5.又|a＋tb|＝eq\r(2t＋42＋t－32)＝eq\r(5t2＋10t＋25)，|b|＝eq\r(5)，(a＋tb)·b＝|a＋tb||b|cos45°，所以5t＋5＝eq\r(5t2＋10t＋25)×eq\r(5)×eq\f(\r(2),2)，整理得t2＋2t－3＝0，解得t＝1或t＝－3，經(jīng)檢驗(yàn)知t＝－3不成立，故t＝1.答案：113．在△PQR中，eq\o(PQ,\s\up10(→))＝(