2021年普通高等學校招生全國統一考試數學試題(乙卷·文科)

2021年普通高等學校招生全國統一考試數學試題(乙卷?文科)

壓軸題解讀

11.設B是橢圓C：9+y2=i的上頂點，點p在c上，則|PB|的最大值為()

A.-B.V6C.V5D.2

2

【命題意圖】考查橢圓的性質，兩點間的距離，函數的思想，考查邏輯推理，數學運算的核心素養(yǎng)

【答案】A

【解析】由橢圓方程可得。=63=1.橢圓的上軸逐，。=1.故橢圓的上頂點為3(0,1).

設P(x,y),則有三+尸=1，故f=5(l-y2),由橢圓的性質可得TWyWl.

BiJ|PB|2=x2+(y-l)2=5(l-/)+(y-l)2

=—4y2—2y+6—-4(y2+—)+6——4(y+—)2+—

244

i25

因為-IWyWl,所以當y=—二時，取得最大值，最大值為亍，

44

所以|P8|的最大值為

【規(guī)律總結】圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是幾何方

法，即通過利用圓錐曲線的定義、幾何性質以及平面幾何中的定理、性質等進行求解；二是代數方法，

即把要求最值的幾何量或代數表達式表示為某個(些)變量的函數(解析式)，然后利用函數方法、不等式方

法等進行求解.

12.設若為函數f(x)=a(%-Q)2(%—b)的極大值點，則()

A.aVbB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

【命題意圖】考查函數的極值，考查邏輯推理，數學運算的核心素養(yǎng)

【答案】D

【解析】因為/(x)=a(x-a)“x-b),

所以/'(X)=ax2(x-a)(x-b)+a(x-a)2=a(x-a)[(2x-2b)+(x+a)]

=a(x-a)[3x-(a+2b)]

=3a(x-a)(x一

由/'(x)=O,解得x=a或x=.

若a<0,由x=a為函數的極大值點可得巴了<a

也就是b<a.

此時函數在-和(a,+°o)上/'(x)<0,函數單調遞減;在出一芽。)上/'(幻>0,函數單調遞增.

所以a(a-/?)<0,即

若a>0,由x=a為函數的極大值點可得，解得。<江

此時函數在(f,a)和3-。,物)上/'(x)>0,函數單調遞增；在38一&)上八幻<0,函數單調遞減.

此時，a(a-b)<0,gpa2<ab.

綜上仇選D.

【解題方法】已知函數極值，確定函數解析式中的參數時，要注意：(1)根據極值點的導數為0和極值這

兩個條件列方程組，利用待定系數法求解；(2)因為導數值等于0不是此點為極值點的充要條件，所以用

待定系數法求解后必須檢驗.

16.以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側視圖和附視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選側視圖和俯

視圖的編號依次為(寫出符合求的一組答案即可).

【命題意圖】考查三視圖，考查直觀想象，邏輯推理能力

【答案】②⑤或③④

【解析】根據“長對正，高平齊，寬相等”及圖中數據，可知②③只能是側視圖，④⑤只能是俯視圖，于是可得正確答

案為②⑤或③④

若為②⑤，則如圖1；若為③④，則如圖2.

【解題方法】畫三視圖的三個原則：

⑴畫法規(guī)則：“長對正，寬相等，高平齊”.

(2)擺放規(guī)則：側視圖在正視圖的右側，俯視圖在正視圖的正下方.

(3)實虛線的畫法規(guī)則：可見輪廓線和棱用實線畫出，不可見線和棱用虛線畫出.

20.已知拋物線C：y2=2p%(p>o)的焦點尸到準線的距離為2.

(1)求C的方程；

(2)己知。為坐標原點，點P在C上，點。滿足所=9而，求直線。。斜率的最大值.

【命題意圖】本題考查拋物線的性質方程，只限于拋物線的關系，基本不等式求最值，考查邏輯推理，及運算求解能

力.

【解析】(1)由題意知，p=2,

y2=4x.

(2)由(1)知,拋物線C：V=4x,尸(1,0),

設點Q的坐標為("?,〃)，

則0?=(1—，％-〃)，

/吧=9/=（9-9肛-9〃）

.?.尸點坐標為(10加一9,10"),

將點P代入C得100〃2=40m-36,

整理得m="*"FG=25"2+9,

4010

n10/2101

—=;一-=------>當”=3時取取大值.

m25〃-+925〃+23

n

21.已知函數f(尤)=/一/+ax+l.

(1)討論/。)的單調性；

(2)求曲線y=/(x)過坐標原點的切線與曲線y=f(x)的公共點的坐標.

【命題意圖】本題考查導數的幾何意義以及利用導數研究函數的單調性，考查分類討論思想及運算求解能力.

【解析】(1)f'(x)=3x2-2x+a,△=4-12a,

①當△,,(),即時，由于r(幻的圖象是開口向上的拋物線，故此時廣(x)..0,則/(x)在R上單調遞增;

②當△>(),即時，令尸(幻=0,解得玉=匕牛豆,毛=匕牛豆，

f

令f(x)>0,解得X<芭或無>々,令(X)<。,解得-^1<X<X2,

.?./(X)在(-00,%),(%,+00)單調遞增，在(芭，/)單調遞減；

綜上，當a.g時，f(x)在R上單調遞增；當時，/(x)在(-"J-'；-3"+8)單調遞增,在

上土直匕正電單調遞減.

33

(2)設曲線y=/(x)過坐標原點的切線為/,切點為(為,與3_年+”+[),八/)=3/2_2Ao+“，

3

則切線方程為y—(x0—XQ~+ax0+1)=?々J_2%+。)(工—x())f

32

將原點代入切線方程有，2xo-xo-l=O,解得飛=1,

.,?切線方程為y=(a+\)x9

x3-x2+ar+1=(a+l)x,BPx3-x1-x+1=0,解得x=l或x=-l,

???曲線y=/(x)過坐標原點的切線與曲線y=/(x)的公共點的坐標為(1,〃+1)和-1).

壓軸題模擬

1.(2021?河南焦作市?高三其他模擬(文))已知點尸為雙曲線1-工=13>0力>())的右焦點，過尸作一條漸近

ab~

線的垂線，垂足為A,若△。四(點O為坐標原點)的面積為2,雙曲線的離心率ee[J17,而｝則。的取值范圍

為()

A.[1,2]B.C.-^-,1D.-^-,1

【答案】D

bb

【解析】取雙曲線的漸近線為y=-x,即OA的方程為｝；=一8,

aa

???F(c,O),.?.直線AF的方程為y=-y(x-c),

b

聯立4",解得A

C1CDC,

SOAF=—c—=2,即々6=4,

2c

2?/16

又ee[VF7,彼],;.17剌+標65

解得暗領b的取值范圍為[*，1]故選：D.

22

2.(2021?黑龍江哈爾濱市?哈師大附中高三三模(文))已知P是橢圓C：，+/=l(a>〃>0)上任意一點，B是

橢圓C的上頂點，處總成立，則橢圓離心率的取值范圍是()

【答案】A

Y2v2\x=acos3

【解析】由/+方=叱…)'可令『sine

因為3是橢圓C的上頂點，所以5(0力),

\PB\<2b=>\PBf<4〃=(acos9)2+Ssin6—Z?)2〈4b2,

化簡為：

(a2-/?2)sin20+2b2sin6+3〃-a2>0=>[(a2-b2)sinO+3b2-a2](sin0+l)>0,

因為sinS+1之0,所以(/—〃)sine+3b2—a220,即、一二，

a-b

又因為sinON—l,|PB|W2?？偝闪ⅲ?/p>

〃2_1右22?

所以...—<—1=>—3b2<一(a2—b2)=>a2<2b2a2<2(4—c2)=>丁<—,

a-b2a~2

即e24Ln0<e<也，故選：A

22

3.(2021?浙江高三模擬)已函/(x)=(x2—4x+4)e*—^d+aY+l,若/(x)在x=2處取得極小值，則。的取

值范圍是()

A.(9,0]B.(0,e2)C.(-oo,l]D.(-℃,e2)

【答案】D

【解析】因為所以八%)=(尤2-2x)(e*-a),

當“40時，ex-a>0,所以/(x)在(0,2)上單調遞減，在(2,”)上單調遞增，滿足題意；

當0<aWl時.，在x?0,+8)上/一。>0,所以/(%)在(0,2)上單調遞減，在(2,”)上單調遞增，滿足題意；

當1<。<02時，/(6在(111。,2)上單調遞減，在(2,+8)上單調遞增，滿足題意；

當a=e2時，/(x)在(0,+“)上單調遞增，不滿足題意；

當a>/時，/(x)在(0,2)上單調遞增，在(2,Ina)上單調遞減，不滿足題意.故。的取值范圍為(-oo.e?),

故選D.

4.(2021?安徽宣城市?高三二模(文))若函數/0)=%3_3加+12》+1(。>0)存在兩個極值點*,馬，貝I」

/(%)+/(々)的取值范圍是()

A.(-oo,18)B.(-oo,18]C.(-oo,16]D.(-oo,16)

【答案】A

【解析】函數/(x)=x3—3a?+12x+l(a>0),/(x)=3x2-6?x+12=3(x2-2ar+4),

由函數/(x)存在兩個極值點芭，聲，，r(x)=0有兩個不等實數根，.?.△=4/一16>0，a>0,

解得a>2.且玉+々=2。，x,x2=4.

22

「.x；=(Xj4-x2)-2%jX2=4a-8

則/(玉)+/(/)=x：—3ax；+12%+1+石一3〃x；+12x2+1

—(X|+%)(%；-玉%2+蒼)—3a(%；+)+12(%+%)+2

=2。(4。2-8-4)-3a(4a2-8)+24a+2=—4/+24a+2，

令g(a)=-4a3+24a+2,a￡(2,+oo)./.gf(a)=-12tz2+24<0,

g（a）在。￡（2,+oo）上單調遞減./.g（a）<g（2）=-4x8+24x2+2=18.

???/（石）+/（々）的取值范圍是（e/8）.故選：A.

5.（2021?安徽六安市?六安一中（文））在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,沿AC將矩形ABCD折疊，其正視圖和

俯視圖如圖所示，此時連接頂點B、D形成三棱錐B-ACD,則其側視圖的面積為.

【答案】石

【解析】

【解析】由題意可知幾何體是三棱錐，底面是直角三角形，直角邊長為4,3,一個側面是直角三角形與底面垂直,

1712

力8=4,BC=3,8到ZC的距離為（側視圖如圖：是等腰直角三角形，直角邊長為行.

所以側視圖的面積為：y=2cos3x（o>0）.

6.（2021?廣東深圳市?高三二模（文））如圖，已知一個錐體的正視圖（也稱主視圖），左視圖（也稱側視圖）和俯

視圖均為直角三角形，且面積分別為3,4,6,則該錐體的體積是—.

【答案】4

【解析】由三視圖知，幾何體是一個三棱錐,

根據三棱錐的三視圖的面積，設出三棱錐兩兩垂直的三條側棱分別是x,y,z

「三視圖的面積分別為3,4,6,「孫=6,xz=8,yz=12,1y=3,x=2,z=4，

□三棱錐的體積是卬，z=4,故答案為4.

32

7.（2021?重慶市長壽中學校高三模擬）拋物線￡:丁2=2〃M〃>0）的焦點為尸，過尸的動直線/交E于

A（AX）、8（々，必）兩點，/'過點A且/關于r對稱的點尸'的坐標為（一1，X）.

（1）求E的方程；

（2）過G（2,0）作直線（交后于"、N兩點，4是E在"處的切線，NQ_L（于Q且直線NQ與x軸的交點為了,

求△肱VT面積的最小值.

【解析】（1）由對稱性知|"|=|4尸|且Ak與直線x=—l垂直，

所以x=-l是E的準線，.?.一二=一1,解得P=2,r.y2=4x即為所求E的方程.

2

（2）設M（X3，%），N（X4，>4），由題意直線&的斜率存在，設為左,

則4：y-%=%（%—芻），即>一為=左

y_y=左|K--

聯立方程,I41可得。2一43；-外32+4%=0，

J=4無

則A=16-4Z（一妙32+4%）=。，解得上=工，，A:。？=—,

為2

設點?。ń?0）,由。、T、N三點共線，..?%7=二普=耳收=上9,則點=/%+2.也,

L冗4一無7力

由題意，直線MN不與x軸重合，

設政V:x=my+2,則&=機為+2,則%=+2%=布>3y4+2（%+.）,

%為

y2=4x,八

聯立方程「可得丁0-4g；-8=0,所以%+以=4根,％.%=-8,

x=my+2

.“世訪+2（%+”）=上迦=o,,,m0）,

>3>3

S.T=；|GT卜+%）2-4%%=46m2+3224夜,當加=0時取等號,

.?.△MNT面積的最小值為4a.

8.（2021?河南鄭州市?高三三模（文））已知拋物線C:/=4），和圓￡：/+（,+1）2=1,過拋物線上一點

「(毛,%)，作圓E的兩條切線，分別與x軸交于48兩點.

(1)若切線P5與拋物線C也相切，求直線網的斜率；

(2)若%N2,求Z1Q4B面積的最小值.

【解析】(1)由題意，可設切線P8的方程為丁=丘+〃2,代入拋物線的方程得爐一4履一4m=0,

由相切的條件得：△=16%2+16〃2=0，即42+加=0,

II機+1|1

由直線與圓相切可得圓心到直線距離1=下^=1即k2=nV+2m，

yjl+k2

nr+3m=0，可得加=—3或=0,

口當〃?=0時，有尸8的方程為y=0,此時P(0,0)與圓￡的有且僅有一條切線,

nm--3,舍去加=0,故左2=3,即攵=±3.

(2)設切線方程為丁一為=乂％-40)，即五一丁+%-3)=0,

2

圓心到直線距離d==1，整理得*(V-1)一(2x。%+2xQ)k+%2+2%=0,而

A=4(片+北+2%)>0("2),

設總，PB斜率分別為仁,白，則K+&=2?：：%,k、K=)憶

元0—1x0—1

令尸0,得與"寶優(yōu)

j4(y『+6%)),舊+6yo

IAB|=|(x-y)-(與一資1=1好1為

0年+2%)°%+2

仁

1

v114nl2加+6%(升+6%)靖

口產/例m=了J*$=

(%+2『

,”2,廣(y)=2v(「竽⑻〉(),則/(y)在［2,+a))上單調遞增，即

令/()')=

(y+2)2(y+2)3

f(y)min=f(2)=4*口S,B的最小值為2.

9.(2021?河南焦作市?高三模擬(文))已知函數/(x)=—f+x+lnx.

(1)求“x)的單調區(qū)間；

(2)若對于任意的x?0,+8),〃x)W3'一恒成立，求實數加的最小值.

【解析】(1)由/(xb-f+x+lnr,得/，(制=_2x+]+'=+1=(2-+1)(—X+1)(X>0),

XXX

當(0,1)時，f'(x)>0,/(X)單調遞增，

當xe(l,+8)時，f'(x)<0,/(x)單調遞減，

□/(x)的增區(qū)間為(0,1),減區(qū)間為(1,+8)；

(2)□對于任意的xe(0,+oo),/(力《如歸”一》2一1恒成立，

x+In尤+1

--—X2+x+Inx<mxe"-X2—1恒成立，即/篦2----------恒成立.

xe

./、x+lnx+1…，/、-(%+1)(x4-Inx)

令g(X)=-------—，則短3=八一笠——二

xex^e

令h(x)=x+lnx,